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Resistencia de Materiales. Capítulo VI.

Universidad de Santiago de Chile. Fac. de Ingeniería. Departamento de Ing. Metalúrgica. 6-1

CAPÍTULO VI

ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS

6.1. Estructuras Articuladas simples

BARRAS

A B

C

NUDOS

Figura 6.1. Estructura articulada simple.

6.1.1 Análisis por el método de los nudos

Nudos especiales

E

B

B

B

B

A

A

A

A

C

C

C

D

D

FAE

FAC

FAD

FAC

FAB Hay equilibrio

Si FAC

= O

Hay equilibrio

Si FAB

= O

FAC

= O

C

FABF

AD

FAE

FAC

FAB

FAD

FABF

AC

FAB

= FACF

AB

FAC

Figura 6.2. Nudos especiales.



Procedimiento de operación para el método de los nudos

a) Determinar reacciones tomando la estructura completa como un sólido rígido.

b) Separar las barras de los nudos y comenzar a equilibrar cada nudo, partiendo

por uno que no tenga más de dos incógnitas (debido a que se usan dos

ecuaciones).

Problema 6.1: Empleando el método de los nudos, determinar la fuerza en cada

barra y el tipo de solicitación. Cotas en metros.

6

6

23

4

14,5 3,5

14 ton

Figura 6.3 (a).Problema 6.1.

Solución:

23

4

1

14 ton

R1 y

R4 x

R1 x

Figura 6.3 (b).Problema 6.1. 00

70140

7012614

0

1

141

44

1

yy

xxxx

xx

RF

tonRRRF

tonRR

M



37º

53º

53º

37º

6 6

4.5 8

Nudo 1:

37º

53º

R1x

F12

F13

)(3,20

28,15º37º53º37cos

0º37º53º53cos

º37cos

º53cos

º37cos

0º37cosº53cos0

0º37º530

13

112

12121

1213

1213

12131

compresióntonF

tonsentg

RF

senFsenFR

FF

FFF

senFsenFRF

x

x

y

xx

Nudo 2:

tonFF

tonFF

senFsenF

F

FFF

F

y

x

4,18º53cos2

28,15

0º53º53

0

0º53cosº53cos

0

2123

2421

2421

242123

Figura 6.3 (d).Problema 6.1.

F21

F23

F24

Figura 6.3 (c).Problema 6.1.



Nudo 3:

37º

37º

F32

F31

F34

14 ton

Figura 6.3 (e).Problema 6.1.

tonFF

senFsenFF

FFFF

y

x

3.20

0º37º370

0º37cosº37cos140

3134

3134

343132

6.2. Análisis por el método de las secciones

Tiene la ventaja sobre el método de los nudos de que no es necesario hacer el

cálculo de las fuerzas en todas las barras para determinar el esfuerzo a la que está

sometida cada una de ellas en particular.

Se divide la estructura en dos secciones, asegurándose de incluir en el corte la

barra en estudio; además el corte no debe pasar por más de tres barras, por contar

con sólo tres ecuaciones en el plano.

En los cálculos se puede tomar cualquiera de las dos secciones, ya que ambas se

encuentran en equilibrio estático.

Se deben primero evaluar las reacciones en los apoyos.

Problema 6.2: Determinar los esfuerzos axiales en las barras BD y DE de la

estructura representada.



Figura 6.4 (a).Problema 6.2. Figura 6.4 (b).Problema 6.2.

0 EM

03º.9,362

5,1º.9,36cos315615 senFF BDBD

kNF

FF

BD

BDBD

75

08,18,14590

kN

FFFF BDEGBDEG

60F

º9,36cos75º9,36cos0º9,36cos

EG

0º9,367545 senFED

0

0º9,367545

ED

ED

F

senF

C

A

B

D E

F G

IH

3 m

3 m

3 m

3 m

4.5 m

15 kN

15 kN

15 kN

A

C

E

B

15 KN

15 KN

15 KNF

ED

FEG

4.5

6

º9,36

FBD

RHx

RHy

RIy

B

A

C

ED

F

G

HI



Problema 6.3: Hallar los esfuerzos axiales en las barras AB, AC, y BC. (kN y m)

1,25

CC

x

3A

B

84 kN

Ax

Ay

4


Nudo A:

84 KN

Ax = 48 kN

22,6º

FAB

FAC

Figura 6.5 (b).Problema 6.3.

Nudo B:

FAB

84 kN

37°

FBC


kNA

kNC

C

kNAA

CA

x

x

x

yy

xx

48

48

038425,5

84084

0

kNF

AsenFF

kNF

FA

AC

yABAC

AB

ABx

64

0º6,22

52

06,22cos

kNF

senFF

BC

BCAB

80

0º37º6,22cos



0º37cos80º6,225284

0º37cosº6,22840

sen

FsenFF BCABy

Nudo C:

FBC

FAC

Cx


Problema 6.4: Hallar los esfuerzos axiales sobre las barras AC, AB y BC.

B450 kN

10 m

22,6º53ºA

y

Ax

2.4 m7.5 m

C


kNA

kNCCM

CA

A

y

yyA

yy

x

14401890450

189005,75,314500

0450

0

Nudo A:

FAC

Fy

FAB


0º37cos8064

0º37cos

0º378048

0º37

BCAC

BCx

FF

sen

senFC

tracciónkNFF

compresiónkNF

senFA

F

FFF

ACAB

AC

ACy

y

ACABx

1083º53cos

1800

0º53

0

0º53cos0



Nudo B:

FBC

FAB

450 kN


Problema 6.5: Hallar las cargas sobre los elementos FH, GI y GH. Cotas en metros.

B

Ay

Ax

D

F

H

J

A L

5 55

Ly

1

1

1

1

1

FH

GH

GI

8

kN

kN

58

15C E G I K

6 6 6 66 6

38

5arctg


030251201156106560

200155

0

yA

yyyy

x

LM

ALAL

A

kNA

kNL

y

y

5,12

5,7

0º6,22450

1173

0º6,22cos

senF

compresiónkNF

FF

BC

BC

BCAB



1

1

1

5 kN5512,5

FFH

FGI

FGH


0185,120

125,13

0205,12156106563

160

senFsenFF

tracciónkNF

FM

FHGHy

GI

GIH

compresiónkNsen

senF

compresiónkNF

FM

GH

FH

FHG

1.1º8,46

º1,2882,135,5

82,13

0155,1210656º1,28cos80

Problema 6.6: Hallar las fuerza sobre los elementos CD y DF. (Unidades en kN y

m).

2.42.4 2.4 2.4D F H

C E GA

B

I

J

1.8J

y

BX

By

1212


Solución:

Bx = 0

Jy = By – 24 = 0

º8,465

388

º1,2815

8

arctg

arctg

FCD = ?

FDF = ?



compresiónkNB

compresiónkNJ

JM

y

y

yB

91524

15

06.92.7128.4120

compresióntonFFM

traccióntonFFM

CDCDA

DFDFC

908,1124,20

1204,298,10


Problema 6.7: Hallar las fuerzas sobre los elementos EF, DE, BF y EB. . (Unidades

en kN y m).

A

BC

F

E

D

5205

33

12

Fy

Dy

1.6


5

21

20

A B

D

FBC

FBF

FEF


A

B

C

FCD

FDF

FAC

By

º2836,1 arctg



tracciónkNF

FM

EF

EFB

30

03216.1350

21

5 20

FBC

FBF

FEB

FDE


tracciónkNFFM DEDEB 3006.1353210

0º28cos0 DEBFBCx FFFF

compresiónkNFF

FF

BFBC

BFBC

340

30º28cos

0º2825210 senFFF BFEBy

tracciónkNFEB 12

Problema 6.8: Hallar las fuerzas sobre los elementos FG y FH. Unidades en kN y

m.

3.5 m

Gy

Jy

Jx

P=35 kNP P P P P P

4 4 4 4 4A B D F H J

C

E G

IFG = ?

FH = ?


48º28cos6.1

06.1º28cos6.135321

0

BFBC

BFBC

E

FF

FF

M



08481216200

606

0

yJ

yyyy

x

GPPPPPM

PGJPGJ

J

kNPJ

kNPG

y

y

5,525,1

5,2625,7

35 35

52,5

FHF

FFG

FEG

Gy = 262,5


Problema 6.9: Hallar las fuerzas sobre los elementos DE y DF. Unidades en

metros.

B

D

C

F

E

G

H

I X

J

L

P PC

y

Ky

7,5 m

DE = ?

DF = ?

P = 20 kN

66 666 6A


PKCKPCC yyyyx 5050

0GM

tracciónkNFM

F

HFA

HF

2400

05,34358355,52

compresiónkNF

F

FG

FG

70

0125,26212163520355,52




º62.2218

5.7 arctg

kNFFPM DEDEA 2501265,20

025.15,20 PPsenFF DFy

compresiónPPsen

FDF 65.05,225,1

0cos0 CEDFx FFF

tracciónPF

PF

CE

CE

6.0

cos65.0

Problema 6.10: Hallar las fuerzas sobre los elementos EF y GI. Unidades kN y m.

8 8 8 8

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K16

28 28

By

Bx J

y

EF = ?

GI = ?

10 m


kNBBF xxx 160160

0cM

6P-6P-12P-18P+24Ky–30P=0

Ky=2,5P Cy=2,5 P

FCE

FDE

P

A

B

D

C

FDF

yC



560560 yyyyy JBJBF

010163224288280 yB JM

kNB

kNJ

y

y

23

33

A

Bx

C

D

E

FEF

FDF

FEG

By


Otra Forma:

compresiónkNFxF GIGI 4.100101683310


Problema 6.11: Hallar las fuerzas sobre cada elemento. Unidades en N y m.

A B C

DE

12

1000

12

12

E

2000C

x

Cy

8


0xF

compresiónkNF

FB

FF

EF

EFy

DFEG

5

028

016

0HM

FGI

FHI

FHJ J

y

16



03000010002000 xyy CECEC

061210002420000 EMC

E = 10.000 N

Cy = -7000 N

8

FAB

FAD


1500cos0cos

25002000

02000

ADABADAB

ADAD

FFFF

senFsenF

6

8

FBD

FDE

FAD


FDE

FADFBD


10.536

8 arctg

NFFF

FF

FsenFsenF

BDBDAD

BDAD

DEBDAD

2500

0coscos

0

NF

senFF

senFsenFF

DE

ADBD

ADBDDE

3000



FDE

FBEFBD

D

FBA

FBD

FBE

FBC

1000

E

B

E

FBA

05

325001500

0

BEBC

BDBEBCBA

FF

senFsenFFF

0coscos10000 BABEy FFF

NF

F BDBE 3750

cos

cos1000

NFBC 52505

3250037501500

Cy

FCE

FCB Cy

FCB

FCE

Cx

Figura 6.13 (e).Problema 6.11.

NF

F

FFF

CBCE

CECBx

750.8

53

5250

cos

0cos0

00 senFCF CEyy

00




6.3. Entramados y máquinas

Las estructuras articuladas están diseñadas para soportar fuerzas dirigidas según

la dirección de la barra. Por tanto los elementos trabajan a tracción o compresión.

Los entramados y las máquinas están diseñadas para que sus elementos soporten

fuerzas en cualquier dirección, es decir, pueden soportar tres o más fuerzas.

Las máquinas son estructuras diseñadas para transmitir fuerzas e incluso

modificarlas y pueden o no ser fijas, pero siempre poseen piezas móviles.

Problema 6.12: Determinar el esfuerzo en el elemento BD y las componentes de la

reacción en C. (Cotas en mm)

400 N

A

B

Cy

Cx

450

120

135 240

Dx

Dy

D


400

0400

0

yy

yy

xxxx

DC

DC

DCDC

0cM

NC

NDD

y

yy

625

2250240135400



Cy = 625 N

400 N

Cx

FBD


Problema 6.13: Hallar las componentes de las fuerzas que actúan sobre ABCD.

E

B

D

4 12 4

8

60 (N)

FAx

A

2

BxBy

(mm)


NBBAB yyxx 600600

NAAM xxB 1500206080

NBx 150

0yF

º93,6124

45

2550400625

arctg

NFsenF BDBD

ND

NC

FC

x

x

BDx

9,119

9,119

cos



D

60

150

150

Cx

CyF

ED


Problema 6.14: Encontrar las reacciones sabiendo que hay un momento de 150 Nm

aplicado a la barra AD. Las medidas están en m.

0.4

0.4

A

C

B

0.6 0.6

150 Nm

Dy E

y

Ex

Dx

0.6


xxxxx DEDEF 00

yyyyy DEDEF 00

08.08,18.02,11500 xyxyA EEDDM

1508.08,18.02.1 xyxy DDDD

060

0

EDy

x

FC

C

0DM

NFNC

C

EDy

y

8020

01216608150



150 Nm

Cx

Cy

250

Dx

C

D

0CM

-150 -250 0,6 + 0.4 Dx = 0

Dx = 750 N

Ex = -750 N

Otra solución:

0BM 04.04.08.12,1150 xXyy EDED

Cy

Cx

Ey

Ex


ND

NEEM

x

xxc

750

75002502.14.00


Dy =-250 N

Ey = 250 N

1504.04.08,12,1 xxyy DDDD

NE

ND

y

y

250

250



Problema 6.15: Disponer dispositivo para remolcar aviones. Medidas en mm.

100

450

200

825675500850

200 kg

1150

D

AE

F

CG

200 kg

Ey

Ay

Cx

CyEx

C

8,43º675

1001 =

= -tg

200 kg = 1,96 kN (mm)


Ey – 200 - Cy + Ay = 0 Ex + Cx =0 Ex = - Cx

Cx = C cos 8,43º = 0,989 C

Cy = -0.146 C

0AM Estructura completa

- 200 1150 + Fy 850 = 0 Fy = 270,6 kg

= 2,65 kN

Ay + Fy = 1,96 Ay = - 0.69 kN

0EM Elemento aislado

0.69 (850 + 500) + 1,96 200 – Cx 450-Cy 675 =0

931,5 + 392 - (0.989 450 + 0.146 675) C = 0

C = 2,43 kN

Ex + Cx =0 Ex = -0.989 2,43 = - 2,4 kN

kNEEM yyc 3067545041,267520096,167550085069.00

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