funciones reales - gr a cas de funciones · clase pd9 matem aticas i \funciones reales - gr a cas...
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Clase PD9
Matematicas I
“Funciones Reales - Graficas de Funciones”
6 de noviembre de 2019
PD9
Funcion real. Cuando el dominio y el conjunto de llegada de una funcion
f : A→ B
son subconjuntos de R decimos que la funcion f es real.
1
PD9
Suma de funciones. La suma de dos funciones es de la siguiente forma
f(x) =
f1(x) , x ∈ dom(f1)
f2(x) , x ∈ dom(f2)
, g(x) =
g1(x) , x ∈ dom(g1)
g2(x) , x ∈ dom(g2)
(f + g)(x) =
f1(x) + g1(x) , x ∈ dom(f1) ∩ dom(g1)
f1(x) + g2(x) , x ∈ dom(f1) ∩ dom(g2)
f2(x) + g1(x) , x ∈ dom(f2) ∩ dom(g1)
f2(x) + g2(x) , x ∈ dom(f2) ∩ dom(g2)
� Si alguna interseccion es vacıa entonces se descarta la suma.
2
PD9
Resta de funciones. La resta de dos funciones es de la siguiente forma
f(x) =
f1(x) , x ∈ dom(f1)
f2(x) , x ∈ dom(f2)
, g(x) =
g1(x) , x ∈ dom(g1)
g2(x) , x ∈ dom(g2)
(f − g)(x) =
f1(x)− g1(x) , x ∈ dom(f1) ∩ dom(g1)
f1(x)− g2(x) , x ∈ dom(f1) ∩ dom(g2)
f2(x)− g1(x) , x ∈ dom(f2) ∩ dom(g1)
f2(x)− g2(x) , x ∈ dom(f2) ∩ dom(g2)
� Si alguna interseccion es vacıa entonces se descarta la resta.
3
PD9
Multiplicacion de funciones. La multiplicacion de dos funciones es de la siguiente forma
f(x) =
f1(x) , x ∈ dom(f1)
f2(x) , x ∈ dom(f2)
, g(x) =
g1(x) , x ∈ dom(g1)
g2(x) , x ∈ dom(g2)
(f · g)(x) =
f1(x) · g1(x) , x ∈ dom(f1) ∩ dom(g1)
f1(x) · g2(x) , x ∈ dom(f1) ∩ dom(g2)
f2(x) · g1(x) , x ∈ dom(f2) ∩ dom(g1)
f2(x) · g2(x) , x ∈ dom(f2) ∩ dom(g2)
� Si alguna interseccion es vacia entonces se descarta la multiplicacion.
4
PD9
Division de funciones. La division de dos funciones es de la siguiente forma
f(x) =
f1(x) , x ∈ dom(f1)
f2(x) , x ∈ dom(f2)
, g(x) =
g1(x) , x ∈ dom(g1)
g2(x) , x ∈ dom(g2)
(f
g
)(x) =
f1(x)
g1(x), x ∈ dom(f1) ∩ dom(g1)− ceros(g1)
f1(x)
g2(x), x ∈ dom(f1) ∩ dom(g2)− ceros(g2)
f2(x)
g1(x), x ∈ dom(f2) ∩ dom(g1)− ceros(g1)
f2(x)
g2(x), x ∈ dom(f2) ∩ dom(g2)− ceros(g2)
� Si alguna interseccion es vacıa entonces se descarta la division.
5
PD9
Monotonicidad.
� Una funcion real f : A→ R es creciente cuando
∀x, y ∈ A, [x < y → f(x) ≤ f(y)].
� Una funcion real f : A→ R es estrictamente creciente cuando
∀x, y ∈ A, [x < y → f(x) < f(y)].
Observacion: De la definicion es claro que toda funcion estrictamente creciente en particular es
creciente pero el recıproco no es cierto.
6
PD9
Monotonicidad.
� Una funcion real f : A→ R es decreciente cuando
∀x, y ∈ A, [x < y → f(x) ≥ f(y)].
� Una funcion real f : A→ R es estrictamente decreciente cuando
∀x, y ∈ A, [x < y → f(x) > f(y)].
En cualquiera de estos cuatro casos decimos que la funcion es monotona.
7
PD9
Ejemplo.
� La funcion lineal f(x) = mx + b es siempre monotona y la monotonicidad depende de la
pendiente m.
� La suma de funciones crecientes es una funcion creciente.
� La funcion de la oferta es creciente y la funcion de la demanda es decreciente.
� La funcion maximo entero definido en todo R es creciente.
8
PD9
Propiedad.
� La composicion de funciones estrictamente crecientes es estrictamente creciente.
� La inversa de una funcion invertible y estrictamente creciente es estrictamente creciente.
9
PD9
Problema. Justifique la verdad o falsedad de las siguientes proposicones.
� Si f : [a, b]→ R es una funcion estrictamente creciente, entonces es inyectiva.
� Si f : [a, b]→ R es una funcion estrictamente decreciente, entonces es inyectiva.
� Si f : [a, b] → R es una funcion inyectiva, entonces f es o bien estrictamente creciente o
bien estrictamente decreciente.
� Si f : [a, b]→ R es una funcion creciente, entonces ran(f) = [f(a), f(b)].
� Si f : [a, b]→ R es una funcion decreciente, entonces ran(f) = [f(b), f(a)].
10
PD9
Monotonicidad - Metodos. Para determinar si una funcion real
f : A→ B
es creciente, podemos considerar dos metodos:
� Por construccion, se parte de x, y ∈ dom(f) con x < y y se construye la expresion
f(x) ≤ f(y).
� Mediante la grafica de la funcion f , y observando de izquierda a derecha el crecimiento de
la funcion.
11
PD9
Representacion Grafica de una funcion. Dada una funcion real f : A → B, la grafica de f
se define como el conjunto
graf(f) ={(x, y) ∈ R2 : x ∈ A ∧ y = f(x)
}.
12
PD9
Observaciones.
� Una funcion esta bien definida si y solamente si una recta vertical que intersecta la grafica
lo hace en un unico punto.
� Una funcion es inyectiva si y solamente si una recta horizontal que intersecta la grafica lo
hace en un unico punto.
13
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
14
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(x+ 3)
x
y
15
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
16
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(x− 6)
x
y
17
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
18
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(x) + 3
x
y
19
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
20
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Traslacion Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(x)− 3
x
y
21
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
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PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(2x)
x
y
23
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
24
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(x2
)
x
y
25
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
26
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = 2f(x)
x
y
27
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
28
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Re-escalamiento Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
− 32
y = f(x)
y =f(x)
2
x
y
29
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Reflexion Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
30
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Reflexion Horizontal.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(−x)
x
y
31
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Reflexion Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
32
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Reflexion Vertical.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = −f(x)
x
y
33
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Reflexion a Traves del Origen.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
34
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Reflexion a Traves del Origen.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = −f(−x)
x
y
35
PD9
Transformaciones de Coordenadas - f(|x|).
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
36
PD9
Transformaciones de Coordenadas - f(|x|).
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = f(|x|)
x
y
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PD9
Transformaciones de Coordenadas - |f(x)|.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
38
PD9
Transformaciones de Coordenadas - |f(x)|.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = |f(x)|
x
y
39
PD9
Transformaciones de Coordenadas - |f(|x|)|.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
x
y
40
PD9
Transformaciones de Coordenadas - |f(|x|)|.
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = f(x)
y = |f(|x|)|
x
y
41
PD9
Transformaciones de Coordenadas - Metodos. Si tenemos una funcion con regla de corres-
pondencia f(x) y a partir de esta funcion hay que determinar la grafica de por ejemplo la funcion
con regla de correspondencia f(3− |x|). Hay que establecer primero una secuencia, esto es,
� Graficamos f(x)
� Graficamos f(3 + x) (traslacion horizontal a la izquierda)
� Graficamos f(3− x) (reflexion horizontal)
� Graficamos f(3 − |x|) (descartamos la grafica de f(3 − x) cuyos puntos tienen abscisa
negativa, y seguidamente aplicamos una reflexion horizontal)
42
PD9
Ejemplo. Graficar
f(x) = |x2 − 8|x|+ 5|
� Graficamos primero g(x) = x2 − 8x + 5 (el cual es una parabola) y observamos que
f(x) = |g(|x|)|
� Graficamos g(|x|) (descartamos la grafica de g(x) = x2 − 8x + 5 cuyos puntos tienen
abscisa negativa, y seguidamente aplicamos una reflexion horizontal)
� Graficamos |g(|x|)| = f(x) (el cual refleja verticalmente la grafica de g(|x|) cuyos puntos
tienen ordenada negativa)
43
PD9
Ejemplo. Si queremos graficar la funcion
f(x) =4x+ 2
x+ 1= 4− 2
x+ 1
observamos que esta funcion se obtiene por transformaciones a partir de otra funcion mas simple,
el cual es la hiperbola equilatera
g(x) =1
x� Graficamos primero g(x)
� Graficamos g(x+ 1) (traslacion horizontal)
� Graficamos 2g(x+ 1) (re-escalamiento vertical)
� Graficamos −2g(x+ 1) (reflexion vertical)
� Graficamos 4− 2g(x+ 1) = f(x) (traslacion vertical)
44
PD9
Interseccion de Graficas. Si tenemos dos funciones f y g entonces la interseccion de sus
graficas nos indicara el numero de soluciones del conjunto solucion de la ecuacion
f(x) = g(x)
Por ejemplo la ecuacion ex = sen(x) admite infinitas soluciones.
−20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6
−2
−1
1
2
x
yf(x)g(x)
45
PD9
Ejemplo. Determine la grafica de la funcion f : R→ R definida por
g(x) =
∣∣∣∣∣∣∣|x− 1| − 2
∣∣∣− 3
∣∣∣∣
Observamos que esta funcion se obtiene por transformaciones a partir de otra funcion mas simple,
el cual es
f(x) = x
Consideremos la secuencia de transformaciones:
x 7→|x|7→|x− 1|7→|x− 1| − 27→||x− 1| − 2|7→||x− 1| − 2| − 37→|||x− 1| − 2| − 3|
46
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = x
x
y
47
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = |x|
x
y
48
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = |x− 1|
x
y
49
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = |x− 1| − 2
x
y
50
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = ||x− 1| − 2|
x
y
51
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = ||x− 1| − 2| − 3
x
y
52
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = |||x− 1| − 2| − 3|
x
y
53
PD9
Ejemplo. Determine la grafica de la funcion f : R→ R definida por
g(x) =∣∣∣x2 − 6
∣∣x∣∣+ 3
∣∣∣
Observamos que esta funcion se obtiene por transformaciones a partir de otra funcion mas simple,
el cual es
f(x) = x2
Consideremos dos secuencias de transformaciones:
x2 7→(x− 3)2 7→(x− 3)2 − 67→(|x| − 3)2 − 67→∣∣∣(∣∣x∣∣− 3)2 − 6
∣∣∣ =∣∣∣x2 − 6
∣∣x∣∣+ 3
∣∣∣
f(x) = x2 − 6x+ 3
f(x)7→f(|x|)7→|f(|x|)| =∣∣∣x2 − 6
∣∣x∣∣+ 3
∣∣∣
54
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = x2
x
y
55
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = (x− 3)2
x
y
56
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = (x− 3)2 − 6
x
y
57
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = (|x| − 3)2 − 6
x
y
58
PD9
−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
59
PD9
Polinomio cuadratico. Sea f una funcion real f : R→ R que tiene como regla de correspon-
dencia un polinomio cuadratico f(x) = ax2 + bx+ c donde a > 0.
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(a) ∆ > 0
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(b) ∆ = 0
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(c) ∆ < 0
60
PD9
Polinomio cuadratico. Sea f una funcion real f : R→ R que tiene como regla de correspon-
dencia un polinomio cuadratico f(x) = ax2 + bx+ c donde a < 0.
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(d) ∆ > 0
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(e) ∆ = 0
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(f) ∆ < 0
61
PD9
Ejemplo. Graficar la funcion
f : [1,+∞[→ R
f(x) = −√x2 − 1.
Hacemos y = f(x), esto es,
y = −√x2 − 1
elevando al cuadrado
y2 = x2 − 1⇔ x2 − y2 = 1
el cual es la ecuacion de una hiperbola, entonces la grafica de f es parte de la hiperbola, dado que
x ≥ 1 , y ≤ 0 entonces la grafica de f es la parte de la hiperbola ubicada en el cuarto cuadrante.
Similarmente para el caso de una parabola, elipse y circunferencia.
62
PD9
Ejemplo. A continuacion se presenta la grafica de una funcion f , que es parte de una hiperbola.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y = |(|x| − 3)2 − 6|
x
y
(a) Determine el dominio y el rango de la funcion f .
(b) Determine la regla de correspondencia de la funcion f .
63
PD9
Ejemplo. Sea f la funcion sobreyectiva cuya grafica es la parte de la hiperbola de ecuacion x2−y2 = 1 en el cuarto cuadrante. Calcule el dominio, conjunto de llegada y regla de correspondencia
de f .
64