resumen de campos electromagnetic os
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IntroduccionEcuaciones de Maxwell
Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos Electromagneticos
profesor: Martin Bravo Obando
Universidad Surcolombiana2015-1
profesor: Martin Bravo Obando Campos Electromagneticos
IntroduccionEcuaciones de Maxwell
Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Contenido
1 Introduccion
2 Ecuaciones de Maxwell
3 Distribuciones de carga y corriente
4 Ley de Coulomb
5 Intensidad de Campo Electrico
6 Campos electricos debido a distribuciones de carga continua
7 Densidad de flujo electrico
8 Ley de Gauss
profesor: Martin Bravo Obando Campos Electromagneticos
IntroduccionEcuaciones de Maxwell
Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Introduccion
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ecuaciones de Maxwell
1 ∇ ·D = ρv .
2 ∇× E = −dBdt.
3 ∇ ·B = 0.
4 ∇×H = J+ dDdt.
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Distribuciones de carga y corriente
En el caso de que las cargas esten en movimiento, constituyendistribuciones de corriente.
Las cargas pueden distribuirse en un volumen, superficie o a lolargo de una lınea.
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Distribuciones de carga y corriente
Densidades de carga
ρv = lim△v→0
△q
△v=
dq
dv(C/m3).
ρs = lim△s→0
△q
△s=
dq
ds(C/m2)
ρL = lim△L→0
△q
△L=
dq
dL(C/m)
Carga total
Q =
∫
v ,s,L
ρv ,s,Ld(v , s, L)
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Distribuciones de carga y corriente
Densidad de corriente
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Distribuciones de carga y corriente
Densidad de corriente
J = ρvu (A/m2)
Corriente sobre una superficie
I =
∫
s
J · ds (A)
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Distribuciones de carga y corriente
Ejercicios
1 Calcule la carga total Q contenida en un tubo cilındrico decarga orientada lo largo del eje z. La densidad de carga linealesta dada por ρl = 2z , donde z es la distancia en metros alextremo inferior del tubo. La longitud de este es de 10 cm.
2 Un disco circular de carga electrica, esta caracterizado por unadensidad de carga superficial azimutalmente simetrica que seincrementa de forma lineal con ρ, desde cero en el centrohasta 6/Cm2 con ρ = 3 cm. Calcular la carga total presenteen la superficie del disco.
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Coulomb
Ley experimental que debe su nombre al coronel francesCharles Augustin de Coulomb.
La ley de Coulomb fue formulada en 1785.
Consiste en la fuerza que una carga puntual ejerce en otracarga puntual.
Esa carga se mide en Coulomb (C), el cual equivale a 6× 1018
electrones.
La carga de un electron es de −1.6019 × 10−19C .
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Coulomb
La ley de Coulomb establece:
que la fuerza entre dos cargas Q1 y Q2 es de direccion igual alas lıneas que las une.
es directamente proporcional al producto de las cargas Q1Q2.
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entreellas (R).
La Fuerza esta dada por:
F =kpQ1Q2
R2 (N), donde kp = 14πǫ0
y ǫ0 = 8.85 × 10−12(F/m)
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Coulomb
F para n cargas puntuales
F = kpQ∑N
k=1Qk(r−rk)
|r−rk|3
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Intensidad de Campo Electrico (E)
Definicion de E
La intensidad del campo electrico es la fuerza por unidad de cargaen el campo electrico.
Estimacion de E
E = limQ→0
F
Qo simplemente E = F
Q(V /m)
E para n cargas puntuales
E = kp∑N
k=1Qk(r−rk)
|r−rk|3
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de coulomb e intensidad de campo electrico
Ejercicios
Dos cargas puntuales de 1mC y −2mC se localizan en (1,2,3)y (1,-2,4), respectivamente. Calcular la fuerza electrica sobreuna carga de 10 nC localizada en (0,7,2) y la intensidad decampo electrico en ese punto.
Dos cargas puntuales de igual masa m y carga Q, estansuspendidas en un punto comun por dos hilos de masadespreciable y longitud l. Demostrar que, en equilibrio, elangulo de inclinacion α de cada hilo respecto de la verticalesta dado por Q2 = 16πǫ0mgl2sen2αtanα, si α es ınfimo,
demuestre que α = 3
√
Q2
16πǫ0mgl2.
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
La intensidad de campo electrico debido a cada una de esas cargasesta dada por:
E =∫
ρldl4πǫ0R2ar, (carga de lınea).
E =∫
ρsds4πǫ0R2ar, (carga superficial).
E =∫
ρvdv4πǫ0R2ar, (carga volumetrica).
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
Carga de lınea
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
Carga superficial
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
Carga volumetrica
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
Ejercicios
1 Un anillo circular de radio a, porta una carga uniforme ρl(C/m) y esta situado en el plano xy con eje en el eje z.
Demostrar que E(0, 0, h) = ρlah
2ǫ0[h2+a2]32.
Que valores de h producen el valor maximo de E.Si la carga total en el anillo es Q, encontrar E cuando a → 0.
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Campos electricos debido a distribuciones de carga
continua
Ejercicios
2 Una lamina finita 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, en el plano z = 0
tiene una densidad de carga dada por ρs = xy(x2 + y2 + 25)32
(nC/m2) hallar:
La carga total en la lamina.El campo electrico en (0,0,5).La fuerza experimentada por una carga de −1mC localizadaen (0,0,5).
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Densidad de flujo electrico
D = ǫ0E ( Cm2 ).
Flujo electrico
ψ =∫
D · ds (C )
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Densidad de flujo electrico
Ejercicio
Determinar D en el punto (9,-1,0) en presencia de una cargapuntual de −5πmC en (4,0,0) y de una carga de lınea de 3πmC
ma
lo largo del eje Y.
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Gauss
Establece que el flujo electrico total ψ a traves de cualquiersuperficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esasuperficie.
Carga total
Q =∮
sD · ds =
∫
vρvdv
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Gauss∮
sD · ds =
∫
v∇ ·Ddv
Aplicando el teorema de la divergencia a la anterior ecuacion
ρv = ∇ ·D
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Gauss
La ley de Gauss aporta un medio simple para hallar E y D, enel caso de distribuciones de carga simetricas.
Una distribucion continua de carga posee simetrıa rectangularsi solo depende de x, o y, o z.
simetrıa cilındrica si solo depende de ρ y simetrıa esferica sisolo depende de r (Θ y φ son independientes).
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Ley de Gauss
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Distribuciones de carga y corrienteLey de Coulomb
Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Aplicaciones de la ley de Gauss
Carga puntual
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Aplicaciones de la ley de Gauss
Carga de lınea infinita
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Aplicaciones de la ley de Gauss
Lamina infinita de carga
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Aplicaciones de la ley de Gauss
Esfera con carga uniforme
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Aplicaciones de la ley de Gauss
Ejercicios
1 Puesto que D = zρcos2φazCm2 , calcular la densidad de carga
en (1, π4 , 3) y la carga total encerrada por el cilındro de radio1m con −2 ≤ z ≤ 2m.
2 Una distribucion de carga con simetrıa esferica posee la
densidad f (n) =
{
ρ0rR
si 0 ≤ r ≤ R
0 si r > R, determinar E en
cualquier punto.
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Desplazamiento de una carga puntual Q en un campoelectrostatico
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Trabajo realizado en el desplazamiento de la carga
dw = −F · d l = −QE · d lTrabajo total
W = −Q∫ B
AE · d l
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Diferencia de potencial
VAB = WQ
= −∫ B
AE · d l
Diferencia de potencial
1 Al determinar VAB , A es el punto inicial y B es el punto final.
2 Si VAB es negativo, hay perdida de energıa potencial en eldesplazamiento de Q.
3 Si VAB es positivo, hay ganancia de energıa potencial.
4 VAB es independiente de la trayectoria.
5 VAB se da en Joules por Coulomb, lo que es voltios (V).
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Potencial en cualquier punto
El potencial en cualquier punto es la diferencia de potencial entreese punto y un punto elegido como referencia en el que el potencialsea cero.
Potencial en cualquier punto
V = −∫ r
∞ E · d l
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Diferencia de potencial para una carga puntual en un punto r’
V (r) = Q4πǫ0|r−r ′|
Diferencia de potencial para n cargas puntuales
V (r) = 14πǫ0
n∑
k=1
Qk
|r − rk |
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Distribuciones continuas de carga
Carga lineal
V (r) = 14πǫ0
∫
l
ρl(r′)dl ′
|r − r ′|
Carga superficial
V (r) = 14πǫ0
∫
s
ρs(r′)ds ′
|r − r ′|
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Distribuciones continuas de carga
Carga volumetrica
V (r) = 14πǫ0
∫
v
ρv (r′)dv ′
|r − r ′|
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Potencial Electrico
Ejercicio
Una carga puntual de 1nC se localiza en (1,−2, 5) , mientras queen la lınea Y = 1,Z = 1 porta una carga uniforme de 7nc/m. SiV=0v en (0, 0, 0), halle V en A(7,0,2).
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Relacion entre E y V
VAB = −VBA∮
E · d l = 0Aplicando el teorema de Stokes
∮
E · d l =∫
∇× E · ds = 0
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Relacion entre E y V
Un campo electrostatico es conservativo
∇× E = 0La intensidad de campo electrico es el gradiente de V
E = −∇V
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Relacion entre E y V
Ejercicio
Dado el potencial V = 10r2senΘcosφ, hallar la densidad de flujo
electrico D en el punto (2, π2 , 0).
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Densidad de energıa en campos electrostaticos
WE = 12
∑nk=1 QkVk (Joules).
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Densidad de energıa en campos electrostaticos
WE = 12
∫
E ·Ddv = 12
∫
ǫ0(Joules).
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
En una interfaz entre
dielectrico y dielectrico.
conductor y dielectrico.
conductor y vacıo.
Para determinar las condiciones de frontera∮
E · d l = 0,∮
D · ds = Qenc , E = Et + En
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Dielectrico–Dielectrico
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Refraccion
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Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Conductor y Dielectrico
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Blindaje electrostatico
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Conductor y Vacıo
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Ejercicio
Dos dielectricos isotropicos extensos se encuentran en el planoz=0. Respecto de z ≥ 0, ǫr1 = 4 y respecto de z ≤ 0, ǫr2=3. Uncampo electrico uniforme E1 = 5ax − 2ay + 3az
kVm
existe paraz ≥ 0. Hallar E2 respecto de z ≤ 0 y los angulos que E1 y E2
forman con la interfaz.
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Condiciones en la frontera
Ejercicio
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Intensidad de Campo ElectricoCampos electricos debido a distribuciones de carga continua
Densidad de flujo electricoLey de Gauss
Bibliography
Sadiku, Matthew N.O. Elements of Electromagnetics. ThirdEdition. Oxford University Press. 2001.
Fawwas T. Ulaby, Fundamentos de Aplicaciones enElectromagntismo, Quinta edicion, Pearson, 2007.
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