resolucion de problemas
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ISABEL INCA MALDONADO
Psicóloga
Lic. Educación. Especialidad Matemática
LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS EN LA EDUCACIÓN
PRIMARIA. METODOLOGÍA Y
RECURSOS LÚDICOS
“….resolver un problema es encontrar un camino allí donde
no había previamente camino alguno, es encontrar la forma
de salir de una dificultad donde otros no pueden salir, es
encontrar la forma de sortear obstáculo, conseguir un fin
deseado que no es alcanzable en forma inmediata, si no es
utilizando los medios adecuados…”(G. Polya en Krulik y
Reys, 1980, p. 1).
Se presupone claramente que hay que hacer
Supone un reto
La finalidad es la aplicación mecánica de los algoritmos
La finalidad es ahondar en los conocimientos previos y el razonamiento para llegar a una solución.
Se resuelven en un tiempo relativamente corto
Requieren más tiempo para su resolución
No se establecen lazos especiales entre el ejercicio y la persona que lo resuelve.
La persona que se implica en la resoluciónlo hace emocionalmente.
Generalmente tienen una sola solución.
Pueden tener una o más soluciones y lasvías para llegar a ellas pueden ser variadas.
Son muy numerosos en los libros de texto.
Suelen ser escasos en los libros de texto.
DIFERENCIA ENTRE EJERCICIO Y PROBLEMAS
Kantowski (1977) afirma; “Un individuo está ante un
problema, cuando se enfrenta con una cuestión a la
que no puede dar respuesta o con una situación que
no sabe resolver, utilizando los conocimientos
inmediatamente disponibles.
La resolución de problemas se trata de un proceso
de cierta complejidad que requiere de un
tratamiento específico y en el que no sólo
interviene el desarrollo lógico del niño, sino
también el semántico, representacional y
metacognitivo. (Miranda y Gil - Lario 2001)
TIPOS DE PROBLEMAS A TRABAJAR EN EDUCACIÓN PRIMARIA
1. Problemas aritméticos - de cambio - de combinación - de comparación - de igualación
- de repartos equitativos - de factor N - de razón
2.Problemas geométricos
3.Problemas de razonamiento lógico
4.Problemas de recuento sistemático
5.Problemas de razonamiento inductivo
6.Problemas de azar y probabilidad- de producto cartesiano
Aditivos y sustractivos
De multiplicación-división.
Una cantidad inicial es sometida a una acción que la modifica.
Se subdividen en tres clases según la naturaleza de
los desconocido (resultado, cambio, principio), las
cuales, a su vez, contienen dos tipos de problemas.
En los problemas de cambio se puede preguntar
por la cantidad resultante de la transformación o
cambio, el cambio, o por la cantidad inicial.
Cada una de éstas posibilidades se puede enfocar
desde dos puntos de vista: la cantidad crece o
decrece.
Se parte de una cantidad inicial a la que se hace
crecer.
Se pregunta por la cantidad final resultante.
Es un problema de adición.
“Luís tiene dos caramelos. Rosa le da tres
caramelos más . ¿Cuántos caramelos tiene
ahora Luís?” + ?
Se parte de una cantidad inicialcantidad inicial a la que se le
resta otra cantidad.
Se pregunta por la cantidad final resultante:
“Luís tiene cinco caramelos . Luego él le dá tres
caramelos a María. ¿Cuántos caramelos tiene
Luís ahora?
Se parte de una cantidad inicial y, por una
transformación, se llega a una cantidad final
conocida y mayor que la inicial.
Se pregunta por la transformación, es un problema
donde interviene la resta.
Alberto tiene 14 bolitas. Después de jugar ha
reunido 18. ¿Cuántas ha ganado?
Se parte de una cantidad inicial y, por una
trasformación se llega a una cantidad final conocida
y menor que la inicial.
Se pregunta por la transformación, y también
interviene la resta.
“Alberto tiene 14 bolitas. Después de jugar le
quedan sólo 8 . ¿Cuántas ha perdido?
Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo
que ésta ha aumentado y la cantidad resultante.
Es un problema de resta.
“Jugando he ganado 7 canicas, y ahora tengo 11.
¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar.?
Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo
que ésta ha disminuido y la cantidad resultante.
Es un problema donde se aplica la suma.
“Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4.
¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?”
La categoría de igualación reúne los problemas que
contienen dos cantidades diferentes, y se actúa en
una de ellas aumentándola o disminuyéndola hasta
conseguir hacerla igual a otra.
Algunas veces se confunde ésta categoría con la de
comparación, sin embargo mientras se compara no
se añades ni se quita nada, en cambio cuando se
iguala necesariamente se añade o se quita algo.
Cuenta con seis tipos de problemas:
Tres derivados de si se pregunta por la cantidad
a igualar, la referente a la igualación y que
adquieren dos formas según la igualación sea
de añadir, o bien disminuir o quitar.
Plantea la situación en que se conocen las
cantidades a igualar y la referente, y se pregunta
cuánto hay que añadir (igualación) a la cantidad a
igualar para alcanzar la referente.
Es un problema en el cual se aplica la resta.
“María tiene 8 figuritas. Marta tiene 5 figuritas.
¿Cuántas figuritas le t tienen que dar a Marta para
que tenga las mismas que María?”
Plantea la situación en que se conocen las cantidades
a igualar y la referente, y se pregunta cuánto hay que
sustraer la cantidad a igualar para alcanzar la
referente.
Es un problema en el que también interviene la resta.
“María tiene 8 figuritas. Marta tiene 5 figuritas.
¿Cuántas figuritas tiene que perder María para tener
las mismas que Marta?.
En este tipo de problema se conoce la cantidad
referente y la cantidad a igualar, que es la que se
desconoce.
Es un problema de nivel más complejo en el que se
aplica la resta.
“Juan tiene 17 caramelos. Si Rebeca gana 6
caramelos, tendrá los mismos que Juan.¿ Cuántos
caramelos tiene Rebeca?.
Plantea la situación en la que se conoce la
cantidad referente y la igualación (sumando o
sustraendo) que debe de sufrir la cantidad a
igualar, que es la que se desconoce.
Es un problema en donde se aplica la suma.
“Juana tiene 17 caramelos. Si Rebeca perdiera 6
caramelos, tendría los mismos que Juana.
¿Cuántos caramelos tiene Rebeca?.
Plantea la situación en la que se conoce la cantidad
a igualar y la igualación, debiendo averiguar la
cantidad que sirve de referente.
Es un problema en el que se aplica la suma.
“Marco tiene 8 soles. Si le dieran 5 soles más, tendría
lo mismo que Rafael. ¿Cuánto dinero tiene Rafael ?”
En este tipo de problema se conoce la cantidad a
igualar y la igualación, y se debe averiguar la
cantidad que sirve de referente. Es un problema de
sustracción.
“Marco tiene 8 soles. Si perdiera 5 soles tendría los
mismos que Rafael. ¿Cuánto dinero tiene Rafael?”
Se describe una relación entre conjuntos que
responde al esquema parte –-todo
La pregunta del problema puedes ser acerca del
todo resultante de reunir las dos partes, o por una u
otra de las partes conociendo la restante y el todo.
Ello origina dos tipos de problemas:
Es el clásico problema en que las dos partes se
reúnen para formar un todo.
“Luís tiene 12 chocolates rellenos y 5 normales.
¿Cuántos chocolates tiene Luís en total ?
Es un tipo de problema inverso al anterior,
ya que se conoce el todo y una de las partes y
se pregunta por la otra.
Es un problema el que se aplica la resta.
“Luís tiene 12 chocolates contando los
rellenos y los normales. Si tiene 12 rellenos.
¿Cuántos chocolates normales tiene Luís.?”
Se presenta una relación de comparación entre
dos cantidades.
De las dos cantidades, una es la comparada y la
otra es la que sirve de referente.
En los problemas de comparación se puede
preguntar por:
La diferencia si se conocen las dos cantidades.
La cantidad comparada conociendo el referente
y la diferencia.
La cantidad referente, conociendo la comparada
y la diferencia
De aquí se desprenden seis tipos de problemas.
En este problema se expresan las dos cantidades
y se pregunta por la diferencia y en el sentido del
que tiene más.
Es un problema en el que se aplica la resta.
“Marco tiene 8 canicas. Julio tiene 5 canicas.
¿Cuántas canicas más que Julio tiene Marco?”
Aquí se conocen las dos cantidades y se pregunta
por la diferencia y en el sentido del que tiene
menos.
Es un problema de sustracción.
“Marco tiene 8 canicas. Raquel tiene 5 canicas.
¿Cuántas canicas menos que Marco tiene Raquel ?”
En esta situación se desea averiguar la cantidad
comparada conociendo la referente y la diferencia
en más de ésta.
Es un problema de adición.
“Juan tiene 8 soles. José tiene 5 soles más que él.
¿Cuánto dinero tiene José?”
Situación en la que se busca averiguar la cantidad
comparada conociendo la referente y la diferencia
de ésta.
Es un problema en el que se aplica la sustracción.
“Juan tiene 8 soles. José tiene 5 soles menos que
él. ¿Cuánto dinero tiene José?”
En este tipo de problema se quiere averiguar la
cantidad referente conociendo la comparada y la
diferencia en más de ésta.
Se aplica la resta.
“Rosa tiene 17 soles, y tiene 5 soles más que
Carlos. ¿Cuánto dinero tiene Carlos?”
Se desea averiguar la cantidad referente
conociendo la comparada y la diferencia en
menos de ésta.
En este tipo de problema se aplica la suma.
“Rosa tiene 17 soles, y tiene 5 soles menos
que Carlos. ¿Cuánto dinero tiene Carlos?
El método heurístico son estrategias generales de
resolución y reglas de decisión utilizadas por los
solucionadores de problemas, basadas en la
experiencia previa con problemas similares. Estas
estrategias indican las vías o posibles enfoques a
seguir para alcanzar una solución.
EL MÉTODO HEURÍSTICO
ENTENDER EL PROBLEMA
HACER UN PLAN
LLEVAR A CABO EL PLAN
ANALIZA LA SOLUCIÓN
MÉTODO DE POLYA
Estrategias en la solución de problemas.
Pasos Pasos PreguntasPreguntas EstrategiasEstrategias
1. ENTENDER ¿¿Con qué datos Con qué datos
cuento?cuento?
¿Qué debo ¿Qué debo
hallar?hallar?
ParafraseoParafraseo
Auto-interrogaciónAuto-interrogación
Repregunta.Repregunta.
PasosPasos PreguntasPreguntas EstrategiasEstrategias
2. HACER UN PLAN
¿¿Cómo puedo Cómo puedo
resolver el resolver el
problema?problema?
¿Qué enunciado ¿Qué enunciado
numérico debo numérico debo
escribir?escribir?
•Hacer un dibujoHacer un dibujo
•Representar el Representar el
problemaproblema
•Trabajar de atrás Trabajar de atrás
hacia delantehacia delante
•Tantear y cotejarTantear y cotejar
•Escribir un enunciado Escribir un enunciado
numérico.numérico.
•Hacer una tabla , Hacer una tabla ,
diagrama o gráfico.diagrama o gráfico.
Pasos Pasos PreguntasPreguntas EstrategiasEstrategias
3. EJECUCIÓN DEL PLAN
¿Qué método ¿Qué método
elegiré para elegiré para
resolver el resolver el
problemaproblema
¿Por qué creo ¿Por qué creo
que es el mejor que es el mejor
método?método?
•Lápiz y papelLápiz y papel
•Cálculo mental.Cálculo mental.
•CalculadoraCalculadora
•Objetos Objetos
concretos.concretos.
Pasos Pasos PreguntasPreguntas Estrategias.Estrategias.
4. ANALIZA LA
SITUACIÓN
¿Cómo puedo
comprobar mi
respuesta?
Contesta mi
pregunta la
solución?
•Auto interrogación
•Operación contraria
•Verificar a través de
una estrategia
alternativa a la
usada.
Vanesa, la granjera, tiene arcones de alimentaciónpara sus pollos. Con 1 arcón ella puede alimentar 4 pollos.Si une 2 arcones, Vanesa puede alimentar 6 pollos.Vanesa tiene 12 arcones unidos en fila. ¿Cuántos pollos puede alimentar?
Comida para pollosComida para pollos
Número Número de de arconesarcones
11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212
Número Número de de pollospollos
44 66 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
LOS JUEGOS Y LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
1. Un intento de definición
“ “Juego es una acción u ocupación voluntaria
que se desarrolla dentro de límites
temporales y espaciales determinados,
según reglas absolutamente obligatorias
aunque libremente aceptadas, acción que
tiene fin en sí misma y esta acompañada de
un sentimiento de tensión y alegría”·
Huizinga
2. Relación entre Juego y Matemáticas:Relación entre Juego y Matemáticas:
La conexión de los juegos con las matemáticas es
múltiple y se refiere tanto al aprendizaje de
conceptos, como de técnicas y de estrategias, y se
relaciona de manera directa con la resolución de
problemas.
3. Clasificación de los Juegos:
3.1.Juegos de conocimiento: Sirven para afianzar de una
manera más lúdica los conceptos y/o algoritmo a tratar en un
tema matemático. Además de favorecer el aprendizaje de
conocimientos específicos, favorecen el desarrollo de la
atención y otras habilidades cognitivas básicas. Se dividen
en :
Juegos numéricos
Juegos de Geometría
Juegos de Probabilidad
3.23.2. . Juegos de EstrategiasJuegos de Estrategias::
Los juegos de estrategias permiten poner en Los juegos de estrategias permiten poner en
marcha procedimientos típicos para la resolución marcha procedimientos típicos para la resolución
de problemas y del pensamiento matemático de de problemas y del pensamiento matemático de
alto nivel. alto nivel.
Ejemplo: Juego del NimEjemplo: Juego del Nim
3.2.1. Ventajas de los juegos de estrategia.
1.- Son actividades aceptadas con facilidad.
2.- Son actividades atractivas.
3.- Existe un control externo de la corrección de la solución.
3.2.2.Abordaje a un juego de estrategias:
Se distinguen cuatro fases típicas:
Comprensión del juego o familiarización, en la que hay
una exploración inicial.
Elaboración de un plan para ganar; a saber resolver
parcialidades, relacionar con otros juegos, estudiar
jugadas.
Poner a prueba las estrategias.
Comprobar si la estrategia es general, reflexionar sobre
el proceso.
En este juego los dados son de dos colores, y las
reglas para usarlos son:
Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba
son del mismo color, tendrás que sumar los dos
números que hayan quedado. El número de
casillas que avanzarás será el resultado de la
suma.
Si al tirar los dados, las caras que quedan arriba
son de distinto color, tendrás que restar los dos
números, siempre el mayor menos el menor. El
número de casillas que avanzarás será el
resultado de la resta.
JUEGOS DE ESTRATEGIAJUEGOS DE ESTRATEGIANIM
Objetivo :
Analizar el juego para buscar y encontrar una
estrategia ganadora.
Materiales:
10 fichas.
Reglas y procedimientos:
a. Colocar las fichas en una fila.
b. Cada jugador, juega alternativamente.
c. Cada uno de los jugadores puede retirar en su
turno 1 o 2 fichas según quiera.
d. Pierde el jugador que se lleve la última ficha, o
gana el que fuerza al otro jugador a coger la última
ficha.
MANCALA
Objetivo :
Inferir y anticipar jugadas.
Analizar estrategias de solución.
Materiales:
12 vasijas
48 fichas.
TALLER DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.OBJETIVOS
Identificar en la vida cotidiana y en su entorno próximo problemas que
hacen referencia a situaciones aritméticas aditivo-sustractivas.
Aplicar técnicas o estrategias heurísticas como la lectura analítica,
separación de datos e incógnitas, realización de gráficos… que
faciliten la resolución de problemas.
Aplicar las cuatro fases del método a la resolución de problemas.
Resolver problemas sencillos de otras tipologías: razonamiento lógico,
azar ( a través de juegos, preguntas etc.)…
2. METODOLOGÍA
En primer grado, sobre todo al comienzo, se trabajará de manera
intensiva a nivel oral y en grupo.
Las sesiones no deben ser muy largas, menos de treinta minutos.
Poco a poco se irá dando entrada a la lectura y la escritura.
3. ACTIVIDADES
Desarrollar la capacidad lógica, la expresión oral a través de giros
lingüísticos de formas alternativas a una relación numérica,
situacional o cualitativa
3. ACTIVIDADES
desarrollar la capacidad lógica, la expresión oral a través de giros
lingüísticos de formas alternativas a una relación numérica,
situacional o cualitativa dad.
1.DECIR LO MISMO PERO DE OTRA FORMA
4. PROCESOS HEURÍSTICOS:
a. Comprensión de situaciones planteadas en un problema.
-Decir lo mismo pero de otra forma.
- Contar la historia dando marcha atrás.
-Separar datos e incógnitas.
Decir lo mismo pero de otra forma.
La niña se llama Brisa y el niño Juan
1. Juan es más bajo que Brisa.
Brisa es………………………………………………….………………
2. Juan coge de la mano a Brisa.
Brisa…………………………………………………………………….…
3.Brisa está a la derecha de Juan.
Juan……………………………………………………………..…….…
4. Brisa tiene dos años más que Juan.
Juan tiene..........................................................................................
5. Juan pesa menos que Brisa
Brisa.................................................................................................
.Contar la historia dando marcha atrás
1. Rosa se levantó de la silla. Se puso el abrigo y salió al jardín.
Rosa..............................................................................................
......................................................................................................
2. La niña ingresó al aula. Se sentó en la silla y sacó su libro. La niña ………………………………………………………………
………………………………………………………………………….. c. Separar datos e incógnitas
En el parque había 5 niños y 7 niñas. Tres niñas se fueron a casa.
PREGUNTAS ¿.....................................................................................................? ¿.....................................................................................................?
..
PREGUNTAS ¿Me quedan más de cuatro canicas en el bolsillo?
PREGUNTAS:
¿Puedo calcular las bolitas que he ganado en el recreo?
¿Si cuento las bolitas que tengo en el bolsillo, puedo saber las
bolitas que he ganado?
DATOS
Ayer tenía nueve bolitas en el bolsillo. Hoy en el recreo he
ganado algunas bolitas y después de camino a casa se me han
perdido 3
Inventar problemas. Relacionar datos y preguntas.
Contarse un problema ¿qué sé? ¿Qué me
preguntan?
2. Realizar esquemas gráficos a partir de los datos del problema.
Ejemplo:
Carlos tenía 3 caramelos, su mamá le regala 4. ¿Cuántos
tiene ahora?
34
7
2. Si al ingresar al cine tenía 8 caramelos, y luego
me comí 4 de ellos. ¿Cuántos me quedan?
8
4
. Completar el esquema para visualizar globalmente los datos y la pregunta del problema.
¿Cuántos caramelos tenía si me comí 4 de ellos y aún me quedan 5?
Cuál de los esquemas está mal en cada caso?¿Porqué?
Ejemplo:
En un auto para 5 personas , viajan 3. ¿Cuántos asientos
quedan libres?
5 ?
? 35 3
Fijarse en el esquema y completar los datos que
faltan en el enunciado del problema.Ejemplo:
A Elena le faltan por hacer 4 sumas de la tarea. ¿Cuántas
operaciones tenía que hacer hoy Elena de tarea?
6
4
?
Estrategia general para resolver problemas. Iniciación,
Interiorización y ejercitación.
1. Leo despacio el problema
2.Relacionar lo que sé con lo que quiero calcular...
Me cuento el problema
Lo que sé….Lo que quiero
Hago un esquema sobre la recta numérica....
Relaciono en el esquema los datos y la pregunta del problema...
3.- Planteo la operación que resuelve el problema
4. Compruebo la respuesta
Escribo la operación a realizar
Hallo el resultado de la operación
Escribo la respuesta a La pregunta del problema
La solución como un dato más al texto el problema
Leo la historia que resulta. Todo encaja?
EJEMPLO:
Ana tiene 15 años. Su hermano Carlos tiene 4 años menos. ¿Cuántos años tiene Carlos
•.Leo el problema dos o tres veces. Cierro los ojos y me lo cuento. Datos... Pregunta...•Esquema
•Operación: ? = .........................= ...........Solución: ................................................................……………….•Comprobación. Me cuento la historia que resulta. ¿Todo encaja?
He entrado a una tienda de juguetes con 95 soles. He comprado algunos juguetes y al salir tenía 34 soles. ¿Cuánto dinero he gastado?
Leo el texto del problema dos o tres veces. Cierro los ojos. Me lo
cuento. ¿Qué sé? ¿Qué me preguntan?
Relaciono los datos y la pregunta. Hago un esquema.
Planteo la operación y escribo la solución.
Solución:..................................................………..
Compruebo. Llevo la solución al texto del problema. Leo la
historia que resulta. ¿Todo
Mirella ha hecho la operación : ? = 12 + 9 para resolver un
problema que habla de una bolsa de caramelos.
Escribe el problema que puede estar resolviendo Maite.
.............................................................................................................
.
Composición de texto matemático
1.Objetivos:
Potenciar el desarrollo de las capacidades que favorecen la
comprensión lectora tanto del enunciado del problema
como de la situación planteada en él.
Aplicar el plan general de resolución en el caso de los
problemas aritméticos de un solo paso (aditivo-sustractivos
y multiplicativos.)
Aplicar técnicas heurísticas que favorezcan el proceso:
lectura analítica, organización de la información,
reformulación, elaboración de esquemas, determinación de
problemas.
2. Metodología :
Durante cinco o diez minutos leen bien la ficha de trabajo.
El profesor/a marcará los ritmos en las distintas fases. de la
sesión. De preferencia se trabajará en parejas. Además,
se prestará atención a las dificultades que puedan surgir .
3. Procesos heurísticos: Estrategias, que favorecen la lectura analítica.
Decir lo mismo pero de otra forma.
Deducir qué se puede calcular a partir de unos datos
conocidos.
Dados ciertos datos y operaciones realizadas con ellos,
determinar qué quiere calcularse.
A partir de una situación propuesta y un esquema sagital
o rectangular, inventarse el enunciado de un problema.
La representación de esquemas gráficos.
Búsqueda de problemas intermedios a partir del análisis
conjunto de los datos que nos dan y lo que nos piden
calcular.
La técnica de tanteo inteligente, es usada para tratar de
sistematizar la búsqueda de soluciones en los problemas
de recuento sistemático.
1.Problemas de reparto equitativo
Tengo 12 caramelos para repartir a mis cuatro
amigos. ¿Cuántos caramelos recibirá cada amigo?
12 4
Cantidad a repartirNúmero
de grupos
Número de elementos en cada grupo
b) Problemas de factor “N”
A Miriam le gusta coleccionar muñecas. Ella tiene 8
muñecas, y su prima tiene el doble. ¿Cuántas muñecas
tiene su prima?
1.- Leo despacio el problema dos o tres veces...Después... Cierro los ojos y me cuento el problema... Sé............................................................................ Quiero calcular...........................................
2.- Trato de relacionar lo que sé con lo que quiero calcular... Hago un esquema rectangular Relaciono en el esquema los datos y la pregunta del Problema...
3.- Planteo la operación que resuelve el problema.
3.- Planteo la operación que resuelve el problema.
El esquema indica cuál es esa operación.
Escribo la operación a realizar...
Hallo el resultado de la operación...
Escribo la respuesta a la pregunta del problema...
4.- Compruebo la respuesta obtenida...
Llevo la solución, como un dato más, al texto del
Problema... Ya no hay pregunta...
Leo la historia que resulta.
Ejemplo:
La mamá de Ana tiene 36 años. Tiene el cuádruple de años que Ana. ¿Cuántos años tiene Ana?
1. Leemos el problema. ¿Qué sé? ... ¿Qué me preguntan?..
2. Hacemos un esquema...3. Operaciones SOLUCIÓN:
…………………………………………………………………….
4. Comprobamos la solución. Leemos la historia que resulta
Rita está resolviendo un problema sobre el regalo de
cumpleaños de una amiga y ha hecho el siguiente
esquema:
Escribe tú cuál podría ser el texto del problema.
4
84
GRACIAS!
PS. ISABEL INCA MALDONADOCEL. 986606597
E-MAIL: [email protected] PERÚ
Av. El sauce 547 –surquillo(Altura cuadra 11 de la Av. Villarán)
Teléfono 2716047E-mail: [email protected]