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8/19/2019 Resumen Álgebra II 1er parcial (PDF) (2).pdf

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2015 Resumen Álgebra II 1er parcial

Tomas Kancyper/Ezequiel Tosi Página 1

Campo

o

Definición: un campo es un conjunto ≠ 0 donde se definen dos operaciones. Unallamada suma y otra llamada producto ∙. Verifican lo siguiente:

Para la suma:

1.

: → , ∀ , ∈ ∈ ley de composición interna

2. ∀ , ∈ , propiedad conmutativa3. ∀ ,, ∈ propiedad asociativa

4.

∃ Θ ∈ : ∀ ∈ , Θ Θ Θ →elemento neutro de lasuma

5.

∀ ∈ ∃ , ∈ : , , Θ , →inverso aditivo de , sedenota –

Para el producto:

1.

∙ : → , ∀ , ∈ . ∈ ley de composición interna2.

∀ , ∈ , . . propiedad conmutativa

3.

∀ ,, ∈ . . . . propiedad asociativa

4. ∃ 1 ∈ : ∀ ∈ , . 1 1. 1 →elemento neutro del producto5. ∀ ∈ Θ} ∃ ,, ∈ : . ,, ,,. 1 ,, →inverso multiplicativo

de , se denota − 6.

∀ ,, ∈ . . . propiedad distributiva delproducto respecto de la suma

o Notación: , , ∙

Matrices

o

Sean ∧ ∈ ℕ, se llama matriz de tipo (o de orden ) al arreglo rectangularde

filas y

columnas

o

Notación < >,

(

< > < > … < > … < >⋮ ⋮ ⋮ ⋮< > < > … < > … < >⋮ ⋮ ⋮ ⋮< > < > … < > … < >)∈

Otra notación para cada elemento de la matriz o Se indicara la matriz de forma abreviada de la siguiente manera:

, 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤

< >, 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤ o Matrices particulares

Matriz fila

Son matrices de tipo 1. También llamada vector fila < > < > … < > ∈


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Matriz columna

Son matrices de tipo 1. También llamada vector columna

< >< >⋮< > ∈

Matriz cuadrada

Son todas las matrices de orden

< > < >< > < >

Matriz diagonal

Toda matriz cuadrada de ∈ cuyos elementos fuera de ladiagonal son cero

3 0 00 8 00 0 < > 0 ⇔ ≠

Matriz escalar

Al igual que la matriz diagonal, todos los elementos fuera de esta son

ceros. Los elementos en la diagonal son todos iguales

4 0 00 4 00 0 4 < > {0 ≠ Matriz identidad

Es la matriz escalar que tiene todos los elementos de su diagonal igual a

0. Se la denota con

Ι

1 0 00 1 00 0 1 < > 1 ⇔

Matriz nula

Es la matriz de orden cuyos elementos son todos ceros. Se ladenota con

0 0 00 0 00 0 0

Matriz triangular superior

Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada que tiene nulostodos los elementos por debajo de su diagonal

4 2 60 2 80 0 7 < > 0 ⇔ >


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Matriz triangular inferior

Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada que tiene nulos

todos los elementos por encima de su diagonal

4 0 0

8 2 02 2 4 7 < > 0 ⇔ >

o

Igualdad de matrices

Sean , ∈ ⇔ { ∀ 1 ,2 , … , ∀ 1 ,2 , … , < > < >

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y los elementos

correspondientes iguales

o

Operaciones

Suma

Sean , ∈ Se define suma de y , que denotamos , a la matriz de tipo tal que: ∀ : 1 ≤ ≤ , ∀ : 1 ≤ ≤ < > < > < >

Propiedades (c/demo)

1.

∀ , ∈ conmutativa2.

∀ ,, ∈ asociativa3.

∃ Θ ∈

: ∀ ∈

Θ Θ

Θ →elemento neutro de la suma

4. ∀ ∈ ∃ ´ ∈ : ´ ´ Θ ´ →opuesto de

Producto de un escalar por una matriz

Sean ∈ , ∈

Se define el producto de por , que denotamos , a la matriz de tipo tal que: ∀ : 1 ≤ ≤ , ∀ : 1 ≤ ≤ < > < >


1. ∀ ∈ , ∀ , ∈ distributivarespecto a la suma de matrices2.

∀ ∈ , ∀ ∈ , ∀ ∈ . distributiva respecto a la suma de escalares

3.

∀ ∈ , ∀ ∈ , ∀ ∈ . . . . . . . .


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Observaciones

1.

∀ ∈ 0 . Θ 2.

∀ ∈ 1 . 3. ∀ ∈ 1 . 4.

∀ ∈ . Θ Θ , Θ ⇔ 0 ó Θ

Diferencia de matrices

Sean , ∈

o Producto de matrices

Sean ∈ , ∈ Se define el producto de y , que denotamos . , a la matriz de tipo tal

que: ∀ : 1 ≤ ≤ , ∀ : 1 ≤ ≤

< > < >

= . < >

No siempre se puede multiplicar una matriz con otra. Solamente cuando la

cantidad de columnas de la primera es igual a la cantidad de filas de la segunda

El producto no es conmutativo

Notación

: i-ésima fila de

: j-ésima columna de El elemento < > se obtiene multiplicando la i-ésima fila de por la j-

ésima columna de . Es decir:

Observaciones ∈ ∈ 1. ∈ es decir es un elemento de 2.

∈

3.

Θ ⇏ Θ ó Θ

1 3 44 2 5 7 41 08 1 . 9 13 81 3 412 26 37

Matriz resultante


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1.

∀ ∈ , ∀ ∈ , ∀ ∈ . . . . 2. ∀ ∈ , ∀ ∈ , ∀ ∈ . . . 3.

∀ ∈ , ∀ ∈ , ∀ ∈ . . . . 4.

∀ ∈ , Ι ∈ . Ι Ι →elemento neutro del

producto de matrices5.

Sean ∈ y ∈ si la i-ésima fila de es nula, entonces lai-ésima fila de . será nula

6.

Sean ∈ y ∈ si la j-ésima columna de es nula,entonces la j-ésima columna de . será nula

o

Matriz transpuesta

Sea ∈ Se llama matriz transpuesta de , que denotamos , a la matriz de tipo

definida por:

< > < > ∀: 1 ≤ ≤ , ∀: 1 ≤ ≤

Básicamente es intercambiar filas por columnas, ordenadamente

Propiedades (c/demo):

1.

∀ , ∈ 2.

∀ ∈ , ∀ ∈ 3. ∀ ∈ 4.

∀ ∈ , ∀ ∈ o

Matriz simétrica

Sea ∈ Una matriz es simétrica si y solo si , es decir si y solo si:

∀ , : 1 ≤ , ≤ < >< >

∀ , : 1 ≤ , ≤ < > < > En el caso de un matriz Ι , los elementos ubicados simétricamente respectode la diagonal son iguales, todos los elementos de la diagonal se mantienen

iguales. Es decir , , o Matriz anti simétrica

Sea ∈ Una matriz es anti simétrica si y solo si , es decir si y solo si:∀ , : 1 ≤ , ≤ < >

∀ , : 1 ≤ , ≤ < >

<

>

∀ , : 1 ≤ , ≤ < > < >

En el caso de un matriz Ι , los elementos ubicados simétricamente respectode la diagonal son iguales con signo opuesto, todos los elementos de la diagonalson nulos. Es decir , ,


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o

Operaciones elementales de filas

Sea ∈ Llamaremos operaciones elementales de filas de ∈ a cada una de las

siguientes:

1.

Multiplicar una fila de por un escalar

∈ , ≠ 0. Denotamos

, ≠ 0 al producto de la i-ésima fila de por 2. Intercambiar dos filas de . Denotamos con al intercambio de lai-ésima fila por la j-ésima fila de

3.

Sumar a una fila otra multiplicada por una constante ∈ . Denotamos , a sumar a la i-ésima fila de , la j-ésima fila multiplicada por . Observación: una operación elemental de filas es una función , que asocia a

cada matriz ∈ una matriz ∈ : → → Donde , ≠ 0 , ≠

Teorema 1 (c/demo): para cada función : → , existe : → , del mismo tipo que , tal que ∘ ∘ Matriz elemental

Sea ∈

Es elemental si es que se obtiene a partir de la matriz identidad por medio de una sola operación elemental de fila y se denota

Teorema 2 (c/demo): toda operación elemental de fila aplicada a una

matriz

∈ se puede obtener pre multiplicando

por una matriz

elemental de tipo obtenida aplicándole la misma operación elemental defila Matrices equivalentes por fila

Sean , ∈

La matriz es equivalente por fila a ,denotamos ∼ , si y solo si se obtiene de mediante un número finito de operaciones elementalesde fila

Teorema 3 (c/demo): sean las matrices , ∈ , ∼ si y solo si

∃ ∈ producto de una cantidad finita de matrices elementales tal que

. Teorema 4: la equivalencia por fila es una relación de equivalencia. Es decir esuna relación que tiene las siguiente propiedades (sean , , ∈ :1. ∼ (reflexiva)2.

∼ ⇒ ∼ (simétrica)3.

∼ ∧ ∼ ⇒ ∼ (transitiva)


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Matriz escalón reducida por fila:

Sea ∈

es escalón reducida por fila si cumple con las siguientes condiciones:

1.

El primer elemento no nulo de cada fila no nula es 12. Cada columna de que contenga el primer elemento no nulo

de alguna fila, tiene el resto de los elementos nulos. Esta

columna es una matriz columna de orden 1 y se llama vectorcolumna canónico

3.

Las filas nulas están por debajo de las filas no nulas

4. Los vectores columnas canónicas de están ordenados

Observaciones:

1.

Se deduce de la definición que si hay una columna delante del

primer vector columna canónico, esa columna es nula

Teorema 5 (c/demo): toda matriz ∈ es equivalente por fila a una únicaescalón reducida por fila, que la denotaremos Teorema 6: la forma escalón reducida por fila de la matriz ∈ es única Rango fila de una matriz:

Sea ∈ Se llama rango fila de , denotamos , al número de filas no

nulas en forma escalón reducida por fila o equivalente a la cantidad de

vectores columna canónicos distintos

Teorema 7 (c/demo): sean , ∈ si ∼ ⇒ Rango de una matriz: se llama rango de la matriz

∈ , denotamos

, al rango fila de o al rango columna de ∀ ∈

Observación: (sea ∈ ) ≤ ≤ Por lo tanto:

≤,

} o Matriz inversible

Definición: Sea ∈ ⇔ ∃ ∈ : . . Ι La matriz se denomina inversa de

Teorema 1 (unicidad) (c/demo): si ∈ es inversible entonces su inversaes única y se denota −


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Propiedades de las matrices inversibles (c/demo):

∈ , A es inversible entonces su inversa es inversible y

−

−

∈ , ∈ inversibles entonces es inversible y− −. − ∈ , A inversible entonces su transpuesta también es inversible y− − ∀ ∈ 0}. ∈ , es inversible entonces es inversible y− −

Teorema 2 (c/demo): si la matriz ∈ tiene una fila o una columna nulaentonces es no inversible ( es singular)

Teorema 3: sea ∈

∃ ∈ : . Ι ⇒ . Ι

∃ ∈ : . Ι ⇒ . Ι Teorema 4 (c/demo): toda matriz elemental es inversible y su inversa es una

matriz elemental

Teorema 5 (c/demo): sea ∈ , las siguientes afirmaciones sonequivalentes

es inversible

es equivalente por fila a la identidad

es producto de matrices elementales Teorema 6 (c/demo): sea

∈ ,

inversible.

− se obtiene aplicando a la

matriz identidad las mismas operaciones elementales de fila que se aplican a

para obtener la identidad

Regla práctica: Ι . . Ι . . . . Ι ... ... … . . … . . Ι Ι −

Sistema de ecuaciones lineales

o

Definición: llamaremos ecuación lineal en variables a toda expresión del tipo:. . ⋯ . Donde: : pertenecen a , son constantes y las denominaremos coeficientes: es una constante, pertenece a y la denominaremos término independiente,, , … , son las incógnitas en la ecuación


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o Definición: sean ∈ , ∈ . Llamaremos sistema de ecuaciones linealescon incógnitas a la ecuación matricial . donde ⋮ ∈ y , … , son incógnitas.

: matriz del sistema o de los coeficientes.

: matriz o vector de

términos independientes

. ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋮ Aplicando el producto de matrices

. . ⋯ . . . ⋯ . …

.

.

⋯

.

Esta es otra forma de escribir el sistema

. y se llama forma escalar

Denotamos | a la matriz perteneciente + de la forma | ⋯ | ⋯ | ⋮ ⋮ ⋮ | ⋮ ⋯ | Y la llamaremos matriz ampliada asociada al sistema .

Si Θ el sistema . se llama sistema homogéneoSi

Θ el sistema

. se llama sistema no homogéneo

o

Definición de solución de sistema: sean ∈ , ∈ ∈ es solución del sistema . si y sólo si verifica la ecuación

o

Definición conjunto solución: sean ∈ , ∈ Llamaremos conjunto solución del sistema . al siguiente conjunto ∈ /. }

o Definición compatibilidad del sistema: sean ∈ , ∈ Diremos

El sistema es compatible si y sólo si el conjunto solución de . esdistinto del vacío (es decir que

∃ ∈ que verifica la ecuación)

El sistema es incompatible si y sólo si el conjunto solución de . es vacío (es decir que ∀ ∈ . ≠


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o Equivalencia de sistemas: sean ∈ , ∈ , ∈ , ∈ diremosque los sistemas . y . son equivalentes si y sólo si tienen el mismoconjunto solución

Observaciones:

El sistema

. tiene

ecuaciones mientras que el sistema

. tiene ecuaciones. Coinciden en el número de incógnitas Un conjunto es igual a otro conjunto si y sólo si: ⊂ ∧ ⊂

Un conjunto está contenido en otro conjunto si y sólo si:∀ : ∈ ⟹ ∈ Teorema (c/demo): sean . y . dos sistemas tal que , ∈ , y , ∈ , si |∼ | entonces los sistemas . y . son equivalentes

o

Existencia de soluciones: sean

∈ ,

∈ , la compatibilidad del sistema

. puede presentar tres casos: Dado el caso de una ecuación lineal con una

incógnita . 1 1.

Si ≠ 0 , ∃ − ∧ −. por lo tanto la ecuación tiene solución única −. } 2. Si 0 ∧ 0 , 0 . 0 ∀ ∈ por lo tanto todo ∈ es solución, es

decir, la ecuación tiene infinitas soluciones 3. Si 0 ∧ ≠ 0 , 0 . es un absurdo, no existe solución Θ

o Teorema Rouché-Frobenius: dadas ∈ , ∈ 1.

El sistema

. es incompatible (sin solución) si y sólo si el rango de la

matriz sin ampliar es distinto del rango de la matriz ampliada, es decir

≠| 2. El sistema . es compatible (tiene solución) si y sólo si el rango de lamatriz sin ampliar es igual al rango de la matriz ampliada, es decir |

i.

El sistema . es compatible determinado (tiene una únicasolución) si y sólo si el rango de la matriz sin ampliar es igual al rango de

la matriz ampliada y además es igual al número de incógnitas , esdecir |

ii.

El sistema

. es compatible indeterminado (tiene infinitas

soluciones) si y sólo si el rango de la matriz sin ampliar es igual al rango

de la matriz ampliada pero menor al número de incógnitas , es decir |


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Determinante

o

Definición: determinante de orden es toda función : → que verifica lossiguientes axiomas:

1.

Si … … , ∀: 1 ≤ ≤ entonces … … … …

2.

Si … … ′ ∀: 1 ≤ ≤ , ∈ entonces … … 3. Sea … … … con 1 ≤ ℎ , ≤ si ℎ ≠ entonces 0

o

Notación: se denota | | o Sea ∈ , > 1 se denota ⁄ con 1 ≤ , ≤ a la matriz de un orden menos

que , es decir una matriz 11, que se obtiene de eliminando la i-ésimafila y la j-ésima columna

o Desarrollo del determinante por una fila: en general la función:

: → tal que ∑ 1+= . .1 ⁄ con ∈ es una función determinante y se llama: desarrollo del determinante por la fila uno de lamatriz . También se puede desarrollar por cualquier otra fila y el valor deldeterminante no cambiará, es único. Si por ejemplo se toma la i-ésima fila con1 ≤ ≤ , se tendrá:

1+= . . ⁄ , Por ejemplo:

3 0 72 4 00 1 1 Si se desarrolla el determinante de esta matriz por la primera fila,

1+. 3. 4 01 1 1+. 0. 2 00 1 1+. 7. 2 40 1 Se va desarrollando cada matriz 2 2, restando el producto de los elementos de la diagonal menos losde la anti diagonal

1+. 3. [4.1 0.1] 1+. 0. 2 00 1 1+. 7. 2 40 1 1+. 3.4 1+. 0. [2.1 0.0] 1+. 7. 2 40 1 1+. 3. 4 1+. 0. 2 1+. 7. 2 40 1


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1+. 3. 4 1+. 0. 2 1+. 7. [2.1 4.0] 1+. 3. 4 1+. 0. 2 1+. 7. 2

1.

3

.4

1.

0

.2

1.

7

.2

1 2 0 1 4 2

o

Definición de cofactor: dada la matriz ∈ se llamará cofactor delelemento , denotado , al número 1+ . ⁄ ∈ 1 ≤ , ≤ A partir de esta definición se puede escribir el desarrollo del determinante: → de la siguiente manera:

1+

= . o Teorema unicidad: la función determinante es únicao

Propiedades de las determinantes (c/demo):

1.

Si se permutan dos columnas de una matriz, sus correspondientes son opuestos

Sean … … … y … … … entonces 2.

Si una columna de una matriz es nula su determinante es cero

Si … … ∈ : Θ 1 ≤ ≤ 3.

El determinante de una matriz no varía si a una columna se le suma el producto

de una constante por otra columnao Teorema:

1.

∀ ∈ 2.

∀ , ∈ . . o Observaciones:

1.

Si se permutan dos filas de una matriz, sus correspondientes determinantes son

opuestos

2.

Si una fila de una matriz es el vector nulo, su determinante es cero

3.

El determinante de una matriz no varía si a una fila se le suma otra multiplicada

por una constante

o

Teorema (c/demo): sea ∈ . La suma de los productos de los elementos de unafila o columna de por los cofactores de los elementos correspondientes a otra fila ocolumna es cero


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o

Matriz adjunta: sea ∈ Llamaremos matriz adjunta de , se denotará , a la transpuesta de la

matriz que se obtiene reemplazando cada elemento de por su cofactor

< > ∈

< > ∈ ∶ ∀, : 1 ≤ , ≤ Propiedad de la adjunta (c/demo): ∀ ∈ . . . Ι

Teorema (c/demo): sea ∈ es inversible ⇔ ≠ 0 . Ι . 1

Observaciones:

1.

≠ 0 −

2. ≠0 − − .

Éxitos.

La suerte es para mediocres.

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