resolución de ecuaciones

IndiceIntroduccion a la Resolucion de Ecuaciones.

Conceptos basicos relativos a ecuaciones.Ecuaciones polinomicas.

Ecuaciones racionales.Ecuaciones irracionales.

RESOLUCION DE ECUACIONES

Jose Manuel Hernandez Jimenez

27 de febrero de 2012

Jose Manuel Hernandez Jimenez RESOLUCION DE ECUACIONES

1 Introduccion a la Resolucion de Ecuaciones.Ecuaciones en la antiguedad.Conocimientos previos.

2 Conceptos basicos relativos a ecuaciones.Definicion de ecuacion.Procedimiento general de resolucion.

3 Ecuaciones polinomicas.Ecuaciones de Primer Grado.Ecuaciones de Segundo Grado.

Completas.Incompletas.

Ecuaciones polinomicas de grado mayor que 2Ecuaciones bicuadradas

4 Ecuaciones racionales.

5 Ecuaciones irracionales.

Ecuaciones en la antiguedad.Conocimientos previos.

Ecuaciones en la antiguedad

Ya en la epoca de la antigua Babilonia, existen textos donde sepresentan a los lectores informaciones sobre una cantidaddesconocida y luego preguntan por su valor. En una tablillababilonica se puede encontrar: “Yo encontre una piedra pero no lapese. Cuando yo anadı una segunda piedra de la mitad de peso, elpeso total era de 15 she1”. Cuestiones de este tipo dieron lugar alo que hoy conocemos como algebra. Se podrıa decir que primerosurgieron los problemas, y posteriormente los metodos deresolucion.

1En la antigua Babilonia un she equivalıa a 0’0467 gr.Jose Manuel Hernandez Jimenez RESOLUCION DE ECUACIONES

El nombre de algebra surgio en medio del proceso, y procede delarabe al-jabr, termino empleado por Al-Khwarizmi alrededor del820 en el tıtulo de un libro donde se explicaban metodos generalespara resolver ecuaciones manipulando cantidades desconocidas.Al-jabr significa “sumar cantidades iguales a ambos miembros deuna ecuacion”, procedimiento empleado por todos en la resolucionde ecuaciones.

El principal uso del algebra lo realizan los cientıficos de todo elmundo, ya que gracias a ella expresan las regularidades de lanaturaleza en terminos de ecuaciones. A lo largo de este tema,vamos a aprender (y a recordar) los metodos de resolucion dealgunas de las ecuaciones que nos aparecen con mas regularidad enlas Matematicas y en otras situaciones de la vida cotidiana(aunque en principio se desconozca este hecho).

Conocimientos previos

Para poder aprender todos los metodos de resolucion deecuaciones que vamos a ver en el tema, es necesario dominar lossiguientes contenidos:

Expresiones algebraicas. Valores numericos.

Operaciones con polinomios.

Ruffini y Teorema del Resto.

Sacar factor comun.

Identidades notables.

Factorizacion de polinomios.

Fracciones algebraicas.

Sacar factor comun.

Definicion de ecuacion.Procedimiento general de resolucion.

Definicion de ecuacion

Definicion (Ecuacion)

Una ecuacion es una propuesta de igualdad entre dos expresionesalgebraicas en las que intervienen letras llamadas incognitas. Si laigualdad se verifica para cualquier valor o valores de esaincognita/as, decimos que esa igualdad algebraica es unaidentidad.

Definicion (Solucion de una ecuacion)

Una solucion de una ecuacion es un valor (o valores) de laincognita que hace que se cumpla la igualdad.

Definicion (Ecuaciones equivalentes)

Dos ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen la mismasolucion.

Procedimiento

El proceso basico que se sigue a la hora de resolver ecuaciones esque vamos transformando la ecuacion original en otras que sonequivalentes a ella de manera que podamos finalmente deducir elvalor (o valores) de la incognita que hace que se verifique laecuacion; o tambien deducir que no existen tales valores, es decir,que la ecuacion no tiene solucion.

Las transformaciones que mantienen la equivalencia de ecuacionesson las siguientes:

Sumar o restar la misma expresion en los dos miembrosde la igualdad. Esto en la practica se traduce en que aquellosterminos que estan sumando en un miembro, los pasamosrestando al otro miembro, y viceversa.

Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismonumero distinto de cero. Esto nos dice que en la practica, loque esta multiplicando a todo un miembro, se pasadividiendo a todo el otro miembro, y viceversa.2

2Es un error habitual pasar numeros que no estan multiplicando a todo elmiembro, dividiendo al otro.

Las transformaciones que mantienen la equivalencia de ecuacionesson las siguientes:

Sumar o restar la misma expresion en los dos miembrosde la igualdad. Esto en la practica se traduce en que aquellosterminos que estan sumando en un miembro, los pasamosrestando al otro miembro, y viceversa.

Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismonumero distinto de cero. Esto nos dice que en la practica, loque esta multiplicando a todo un miembro, se pasadividiendo a todo el otro miembro, y viceversa.2

2Es un error habitual pasar numeros que no estan multiplicando a todo elmiembro, dividiendo al otro.

Procedimiento general de resolucion

El procedimiento general que vamos a seguir para resolver lasecuaciones es el siguiente:

Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican losdos miembros de la ecuacion por un multiplo comun de losdenominadores; preferiblemente, su mınimo comun multiplo.

Quitar parentesis, si los hay. (Aplicaremos las identidadesnotables siempre que se presenten).

Resolveremos la ecuacion atendiendo a la forma de esta,segun vamos a ir desarrollando en el tema.

Ecuaciones de Primer Grado.Ecuaciones de Segundo Grado.Ecuaciones polinomicas de grado mayor que 2

Ecuaciones polinomicas

Definicion

Las ecuaciones polinomicas tienen un aspecto general de laforma P(x)=0, donde P(x) es un polinomio.

Numero de soluciones

El numero maximo de soluciones de una ecuacion polinomicaviene determinado por el grado del polinomio.

Procedimiento

Vamos a hacer un estudio de estas ecuaciones atendiendo al gradodel polinomio.

Ecuaciones de Primer Grado

Definicion (Ecuacion de Primer Grado)

A las ecuaciones polinomicas de primer grado se las llama,simplemente, ecuaciones de primer grado.Una ecuacion de primer grado es una expresion que se puedereducir a la forma ax + b = 0, siendo a 6= 0.

Tiene una unica solucion: x =−b

Ejemplo:

Resuelve la ecuacion: 4x +1

3(2− 2x) = x − 4

Se eliminan denominadores multiplicando por el mcm, en estecaso 3:

12x + 2− 2x = 3x − 12

Transponemos terminos (todos los terminos con x a unmiembro y los demas al otro):

12x − 2x − 3x = −12− 2

Reducimos terminos semejantes, y despejamos la incognita:

7x = −14⇒ x =−14

7⇒ x = −2

Ejemplo:

3(2− 2x) = x − 4

12x + 2− 2x = 3x − 12

12x − 2x − 3x = −12− 2

7x = −14⇒ x =−14

7⇒ x = −2

Ejemplo:

3(2− 2x) = x − 4

12x + 2− 2x = 3x − 12

12x − 2x − 3x = −12− 2

7x = −14⇒ x =−14

7⇒ x = −2

Ejemplo:

3(2− 2x) = x − 4

12x + 2− 2x = 3x − 12

12x − 2x − 3x = −12− 2

7x = −14⇒ x =−14

7⇒ x = −2

Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a) 5x − 3x = 17− 13 b) 21− 12x − 2x = −7

27= 9 d) −3(6− 6x)− 3 = x − 4

e) 2(x − 7) = 6(x + 1) f)38 + 7(x − 3) = 9(x + 1)

g)2x + 5

3+ 4x − 1 =

14− 2x

Ecuaciones de Segundo Grado

Definicion (Ecuacion de Segundo Grado)

Una ecuacion de segundo grado es un polinomio de grado 2igualado a 0. Es de la forma:

ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0

Vamos a ver distintos metodos de resolucion para las ecuaciones desegundo grado, segun sean completas o incompletas.

Ecuacion de 2.o grado completa

Definicion (Ec. de 2.o grado completa)

Decimos que una ecuacion de segundo grado es completa cuandotodos sus coeficientes son distintos de 0.

Procedimiento de resolucion

Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas usamos lasiguiente formula donde intervienen los coeficientes de losmonomios que forman la ecuacion:

x =−b ±

√b2 − 4ac

Ejemplo:

Resolver la ecuacion:

x2 − 6x + 5 = 0

Lo primero que hacemos es identificar los coeficientes:

a = 1; b = −6; c = 5

Sustituimos en la formula general para obtener las soluciones:

t =6±

√(−6)2 − 4 · 1 · 5

2 · 1=

6±√

36− 20

6±√

x2 =6− 4

Ejemplo:

x2 − 6x + 5 = 0

a = 1; b = −6; c = 5

t =6±

√(−6)2 − 4 · 1 · 5

2 · 1=

6±√

36− 20

6±√

x2 =6− 4

Ejemplo:

x2 − 6x + 5 = 0

a = 1; b = −6; c = 5

t =6±

√(−6)2 − 4 · 1 · 5

2 · 1=

6±√

36− 20

6±√

x2 =6− 4

Ecuaciones de 2.o grado incompletas

Definicion (Ec. de 2.o grado incompleta)

En las ecuaciones de segundo grado incompletas alguno de loscoeficientes es igual a 0. Distinguimos casos:

Caso Trivial: b = 0 y c = 0

Nos queda una ecuacion de la forma:

ax2 = 0

Cuya solucion es:

Caso b = 0

ax2 + c = 0

Se resuelve:

ax2 + c = 0⇒ ax2 = −c ⇒ x2 =−c

a⇒ x = ±

√−c

Ejemplo:

3x2 − 75 = 0⇒ x2 =75

3= 25⇒ x = ±

√25 = ±5

Caso c = 0

ax2 + bx = 0

Para resolver este caso, sacamos factor comun:

ax2 + bx = 0⇒ x(ax + b) = 0⇒

{x1 = 0

x2 =−b

Ejemplo:

3x2 + 42x = 0⇒ 3x(x + 14) = 0⇒{

x1 = 0x + 14 = 0⇒ x2 = −14

Resuelve las siguientes ecuaciones de 2o grado:

a) 7x2 = 0 b) 4x2 − 16 = 0c) 12x2 − 27 = 0 d) x2 − 12x = 0e) 3x2 = 6x f)5x2 − 4x = 0g) x2 − 6x − 7 = 0 h) −x2 + 3x + 10 = 0i) 8x2 − 2x − 3 = 0 j) 3x2 + 18x + 27 = 0k) 4x2 − 20x + 25 = 0 l) −2x2 − 4x − 3 = 0

Ecuaciones polinomicas de grado mayor que 2

Existen formulas para obtener las soluciones de ecuacionespolinomicas de grado 3 y 4, pero no vamos a trabajar con ellasdada su complejidad. En el siglo XIX, gracias a la teorıa de Galois,se demostro que no existe una formula general para resolverecuaciones polinomicas de grado mayor o igual que 5.

¿Como resolvemos entonces estas ecuaciones?

Nos vamos a limitar a factorizar los polinomios y a encontrar susraıces, que se corresponden con las soluciones de las ecuaciones, yaque sabemos que las raıces de los polinomios son precisamente losvalores de la incognita que hacen 0 el polinomio.Se debe recordar, por tanto, el metodo seguido para factorizarpolinomios (sacar factor comun, Ruffini, identidades notablessiempre que sea posible, resolucion de una ecuacion de segundogrado).

Ejemplo:

4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 0

Aplicando Ruffini, descomponemos el polinomio, con lo quenos queda la ecuacion:

4x4 + 4x3− 132− 7x + 6 = 4(x + 1)(x + 2)(x − 3

2)(x − 1

2) = 0

De donde deducimos que las soluciones de esta ecuacionpolinomica de grado 4 son:

x1 = −1; x2 = −2; x3 =3

2; x4 =

Ejemplo:

4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 0

4x4 + 4x3− 132− 7x + 6 = 4(x + 1)(x + 2)(x − 3

2)(x − 1

2) = 0

x1 = −1; x2 = −2; x3 =3

2; x4 =

Ejemplo:

4x4 + 4x3 − 132 − 7x + 6 = 0

4x4 + 4x3− 132− 7x + 6 = 4(x + 1)(x + 2)(x − 3

2)(x − 1

2) = 0

x1 = −1; x2 = −2; x3 =3

2; x4 =

Resuelve las ecuaciones polinomicas:

a) 9x2 = 4x2

b) x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0c) (5x2 + 1)2(x3 − 2x2 − 5x + 6) = 0

d) x4 +17

10x3 − 26

Ecuaciones bicuadradas

Definicion (Ecuacion bicuadrada)

Una ecuacion bicuadrada es una ecuacion polinomica de grado 4que se puede expresar de la forma:

ax4 + bx2 + c = 0

Procedimiento

Para resolver las ecuaciones bicuadradas, se hace un cambio devariable:

x2 = t

Procedimiento

Cuando realizamos este cambio de variable, transformamos laecuacion de grado 4, de incognita x, en una de grado 2, deincognita t:

a(x2)2 + bx2 + c = [x2 = t] = at2 + bt + c = 0

Resolvemos la ecuacion de segundo grado en t.

Procedimiento

Una vez que obtenemos las soluciones de t (t1 y t2), debemosdeshacer el cambio, con lo que al final obtendremos las solucionesde la ecuacion original. Al deshacer el cambio: x2 = t:

x2 = t1 ⇒ x = ±√

t1 ⇒{

x1 = +√

t1x2 = −

}x2 = t2 ⇒ x = ±

√t2 ⇒

{x3 = +

x4 = −√

}Con lo cual hemos obtenido las cuatro soluciones de la ecuacionbicuadrada.

Ejemplo:

Sea la ecuacion:

x4 − 5x2 + 4 = 0⇒ (x2)2 − 5x2 + 4 = 0x2=t⇒ t2 − 5t + 4 = 0

Resolvemos la ecuacion y deshacemos el cambio:

t =5±

√(−5)2 − 4 · 1 · 4

2 · 1=

{t1 = 4t2 = 1

}x2=t⇒

x1 = +√

4 = +2

x2 = −√

4 = −2

x3 = +√

1 = +1

x4 = −√

1 = −1

Ejemplo:

Sea la ecuacion:

x4 − 5x2 + 4 = 0⇒ (x2)2 − 5x2 + 4 = 0x2=t⇒ t2 − 5t + 4 = 0

Resolvemos la ecuacion y deshacemos el cambio:

t =5±

√(−5)2 − 4 · 1 · 4

2 · 1=

{t1 = 4t2 = 1

}x2=t⇒

x1 = +√

4 = +2

x2 = −√

4 = −2

x3 = +√

1 = +1

x4 = −√

1 = −1

Resuelve las ecuaciones bicuadradas:

a) x4 − x2 − 2 = 0b) x4 + 3x2 = −2c) 2x4 + 7x2 + 6 = 0d) 25x4 + 121x2 − 20 = 0

Ecuaciones racionales

Definicion (Ecuacion racional)

Una ecuacion racional es aquella en la que aparecen fraccionesalgebraicas.

Procedimiento

Para resolver una ecuacion racional se siguen los siguientes pasos:

Se descartan los valores de x que anulan los denominadores,ya que no pueden ser solucion de la ecuacion.

Se multiplican los dos miembros por el mınimo comunmultiplo de los denominadores, que sera distinto de cero.

Se resuelve la ecuacion resultante, teniendo en cuenta que nopueden ser solucion los valores descartados del paso 1.

Procedimiento

Ejemplo:

Resolver la ecuacion:x − 1

x − 2− 2x − 2

x(x + 3)=

5x − 5

x2 + x − 6

En primer lugar, descartamos los valores que anulan losdenominadores, que son:

x = 0; x = 2; x = −3

Multiplicamos ambos miembros de la ecuacion por el mcm delos denominadores, que es x(x − 2)(x − 3), con lo que nosqueda la ecuacion de la siguiente manera:

x(x + 3)(x − 1)− (2x − 2)(x − 2) = 5x2 − 5x

Ejemplo:

x − 2− 2x − 2

x(x + 3)=

5x − 5

x2 + x − 6

x = 0; x = 2; x = −3

x(x + 3)(x − 1)− (2x − 2)(x − 2) = 5x2 − 5x

Ejemplo:

x − 2− 2x − 2

x(x + 3)=

5x − 5

x2 + x − 6

x = 0; x = 2; x = −3

x(x + 3)(x − 1)− (2x − 2)(x − 2) = 5x2 − 5x

Ejemplo:

Una vez que la desarrollamos,reducimos terminos semejantes ynos llevamos todos los terminos al primer miembro, nos queda:

x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0

Descomponemos el polinomio y ası obtenemos las solucionesde la ecuacion:

x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0

Por lo que las soluciones de esta ecuacion son:

x = 1; x = 2

Pero recordemos que habıamos descartado x = 2 por hacer 0el denominador. Por tanto, la unica solucion valida de estaecuacion es x = 1.

Ejemplo:

x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0

x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0

x = 1; x = 2

Ejemplo:

x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0

x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0

x = 1; x = 2

Ejemplo:

x3 − 5x2 + 8x − 4 = 0

x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x − 1)(x − 2)2 = 0

x = 1; x = 2

Resuelve las ecuaciones racionales:

x + 1= − 6

x + 5− x2

x2 − 4+

x + 1=

x3 + x2 − 4x − 4

c)x + 5

x2 + x − 2=

x2 + 2x − 1

x − 1+−1

d)2x − 1

x2 − x− 1

(x − 1)2=

−3x + 2

x3 − 2x2 + x

Ecuaciones Irracionales

Definicion (Ecuacion Irracional)

Una ecuacion irracional es aquella en la que la incognita aparecedentro de algun radical.Si en la ecuacion aparecen radicales de ındice par, solo se considerael signo positivo de la raız.Para resolver una ecuacion irracional en la que aparecen radicalescuadraticos, se sigue el siguiente procedimiento.

Resolucion ecuacion irracional

Procedimiento

Se transforma en otra equivalente en la que la expresionradical este sola en un miembro.

Se elevan al cuadrado los dos miembros.

Si la ecuacion resultante no tiene radicales, se resuelve. Sisiguen apareciendo radicales, se repite el proceso desde elprimer paso.

Una vez resuelta la ecuacion resultante, se comprueban lassoluciones en la ecuacion inicial, ya que pudiera ocurrir quealguna no fuera valida.

Procedimiento

Ejemplo

Resolver la siguiente ecuacion:√

3x + 7 + x = 2x + 1

Dejamos el radical solo en un miembro:√

3x + 7 = 2x + 1− x = x + 1

Elevamos al cuadrado los dos miembros de la ecuacion:

3x + 7 = (x + 1)2 ⇒ 3x + 7 = x2 + 1 + 2x ⇒ x2 − x − 6 = 0

Resolvemos la ecuacion resultante, y obtenemos dossoluciones:

x1 = 3 y x2 = −2.

Ejemplo

3x + 7 + x = 2x + 1

3x + 7 = 2x + 1− x = x + 1

3x + 7 = (x + 1)2 ⇒ 3x + 7 = x2 + 1 + 2x ⇒ x2 − x − 6 = 0

x1 = 3 y x2 = −2.

Ejemplo

3x + 7 + x = 2x + 1

3x + 7 = 2x + 1− x = x + 1

3x + 7 = (x + 1)2 ⇒ 3x + 7 = x2 + 1 + 2x ⇒ x2 − x − 6 = 0

x1 = 3 y x2 = −2.

Ejemplo

3x + 7 + x = 2x + 1

3x + 7 = 2x + 1− x = x + 1

3x + 7 = (x + 1)2 ⇒ 3x + 7 = x2 + 1 + 2x ⇒ x2 − x − 6 = 0

x1 = 3 y x2 = −2.

Ejemplo

Ahora debemos comprobar que las dos soluciones son validas.Sustituyendo en la expresion inicial la primera solucion:

x = 3⇒√

3 · 3 + 7+3 = 2 ·3+1⇒√

16+3 = 6+1⇒ 7 = 7

Tomando la raız positiva, se verifica la ecuacion.

Lo comprobamos ahora para la otra solucion posible:

x = −2⇒√

3(−2) + 7 + 3 = 2 · 3 + 1⇒√

1 + 3 = 6 + 1⇒4 6= 7

Por lo que no es x = −2 no es solucion de la ecuacion.

Ejemplo

Ahora debemos comprobar que las dos soluciones son validas.Sustituyendo en la expresion inicial la primera solucion:

x = 3⇒√

3 · 3 + 7+3 = 2 ·3+1⇒√

16+3 = 6+1⇒ 7 = 7

Tomando la raız positiva, se verifica la ecuacion.

Lo comprobamos ahora para la otra solucion posible:

x = −2⇒√

3(−2) + 7 + 3 = 2 · 3 + 1⇒√

1 + 3 = 6 + 1⇒4 6= 7

Por lo que no es x = −2 no es solucion de la ecuacion.

Resuelve las ecuaciones irracionales:

a)√−4x + 7− 4x = 5 + 2x

b) 3x + 1 = 2x − 3 +√

2− xc)√

2x − 6−√

x + 4 + 2x − 9 = 0d)√

2x + 10 + 5x − 6 = 8 +√

7 + 6x

Stewart, Ian,Historia de las Matematicas.Crıtica, Madrid, 2008.

Boyer, Carl,Historia de las Matematicas.Alianza Editorial, Madrid, 2001.

Uriondo Gonzalez, J.L. (Coord),Matematicas 4.o ESO, Opcion B.Oxford Educacion, Madrid, 2008.

Garcıa-Prieto, M. (Coord),Matematicas 4.o ESO, Opcion B.ANAYA, Madrid, 2008.

resolución de ecuaciones

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