Funciones cuadráticas (Polinomio de segundo grado)Representación: Parábola

Cuanto mayor sea a, más cerrada está la parábola y viceversa. Dominio: R

Expresión analítica: y = ax 2 + bx + c 1. Si a > 0 la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

Si a < 0 la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

2. Punto del vértice: (x = -b2a

, y = f (-b2a ))3. Punto de corte con el eje y (Cuando x = 0) Se obtiene un solo punto para x = 0: (0, y = f(0))4. Puntos de corte con el eje x (Cuando y = 0: ax2 + bx + c = y = 0) Se obtienen dos puntos para y = 0:

(x = -b±√b2 -4ac2a

, y = 0)Expresión analítica: y = ax 2 Vértice en el (0,0)

1. Si a > 0 la parábola tiene sus ramas hacia arriba. Si a < 0 la parábola tiene sus ramas hacia abajo.

2. Punto del vértice: Como no hay “b” el punto de corte estará en (x = 0, y = f(0) = 0) 3. Se deben sacar dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.

Expresión analítica: y = ax 2 + c Vértice en el (0,c) Traslación vertical1. Si a > 0 la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

Si a < 0 la parábola tiene sus ramas hacia abajo.2. Punto del vértice: Como no hay “b” el punto de corte estará en (x = 0, y = f(0) = c)

Si c > 0 Se traslada hacia arriba c unidades respecto al (0,0).Si c < 0 Se traslada hacia abajo c unidades respecto al (0,0).

3. Se deben sacar dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.

Expresión analítica: y = (hx + k) 2 Vértice en el (-k,0) Traslación horizontal1. La parábola siempre tendrá sus ramas hacia arriba2. Punto del vértice: (-k,0)

Si k > 0 Se traslada hacia la izquierda k unidades respecto al (0,0).Si k < 0 Se traslada hacia la derecha k unidades respecto al (0,0).

3. Se deben sacar dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.

a > 0 a < 0

a > 0 c > 0 c < 0

c > 0 c < 0a < 0

a > 0 a < 0

a > 0 c > 0 c < 0

c > 0 c < 0a < 0

Si k > 0 Se traslada hacia la izquierda k unidades respecto al (0,0).Si k < 0 Se traslada hacia la derecha k unidades respecto al (0,0).Si c > 0 Se traslada hacia arriba c unidades respecto al (0,0).Si c < 0 Se traslada hacia abajo c unidades respecto al (0,0).

Expresión analítica: y = (hx + k) 2 + c Vértice en el (-k,c) Traslación oblicua1. La parábola siempre tendrá sus ramas hacia arriba2. Se deben sacar dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha3. Punto de vértice: (-k,c)

Funciones cúbicas (Polinomio de tercer grado)Dominio: R

Expresión analítica: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

1. a: Indica la zona “creciente total”. Si a > 0, y tiende a infinito a la derecha de la función. Si a < 0 y tiende a menos infinito a la derecha de la función.

2. Punto de simetría: (x = -b3a

, y = f (-b3a )) (Punto rojo)

3. Puntos de corte con el eje X

Si b2 ≤ 3ac Corta solo en un punto

Si b2 > 3ac Puede cortar en más de un punto.

4. Punto de corte con el eje Y : (0,d)

k > 0 y c > 0 k > 0 y c < 0 k < 0 y c > 0 k < 0 y c < 0

a > 0b2 ≤ 3ac

a < 0b2 ≤ 3ac a < 0

b2 > 3ac

a > 0b2 > 3ac

a > 0 Centro: 2o cuadrante Centro: 3er cuadrante Centro: 1er cuadrante Centro: 4o cuadrante b > 0 b > 0 b < 0 b < 0 c > 0 c < 0 c > 0 c < 0

Si b > 0 El centro se desplaza b unidades hacia la izquierda respecto al (0,0).Si b < 0 El centro se desplaza b unidades hacia la derecha respecto al (0,0).Si c > 0 El centro se desplaza b unidades hacia arriba respecto al (0,0).Si c < 0 El centro se desplaza b unidades hacia abajo respecto al (0,0).

Funciones racionales (Fracciones con x en el denominador)Representación: Hipérbola

Centro de la hipérbola: Punto donde se cruzan las asíntotas (línea discontinua roja). Dominio:R - {valores obtenidos al igualar a cero el denominador }

Expresión analítica: y =ax Función de proporcionalidad inversa

1. Si a > 0 Las dos ramas son decrecientes.Si a < 0 Las dos ramas son crecientes.

2. Centro de la hipérbola: (0,0) 3. Se deben sacar puntos cercanos al centro de la hipérbola.

Expresión analítica: y =a x + b

+ c

1. Centro de la hipérbola: (-b,c) 2. Si a > 0 Las dos ramas son decrecientes.

Si a < 0 Las dos ramas son crecientes.3. Se deben sacar puntos cercanos al centro de la hipérbola.

Expresión analítica: y =a x + b cx + d El grado del numerador y del denominador tiene que ser el mismo.

a > 0 a < 0

a < 0 Centro: 2o cuadrante Centro: 3er cuadrante Centro: 1er cuadrante Centro: 4o cuadrante b > 0 b > 0 b < 0 b < 0 c > 0 c < 0 c > 0 c < 0

Ejemplo:

y = 3x + 5x + 1

→ y = 2x + 1

+ 3

3x + x +

Si c > 0 El punto límite se desplaza c unidades hacia la izquierda respecto al (0,0).Si c < 0 El punto límite se desplaza c unidades hacia la derecha respecto al (0,0).Si d > 0 El punto límite se desplaza d unidades hacia arriba respecto al (0,0).Si d < 0 El punto límite se desplaza d unidades hacia abajo respecto al (0,0).

Para estudiar su representación se transforma en la expresión analítica anterior:

y =ax + b cx + d

→ y = Rcx + d

+ C los valores R y C se obtienen efectuando la división entre

los polinomios:

Funciones radicales (Con raíces)Dominio: Intervalos obtenidos cuando el radicando (Dentro de la raíz) es mayor o igual que cero.

Expresión analítica: y = a √x 1. Si a > 0 la función es creciente con el punto límite a la izquierda.

Si a < 0 la función es decreciente con el punto límite a la izquierda.2. Se deben sacar puntos cercanos al punto límite y algunos un poco más lejanos.

Expresión analítica: y = a√bx + c + d1. Punto límite: (-c,d) 2. Si a > 0 la función va “hacia arriba”.

Si a < 0 la función va “hacia abajo”.Si b > 0 la función va “hacia la derecha”.Si b < 0 la función va “hacia la izquierda”.

3. Se deben sacar puntos cercanos al punto límite y algunos un poco más lejanos.

a > 0 a < 0

c > 02o cuadrante 3 er cuadrante

d > 0 d < 0

c < 01er cuadrante 4 o cuadrante

d > 0 d < 0

ax + b cx + d R C

a > 0b > 0

a > 0b < 0

a < 0b > 0

a < 0b < 0

Funciones exponenciales (Con x en el exponente)Dominio: R

Expresión analítica: y = a x + b + c a > 0. Tiene una asíntota, solo horizontal.1. base > 1 la función es creciente.

0 < base < 1 la función es decreciente.2. b > 0 la función se traslada a la izquierda b unidades.

b < 0 la función se traslada a la derecha b unidades3. c > 0 la asíntota se traslada hacia arriba c unidades.

c < 0 la asíntota se traslada hacia abajo c unidades.

Base > 1b > 0 y c > 0 b > 0 y c < 0 b < 0 y c > 0 b < 0 y c < 0

0 < Base < 1b > 0 y c > 0 b > 0 y c < 0 b < 0 y c > 0 b < 0 y c < 0