resistencia de materiales 1 - aplicaciones con voyage 200

[ A p l i c a c i o n e s c o n

T e x a s I n s t r u m e n t s

V o y a g e 2 0 0 ]

2 0 1 0

M a t e r i a p a r a :

I n g e n i e r í a I n d u s t r i a l

I n g e n i e r í a M e c á n i c a

A r m a 2 D & S a x p c

I n v i e r n o 2 0 0 9

EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::

II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ [En este manual podrás encontrar aplicaciones para

diversos temas de Resistencia de Materiales 1, tales

como solucionadores de Armaduras y Vigas, graficación

y animación de armaduras]

Resistencia de Materiales 1

LEER NOTA IMPORTANTE

EN PÁGINA SIGUIENTE

NOTA IMPORTANTE: Para usar las aplicaciones completas contenidas en éste

manual para la materia de Resistencia de Materiales 1 debes haber instalado

los programas “Arma2D” y “saxpc1” con anterioridad en la calculadora. Por

favor consulta el MANUAL DE INSTALACIÓN DE SOFTWARE PARA

CALCULADORAS TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200, ó también su versión

en DVD, ó dirígete a la página de internet www.texasfcqei.com donde

también puedes descargar los programas y está explicado el cómo

transferirlos a tu calculadora, además en este sitio se encuentra éste mismo

curso en línea con video tutoriales y ejercicios interactivos. Es muy sencillo

instalar el programa y te tomará poco tiempo. Asegúrate de solicitar un cable

TI-USB Silver Link para transferir exitosamente el programa, éste se

encuentra de igual forma en donde solicitaste tu calculadora.

La razón por la cual no instalé el programa en todas las calculadoras es

porque esta materia es una materia exclusivamente para la etapa

disciplinaria de las carreras de Ingeniería Industrial e Ingeniería Mecánica,

por respeto a los estudiantes de otras carreras que pudieran llegar a ocupar

las calculadoras no les sería grato encontrarlas con programas ajenos a sus

carreras y dejarlas sin memoria disponible para otros programas

especializados en su área. Es por esto que también te pido que cuando

termines el préstamo de tu calculadora desinstales el programa ya que la

memoria de la calculadora es limitada.

[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200

Función Forma de

escritura en HOME

Descripción simple Ejemplo.

Valor absoluto

abs(expr)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.

Raíz de cualquier

orden

��

(expr)^(n/m)

Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.

Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Secante sec(expr)

Cotangente cot(expr)

arc coseno cos-1(expr)

Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.

arc seno sen-1(expr)

arc tangente

tan-1(expr)

arc cosecante

csc-1(expr)

arc secante sec-1(expr)

arc cotangente

cot-1(expr)


Índice General Página 4

Índice General

I. Introducción…………………………………………………………………………….5

II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7

III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9

IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11

V. Índice de Resistencia de Materiales 1…………………………………….21

VI. Contenido…………………………………………………………………………23-44

VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..45

VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..48


Introducción Página 5

Introducción

Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas

el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran

campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a

lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.

Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro

que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje

impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar

cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar

grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:

1. Química General

2. Algebra Lineal

3. Calculo Diferencial

4. Calculo Integral

5. Ecuaciones Diferenciales

6. Probabilidad y Estadística 1

7. Probabilidad y Estadística 2

8. Física 1

9. Física 2

10. Física 3

11. Fisicoquímica

12. Termodinámica

Y de las demás materias disciplinarias

(Programa Académico de Ingeniería Industrial):

13. Diseño de Experimentos

14. Computación 2

15. Resistencia de Materiales 1

16. Circuitos Eléctricos 1

17. Investigación de Operaciones 1

18. Investigación de Operaciones 2

19. Tecnología de los Materiales

20. Ingeniería Económica 1

21. Ingeniería Económica 2

22. Control Estadístico del Proceso

23. Medición del Trabajo

24. Metrología

25. Administración Financiera

Las materias en Negritas son las

que recomiendo fuertemente para

el uso de esta calculadora porque

facilita mucho el trabajo y también

existen programas específicos y

didácticos para cada una.


Introducción Página 6

PRÉSTAMO

Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú

puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por

espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con

el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la

facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende

de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:

• Copia de tu credencial de la Universidad

• Copia de tu toma de materias actual

• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual

Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.


Detalle Técnico Página 7

Detalle Técnico

Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:

� 1 Calculadora

� 1 Carcasa

� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)

� 1 Bolsita protectora

Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu

computadora debes solicitar también:

� 1 Cable TI-USB Silver-Link

Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN

DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.

Pasos al Iniciar sesión:

1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la

calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.

IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.

2. Retira la carcasa de la calculadora:


Detalle Técnico Página 8

3. Colócala por atrás para protegerla mejor.


Detalle General de Teclas Página 9

Detalle General de Teclas

La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las

teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente

te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.

La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas

que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en

algunos casos entrar a menús avanzados.

Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte

superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.

Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de

Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.

La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las

aplicaciones y programas de la misma.

La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.

La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al

dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de

Cursor

Parte Numérica

Teclado Extendido Teclas especiales Shift,

DIAMANTE, 2nd

Teclas F1-F8

Tecla APPS

Tecla CLEAR Tecla ESC


Detalle General de Teclas Página 10

datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en

cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.

La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en

algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.

La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.


Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11

Introduciendo datos y

expresiones

correctamente

Se ha dedicado un capítulo completo a la

explicación de cómo introducir datos y

expresiones correctamente debido a que se

han identificado numerosos errores de

escritura en muchos estudiantes a la hora de

teclear los datos, lo cual es de vital

importancia ya que de teclear

incorrectamente la información nos puede

arrojar resultados incorrectos o muy

diferentes a lo que queremos en realidad,

independientemente del programa en el que

estemos éstas reglas son para cualquier

aplicación en el que se esté trabajando, es

conveniente tomarse un tiempo para

entender y practicar estos sencillos ejercicios

para que escribas correctamente la

información en cada tarea que resuelvas.

Signo Menos

Es importante que a la hora de teclear una

expresión en la calculadora se teclee el signo

menos adecuado en cada caso. Se debe

seguir la siguiente regla:

“Cuando se escriba una expresión en la que

se inicie con signo negativo debe usarse la

tecla con signo negativo entre paréntesis

”. Esto mismo se usa con las

calculadoras científicas habituales. Veremos

un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,

tecla ON:

Muévete con el cursor a través de las

aplicaciones y posiciónate en HOME y da

ENTER:

Por ejemplo, si queremos escribir:

�7� 8

Damos ENTER :

Vemos que se despliega correctamente y se

reacomoda en la línea de entrada. Este error

del uso del signo menos es muy común y

debe usarse ya sea en el inicio de una

expresión o en la de un exponente que

queramos a una potencia negativa o después

de que se ha cerrado un paréntesis. Para

borrar la línea de entrada teclea CLEAR.



Si se hubiera puesto el otro signo menos

hubiera salido un resultado completamente

diferente e incorrecto. Otro ejemplo:

��

Vemos que se lee correctamente, si

hubiéramos puesto el signo contrario:

Vemos que nos indica que hay un error de

sintaxis en la línea de entrada.

“En cualquier otra posición de una

expresión que no sea el inicio, el signo

negativo que debe usarse es el de la tecla

blanca .”

Por ejemplo:

�� 8� � 13

Para el primer término como esta al inicio se

usa el signo menos de la tecla negra y para el

último término se usa el signo menos de la

tecla blanca:

Como tip podemos decir que en la línea de

entrada el signo menos de la tecla negra está

un poco más pequeño y más arriba que el de

la tecla blanca.

Paréntesis

El uso correcto de los paréntesis es muy

importante ya que de igual manera va a

definir nuestras expresiones. Los paréntesis

dividen expresiones completas en la línea de

entrada de la calculadora, hay algunas

funciones como la función exponencial,

logaritmo natural o las trigonométricas que

cuando lo tecleas inmediatamente te abre un

paréntesis y lo hace con la finalidad de que

definas correctamente lo que va dentro de

esa función. Es importante recordar que

“Todo paréntesis que se abre debe

cerrarse”. Por ejemplo supongamos que

deseamos escribir:

sin 7� 8�� ln �

Al teclear la función de seno se abre

automáticamente el paréntesis e

inmediatamente después debemos escribir



el argumento del seno para después cerrarlo

con el paréntesis de cierre:

Es importante también cerrar

ordenadamente cada paréntesis que se abra,

veamos otro ejemplo:

√cos � � sin 2�

Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de

signo de multiplicación y si te fijas se

abre el paréntesis inmediatamente después

del símbolo de la raíz y luego debemos

escribir la expresión de adentro y cerrar con

el paréntesis final para indicar que todo va

dentro de la raíz:

Fíjate en el orden de los paréntesis, el

primero es el que encierra a todos los demás,

damos ENTER:

Signo de División

Este es otro error algo común a la hora de

escribir las expresiones, y hay que seguir otra

regla muy simple cuando usamos el signo de

división:

“Cuando haya más de un término en el

numerador o denominador en una división,

estas expresiones deben encerrarse entre

paréntesis”

Por ejemplo si deseamos escribir:

3�9� 13

Como hay un solo término en la parte de

arriba no es necesario teclear el paréntesis,

pero como en la parte de abajo hay más de

uno, debemos teclear los paréntesis en la

parte de abajo, la forma de escritura se

podría resumir con este tip:

� �� !é�#$ %&/� �� !é�#$ %&

Vemos en la pantalla como se ve

correctamente la escritura de la expresión

que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no

ponemos los paréntesis? Observa:



Vemos que al dar ENTER la calculadora

entiende otra cosa completamente distinta.

Es un muy buen tip que observes lo que

escribiste al dar ENTER en la parte izquierda

de la pantalla y veas si esa expresión es la

que quieres.

Otro ejemplo:

�� 8��7�� 3� � 15

Como en el numerador y denominador hay

más de un término deben escribirse ambos

paréntesis al inicio y al final de cada

expresión, damos ENTER:

Nótese que en el denominador como la

expresión inicia con un término con signo

negativo se empieza usando el menos de la

tecla negra, y el siguiente es con la tecla

menos blanca. Recordemos que los

paréntesis dividen expresiones completas,

por eso aunque este en medio de la línea de

entrada se usa el signo negativo negro.

También notamos que la calculadora

factoriza la parte de arriba y cambia signos

por comodidad, siendo esto una igualdad

exacta.

Exponentes

Otro error relativamente común son los

exponentes. Por ejemplo si queremos

escribir:

��)

Como veras a simple vista en la calculadora

no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta

la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del

orden que sea se debe usar el exponente con

la sencilla regla:

√�� * �� +⁄

Cuando se escribe un exponente en

fracciones en la calculadora, de igual

manera debe ponerse entre paréntesis

después del símbolo de exponente:

Al dar ENTER vemos la expresión correcta de

la equis con su exponente. De igual manera

se recalca la importancia de poner entre

paréntesis esta expresión ya que de no

hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,

observa:



Vemos que al no ponerlo la calculadora

entiende que se trata de una equis cuadrada

entre tres y no es la expresión adecuada. Por

eso es MUY IMPORTANTE el escribir

correctamente la información en la

calculadora ya que de no hacerlo nos dará

resultados incorrectos.

Listas ó Matrices

Cuando escribas en listas o matrices

(generalmente las usaras en materias como

Algebra Lineal, Investigación de Operaciones

1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería

Económica 2) es importante que recuerdes

que las comas “,” también dividen

expresiones y por lo tanto si por ejemplo

escribes un dato con signo negativo es como

si iniciara una nueva expresión y debe

teclearse con el signo menos de la tecla

negra.

Por ejemplo al escribir la lista:

-5, �6,8, �2,10

Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”

+ paréntesis de apertura o cierre

:

Vemos que al dar ENTER la lista se crea con

los datos de signo correctos, de poner el otro

signo menos ocurriría un error de sintaxis.

Funciones solve, factor, expand

Si estás trabajando en materias como calculo

diferencial, cálculo integral, algebra lineal es

posible que te sean útiles éstas funciones. En

general se te explicarán en el curso de la

materia que tomes si es que te son de ayuda.

De todas maneras aquí se te explica un poco

de cómo usarlas. Todas estas funciones están

en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre

cada una se copia a la línea de entrada para

usarse:

Función Solve

La función solve resuelve igualdades o

inecuaciones en la línea de entrada de HOME

lo único que necesitas es introducir la

ecuación en la línea de entrada, la respectiva

igualdad o inecuación, luego la respectiva

coma e inmediatamente después la variable

que deseas que la calculadora encuentre, de

esta forma:

1%23��4�54$ó , 35�$572�&

Por ejemplo nos piden encontrar los valores

de X que satisfacen la expresión:

�� 6�� 5� 30 * 75



En la línea de entrada de HOME se debe

introducir de esta forma:

1%23�� 6�� 5� 30 * 75, �&

Ahora simplemente damos ENTER:

Y se llega al resultado.

Función Factor

La función factor como su nombre lo indica

factoriza expresiones (de ser posible) y

devuelve la multiplicación adecuada que

daría como resultado esa expresión. Su

forma de escritura es:

954!%��1$% &

Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma

ni variable a buscar ya que no necesita de

una variable para encontrar, sino que va a

factorizar con las variables que tengas dentro

de la expresión. Por ejemplo te piden

factorizar la siguiente expresión:

�� 9�� 7� � 63

Para introducirlo en la línea de entrada de

HOME sería así:

954!%�� 9�� 7� � 6&

Damos ENTER y vemos:

Nos devuelve la factorización adecuada de

binomios que daría como resultado ese

polinomio.

Función Expand

La función expand es la función inversa de

factor, cuando introduzcas una expresión

elevada a una potencia o una multiplicación

de expresiones lo que va a hacer es

desarrollar esa multiplicación para que la

visualices por completo. Su forma de

escritura es similar a la de factor:

��5 ��1$ó &

Por ejemplo supongamos que necesitas

desarrollar la expresión:

�2�� 9&�

En la línea de entrada de HOME se debe de

introducir así:

��5 ��2�� 9&�&




Operador With

El operador “with” es un comando

condicionante, en la calculadora se puede

combinar con varias funciones de la misma

para restringir la búsqueda de una respuesta

ó para sustituir un valor en una variable en

una expresión dada. Su símbolo es |. Tú

puedes combinarlo de la siguiente forma:

1. Pidiéndole que sustituya un valor en una

variable, esto es útil cuando quieres sustituir

un valor cualquiera en una expresión grande

y tendrías que hacer varias operaciones a

mano, por ejemplo:

5� 7��

3�� 12�� 5�

Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya

equis y evaluarlo. Primero debes teclear la

expresión completa en la línea de entrada y

luego teclear este operador, el operador

“with” sale tecleando “2nd” + letra K del

teclado extendido. En la línea de entrada

quedaría así:


Como puedes ver opera la expresión,

también antes de dar ENTER puedes

presionar DIAMANTE y te devolverá un valor

numérico aproximado.

2. También lo puedes usar para restringir la

búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas

sólo la solución positiva de X para:

�� 2� � 15 * 0

Para ésta igualdad como sabemos ocupamos

la función solve y al finalizar de escribir la

función restringimos la búsqueda a X>0:

1%23�� 2� � 15 * 0, �&|� ; 0

En la línea de entrada quedaría así:


El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de

punto de la parte numérica.



Mensajes de Error Comunes

Los mensajes de error comunes suceden

cuando en la línea de entrada cometiste un

error de sintaxis o que falta una variable o

alguna expresión necesaria.

Uno de los más comunes es el mensaje de

“Missing )”:

Nos indica que falta un paréntesis ya sea de

cierre o apertura en la línea de entrada. Este

error hace referencia a la regla que dice

“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”

Otro error común es el de “Syntax”:

Este error nos indica que hemos escrito algo

mal en la línea de entrada, generalmente se

debe a los signos negativos, es decir que

hemos usado los inadecuados.

También tenemos éste otro error, el de “Too

few arguments”

El cual nos indica que hacen falta

argumentos para la función, esto se explicará

con el uso mismo de los programas y

software para que sepas como y donde

ponerlos.

Un último factor importante en el uso de la

calculadora es que después de que le des

una orden ya sea dando ENTER o con

cualquier otra tecla de resolución dejes que

la calculadora “piense” o resuelva lo que le

has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice

en la esquina inferior derecha, aparece el

recuadro de BUSY, lo cual indica que esta

ocupada y no debes teclear nada hasta que

te devuelva una respuesta.

Borrando Variables

Es importante que de cuando en cuando

después de haber usado tu calculadora

elimines las variables con valores asignados

que se hayan podido guardar en la memoria,

esto ocurre algunas veces cuando ocupas la

función solve ó cuando usas el Numeric

Solver, para eliminar las variables estando en

HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da

ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:

Al hacer esto borras automáticamente todos

los valores que podrían contener las

variables de la “A” a la “Z”. Es importante

que hagas esto cuando inicias un nuevo

problema.



Multiplicación Implícita de Variables

Otro error bastante común a la hora de

teclear los datos es que nosotros al escribir a

mano damos por hecho la multiplicación

implícita de variables en una expresión, por

ejemplo al escribir:

�< 3�� 2<=

Nosotros por intuición y por lo que nos han

enseñado sabemos sin problema que en la

primer y último termino hay una

multiplicación de variables X por Y y Y por Z.

En la Texas debemos especificar ésta división

de variables ya que si las tecleamos juntas la

Texas pensará que se trata de una variable

única llamada XY ó YZ:

La forma correcta es teclear el signo de

multiplicación entre ambas variables:

Podemos ver la diferencia, como tip puedes

observar el pequeño punto entre la X y la Y,

así como entre la Y y la Z indicando la

independencia de cada variable. Es

importante teclear esto correctamente, ya

que en el uso de alguna función podría no

reconocer la variable que quieres que

resuelva, por ejemplo:

Podemos ver que al resolver una igualación a

15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta

variable ya que para la Texas solo hay

variables X, XY y YZ, lo correcto sería:

Cuando todo falla

Se ha llegado a ver situaciones en donde la

pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto

ocurre generalmente cuando no esperaste

una respuesta de la misma cuando estaba en

estado BUSY, siempre debes esperar

después de darle un comando de resolución

o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a

que te devuelva un valor o mensaje, NO LA

FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el

estado de la misma, éste se encuentra

siempre activo en la esquina inferior derecha

de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez

y ordenadamente. De todas maneras si se te

llegara a trabar presiona al mismo tiempo

estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:

+ + . Esto reiniciará la

calculadora completamente y sin problemas.



Ephy

Pensando en el gran número de usos en el

área de Química y sus modalidades

combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,

Química Orgánica, etc.) instalé en todas las

calculadoras una práctica tabla periódica de

los elementos que puedes consultar. Para

entrar a ella estando en HOME teclea en la

línea de entrada la combinación “EPHY()” y

da ENTER:

Da ENTER nuevamente para continuar:

Y verás:

Y puedes desplazarte por cada elemento, y

para ver su información da ENTER sobre el

símbolo del elemento que deseas ver y verás

su ficha completa:

La desventaja es que está en francés, pero

los símbolos químicos no cambian, son

iguales para todos, además de que es

bastante entendible, la información es

explícita, la información de cada elemento es

la siguiente:

• Nombre

• Masa Atómica

• Electronegatividad

• Densidad (gr/cm3)

• Punto de Ebullición (°C)

• Punto de Fusión (°C)

• Valencia

• Configuración Electrónica

• Radio Atómico

• Por quién fue descubierto y en que

año.

Para salir de la tabla simplemente da ESC:


Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 21

Índice de Resistencia de Materiales 1

C a p í t u l o 1 Armaduras

1.1 Resolviendo armaduras con Arma2D….…………………………………………..23

C a p í t u l o 2 Vigas

2.1 Resolviendo vigas con Saxpc……………………………………………………………39


Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 22

[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1

Resolviendo Armaduras con Arma2D

Resolviendo armaduras con Arma2D

Para esta materia en específico, estos 2

programas “Arma2D” y “saxpc1” los van a

amar, ya que son de gran ayuda para

comprobar tus resultados y resultan

didácticos. El programa Arma2D (si

descargaste el programa de internet) ya

viene con un archivo html para que observes

el manual de éste programa, sin embargo en

ocasiones suele ser confusas algunas

explicaciones. Por eso resolver

manual algunos ejemplos específicos y como

debes meter la información a la calculadora.

Este programa fue desarrollado por Germán

Flores Jarquín, un ingeniero civil egresado de

la UNI (Universidad Nacional de Ingeniería)

de Managua, Nicaragua, al cual le debemos

el agradecimiento por parte de muchos

estudiantes que como a mí (hace tiempo) me

ayudo en ésta materia además de comprobar

mis resultados también a entender y

comprender las reacciones y fuerzas

involucradas en las armaduras. Sin más ni

menos empezaremos resolviendo un

ejemplo:

Para la armadura de la figura, hallar la

fuerza en las barras AD, DE y EC, por el

método de los nudos, cuando F1 = 6 kN, F2 =

4kN y cada barra mide 5 m.

Bien lo primero que debemos hacer para

resolver las armaduras es llevar la

información que nos dan a un formato

donde debemos definir claramente la

IALES 1 ]


Resolviendo armaduras con Arma2D

Para esta materia en específico, estos 2

programas “Arma2D” y “saxpc1” los van a

amar, ya que son de gran ayuda para

tus resultados y resultan

didácticos. El programa Arma2D (si

descargaste el programa de internet) ya

viene con un archivo html para que observes

el manual de éste programa, sin embargo en

ocasiones suele ser confusas algunas

explicaciones. Por eso resolveremos en éste

manual algunos ejemplos específicos y como

debes meter la información a la calculadora.

Este programa fue desarrollado por Germán

Flores Jarquín, un ingeniero civil egresado de

Universidad Nacional de Ingeniería)

al cual le debemos

el agradecimiento por parte de muchos

estudiantes que como a mí (hace tiempo) me

ayudo en ésta materia además de comprobar

mis resultados también a entender y

comprender las reacciones y fuerzas

involucradas en las armaduras. Sin más ni

menos empezaremos resolviendo un

Para la armadura de la figura, hallar la

fuerza en las barras AD, DE y EC, por el

método de los nudos, cuando F1 = 6 kN, F2 =

Bien lo primero que debemos hacer para

ras es llevar la

información que nos dan a un formato

donde debemos definir claramente la

información que tenemos antes de correr el

programa. Es

RECOMENDADO (casi obligatorio)

papel y tomarse unos segundos para

transferir la armadura que nos dan a una

armadura donde se deben definir claramente

el número de Nodos y el número de

elementos (barras) que hay en la estructura:

= No. de Nodos. En este caso son 5.

= No. de Elementos. En éste caso son

7 barras ó elementos.

Este es un paso muy importante porque

debes identificar claramente el número de

nodos y barras presentes en el problema.

Luego debes también indicar las

coordenadas de cada nodo

datos que cada barra mide 5m, por lo tanto

por geometría podemos sacar las

coordenadas de cada uno, tomaremos como

punto de origen el nodo 1:

Recuerda que la altura de los triángulos sale

con geometría elemental, los triángulos son

equiláteros, por lo tanto l

Invierno 2009

Página 23

información que tenemos antes de correr el

programa. Es AMPLIAMENTE

(casi obligatorio) tomar un

papel y tomarse unos segundos para

transferir la armadura que nos dan a una

armadura donde se deben definir claramente

el número de Nodos y el número de

elementos (barras) que hay en la estructura:

= No. de Nodos. En este caso son 5.

No. de Elementos. En éste caso son

Este es un paso muy importante porque

debes identificar claramente el número de

nodos y barras presentes en el problema.

Luego debes también indicar las

coordenadas de cada nodo. Nos dan de

e cada barra mide 5m, por lo tanto

por geometría podemos sacar las

coordenadas de cada uno, tomaremos como

punto de origen el nodo 1:

Recuerda que la altura de los triángulos sale

con geometría elemental, los triángulos son

equiláteros, por lo tanto los ángulos internos


Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 24

son de 60 grados cada uno, la altura del

triángulo se encuentra exactamente a la

mitad de su base (2.5) y se despeja con la

identidad de tangente = tan(60)x2.5=4.3301

es muy importante claro está que las

unidades desde el inicio sean consistentes en

todos los sentidos, ya sea que trabajes con

pies, o pulgadas o metros (como en este

caso), al igual que las fuerzas que manejes ya

sean kN, o libras fuerza, etc. Una última cosa

que debes considerar es que si tienes fuerzas

actuando en algún punto inclinadas debes

descomponer la fuerza en X e Y para tener

los valores listos para introducirlos (este no

es el caso ya que las fuerzas de nuestro

problema ya están dirigidas una en X y otra

en Y completamente).

Habiendo encontrado las coordenadas de los

nodos y definido claramente los nodos y

elementos que hay en nuestro problema,

estamos listos para correr Arma2D.

Encendemos la calculadora, tecla ON:

Nos dirigimos a HOME, como referencia es

un ícono de una pequeña calculadora.

Damos ENTER para entrar:

Si instalaste el programa con anterioridad

debes saber ya como llamar al programa,

presionamos “2nd” + signo menos para

acceder al menú de carpetas de la

calculadora:

Desplegamos el contenido de ARMA2D

dando a la derecha con el cursor:

Nos posicionamos sobre la primera

aplicación que hace referencia al programa y

damos ENTER para que se copie a la línea de

entrada:

Ahora simplemente completamos el inicio

del programa tecleando el paréntesis de

cierre y damos ENTER:

Nos da la bienvenida al programa. Damos

ENTER nuevamente para continuar:



Nos aparece la pantalla del menú general del

programa. Por alguna extraña razón con éste

sistema operativo la pantalla de bienvenida

no se ve adecuadamente, sin embargo todo

lo demás funciona perfectamente. De aquí

en adelante es bueno tener cerca la hoja que

hicimos con los datos de la armadura. Damos

en F1 para ingresar un nuevo problema y nos

pregunta el No. de nodos y No. de elementos

de la armadura:

Tecleamos la información, son 5 nodos y 7

elementos, para moverte de ventana de

datos da arriba o abajo con el cursor, cuando

esté listo da ENTER 2 veces:

Vemos una pequeña explicación de lo que

había mencionado de teclear las

coordenadas de los nodos, es importante

que definas claramente el punto de origen

en tu armadura, recuerda que definimos

nuestro origen en el nodo 1. Damos ENTER:

Como el Nodo 1 es nuestro punto de

referencia sus coordenadas serán 0,0:

Damos ENTER:

El nodo 2 se encuentra en las coordenadas

5,0:

Y así sucesivamente llenamos las

coordenadas de todos los nodos:



Luego de introducir los datos de los nodos

nos mostrará los datos de cada nodo

introducido para corroborar y comprobar los

datos. Damos ENTER:

Vemos que hayamos escrito correctamente

la información y damos ENTER:

Nos da la opción en éste punto en hacer

algún cambio ya que al avanzar después ya

no se podrá cambiar la información, si

cambiáramos al opción a “sí” tendríamos que

introducir el nodo que queremos cambiar y

la nueva coordenada. Damos ENTER para

continuar:

Ahora nos da una explicación de nodo inicial

y nodo final en donde se encuentran los

elementos, es decir entre que y que nodo

están las barras o elementos del problema,

cabe señalar que no importa el orden en el

que se meta el nodo inicial o final, si una

barra esta entre el nodo 1 y 2, podemos

poner de igual forma el nodo inicial 1 y el

final 2 ó viceversa sin que haya ningún

problema. Damos ENTER:

De igual forma debemos tener cerca nuestra

hoja y observar cada elemento y decir entre

que y que nodo se encuentra. El primer

elemento se encuentra entre los nodos 4 y 5:

Y así sucesivamente introducimos todos los

elementos:



De nuevo nos muestra a continuación la

información que introducimos:

Para ver la tabla completa da con el cursor

hacia abajo. Aquí corroboramos que la

información introducida sea la adecuada.

Damos ENTER para continuar:

De igual forma tenemos opción de hacer

algún cambio a algún elemento en especial

en caso de que nos hayamos equivocado en

alguna expresión. Damos ENTER:

De igual forma nos da una explicación de

cómo introducir los apoyos que tenemos.

Damos ENTER:

Nos pide introducir el número de apoyos que

hay en el problema o visto de otra forma el

número de nodos que tienen apoyos. En

nuestro problema tenemos 2 apoyos:

Damos ENTER:

A continuación debemos teclear el número

de Nodo que tiene el apoyo y después el tipo

de apoyo que tiene. Para introducir ésta

información debes saber el código (tomado

del manual de Arma2D):

Listado abajo están las tres posibilidades de apoyo:

Apoyo Articulado: Código X = 1

Código Y = 1

Apoyo de Rodillo Vertical: Código X = 0

Código Y = 1



Apoyo de Rodillo Horizontal: Código X = 1

Código Y = 0

Con esto sabemos que nuestro apoyo en el

nodo 1 corresponde al código X=1 e Y=1, y en

el apoyo del Nodo 3 corresponde a un apoyo

de rodillo vertical con código X=0 e Y=1.

Damos ENTER:

Damos ENTER 2 veces:

De igual forma nos muestra lo introducido y

como sabemos nos da la opción de cambiar

alguna información. Damos ENTER 2 veces:

Ahora debemos introducir las propiedades

geométricas de la armadura, es decir el

módulo de elasticidad y área transversal de

las barras, en la mayoría de los problemas

que vas a resolver dan las armaduras sin

estos datos (esto quiere decir que son

constantes en toda la armadura), cuando

tenemos un caso así debemos teclear

simplemente el valor de 1 en el apartado de

área y 1 en elasticidad, más adelante

resolveremos un ejercicio donde involucre

área determinada en alguna parte de la

armadura para que veas la diferencia.

Esta ventana hace referencia a las secciones

de la armadura que contienen la misma área

y modulo de elasticidad igual, como toda

nuestra armadura es constante tecleamos 1

indicando que la sección es única:

Damos ENTER:

Nos indica lo explicado hace un momento,

damos ENTER:

Como había mencionado en área y

elasticidad tecleamos 1:



Damos ENTER:

Como le dijimos que era una sección única

automáticamente tomó todos los elementos

del problema (7) para tomarlos en dicha

sección, así lo dejamos y damos ENTER:

Lo mismo sucede para el número de

elementos que conforman la sección 1, los

cuales van numerados y separados por

comas y entre corchetes, así tal cual damos

ENTER:

Como en los datos anteriores también nos

muestra la información introducida de las

propiedades geométricas:

Todas deben ser 1 porque es constante en

toda la armadura. Damos ENTER 2 veces para

confirmar:

A continuación el programa nos da una

explicación de que puedes introducir las

cargas o fuerzas externas y cuando las

hayamos introducido podemos dar en la

opción terminar para que calcule el

problema. Damos ENTER:

Como puedes ver tienes la opción de

introducir las combinaciones de fuerza que

tengas en tu problema, en la mayoría de

problemas que resolverás en clase sólo veras

fuerzas puntuales, sin embargo si llegara a

darse el caso puedes introducir como ves

desplazamientos nodales, cambios de

temperaturas o longitudes incorrectas. La

opción que hace referencia a las cargas

puntuales es la No.1 de Fuerzas Externas,

damos ENTER en esta opción:

Como en los apoyos de igual forma debemos

introducir el número de fuerzas puntuales

totales que hay en la armadura y que

corresponden a 2:



Continuamos dando ENTER:

Debemos introducir el No. de Nodo que

tiene la primera fuerza puntual, en nuestro

ejemplo corresponden al los nodos 5 y 2,

empezaremos con el 5, la fuerza en X es la

descomposición de la fuerza en ése punto,

como la fuerza va completamente sobre el

eje X queda como X=4 e Y=0 (no hay

componentes en Y de esta fuerza).

Manejaremos las fuerzas con la magnitud tal

cual en kN:

Damos ENTER para continuar e introducimos

el segundo nodo que corresponde al nodo

No. 2 y las fuerzas en X e Y en éste punto:

Recuerda que las fuerzas tienen el sistema

de eje coordenado, es por esto que la fuerza

en Y es negativa:

Fuerza Signo � - � + � + � -

Recuerda también que el signo adecuado a

usar es el signo menos de la tecla negra .

Damos ENTER para continuar y de igual

forma nos da la opción de corregir alguna

fuerza mal introducida:

Damos ENTER 2 veces para continuar:

Y nos regresa al menú general, si tuviéramos

más fuerzas o combinaciones de carga para

introducir podríamos aquí seguirlo haciendo,

como hemos terminado de introducir todas

las fuerzas involucradas en la armadura

damos en TERMINAR:

Y nos despliega otro menú para que el

programa calcule la armadura o la grafique

yo RECOMIENDO que primero grafiques la

armadura para ver que la información

introducida haya sido la correcta, damos

ENTER en ésta opción:



Vemos correctamente la armadura de los

triángulos. Damos ENTER para continuar y

nos regresa al menú general, ya que lo

hemos comprobado damos en Analizar para

que calcule la armadura:

Puedes ver como avanza en el cálculo de la

armadura:

Es muy importante que no la interrumpas ni

presiones ninguna tecla cuando este en este

proceso. Luego verás:

Damos ENTER:

Este es el menú general de resultados. Cabe

destacar que Arma2D resuelve el sistema de

armaduras con el método de rigideces, un

método que pocos profesores enseñan.

Vemos primero la gráfica, presionamos F2 y

desplegamos el menú de “Graficar” y

seleccionamos la primera opción de

Geometría:

Damos ENTER:

Damos ENTER de nuevo, ahora veremos los

desplazamientos, nuevamente del menú F2 y

la segunda opción:

Ésta es una de las partes didácticas del

programa, ya que muestra el tipo de

reacción que tiene la armadura al aplicarle

las fuerzas puntuales que tenemos, vemos

que en el nodo 2 se crea un desplazamiento

que será donde recaerá más las fuerzas, con

esta simple gráfica podemos deducir que el

número de elementos en los cuales recaerá

más fuerza será en los elementos 6 y 7.

Damos ENTER para continuar. Por último del

mismo menú F2 veremos una pequeña

animación disponible:



Verás como se mueve y se desplaza en X en

el apoyo del nodo No. 3 porque es libre y en

el nodo No. 1 es fijo y no se mueve. Es

importante remarcar que no podrás ver la

animación hasta que primero veas la

geometría y los desplazamientos. Ahora

pasaremos a ver los resultados. Damos en

F1:

Generalmente en clase sólo verás reacciones

en apoyos y fuerzas en los elementos o

“barras”. Damos en la opción 2 de

Reacciones:

Damos ENTER:

Y vemos las reacciones en X e Y de cada

apoyo, solo debes hacer referencia que Nodo

“1” es el nodo A en el problema original y el

nodo “3” es el nodo C del problema original.

Recuerda que como metimos en kN la fuerza

estas reacciones de fuerza en X e Y también

están en kN. Damos ENTER para regre

menú general. Y vemos ahora las fuerzas del

menú F1:

IALES 1 ]


Verás como se mueve y se desplaza en X en

el apoyo del nodo No. 3 porque es libre y en

el nodo No. 1 es fijo y no se mueve. Es

importante remarcar que no podrás ver la

animación hasta que primero veas la

amientos. Ahora

pasaremos a ver los resultados. Damos en

Generalmente en clase sólo verás reacciones

en apoyos y fuerzas en los elementos o

“barras”. Damos en la opción 2 de

Y vemos las reacciones en X e Y de cada

apoyo, solo debes hacer referencia que Nodo

“1” es el nodo A en el problema original y el

nodo “3” es el nodo C del problema original.

Recuerda que como metimos en kN la fuerza

estas reacciones de fuerza en X e Y también

están en kN. Damos ENTER para regresar al

menú general. Y vemos ahora las fuerzas del

Damos ENTER:

Para ver la tabla completa solo baja con el

cursor. Aquí ya tienes todos los resultados,

en el problema original nos pedían los

esfuerzos en las barras

debes hacer la comparación adecuada de los

elementos que corresponden a esas barras,

siempre es bueno cuando llegamos a este

punto (para ahorra tiempo) simplemente

escribir encima de nuestra hoja con la

armadura que interpretamos los nombres de

los nodos originales(A, B, C, D, E):

Para que puedas hacer la relación correcta

de barras que piden con los elementos para

Arma2D:

Barra (problema original)

AD

DE

EC

AB

BC

DB

BE

Invierno 2009

Página 32

Para ver la tabla completa solo baja con el

cursor. Aquí ya tienes todos los resultados,

en el problema original nos pedían los

esfuerzos en las barras AD, DE y EC, solo

s hacer la comparación adecuada de los

elementos que corresponden a esas barras,

siempre es bueno cuando llegamos a este

punto (para ahorra tiempo) simplemente

escribir encima de nuestra hoja con la

armadura que interpretamos los nombres de

nales(A, B, C, D, E):

Para que puedas hacer la relación correcta

de barras que piden con los elementos para

Elemento Arma2D

2

1

5

6

7

3

4



Las barras y elementos en negritas son las

barras que pedían en el problema.

Concluimos viendo los resultados que las

fuerzas son:

Barra Fuerza

AD -1.464kN

DE -1.464kN

EC -5.464kN Adjunto la resolución del problema el cual lo

hicieron por el método de Nudos (nodos)

para que observes que está en lo correcto:

Como puedes darte cuenta es relativamente

“largo” y este es un excelente programa para

comprobar tus respuestas sin temor a fallo,

es muy importante claro está que

introduzcas bien la información como se

mostro anteriormente. Damos ENTER para

continuar y regresar al menú general.

También podemos ver los desplazamientos

nodales:

Damos ENTER para continuar. Para salirnos

simplemente damos en F4:



Nos da por último la opción de guardar las

matrices resultado. Estas matrices

resultan de resolver la armadura por el

método de rigideces o matrices, un método

que casi no usarás, sin embargo podrían

serte útil después, es a tu elección guardarlas

o no. Damos ENTER para salir:

Nos despliega la despedida del programa,

damos ENTER para finalizar:

Nos regresa al menú general del programa

donde podemos seguir haciendo más

armaduras si así lo deseamos o para salir del

programa por completo presionamos F3.

IALES 1 ]


Nos da por último la opción de guardar las

matrices resultado. Estas matrices repito

resultan de resolver la armadura por el

método de rigideces o matrices, un método

que casi no usarás, sin embargo podrían

serte útil después, es a tu elección guardarlas

o no. Damos ENTER para salir:

Nos despliega la despedida del programa,

Nos regresa al menú general del programa

donde podemos seguir haciendo más

armaduras si así lo deseamos o para salir del

programa por completo presionamos F3.

Haremos un ejercicio más, pero ahora

considerando un ejemplo un poco más

complejo con variables con área transversal y

modulo de elasticidad:

Calcular los esfuerzos

soportes en la estructura de la siguiente

figura. Considera que las barras AC, CD y DB

tienen un módulo de elasticidad de

E=200,000 MPa y tienen un igual área

transversal A=10cm2, mientras que las

barras AD y BC tienen un módulo de

elasticidad E=150,000 MPa y un área

transversal de 7.5cm2.

De igual forma lo primero que tenemos que

hacer es tomar una hoja y pasar la

información adecuada al No. de nodos con

sus respectivas coordenadas y No. de

elementos de la armadura:

Invierno 2009

Página 34

Haremos un ejercicio más, pero ahora

ejemplo un poco más

complejo con variables con área transversal y

y reacciones en los

en la estructura de la siguiente

figura. Considera que las barras AC, CD y DB

tienen un módulo de elasticidad de

200,000 MPa y tienen un igual área

, mientras que las

barras AD y BC tienen un módulo de

elasticidad E=150,000 MPa y un área

De igual forma lo primero que tenemos que

hacer es tomar una hoja y pasar la

rmación adecuada al No. de nodos con

sus respectivas coordenadas y No. de

elementos de la armadura:



Ya que tenemos la información adecuada

para Arma2D otro factor de SUMA

IMPORTANCIA son las unidades que se van a

manejar, en este ejercicio nos dan las

unidades mezcladas (MPa, kN, m, cm2). Es

muy importante que definas desde el inicio

que unidades vas a manejar y seas

consistente en todas ellas. En general sólo

debes hacer cuadrar las unidades para

distancia y área, así como para fuerza y

elasticidad. Generalmente solo hay de 2

sopas, el sistema inglés o el sistema

internacional, yo te recomiendo que

SIEMPRE transformes las unidades que

tengas del problema al sistema en donde

predominen sus unidades. Aquí dejo la tabla

con las unidades correspondientes para cada

sistema, y que son las unidades con las que

se tiene que introducir al programa Arma2D:

Tipo Área Elasticidad Distancia Fuerza

S.I. m2 Pa m N

Inglés ft2 psi ft lbf

La misma Texas puede ayudarte a cuadrar las

unidades que tenemos (en este caso) al

sistema internacional.

Sabemos de primera mano que 1kN equivale

a 1000N, por lo tanto cuadrando las fuerzas

que tenemos son 5000 N y 8000 N

respectivamente, también sabemos que

1MPa = 1, 000,000 Pa, por lo tanto la

elasticidad ajustada a Pascales sería 2x1011 y

1.5x1011 respectivamente y por último nos

queda convertir cm2 a m2. El cual en la Texas

se puede hacer, en la línea de entrada

tecleamos el 10:

Ahora presionamos tecla DIAMANTE +

letra P del teclado extendido y vemos:

Este es el repertorio de unidades que posee

la calculadora, aquí están todas las unidades

que usarás a lo largo de tu carrera, como

puedes ver están divididas por tipo

(constantes, longitud, área, volumen, etc.),

te puedes mover a través del menú con las

flechas de desplazamiento

y para desplegar cualquier submenú de

unidades das un teclazo a la derecha y para

contraerlo con tecla ESC . Como en

nuestro ejercicio hace referencia a una

unidad de medida al cuadrado desplegamos

del menú “Lenght” (longitud) y damos ENTER

en la opción de cm:



Y tecleamos la unidad al cuadrado con

para convertir la unidad tecleamos

“2nd” + letra Y del teclado extendido:

Esta pequeña flechita es de conversión,

ahora para no estar llamando al menú de

unidades podemos teclear el guión bajo + la

combinación de letra de la unidad solicitada

a convertir, presionamos “2nd” + letra P del

teclado extendido y sale el guión bajo y

ahora solo tecleamos la m^2:

Damos ENTER:

Y vemos la transformación inmediata a

metros cuadrados. Hacemos lo mismo para

los 7.5:

Ya que tenemos todos nuestros valores

cuadrados al sistema internacional

procedemos a correr el programa Arma2D

nuevamente. Como tip simplemente

desplázate con el cursor por el historial y

posiciónate sobre la línea de arma2d/arma2d

y da ENTER para que se copie a la línea de

entrada y da ENTER nuevamente para que de

inicio. Todo el proceso como en el ejemplo

anterior empieza igual. Indicamos los nodos

y elementos, las coordenadas (en metros) de

los nodos:

Las conectividades de los elementos:

Aquí es importante recordar que el número

de elementos debe especificarlos bien el

problema ya que podría haber una confusión

de un nodo inexistente en el cruce de los

elementos 4 y 5. Luego los apoyos:

Sólo haremos una pausa para indicar la

diferencia en las propiedades geométricas

del problema:

Aquí simplemente tenemos que diferenciar

el número de secciones de la armadura que

tienen las mismas propiedades (área y



elasticidad), sabemos que hay 2 tipos,

tecleamos 2 y damos ENTER:

Ahora vamos a definir la sección 1 como las

barras AC, CD y DB, en nuestra hoja las

tenemos como elementos 1, 2 y 3.

Tecleamos las propiedades geométricas

encontradas con las unidades corregidas de

estas barras:

La expresión de la “E” sale con “2nd” +

número 1 de la parte numérica y expresa

“x10n”. Damos ENTER para continuar y nos

va a preguntar el número de barras que

tienen estas propiedades, sabemos que son

3:

Damos ENTER para continuar, y ahora nos va

a preguntar cuales son los elementos que

tienen estas propiedades, debes poner el

número de elemento que le corresponde

separados por comas y entre corchetes

FORZOSAMENTE. Para quitar la sombra de

los corchetes da a la derecha con el cursor

una vez y luego nuevamente a la izquierda

para posicionarte en medio de los corchetes,

sabemos que los elementos son 1, 2 y 3:

Damos ENTER para continuar (en caso de

que hayas borrado accidentalmente los

corchetes debes reescribirlos con “2nd” +

tecla coma y tecla de signo de división). Y de

igual forma nos preguntará ahora las

propiedades de la sección No. 2:

Damos ENTER para continuar y de igual

forma le decimos el número de elementos

que tienen estas propiedades (2):

Damos ENTER para continuar y nuevamente

debemos decirle cuales son los elementos

que tienen estas propiedades, corresponden

a las barras AD y BC, en nuestra hoja las

tenemos como 4 y 5:

Damos ENTER para continuar y vemos los

datos introducidos:



De igual forma te dará la opción de corregir

algo o continuar, damos ENTER y lo demás

sigue de la misma forma, introducimos en

Fuerza Externas las fuerzas que actúan sobre

los nodos, recuerda que debe estar en miles

de newtons para que sea consistente con las

demás unidades:

Y damos en TERMINAR y luego en Graficar

para observar que esta bien introducida la

información:

Damos ENTER para continuar y luego a

analizar:

Damos en F1 y vemos los resultados de

reacciones en los apoyos y fuerzas en cada

barra:

Aquí solo debes entender que la Fuerza axial

esta en Newtons y el Esfuerzo está en

Pascales. Al igual que la Reacción en X e Y

están en Newtons. Por último los

desplazamientos nodales:

Los cuales también debes entender que se

encuentran en metros. Damos ENTER para

continuar y luego F4 para salir. Y luego F3

para salir por completo.

Como puedes darte cuenta este es un

excelente programa para corroborar tus

armaduras y comprobar tus resultados. En

resumen lo único que necesitas conocer de

la armadura o calcularlo es:

• Enumerar nodos y elementos(barras)

• Coordenadas de los nodos (x, y)

• Dimensionamiento adecuado de

unidades.


Resolviendo Vigas con Saxpc Página 39

Resolviendo vigas con Saxpc

El siguiente tema que en general ven en ésta

materia es resolver vigas indeterminadas,

con cargas puntuales, o cargas distribuidas,

momentos y con soportes varios, les piden

encontrar las reacciones en apoyos y

esfuerzos cortantes y graficas de éstos, y

hasta encontrar las ecuaciones de éstas

gráficas, bueno éste programa hace todo eso

y te será de gran ayuda para corroborar tus

respuestas y graficar las vigas que quieras

calcular. Éste programa fue desarrollado por

el I.C. Carlos A. Perez Coca originario de

Managua, Nicaragua, al cual al igual que

Germán le agradecemos su creación,

también viene un manual de uso del

programa en un documento de Word, la

desventaja es que está en inglés, por eso

aquí resolveremos algunos ejercicios. Igual

que en el programa Arma2D, éste programa

te da la opción de poner las propiedades

geométricas de la viga (área transversal y

elasticidad), que de igual forma tú debes

determinar (el problema lo proporciona); hay

otra aplicación en el programa ME-Pro

donde puedes introducir las dimensiones de

la sección transversal de la viga y te calcula

área, momento de inercia, radio de giro y

coordenadas con respecto a los ejes, éstos

datos los ocuparás más adelante cuando

veas vigas donde tengas que encontrar estos

datos para resolver el problema. El programa

mismo de ME-Pro tiene una aplicación para

resolver vigas, sin embargo es limitado y no

puede resolver de todos tipos como saxpc.

Mostraremos un par de ejemplos de todo

esto para mostrar sus usos.

El programa saxpc sólo puede resolver vigas

en plano horizontal, para resolver

combinaciones con vigas verticales se debe

hacer un cambio en la forma de visualizar el

problema para llevarlo a una forma plana.

Veamos un ejemplo de vigas en horizontal:

Encontrar además las reacciones en los

apoyos y encontrar ecuaciones de esfuerzo

cortante y de momento, así como los

diagramas de las mismas.

Este problema a mano nos llevaría algo de

tiempo, con el programa saxpc podemos

encontrar todo esto. A diferencia de

Arma2D, para éstos problemas no necesitas

llevar la información a otra viga para

introducir la información, basta con observar

cuidadosamente la viga que tenemos y que

esté bien dimensionado (con unidades

consistentes) en todos los sentidos. Ya

estando en HOME en la calculadora

tecleamos “2nd” + signo menos , para ir

al menú de las carpetas de la Texas:

Desplegamos la carpeta SAXPC dando a la

derecha con el cursor y damos ENTER sobre

el programa “beamxp”:


Resolviendo Vigas con Saxpc

Cerramos el paréntesis con

ENTER:

Y da la bienvenida al programa, para

empezar a introducir un nuevo problema

damos en F1 y primera opción “Nuevo”:

De aquí en adelante saxpc te irá haciendo

preguntas clave y debes irlas contestando

adecuadamente. En primer lu

entender que para saxpc un “claro” es una

viga, esto se debe a la diferencia cultural, al

parecer en Managua les llaman así, en

segundo lugar el número de “claros” o vigas

va a estar definido por el número de apoyos

que tenga la viga completa, es

apoyos dividen vigas ó “claros”:

IALES 1 ]


Cerramos el paréntesis con y damos

Y da la bienvenida al programa, para

empezar a introducir un nuevo problema

damos en F1 y primera opción “Nuevo”:

De aquí en adelante saxpc te irá haciendo

preguntas clave y debes irlas contestando

adecuadamente. En primer lugar debes

entender que para saxpc un “claro” es una

viga, esto se debe a la diferencia cultural, al

parecer en Managua les llaman así, en

segundo lugar el número de “claros” o vigas

va a estar definido por el número de apoyos

que tenga la viga completa, es decir los

apoyos dividen vigas ó “claros”:

En total son 3 claros. Si los apoyos hubieran

estado al inicio y al final de la viga completa

hubiera sido solo un claro, pero como se

encuentran en medio debe ponerse la

división de vigas. Tecleamos 3 y damo

ENTER:

Luego nos pregunta las cargas nodales, esta

pregunta hace referencia a si existen o no

cargas en los “nodos”, es decir si algún nodo

ya tiene una carga positiva que contrarresta

las cargas que halla en los claros, en la

mayoría de los problemas que verás p

ésta materia no habrá cargas positivas en los

nodos, damos cero y ENTER:

Invierno 2009

Página 40

En total son 3 claros. Si los apoyos hubieran

estado al inicio y al final de la viga completa

hubiera sido solo un claro, pero como se

encuentran en medio debe ponerse la

división de vigas. Tecleamos 3 y damos

Luego nos pregunta las cargas nodales, esta

pregunta hace referencia a si existen o no

cargas en los “nodos”, es decir si algún nodo

ya tiene una carga positiva que contrarresta

las cargas que halla en los claros, en la

mayoría de los problemas que verás para

ésta materia no habrá cargas positivas en los

nodos, damos cero y ENTER:



La pregunta de cuantos apoyos es obvia,

tecleamos 2 y damos ENTER:

Luego nos pregunta las cargas en claros, en

este problema hay 3 cargas distintas,

tecleamos 3 y damos ENTER: (el tipo de

cargas que se deben tomar en cuenta para

incluirlas en esta pregunta son: cargas

puntuales, distribuidas y momentos)

Viene la información de acuerdo a las

distancias en las vigas o claros, para ésta

serie de preguntas debe tomarse desde el

inicio de la viga y de ahí la suma acumulada

de la distancia:

IALES 1 ]


La pregunta de cuantos apoyos es obvia,

Luego nos pregunta las cargas en claros, en

este problema hay 3 cargas distintas,

amos ENTER: (el tipo de

cargas que se deben tomar en cuenta para

incluirlas en esta pregunta son: cargas

puntuales, distribuidas y momentos)

Viene la información de acuerdo a las

distancias en las vigas o claros, para ésta

tomarse desde el

inicio de la viga y de ahí la suma acumulada

El primer claro llega hasta 2, tecleamos 2 y

damos ENTER:

Confirmamos dando ENTER. El claro 2 llega

hasta 8:

Y por último el claro 3 llega hasta 10:

Damos ENTER para confirmar:

De igual forma que Arma2D puedes

introducir la información de propiedades

geométricas de cada claro: elasticidad, área e

inercia. Los problemas en los que

ésta información debes asumirlas como 1 en

todos sus valores te mu

con el cursor arriba y abajo; más adelante

veremos la introducción de ésta información

y para calcular también las diferentes

Invierno 2009

Página 41

El primer claro llega hasta 2, tecleamos 2 y

Confirmamos dando ENTER. El claro 2 llega

Y por último el claro 3 llega hasta 10:

ENTER para confirmar:

De igual forma que Arma2D puedes

introducir la información de propiedades

geométricas de cada claro: elasticidad, área e

inercia. Los problemas en los que no te den

debes asumirlas como 1 en

todos sus valores te mueves entre ventanas

con el cursor arriba y abajo; más adelante

veremos la introducción de ésta información

y para calcular también las diferentes



propiedades geométricas de los diversos

tipos de secciones transversales de las vigas:

Damos ENTER:

Confirmamos dando ENTER de nuevo y

hacemos lo mismo para los otros 2 claros:

Luego nos saldrá una pantalla así:

Ahora tenemos que introducir los tipos de

apoyo que hay en la viga, pulsamos F1:

IALES 1 ]


propiedades geométricas de los diversos

secciones transversales de las vigas:

onfirmamos dando ENTER de nuevo y

hacemos lo mismo para los otros 2 claros:

Luego nos saldrá una pantalla así:

Ahora tenemos que introducir los tipos de

apoyo que hay en la viga, pulsamos F1:

Y vemos los diversos tipos de apoyo en las

vigas, debes entender que

apoyo pueden ponerse de las tantas maneras,

pero para la parte del análisis ellos trabajarán

propiamente así cada apoyo que veas es

equivalente:

Seleccionamos el ap

correspondiente al No.2:

Damos ENTER:

Y nos preguntará en que nodo va éste apoyo,

los nodos fueron definidos desde el inicio

cuando determinamos el número de claros y

de apoyos que había, se ve así:

Los nodos se nombran de izquierda a

derecha de forma ordinal (1, 2, 3,.., n)

tomando el inicio de la viga como un nodo.

Automáticamente la calculadora hará este

Invierno 2009

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Y vemos los diversos tipos de apoyo en las

vigas, debes entender que estos tipos de

apoyo pueden ponerse de las tantas maneras,

pero para la parte del análisis ellos trabajarán

cada apoyo que veas es

Seleccionamos el apoyo articulado

correspondiente al No.2:

Y nos preguntará en que nodo va éste apoyo,

los nodos fueron definidos desde el inicio

cuando determinamos el número de claros y

de apoyos que había, se ve así:

Los nodos se nombran de izquierda a

derecha de forma ordinal (1, 2, 3,.., n)

tomando el inicio de la viga como un nodo.

Automáticamente la calculadora hará este



tipo de ordenamiento cuando introduzcas los

datos del número de claros, visto de otra

forma:

Si se dividió en 3 claros o vigas es obvio que

tiene 4 puntos clave (inicio y fin y 2 puntos

de unión), es por esto que hace la división

automática, damos a la derecha con el cursor

y seleccionamos el N.2, que hace referencia

al segundo nodo y que corres

localización del apoyo:

Damos ENTER para seleccionarlo y ENTER de

nuevo para confirmar:

Ahora debemos introducirle el segundo

apoyo correspondiente al de rodillo o móvil:

IALES 1 ]


tipo de ordenamiento cuando introduzcas los

datos del número de claros, visto de otra

Si se dividió en 3 claros o vigas es obvio que

tiene 4 puntos clave (inicio y fin y 2 puntos

de unión), es por esto que hace la división

automática, damos a la derecha con el cursor

y seleccionamos el N.2, que hace referencia

al segundo nodo y que corresponde con la

Damos ENTER para seleccionarlo y ENTER de

Ahora debemos introducirle el segundo

apoyo correspondiente al de rodillo o móvil:

Damos ENTER:

Y de igual forma seleccionamos el nodo

correspondiente que es el nodo 3:

Damos ENTER

para confirmar:

Lo que sigue para introducir son las cargas en

los claros, en total hay 3, debemos introducir

una por una. Tecleamos F1:

Y vemos las cargas posibles, de forma

general tú sólo usaras las primeras 4 cargas.

Seleccionamos la segunda carga que

corresponde a la carga puntual y damos

ENTER:

Invierno 2009

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Y de igual forma seleccionamos el nodo

spondiente que es el nodo 3:

Lo que sigue para introducir son las cargas en

los claros, en total hay 3, debemos introducir

una por una. Tecleamos F1:

Y vemos las cargas posibles, de forma

las primeras 4 cargas.

Seleccionamos la segunda carga que

corresponde a la carga puntual y damos



Para lo que sigue se debe tener mucho

cuidado ya que a diferencia de Arma2D,

saxpc no te deja regresar a hacer

modificaciones en caso de que te haya

equivocado:

En la primera opción debes especificar en

que claro se encuentra la carga, esta primera

carga puntual esta en el claro 1, recuerda

que también los claros se numeran

automáticamente de izquierda a derecha:

Bajamos un nivel con el cursor

es teclear la fuerza de ésta carga puntual,

recuerda que el eje coordenado es así:

Fuerza �

�

�

�

Por lo tanto la fuerza P será -4000:

Recuerda de teclear el signo menos de tecla

negra, y por último la “Distancia A” hace

referencia a que distancia del claro 1 se

encuentra la fuerza a partir del origen de ese

claro, como está al inicio tecleamos cero. Las

IALES 1 ]


Para lo que sigue se debe tener mucho

cuidado ya que a diferencia de Arma2D,

saxpc no te deja regresar a hacer

modificaciones en caso de que te hayas

En la primera opción debes especificar en

que claro se encuentra la carga, esta primera

carga puntual esta en el claro 1, recuerda

que también los claros se numeran

automáticamente de izquierda a derecha:

Bajamos un nivel con el cursor y lo que sigue

es teclear la fuerza de ésta carga puntual,

recuerda que el eje coordenado es así:

Signo

-

+

+

-

4000:

Recuerda de teclear el signo menos de tecla

negra, y por último la “Distancia A” hace

referencia a que distancia del claro 1 se

encuentra la fuerza a partir del origen de ese

claro, como está al inicio tecleamos cero. Las

distancias que hagan referencia re

claro iniciaran de nuevo desde cero.

Damos ENTER y continuamos:

Confirmamos dando ENTER nuevamente:

De igual forma tecleamos F1 y seleccionamos

la carga distribuida y damos ENTER:

Lo primero es desplegar del primer menú de

“En Claro” dando a la derecha con el cursor y

seleccionar el segundo claro ya que aquí es

donde se encuentra la carga distribuida:

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distancias que hagan referencia respecto al

claro iniciaran de nuevo desde cero.

Damos ENTER y continuamos:

Confirmamos dando ENTER nuevamente:

De igual forma tecleamos F1 y seleccionamos

la carga distribuida y damos ENTER:

Lo primero es desplegar del primer menú de

“En Claro” dando a la derecha con el cursor y

seleccionar el segundo claro ya que aquí es

donde se encuentra la carga distribuida:



Bajamos con el cursor para introducir la

carga distribuida.

Ahora bien antes de pasar a introducir la

carga distribuida debo explicarte como

funciona esto de W1 y W2, éstas variables

hacen referencia al peso inicial y final de la

carga distribuida, se puede poner positiva

(carga hacia arriba) o negativa (carga hacia

abajo). Tú puedes combinarlas como desees

en general verás tipos de carga distribuidas

rectangulares, triangulares y trapezoidales.

Tú debes teclear en W1 la carga inicial y en

W2 la carga final de la distribuida, siempre

de izquierda a derecha, por ejemplo:

Si te das cuenta las triangulares

terminarán ó iniciarán en cero, ya que en el

IALES 1 ]


Bajamos con el cursor para introducir la

Ahora bien antes de pasar a introducir la

o explicarte como

funciona esto de W1 y W2, éstas variables

hacen referencia al peso inicial y final de la

carga distribuida, se puede poner positiva

(carga hacia arriba) o negativa (carga hacia

abajo). Tú puedes combinarlas como desees

pos de carga distribuidas

rectangulares, triangulares y trapezoidales.

Tú debes teclear en W1 la carga inicial y en

W2 la carga final de la distribuida, siempre

de izquierda a derecha, por ejemplo:

Si te das cuenta las triangulares siempre

terminarán ó iniciarán en cero, ya que en el

punto final ó inicial no habrá carga. Para las

distribuidas constantes en toda su extensión

debe teclearse de igual manera al inicio y al

final su peso de carga distribuida:

Recuerda que las

representan cargas que pudieran “levantar”

la viga en vez de presionarla. Por último las

fuerzas tipo trapezoidales, las de éste tipo en

clase las tendrían que descomponer en 2

cargas distribuidas, aquí con saxpc se puede

hacer todo en 1, por ejemplo:

O de igual forma si fueran cargas positivas, lo

único característico de estas cargas es que

debes fijarte que la carga menor y mayor sea

coherente, la de mayor altura debe tener un

peso mayor. También se puede combinar la

Invierno 2009

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punto final ó inicial no habrá carga. Para las

distribuidas constantes en toda su extensión

debe teclearse de igual manera al inicio y al

final su peso de carga distribuida:

Recuerda que las cargas positivas

representan cargas que pudieran “levantar”

la viga en vez de presionarla. Por último las

fuerzas tipo trapezoidales, las de éste tipo en

clase las tendrían que descomponer en 2

cargas distribuidas, aquí con saxpc se puede

por ejemplo:

O de igual forma si fueran cargas positivas, lo

único característico de estas cargas es que

debes fijarte que la carga menor y mayor sea

coherente, la de mayor altura debe tener un

peso mayor. También se puede combinar la



carga distribuida desde con diferentes

signos, por ejemplo:

Las de este tipo son muy poco comunes y

casi no las verás. Ok habiendo explicado esto

y continuando con nuestro ejemplo la carga

distribuida va hacia abajo y va con 600 N/m,

por lo tanto queda así:

La distancia A (inicio) y B (fin) hacen

referencia a la longitud en la que se

encuentra la carga en ese claro, recuerda

que las distancias inician desde cero

nuevamente con cada claro. Como la

distancia de esta carga se encuentra a lo

largo de todo el segundo claro la distancia A

es cero y la B o punto final es 6:

Damos ENTER para continuar: y ENTER

nuevamente para confirmar:

IALES 1 ]


distribuida desde con diferentes

Las de este tipo son muy poco comunes y

casi no las verás. Ok habiendo explicado esto

y continuando con nuestro ejemplo la carga

distribuida va hacia abajo y va con 600 N/m,

La distancia A (inicio) y B (fin) hacen

referencia a la longitud en la que se

encuentra la carga en ese claro, recuerda

que las distancias inician desde cero

nuevamente con cada claro. Como la

distancia de esta carga se encuentra a lo

todo el segundo claro la distancia A

es cero y la B o punto final es 6:

Damos ENTER para continuar: y ENTER

Continuamos, pulsamos F1 y la tercera carga

es una carga puntual:

Cambiamos la posición de la carga puntual

claro 3:

Y la cantidad de la carga P es de

porque va hacia abajo:

Por último la distancia A como ya sabemos

hace referencia a la distancia desde el origen

de ese claro al punto donde se encuentra esa

carga, la distancia es 2:

Damos ENTER para continuar y confirmar:

Invierno 2009

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Continuamos, pulsamos F1 y la tercera carga

Cambiamos la posición de la carga puntual al

Y la cantidad de la carga P es de -3000

Por último la distancia A como ya sabemos

hace referencia a la distancia desde el origen

de ese claro al punto donde se encuentra esa

ER para continuar y confirmar:



Verás que dibuja la viga adecuadamente con

los soportes y las cargas puntales y

distribuidas adecuadamente, si introdujiste

mal un dato aparecerá error de dominio y

tendrás que empezar todo de nuevo. Te

recomiendo que metas la información con

cuidado para no cometer errores. Es

importante señalar que saxpc ajusta la viga al

tamaño de pantalla. Tecleamos F2 para que

analice el problema, tomará unos cuantos

segundos, deja que termine por completo

hasta que aparezca de nuevo la pantalla con

el dibujo de la viga:

Para visualizar los resultados de reacciones

teclea del menú F2 “Cálculos” y da ENTER en

la primera opción de reacciones:

Da ENTER nuevamente para que aparezcan

las reacciones:

Te puedes desplazar a través d la matriz

dando con el cursor arriba y abajo. Aquí es

bueno tomarnos un momento para explicar

lo que representa. Si te das cuenta Saxpc

divide cada reacción por nodo, Rx:1, Ry:1

Mz:1, hace referencia a Reacción en X del

nodo 1, Ry:1 a reacción en Y del nodo 1, y

Mz:1 momento en el nodo 1. Recuerda que

el nodo 1 y 4 eran el inicio y fin de la viga,

por es por esto que los valores son ceros.

Hay que tomar en cuenta solo las reacciones

en Y de los nodos 2 y 3 que es donde había

soportes:

Vemos que las reacciones en Y de los

soportes don 6133.33 N y 4466.667 N

respectivamente. Para salir damos ENTER y

regresamos al menú principal de resultados.

Ahora tecleamos F1 para desplegar los

resultados de los elementos y seleccionamos

y damos ENTER en la última opción, es aquí

donde se encuentran los resultados de las

gráficas:



Aquí ya está dividido por menús generales

cada elemento, F1 para esfuerzo cortante,

F2 para momento, F3 para pendiente y F4

para deflexión. Damos en F1 primero para

ver el menú de resultados del esfuerzo

cortante:

Damos ENTER en ecuaciones, y ENTER

nuevamente para ver las ecuaciones:

Nos podemos desplazar para ver toda la

ecuación de la cortante de izquierda a

derecha. Es importante aprender a

interpretar éstas ecuaciones. Si te fijas es

una ecuación por sección o “claro” que había

en el problema, en éste hay 3 ecuaciones o

tramos y nos dice claramente que de x≥0 a

x≤2 la ecuación que le corresponde es -4000.

Para x≥2 y x≤8 la ecuación que le

corresponde es 3333.3333-600x; y por

último para x≥8 y x≤10 la ecuación es 3000.

Éstas son las respuestas importantes y que

debemos copiar inmediatamente para

comprobarlas, ya que de éstas ecuaciones

podremos encontrar el punto máximo de

momento ó deflexión. Damos ENTER para

regresar al menú general de respuestas. Y

hacemos lo mismo para las ecuaciones de

momento:

Aquí es importante hacer un señalamiento,

como el método de solución de SAXPC de

estos problemas es por el método de

rigideces con matrices (métodos numéricos),

es común encontrar expresiones como éstas:

-1E-9, Esta expresión es lo mismo que -1 x10-9

y deben ser tomadas como cero o

simplemente como si no existiera ésta

expresión y no incluirla en las ecuaciones

respuesta. Es conveniente hacer una tabla y

copiar las ecuaciones respuesta de cada

tramo para esfuerzo cortante y para

momento:

Tramo Cortante Momento

x≥0 a x≤2 -4000 -4000x

x≥2 a x≤8 3333.333-600x -300x2+3333.333x-13466.667

x≥8 a x≤10 3000 3000x-30000

Con ésta información ya podemos fácilmente

encontrar el punto crítico de la cortante, y el

momento máximo de la viga. Para hacer esto

podemos simplemente salirnos ya del

programa y hacerlos de forma analítica en

HOME, sin embargo también podemos

hacerlo “al tanteo” en este mismo programa

viendo el diagrama, tecleamos primero del

menú del esfuerzo cortante F1 y

seleccionamos “Diagrama”:

La desventaja de verlo aquí es que en

ocasiones se demora mucho haciendo el



diagrama, debido a que le toma un poco de

tiempo ajustar la gráfica con las 3 ecuaciones

(alrededor de 3 min). De igual forma

veremos como hacerlas en HOME

analíticamente más adelante para encontrar

rápido los valores importantes. Después de

un momento vemos:

Aquí es importante hacer una aclaración,

siempre que le pidas ver el diagrama la Texas

ajustará la gráfica a la pantalla de la

calculadora. Puedes ver que hay unas

pequeñas líneas horizontales del lado

inferior izquierdo y superior derecho que

apenas se dibujan y que indican que son

parte del diagrama de respuesta, una vez

que ha aparecido el puntero, puedes

desplazarte a través de la gráfica con el

cursor, e ir viendo la coordenada, para

moverte más rápido sólo deja presionada la

tecla “2nd” y desplázate con el cursor. Si

quieres ver un punto en específico sólo

teclea el valor del punto en X que quieres ver

y da ENTER, por ejemplo:

Es importante mencionar que si tecleas un

valor fuera de los límites de la pantalla

ajustada (0≤x≤10) aparecerá un error de

dominio y el programa tronará, es

importante que pidas valores que se

encuentran dentro de la pantalla. El

encontrar los puntos es útil ya que podrás

irte guiando en cada valor para pasar la

gráfica a tu cuaderno, ó simplemente

imprimir esta pantalla con el software TI-

Connect e imprimirla para después pegarla

en tu cuaderno (checar manual de

instalación y software de TI-V200). El punto

de corte crítico es en donde cruza la gráfica

con el eje X, nos desplazamos poco a poco

con el cursor y observamos su valor en yc:

Podemos ver que es casi cero, para ver el

valor lo más exacto posible nos acercamos

en decimales, tecleamos por ejemplo 5.5555

y damos ENTER:

Éste sería el punto de valor crítico de la

cortante aproximada. Damos ESC para salir

de esta pantalla y regresar a los resultados.

Vemos ahora el diagrama de momento:



Vemos después de un momento la gráfica

adecuada para el momento en la viga, de

igual forma el punto máximo relativo del

momento en el segundo claro será el mismo

punto donde se hizo cero con la recta de la

gráfica de la cortante (5.555), tecleamos este

valor y damos ENTER:

Éste valor es valor del momento máximo

aproximado y corresponde a -4207.407 Nm.

Éste es otro resultado aproximado. De igual

forma aquí te puedes guiar a través de la

gráfica para copiarla a tu cuaderno y

observar los puntos máximos de momento y

de esfuerzo cortante. Ya hemos encontrado

las respuestas a ésta viga, para salirnos

damos ESC 2 veces:

Para salirnos por completo del programa

tecleamos F3:

Nos dará la opción posible si queremos

guardar ésta viga problema para después

volverla a cargar en caso de necesitarla. Esto

es a nuestra elección. Damos ENTER una vez

y luego tenemos la opción de seguir

resolviendo más vigas. Damos en F3 para

salir por completo del programa:

Nos aparece la pantalla de despedida y por

quien fue creada. Damos ENTER nuevamente

para salir:

Ahora aquí mismo en HOME vamos a

resolver los puntos máximos de la ecuación

que obtuvimos. Ésta es otra forma de

encontrarlos si de plano se te hizo muy

tardado verlo en el programa saxpc.

Borramos la línea de entrada con CLEAR, ya

con la ecuación vista en la tabla simplemente

llamamos la función solve del menú de

Algebra tecleando F2:

Damos ENTER para que se copie a la línea de

entrada:

Ahora simplemente tecleamos la función que

encontramos e igualamos a cero:



Al final debe ir la coma y la variable que

deseamos que encuentre, y damos ENTER:

Vemos que no estábamos muy errados de la

respuesta exacta. También puedes graficar

con el software de la Texas las mismas

ecuaciones y mas rápidamente las funciones.

Tecleamos DIAMANTE + letra W del teclado

extendido:

Y entramos a la graficadora de funciones. Tal

como en las ecuaciones de cortante y

momento debemos teclear las 3 ecuaciones

para representar cada diagrama. Haremos

primero de la cortante. La primera ecuación

quedaría como 0x -4000:

Debe ponerse una X porque aunque no

exista debe tener un punto de referencia.

Ponemos los límites con el operador with,

sale con “2nd” + letra K del teclado

extendido e inmediatamente después el

intervalo donde existe esa función (0≤x≤2)

El menor que igual sale con “2nd” + Número

5 de la parte numérica y desplegamos el

menú de Test y se encuentran los

condicionantes:

Damos ENTER y ya queda la función marcada

lo cual significa queda lista para graficarse:

Hacemos lo mismo para los otros 2 tramos

de la viga:

Ya que tenemos nuestra gráficas marcadas

presionamos DIAMANTE +letra E para indicar

los máximos y mínimos de la pantalla:



Para estos problemas es fácil decir los límites

superiores e inferiores de la pantalla, ya que

la parte que nos interesa ver es de 0 a 10 en

el eje de las X y la coordenada Y será de

-4000 a 3000 (casi siempre así será, lo

determinarán los extremos de la viga):

Para ver la gráfica damos en DIAMANTE +

letra R del teclado extendido:

Podrás darte cuenta que se ve igual que en el

programa saxpc, pero tomó menos tiempo,

al final es tu elección donde decidas

visualizarlo, la ventaja de hacerlo aquí es que

aquí si puedes ver exactamente los puntos

críticos y máximos de la cortante. Tecleamos

F5 del menú matemático y damos ENTER en

la segunda opción Zero:

Primero nos movemos entre curvas

tecleando arriba y abajo con el cursor, nos

posicionamos sobre la segunda curva que

representa la cortante principal. Nos hará 2

preguntas simples, límite superior y límite

inferior, debemos dar un ENTER en algun

punto cualquier que este antes del punto

donde cruza con el eje X:

Y ahora damos un ENTER en algun punto

cualquiera después del punto donde cruza

con el eje X:

Damos ENTER y encuentra el punto donde se

hace cero:

Vemos que el resultado no estaba tan errado

al que aproximamos al tanteo.

Haremos un ejercicio más de vigas un poco

más complejo donde involucran una sección

transversal de la viga.



Nos dan la siguiente viga:

E = 2.1x106 N/cm2. Además nos dan l

sección transversal de la viga:

Y debemos encontrar las reacciones en los 3

apoyos y las ecuaciones de esfuerzo

cortante, momento, y deflexión, así como

sus diagramas correspondientes.

Lo primero que vamos a hacer es encontrar

el Área e inercia de la sección transversal.

Vamos a entrar al programa ME

hay una aplicación para las diversas

secciones transversales en vigas. Pulsamos

tecla APPS y nos desplazamos al programa

ME-Pro:

Damos ENTER:

IALES 1 ]


Además nos dan la

sección transversal de la viga:

Y debemos encontrar las reacciones en los 3

apoyos y las ecuaciones de esfuerzo

cortante, momento, y deflexión, así como

sus diagramas correspondientes.

Lo primero que vamos a hacer es encontrar

sección transversal.

Vamos a entrar al programa ME-Pro donde

hay una aplicación para las diversas

secciones transversales en vigas. Pulsamos

tecla APPS y nos desplazamos al programa


ENTER para continuar:

Este es un programa hecho originalmente

para ingenieros mecánicos, sin embargo por

su gran campo de aplicación tiene mucha

utilidad para otras materias que verás a lo

largo de tu carrera. Te recomiendo que veas

los manuales de otras materias para que

veas su aplicación especifica a esa materia.

Pulsamos F2 el menú de “Analysis” y

seleccionamos la opción número 6 “Section

Properties” (propiedades de secciones):

Y nos despliega el siguiente menú:

Este es un menú extenso de los

tipos de secciones transversales que verás en

ésta materia, desde secciones rectangulares

hasta secciones en forma de C o forma en

Trapezoidal, aquí solo es importante hacer

una aclaración, las opciones “hollow” es que

tienen un hoyo en medio de

secciones así). Nos desplazamos con el

cursor y seleccionamos la sección tipo I

Invierno 2009

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Este es un programa hecho originalmente

para ingenieros mecánicos, sin embargo por

su gran campo de aplicación tiene mucha

utilidad para otras materias que verás a lo

largo de tu carrera. Te recomiendo que veas

as materias para que

veas su aplicación especifica a esa materia.

Pulsamos F2 el menú de “Analysis” y

seleccionamos la opción número 6 “Section

Properties” (propiedades de secciones):

Y nos despliega el siguiente menú:

Este es un menú extenso de los diversos

tipos de secciones transversales que verás en

ésta materia, desde secciones rectangulares

hasta secciones en forma de C o forma en

Trapezoidal, aquí solo es importante hacer

una aclaración, las opciones “hollow” es que

tienen un hoyo en medio de la sección (hay

secciones así). Nos desplazamos con el

cursor y seleccionamos la sección tipo I-Even:



La sección “even” hace referencia a sección

tipo I donde ambas bases son iguales

(simétricas), la “uneven” es para la tipo que

la sección en I no es simétrica.

Aquí debemos introducir la información de la

sección en I que tenemos, tú puedes

observar que dimensión representa cada

variable tecleando en F4:

La figura que representa nuestra sección I es

la de la derecha donde es simétrica, la

primera es tipo T y la de en medio es tipo I-

Uneven, damos ENTER para continuar, sólo

debemos hacer la relación de nuestra

sección con las dimensiones de aquí.

Tecleamos en la primera variable 5:

E inmediatamente nos saldrá en la parte

superior de la pantalla una serie de unidades

que le podemos asignar, la unidad que

tenemos es en pulgadas, corresponde a la

tecla F4, la tecleamos:

Vemos que se lo asigna correctamente, y

hacemos lo mismo para las demás medidas:

Sólo hay que hacer la relación de que la

distancia “d” para la Texas es solo la parte de

en medio de la sección, por lo tanto

hacemos una resta simple y le asignamos

después la unidad de pulgadas:

Ahora para resolver toda las propiedades de

la sección damos en F2:

Y nos resuelve los siguientes datos:

Área Área de la sección

yy1 Distancia al centro de masa desde eje X

yy2 Distancia al centro de masa desde eje Y

i11 Área del momento de Inercia del eje X

i22 Área del momento de Inercia del eje Y

rg1 Radio de giro respecto al eje X rg2 Radio de giro respecto al eje Y



Algunos de estos datos los utilizarás en ésta

materia y otros ya solo los usaran los

mecánicos en la materia de Resistencia de

materiales 2. Como puedes ver todos los

datos se encuentran en pulgadas, tu puedes

aquí mismo convertir las unidades que tienes

a la unidad que quieras (en nuestro caso lo

pasaremos a metros, ya que las demás

unidades de la viga están en ésta unidad)

posicionándote primero sobre la unidad que

quieres convertir y luego tecleando del menú

F5 la opción de “Conv”:

Al dar ENTER verás nuevamente en la parte

superior de la pantalla la lista de unidades

posibles, debes elegir la unidad destino que

deseas:

Tecleamos en nuestro caso convertirlo a

metros cuadrados, correspondiente a tecla

F2:

Y nos transforma automáticamente la unidad

de pulgadas cuadradas a metros cuadrados,

de igual forma hacemos para el momento de

inercia del eje Y el cual es el dato que nos

interesa para introducir a saxpc:

Siempre serán estos 2 datos (para estos

problemas) los que nos interesarán para

resolver las vigas, Área e Inercia en el eje Y,

“I22”. Copiamos los datos y regresamos a

HOME con DIAMANTE + letra Q del teclado

extendido. Solo nos faltaría hacer una

conversión de la elasticidad de newtons

sobre centímetro cuadrado a newtons sobre

metro cuadrado:

Damos ENTER y vemos la conversión:

Vemos la relación que queda 2.1E9. Ya que

tenemos todos los datos estamos listos para

introducir la información a saxpc. Como tip

solo desplázate con el cursor hacia arriba por

el historial y da ENTER 2 veces sobre el

programa:

Todo desde el inicio es igual, solo se harán

un par de anotaciones a mitad del problema,

ya debes entender que son 3 claros:



Cero cargas nodales:

Tres apoyos (el empotre del inicio cuenta

como apoyo):

Cuatro cargas en claros (la carga última del

momento también cuenta):

El primer claro llega hasta 9:

El segundo claro hasta 20 (recuerda que es la

suma acumulada):

El tercero hasta 23:

Luego viene la parte donde va a cambiar, en

área, elasticidad e inercia tecleamos los

valores que encontramos con el programa

ME-Pro:

Para el claro 2 se quedaran guardados los

mismos valores, damos ENTER para

continuar y así queden los otros 2 claros:

Luego el primer tipo de apoyo es el

empotrado o “de pared”, corresponde al tipo

3:

Y corresponde al nodo 1, ó nodo inicial:



El segundo apoyo es articulado y

corresponde al nodo 2:

Y el tercero es de rodillo y esta en el nodo 3:

Luego empezaremos con las cargas de

izquierda a derecha. La primera carga está en

el claro 1, como va hacia arriba va con signo

positivo y empieza desde 900 hasta cero, e

inicia en 1.5 y termina en 9:

La carga 2 es trapezoidal. Está en el claro 2.

Como va hacia abajo son cargas negativas, y

empiezan en -950 y termina en -280. La

distancia a la que inicia esta a 1.5 y termina

en 9 (11-2=9):

La tercera carga es puntual. Se encuentra en

el tercer claro, como va hacia abajo es

negativo y se encuentra a una distancia de 1:

Y la última carga es de momento. Se

encuentra en el tercer claro, como gira en el

sentido de las manecillas del reloj es

negativa, y se encuentra a 3 m:



Une pequeña aclaración con los momentos:

Momento Signo que debe

Irónicamente deben llevar signos contrarios.

Damos F2 para que analice la viga. Vemos los

resultados de reacciones en X, Y y momento

de cada uno de los nodos:

Entramos a los elementos de cortante,

momento y deflexión:

Vemos por ejemplo primero las ecuaciones

de cortante:

IALES 1 ]


Une pequeña aclaración con los momentos:

Signo que debe llevar

Menos

Mas

Irónicamente deben llevar signos contrarios.

Damos F2 para que analice la viga. Vemos los

resultados de reacciones en X, Y y momento

Entramos a los elementos de cortante,

por ejemplo primero las ecuaciones

Y de igual manera conviene hacer una tabla

para cada sección y ecuación en esa parte.

Vemos la de momento:

Por último las de deflexión:

Ahora vemos el diagrama de cortante, toma

un poco de tiempo:

Vemos que hay ahora 2 puntos de corte

“critico” que cruzan con el eje X, uno se

aproxima a 14 y el otro a 6.47:

Invierno 2009

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Y de igual manera conviene hacer una tabla

para cada sección y ecuación en esa parte.

Por último las de deflexión:

Ahora vemos el diagrama de cortante, toma

Vemos que hay ahora 2 puntos de corte

“critico” que cruzan con el eje X, uno se

aproxima a 14 y el otro a 6.47:



Vemos ahora el diagrama de momento, de

igual forma le toma tiempo:

De igual forma encontramos el punto de

momento máximo al tanteo:

Vemos que corresponde con el punto de

corte con el eje X de la cortante, y lo mismo

para punto mínimo de momento del lado

izquierdo:

Por último vemos el diagrama de la

deflexión:

Esta gráfica quizá le tome más tiempo, es

muy recomendable teclear de cuando en

cuando izquierda y derecha con el cursor

para que no se apague la calculadora,

aunque claro siempre tienes la opción como

en el ejercicio anterior de ver la gráfica en el

graficador de HOME con las ecuaciones que

debes copiar de aquí mismo. Vemos por

tanteo el punto máximo de deflexión del

claro 1:

Y lo mismo para el claro 2:

Debes entender claro está que las

dimensiones en el diagrama de fuerza

cortante en el eje Y son Newtons (N), en el

diagrama de momento son Newtons por

metro (Nm), y en el de flexión son metros,

como puedes darte cuenta debido a que fue

un ejemplo un poco irreal, salen deflexiones

bastante grandes, además de que se aplican

muchas fuerzas a la viga, siendo esta de un

corte transversal pequeño.

Damos ESC 2 veces para regresar al menú

general y F3 para salir del programa por

completo. Como puedes ver este es un

excelente programa para comprobar tus

resultados y graficar (si tienes tiempo) los

diagramas de esfuerzos cortantes,

momentos deflectores y deflexiones, sin

embargo su desventaja es que a diferencia

de Arma2D no puedes regresar a modificar

información mal introducida, debes hacer

todo de nuevo, te recomiendo que

practiques los problemas que se dejan al

final de éste manual para que este listo para

tus exámenes.


Ejercicios Propuestos Página 60

Ejercicios Propuestos

Armaduras

Resuelve las siguientes armaduras con Arma2D.

1. Considerar la siguiente armadura. Determinar la fuerza en cada miembro mediante el método de los nudos, cuando F = 5 kN y la distancia AC es de 3 m.

2. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras LM, CD y HD, cuando F1 = 6 kN, F2 = 4 kN y las longitudes de las barras son: AB, DE: 3 m; BC, CD, KL, LM: 5 m; BK, CL, DM: 5 m.

3. Para la siguiente armadura, hallar la fuerza en las barras BC, BG, BF y FG, considerando los datos siguientes: F1 = 5 kN F2 = 4 kN F3 = 10 kN. La longitud de las barras BC, CD, CG es de 4 m. Las barras AB, BF, DE, DH tienen la misma longitud. Los ángulos FGB y DGH que forman las barras FG-BG y DG-GH, respectivamente, son de 30°.

4. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en cada barra, considerando los datos siguientes: F1 = 5 kN F2 = 4 kN F3 = 10 kN. La longitud de las barras AB, BC, CD, BD es de 4 m. El ángulo DAB que forman las barras AD y AB es de 30º.

5. Para la armadura "Baltimore" siguiente, indicar cuáles son las barras de fuerza nula, y hallar la fuerza en las barras KL, KT y JK. Considerar los datos siguientes: F1 = 5 kN, F2 = 10 kN. Los triángulos ACZA, CEaC, ..., ÑPQÑ son equiláteros de 2 m de lado, y los triángulos AEYA y MPRM también son equiláteros, de 4 m de lado.


Ejercicios Propuestos Página 61

6. Para la armadura "Fink" siguiente indicar cuáles son las barras de fuerza nula, y hallar la fuerza en las barras DK, DE y EI. Considerar los datos siguientes: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = 5 kN. Los triángulos BCMB, CPMC, EIQE y EFIE son equiláteros de 2 m de lado, y el triángulo CEKC también es equilátero, de 4 m de lado.

7. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras EF, CF y CB. Considerar los datos siguientes: F1 = 6 kN y F2 = 4 kN. Todos los triángulos que forman la armadura son rectángulos y tienen los dos catetos iguales con una longitud de 2 m cada uno.

8. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en cada barra. Considerar los datos siguientes: F1 = F2 = 5 kN. La longitud de las barras AB, BC, CD, BF y CF es de 2 m.

9. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras EF, CE, CD y CF. Considerar los datos siguientes: F1 = 10 kN. Todos los triángulos que forman la armadura son rectángulos y tienen los dos catetos iguales con una longitud de 2 m cada uno.

10. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en cada barra. Considerar los datos siguientes: F1 = 6 kN, F2 = 3 kN, y la longitud de las barras es de 2 m.

11. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras EI, ED y HI. Considerar los siguientes datos: F1 = 4 kN, F2 = 6 kN Todos los triángulos que forman la armadura son rectángulos y tienen los dos catetos iguales con una longitud de 2 m cada uno.



Vigas

Encuentra de las siguientes vigas

respectivos diagramas y el punto crítico de la cortante y punto máximo

todo esto con Saxpc.

1. En la viga de la figura. Datos: a = 1

2. La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre launa fuerza F horizontal. Datos: L = 1.50 m q = 400 kg/m F = 2000 kg

Tip. La articulación esta al final de la lista de apoyos.

3.

4.

5.

6.

IALES 1 ]

de las siguientes vigas: las ecuaciones de cortante, momento y deflexión, así como sus

el punto crítico de la cortante y punto máximo de momento y deflexi

Datos: a = 1.2m, q = 800 kg/m.

La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre la

Tip. La articulación esta al final de la lista de apoyos.

7.

8.

9.

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las ecuaciones de cortante, momento y deflexión, así como sus

de momento y deflexión,

La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre la que actúa



10.

11.

12.

13.

14.

IALES 1 ]

E= 2.6x106 kg/cm2

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Bibliografía

Sitio Web:

Armaduras-Pilar Aceituno Cantero

Libro:

“Resistencia de materiales Problemas resueltos” Miquel Ferrer Ballester, José Luis Macías Serra, Frederic Marimón Carvajal, M. Magdalena Pastor Artigues, Francesc Roure Fernández, Lluís Vilaseca Vilanova. Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona.

Libro:

“Mecánica de Materiales” R.C. Hibbeler 6ta Edición, Editorial Pearson Prentice Hall

resistencia de materiales 1 - aplicaciones con voyage 200

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