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REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS DE SÓLIDOS QUE TIENEN LOS
ESTUDIANTES DE EDUCACIÓN MEDIA
JAIME BUENAVENTURA GAMBOA
Trabajo de grado como requisito parcial para optar el Titulo de
Magister en Educación
Directora:
LIGIA INÉS GARCÍA
Magister en educación y desarrollo humano
UNIVERSIDAD DEL TOLIMA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
IBAGUÉ – TOLIMA
2015
5
DEDICATORIA
A Dios, porque me permite cada mañana levantarme y abrir los ojos para darme cuenta
lo bendecido que he sido, pues me ha permitido la realización de muchos sueños, en
diferentes ámbitos, incluido el intelectual.
A mis padres, para quienes procuro ser emulación, invitándolos siempre a la fiesta que
se debe gozar en el encuentro con el conocimiento, siendo la educación el medio que
me ha regalado el universo para mejorar nuestra calidad de vida y realizarme en mi
vocación de docente, la que amo, disfruto y vivo con alegría.
6
AGRADECIMIENTOS
LA GRATITUD ES EL SIGNO DE LAS ALMAS NOBLES.
-ESOPO
Manifiesto mi más sincero agradecimiento a:
A Dios, por poner Ángeles en mi camino, metidos en los huesos de seres humanos,
para facilitarme el trasegar por los caminos del conocimiento.
A mi padre que desde el cielo está brindándome, el apoyo, la seguridad y la confianza
que siempre me ofreció en vida y quien estará contento por todos mis logros que a la
vez son suyos.
A mi madre quien nunca desfallece en brindarme todo su apoyo, su energía y dirigir mi
camino por las sendas del señor.
A mis compañeros y amigos quienes siempre me brindaron, su libros, su tiempo y su
apoyo.
A mi asesora de maestría por brindarme la paciencia que la caracteriza y su apoyo en
su saber.
A los alumnos que participaron en la experiencia y que pusieron a disposición parte de
su tiempo, de su conocimiento y voluntad.
Y todas aquellas personas que de una u otra manera contribuyeron para que este
proyecto finalizará.
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN 15
1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA 17
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 17
1.2 PREGUNTAS ORIENTADORAS 18
1.2.1 Pregunta general. 18
1.2.2 Preguntas Específicas 18
2.JUSTIFICACIÓN 19
3.OBJETIVOS 20
3.1OBJETIVO GENERAL 20
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 20
4 .MARCO DE REFERENCIA 21
4.1ESTADO DEL ARTE 21
4.2 MARCO TEÓRICO 29
4.2.1 Sobre el aprendizaje de conceptos 30
4.2.2 Esquema del desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky
Adaptación 31
4.2.3 El papel del lenguaje (semiótico) en el aprendizaje y en la formulación
de los conceptos. 32
4.2.4Significado de los objetos matemáticos 34
4.2.5 Sistemas semióticos según Raymond Duval 36
4.2.6 Clases de transformaciones semióticas 37
4.2.7 Esquema interpretativo de las clases de sistemas semióticos 38
4.2.8 Congruencia y no congruencia entre registros de representación. 41
4.2.9 Algunas representaciones del concepto matemático 44
8
4.2.9.1 Representaciones semióticas. 44
4.2.9.2 Expresión verbal 44
4.2.9.3 Objeto matemático 44
4.2.9.4 Semiósis Interpretativa 44
4.2.9.5 Semiósis Proyectiva 44
5 METODOLOGÍA 45
5.1 TIPO DE ESTUDIO 45
5.2 PARTICIPANTES DEL ESTUDIO 45
5.3 PLAN PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN 46
5.3.1 Taller número uno – actividad de representación cotidiana 46
5.3.2 Taller número dos - actividad de representación 2D VS 3D. 47
5.3.3 Taller número tres - actividad de exploración multiplicidad de
construcciones 47
5.3.4 Grabaciones de voz. 47
5.4 PROCEDIMIENTO 47
6 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN 48
6.1 PROCESO DE FORMACIÓN 48
6.1.1 Representaciones graficas de formación 51
6.1.2 Representaciones geométricas de formación 55
6.1.3 Representaciones verbales orales de formación 58
6.2 PROCESO DE TRATAMIENTO 60
6.2.1 Representaciones verbales orales de tratamiento 63
6.2.2 Representación geométrica de tratamiento 64
6.3PROCESO DE CONVERSIÓN 68
6.3.1 Representaciones verbales escritas de conversión 69
6.3.2 Representaciones verbales orales de conversión 73
6.3.3 Representación gráficade conversión 74
6.3.4 Representación geométrica de conversión 75
6.3.5 Representación de objeto matemáticos concretos 76
10
LISTA DE TABLAS
Tabla 1.Grabación uno de formación 59
Tabla 2.Grabación dos de formación 59
Tabla 3.Grabación tres de formación 59
Tabla 4.Grabación cuatro de formación 60
Tabla 5.Representación verbal escrito correspondencia semántica
de asociación de tratamiento 60
Tabla 6.Uso que ofrece el objeto de tratamiento 61
Tabla 7.La organización de las palabras de tratamiento 61
Tabla 8.Esquemas basados en líneas sin operar de tratamiento 62
Tabla 9.Coherencia de tratamiento 62
Tabla 10.Grabación uno de tratamiento 63
Tabla 11Grabación dos de tratamiento 64
Tabla 12.Grabación tres de tratamiento 64
Tabla 13.Unidades significantes 68
Tabla 14.Grabación 1. De conversión 73
Tabla 15.Proyección 74
Tabla 16.Proyección 2 75
Tabla 17.Construcción de cubos 76
11
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.Desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky 31
Figura 2.Clases de sistemas semióticos 38
Figura 3.Los dos procesos cognitivos fundamentales del pensamiento 38
Figura 4.Los dos tipos de tratamiento, visual y discursivo, en relación
la actividad geométrica y el problema de su articulación. 40
Figura 5.Correspondencia semántica 41
Figura 6.Univocidad semántica terminal 42
Figura 7.Conservación del orden de organización de los atributos significantes 42
Figura 8.Mapa contextual del proyecto 46
Figura 9.Representaciones verbales escritas. 48
Figura 10.Registro verbal a fotográfico 49
Figura 11.Uso de características de forma 49
Figura 12.Palabras asociadas 50
Figura 13. Párrafo descriptivo 50
Figura 14.Figuras geométricas planas 51
Figura 15.Trazos rectos y curvos 51
Figura 16.Figuras planas (triángulos, rectángulos trapecios 52
Figura 17.Líneas rectas en la construcción de al parecer un acuario 52
Figura 18.Proyección tridimensional 53
Figura 19.Proyección basada en medidas 53
Figura 20.Lengua representacionista 54
Figura 21uso de líneas rectas, el uso de líneas curvas 54
Figura 22.No hay un uso de reglas en la construcción de líneas rectas
y curvas 55
Figura 23.Proyección espacial (tridimensional), 56
Figura 24desarrollo plano. 56
Figura 25.No se conservan las dimensiones del solido patrón. 57
Figura 26.Gráfico de apoyo adiciona 57
12
Figura 27.Proyección visual 58
Figura 28. Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico 65
Figura 29.Representaciones analógicas 65
Figura 30.Representación semiótica 66
Figura 31.Prisma de base pentagonal y la pirámide de base hexagonal 66
Figura 32.Bases rectangulares 67
Figura 33.Interpretación a la luz de Duval 67
Figura 34.Organización sintáctica, relación con las figuras 69
Figura 35.Ausencia de la unidad significante 69
Figura 36.Sistema semiótico de formación 70
Figura 37.Congruencia y no congruencia 70
Figura 38.Figura solidas, planas volumen 71
Figura 39.Objeto, matemático, semántica 72
Figura 40.Correspondencia semántica vertical y horizontal 73
Figura 41.Semántica, Congruencia y no congruencia 75
13
RESUMEN
En esta investigación intervienen estudiantes de educación media de la institución
educativa Modelia, con el propósito de reconocer el concepto de solido geométrico que
poseen a partir de las representaciones semióticas. Para este proceso se cuenta con
una metodología de investigación de tipo descriptiva- cualitativa de corte exploratoria
por sus característica propuestas, puesto que esta nos permite acércanos de forma
más efectiva a los procesos cognitivos que experimentan los estudiantes de educación
media durante su proceso de aprendizaje. El procedimiento entonces tendría los
siguientes momentos; reconocimiento y descripción de las representaciones que hacen
los estudiantes y el tratamiento de ellas en términos de Duval, la interpretación de las
representaciones identificadas en relación con el concepto de sólido que están
manejando los estudiantes y un tercer momento de categorización en torno al concepto
de sólido, para ello se utilizaran como recurso de recopilación de información talleres,
grabaciones y ficha de observación. La fuente de referencia teórica se base en los
hallazgos obtenidos por Raymond Duval en el estudio de las representaciones
semióticas.
Palabras claves: representación, representaciones semióticas, representaciones
mentales, solido geométrico, formación, tratamiento, conversión.
14
ABSTRACT
This research involved high school students from the school Modelia, in order to
recognize the concept of geometric solid from possessing semiotic representations. For
this process it has a research methodology qualitative descriptively type of exploratory
cutting proposals feature, since this allows us to be closer to more effective cognitive
processes experienced by high school students during the learning process. The
process would then have the following times; recognition and description of the
representations made by students and treating them in terms of Duval, the interpretation
of the representations identified in relation to the concept of solid they are handling
students and a third time on the concept categorization solid , for it will be used as a
resource for information gathering workshops, recordings and observation sheet. The
source of theoretical reference is based on the findings by Raymond Duval in the study
of semiotic representations.
Keywords: representation, semiotic representations, mental representations, geometric
solid, training, treatment, conversion.
15
INTRODUCCIÓN
Este trabajo investigativo presenta el estudio realizado en la institución educativa
Modelia en el nivel de educación media, con aproximadamente 70 estudiantes, entre
las edades de 15 a 18 años, en búsqueda de reconocer el concepto de solido
geométrico que ellos poseen a partir de las representaciones semióticas. Esta
investigación nace de la observación que como profesor de matemáticas diviso a la
hora de pedir a los estudiantes realizar representaciones en los campos del
pensamiento matemático y en particular en el campo del pensamiento geométrico aún
más específicamente en la representación de sólidos.
Por ello se inició un proceso de búsqueda de antecedentes en el campo de la
investigación en representaciones semióticas en el campo de la geométrica como
quedo evidenciado en el estado del arte, de allí que solo se observó investigaciones
acerca de las representaciones semióticas en el campo del algebra y el cálculo, pero
no en la geometría.
Los estudios más cercanos a nuestra base investigativa los encontramos en diversos
estudiosos como, Raymond Duval, Bruno D’amore, Ospina García, Vicen Font, entre
otros, quienes en sus investigaciones relacionan las representaciones internas y
externas que realizan los seres humanos y de la manera como de estas se puede
analizar, la conceptualización de los objetos de estudio, en nuestro caso los objetos de
estudio matemático.
De allí que se estableció la metodología de investigación de tipo descriptiva- cualitativa
de corte exploratoria por sus característica propuestas, puesto que esta nos permite
acércanos de forma más efectiva a los procesos cognitivos que experimentan los
estudiantes de educación media durante su proceso de aprendizaje. Realizando el
proceso en tres momentos el primero de reconocimiento y descripción de las
representaciones que hacen los estudiantes y el tratamiento de ellas en términos de
16
Duval, el segundo la interpretación de las representaciones identificadas en relación
con el concepto de sólido que están manejando los estudiantes y un tercer momento de
categorización en torno al concepto de sólido, haciendo uso de diferentes recurso de
recopilación de la información. Para luego entregar unas conclusiones del proceso
investigativo y unas recomendaciones para unas futuras investigaciones, así como,
para el proceso de enseñanza y aprendizaje mismo.
17
1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
1.1 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
El problema que origina la presente investigación se plantea desde la mirada del
estudiante y, a partir de la interacción en el aula, puesto que, como docente del área de
matemáticas se ha evidenciado ciertas dificultades a la hora de realizar diferentes
representaciones geométricas de los objetos (conceptos) matemáticos, entre ellos los
sólidos, por parte de los estudiantes de educación media. Esto repercute en el análisis
y la interpretación sesgada de los conceptos geométricos, conllevando a que los
estudiantes no logren desarrollar procesos métricos y de medida, fundamentales para
la apropiación de conceptos en su definición y su aplicabilidad dentro y fuera del ámbito
escolar.
Este trabajo se sitúa en un campo general que denominamos pensamiento espacial y
sistemas geométricos, que constituye uno de los procesos en el desarrollo de la
investigación en Didáctica de las Matemáticas y que se ocupa de los fenómenos de
enseñanza, aprendizaje y comunicación de los objetos (conceptos) de representación y
sistemas geométricos en el sistema educativo y en el medio social.(MEN, 7 de junio de
1998)
Por otra parte, es bien sabido que los individuos elaboran sus modelos en la interacción
y en las relaciones simbólicas; para el caso, correspondería a la interacción en el aula
de clase, en la que el estudiante recibe a diario la influencia de un lenguaje
matemático, que se va distorsionando a medida que avanza en su proceso de
aprendizaje, es decir, a medida que su imaginario tiene que acomodarse a las
diferentes fenómenos que circulan en la noosfera de su ambiente de aprendizaje. Allí
que podríamos pensar de qué manera la matemática le proporciona un poderoso medio
de comunicación y de ayuda para explorar, crear y acomodarse en las nuevas
condiciones y crear nuevos conocimientos para la vida.
18
Es suficiente observar la necesidad como matemático del estudio de la geometría
descriptiva y este intento de abordaje de la geometría y el pensamiento espacial como
objetos de estudio nos recuerdan que todos los objetos creados por el hombre, desde
un simple alfiler hasta la más compleja maquinaria industrial, son concebidos
inicialmente como un representación interna y manifiesta como una representación
externa de la que nos ocuparemos a través del estudio de sus sistemas semióticos de
representación.
Por esto, el estudio de la Geometría Descriptiva, permite definir correctamente la
representación de los objetos tridimensionales antes ó después de su existencia real.
Estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea, todos los objetos
físicos que pueden ser concebidos por el hombre mediante representaciones planas de
los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que define las reglas que rigen la
elaboración de estas proyecciones.
1.2 PREGUNTAS ORIENTADORAS
1.2.1 Pregunta general.
¿Cuál es el concepto de solido geométrico que se puede inferir de las representaciones
que hacen los estudiantes?
1.2.2 Preguntas Específicas
¿Cuáles son los registros semióticos que más utilizan los estudiantes en las
representaciones de sólidos?
¿Cuáles son las dificultades que presentan en el tratamiento y conversión delas
representaciones semióticas que hacen de los sólidos?
19
2. JUSTIFICACIÓN
Entender el conocimiento humano es un problema central en la reflexión filosófica:
¿Cómo es que el hombre puede tener presentes los objetos del mundo externo?
¿Dónde y cómo se ubican los conocimientos? estos son algunos de los
cuestionamientos que dirigen esta investigación, centrada en la escolaridad media pero
intencionada para la reproducción en diferentes ambientes de aprendizaje.
La constante mejora de los procesos educativos y la creación de ambientes que
faciliten los aprendizajes significativos, llevan a direccionar esta propuesta en la
búsqueda y análisis de los fenómenos que modifican o perjudican el proceso de
representación en matemáticas; además, se asume que la construcción del
conocimiento matemático es un fenómeno social y cultural, que la educación
matemática desempeña un papel relevante en la transmisión de los significados y
valores compartidos en nuestra sociedad; así pues, centra su objeto de reflexión en el
campo de las matemáticas que comienza con la geometría escolar básica, avanza por
los diferentes sistemas de representación superiores y continúa con el estudio
sistemático de representaciones teniendo una orientación esencialmente curricular.
Ahora bien como el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser más que le
conceptualización del objeto mismo, pero que no puede estudiarse separa de la
representación que es la plataforma en donde se sitúa esta interrelación, estaremos de
momentos en diferentes esferas de significación (concepto – realidad-
conceptualización – semiótica de representación social – del individuo, etc.)
20
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
Reconocer el concepto de solido geométrico que poseen los estudiantes a partir de las
representaciones semióticas.
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Identificar las representaciones semióticas de sólidos geométricos que utilizan
los estudiantes.
Identificar procesos de tratamiento y conversión de las representaciones
semióticas de sólidos geométricos que hacen de los estudiantes
21
4 MARCO DE REFERENCIA
4.1 ESTADO DEL ARTE
La representaciones semióticas de sólidos no es un concepto del que se allá
encontrado diversos estudios lo que indica que es un fenómeno del cual empiezan a
surgir y emergen nuevos saberes, pero de lo que si se aparecen investigaciones es de
la representación semiótica en el contexto matemático del cálculo y del algebra,
concepto que abordaremos como base de nuestro estudio para el fortalecimiento de la
didáctica de las matemáticas.
Para esta investigación se referencian los siguientes resultados investigativos sobre
representaciones semióticas; Sandoval (2012), en su tesis de maestría “Las
representaciones geométricas como herramienta para la construcción del significado de
expresiones y operaciones algebraicas, desarrollado con alumnos de octavo grado del
instituto San José Del Pedregal” pretende explorar la posibilidad de desarrollar
habilidades en la apropiación del concepto y significado de expresiones algebraicas y
sus operaciones, utilizando como herramienta representaciones geométricas.
De este trabajo le logro concluir que las medidas y el uso de actividades con
representación geométrica dentro del aula de clases, ayuda y facilita la comprensión de
contenidos algebraicos, iniciando con actividades de generalización para la
comprensión y aprehensión del concepto de variable desarrollando con ello habilidades
para reconocer, describir, generalizar patrones numéricos y construir sucesiones de
números a partir de una regla dada; específicamente para la construcción de
conceptos como el de polinomios y sus operaciones.
22
Duval (1992) en su trabajo Gráficas y Ecuaciones: la articulación de dos registros,
aplica a los estudiantes una prueba de diez preguntas, en las cuales deben relacionar
gráficas de funciones lineales con sus correspondientes expresiones algebraicas.
Los resultados hicieron evidentes las dificultades para hacer conversiones desde el
registro gráfico al algebraico, al efectuar una interpretación global de las gráficas, ya
que los estudiantes en su mayoría eligieron la vía del punteo.
En su investigación Duval (1992) concluye que la traducción del registro gráfico al
registro algebraico necesita de una identificación exacta de las unidades significantes
(entendida esta como los valores que pueden tomar las diferentes variables en cada
registro de representación) de la representación gráfica y del reconocimiento de las
unidades significantes en la escritura simbólica correspondiente.
Esta investigación permitió reconocer las dificultades que presentan los estudiantes al
realizar conversiones del registro gráfico al registro algebraico debido a la falta de
congruencia entre el registro gráfico y el registro algebraico.
En la investigación de Muñoz y Tobon (1998), Representaciones semióticas del
concepto de función real de variable real, en estudiantes de grado 11 del colegio
Americano de Ibagué, Se analizó si podían los estudiantes identificar funciones y hacer
conversiones del registro algebraico de función al registro gráfico. De allí que se
concluyó que el 99% de los estudiantes presentaban gran dificultad el hacer conversión
del registro algebraico de función al registro graficó y viceversa.
En esta investigación se vincularon dos nuevos fenómenos:
En el primero se presentan a los docentes como los modeladores que no hacían
énfasis en las representaciones semióticas y su conexión con los elementos
conceptuales.
23
En el segundo los textos escolares que eran utilizados por los estudiantes no
empleaban el cambio de registro, de allí que las tareas no les permitían tomar en
cuenta la conexión y dependencia existente entre la semiósis y noesis, no solo
en matemáticas sino en las diversas áreas, esto da como resultado que se
privilegie el trabajo con las representaciones mentales haciendo que las
representaciones semióticas sean una simple expresión para la comunicación.
Así mismo la investigación de Lozano y Ríos (1997) errores de los tipos de
representación del concepto de función que presentan los estudiantes de Licenciatura
en Matemáticas y Física de la universidad del Tolima, luego de practicar algunas
encuestas y sistematizarlas, categorizo los errores evidenciando que los errores
detectados en la encuesta ponen en manifiesto que los tipos de representación de una
función no han sido orientados de la mejor forma, esto implica que la mayoría de los
estudiantes del programa de matemáticas y física cometan errores categorizados como
debido a deficiencia en conceptos previos.
A los estudiantes de segundo semestre se les dificulta reconocer el concepto de
función en casos de la vida cotidiana, esto se evidencio cuando se les pidió un
enunciado verbal escrito que represente una función.
Font (2009), dentro de su artículo “Algunos Puntos De Vista Sobre Las
Representaciones En Didáctica De Las Matemáticas” indica que generalmente los
objetos matemáticos se representan mediante notaciones diferentes que ayudan a
producir diferentes sentidos. Y que cada una de las notaciones ayuda a producir
sentido, pero no produce todos los sentidos. Por lo tanto, comprender un objeto
matemático requiere utilizar diferentes notaciones y convertir (traducir) una
representación en otra.
De donde nos orientaremos en la manera de como rastrear el concepto de solido
geométrico que se puede inferir de las representaciones que hacen los estudiantes.
24
La investigación de Retamal (1998). “Registros de representación, el aprendizaje de
nociones relativas a funciones: voces de estudiantes” En su experiencia se apoya en la
teoría de Duval para explorar el sentido que tienen para algunos estudiantes de
ingeniería ciertas nociones asociadas al concepto de función, en términos de los
registros gráfico, algebraico y verbal.
A partir de una revisión de las respuestas de 75 estudiantes de cálculo diferencial de
primer año de ingeniería, en un cuestionario de 16 preguntas conceptuales, las
conclusiones más importantes de la investigación de Retamal (1998) fueron:
Se evidenció el hecho de que no se ha dado suficiente importancia a
la relación que existe entre las diversas formas en que es posible
representar una función.
En general los estudiantes son “mono registros” lo cual indica que sus
respuestas están dadas en el registro en que es formulada la
pregunta, en algunas ocasiones acuden al registro algebraico, pero en
la mayoría de los casos no coordinan dos registros o más.
Las respuestas de los estudiantes revelan cierta dificultad para dar
explicaciones verbales, lo cual sugiere que el registro del lenguaje
natural debe tener mayor relevancia dentro del aula.
La traducción de un lenguaje a otro y la coordinación de registros no
es una meta de enseñanza que se tome en cuenta explícitamente y
esto evidentemente no favorece ni ayuda a los estudiantes a formular
sus explicaciones.
Los análisis descubren insuficiencias conceptuales como producto de
la falta de coordinación para hacer conversiones entre los registros
algebraico, gráfico y lenguaje natural; lo cual no nace de manera
espontánea sino que requiere de un aprendizaje.
Los estudiantes no demuestran habilidad para leer e interpretar los
gráficos movilizando conceptos pertinentes que aprendieron en
lenguaje formal o natural.
25
No se observa interés de parte de los estudiantes, en hacer
corresponder las unidades significantes de los registros gráfico y
algebraico. (p. 5)
En la investigación de Guzmán se puede identificar la ausencia de articulación entre los
diversos registros de representación semiótica del concepto de función, pues es
evidente en los procedimientos de los estudiantes la utilización de un solo registro de
representación semiótica, además se privilegia el uso del registro algebraico y, en
reducidas ocasiones, utilizan otro registro de representación espontáneamente a no ser
que sea solicitado.
Planchart, O. (2002). En su tesis doctoral “La visualización y la modelación en la
adquisición del concepto de función”, Universidad Autónoma del Estado de Morelos.
Integra cuatro aspectos medulares: proceso didáctico en la adquisición de las
funciones, la visualización, los sistemas de representación, y la modelación desde el
contexto físico y geométrico. Donde se propone se propone, en primer lugar, identificar
y analizar las dificultades que surgen durante el proceso que conduce al aprendizaje de
las funciones. En segundo lugar, analizar el papel de la visualización en la
conceptualización de las funciones, diseñar módulos de actividades donde se incorpora
la modelación matemática como articulación de los registros semióticos en la
enseñanza y aprendizaje de las funciones.
Los hallazgos más importantes obtenidos en este estudio son los siguientes Planchart,
(2002):
Para algunos estudiantes el realizar la conversión del registro gráfico al
registro algebraico presenta mucha dificultad y en el registro tabular
habitualmente esperan que respondan a una ecuación, poniendo en duda
que representen una función.
Los estudiantes frecuentemente tienden a pensar que las funciones
deben ser continuas, lo cual es favorecido en numerosos casos por el
26
docente quien denota una gran preferencia por las funciones continuas
definidas con una fórmula única.
Presentan dificultades en la notación de las funciones, lo que remite a un
manejo inadecuado de las reglas de formación propias del sistema
algebraico.
En su mayoría los problemas son respondidos en el registro gráfico,
quizás por producto del trabajo visual con tecnología.
En los ejercicios que corresponden a situaciones físicas presentan
dificultades para hacer la conversión al registro algebraico, ya que se
requiere de un mayor razonamiento para identificar las variables y
combinarlas. Cuando se solicitó pasar de la situación en registro verbal al
registro gráfico, en numerosos casos los estudiantes señalaron la forma
de la gráfica correctamente sin lograr dar justificaciones, lo que induce a
pensar que realizaron una traslación icónica.
La modelación es una herramienta que favorece en gran medida que los
estudiantes puedan coordinar y hacer conversiones en los distintos
sistemas de representación. (p. 25)
En este estudio se evidencia la dificultad que presentan los estudiantes para realizar
conversiones desde el registro gráfico al registro algebraico, además utilizan el registro
tabular como un registro intermedio que les ayuda a transitar desde el registro
algebraico al gráfico, poniendo en duda que también es una representación del
concepto de función.
Para la investigación de Gutiérrez y Parada (2007). En su tesis de Maestría
“Caracterización de tratamientos y conversiones: El caso de la función afín en el marco
de las aplicaciones”. Universidad Pedagógica Nacional, Colombia. Realiza una
caracterización de las transformaciones que efectúa un grupo de estudiantes de la
Escuela Colombiana de Ingeniería, cuando se proponen situaciones de variación que
27
se modelan mediante la función afín, para lo cual el grupo investigador estudia sus
producciones escritas.
Este estudio se enmarca en la teoría de registros de representación de Duval, de
donde se toman elementos que precisan el marco conceptual desde el cual diseñan
unas situaciones de variación para los estudiantes y las categorías de análisis delos
resultados.
La investigación recurre a la metodología cualitativa interpretativa y como instrumento
de recolección de datos presenta un cuestionario que consta de tres situaciones de
variación referentes a contextos de desocupado de tanques, posición y temperatura,
las cuales se caracterizan por estar dadas en registro verbal, no hacen explícito el
registro de representación de la respuesta y contemplan fenómenos de no congruencia.
Según Gutiérrez y Parada (2007):
Entre los resultados se encontró que el contexto de la situación de
variación influye en los registros de representación y en las
transformaciones que utilizan los estudiantes para enfrentarlas. Así, si el
estudiante identifica en la situación elementos de proporcionalidad utiliza
el registro aritmético y reduce el uso de modelos funcionales y
representaciones gráficas; si la situación se asocia con un contexto de
posición, usa en su mayoría registro gráfico de segmentos horizontales y
fórmulas físicas que corresponden a modelos estáticos y ocultan la
variación; en el caso de los contextos de temperatura el registro
privilegiado es el gráfico cartesiano.
El registro seleccionado al hacer la primera conversión determina la
utilización de uno o varios registros de representación a lo largo del
desarrollo de la situación. De esta forma si la primera conversión se
realiza en el registro aritmético, las transformaciones posteriores se
siguen efectuando en este mismo registro; mientras que una primera
28
conversión en un registro diferente al aritmético va acompañada en su
mayoría de otros registros.
Se encontró que los estudiantes presentan gran diversidad de
transformaciones (tratamientos y conversiones) para solucionar las
situaciones de variación propuestas, aunque sus producciones escritas
muestran un bajo nivel de articulación entre registros, debido a los
fenómenos de no congruencia entre registros, asimismo, las
representaciones que hacen en un registro diferente al verbal varían de
acuerdo al contexto de la situación. (p. 54)
Las investigaciones que presentamos a consideración y sus múltiples conclusiones,
coinciden indirectamente en que la conversión entre registros de representación es una
de las causas de las dificultades que presentan los estudiantes en la conceptualización
de los procesos matemáticos.
Esto se debe a la falta de discriminación de las unidades significantes propias de cada
registro semiótico, la falta de una interpretación global de las gráficas cartesianas, la
tendencia de los estudiantes a mecanizar los procedimientos en un solo registro, sin
articularlos en diferentes registros de representación.
No obstante estas investigaciones han explorado la conversión de un registro a otro,
solo se ha concluido que hay dificultades y solo un estudio Gutiérrez y Parada (2007).
El de analizó las conversiones a la luz de la congruencia y no-
congruencia entre registros, lo que implica el análisis de las situaciones
propuestas en términos de las unidades significantes. En las
investigaciones reportadas en los antecedentes, el registro de llegada de
la conversión se hace explícito, pero en ningún caso se promueve que el
estudiante elija el registro de llegada y de una respuesta a los
interrogantes. (p. 55)
29
4.2 MARCO TEÓRICO
Cuando nos referimos a los procesos mentales que se manifiestan en nuestro
estudiantes a través de sus representaciones simbólicas, (de lenguajes de expresión
oral o escrito) existen dos formas de analizar sus esquemas de representación: la
representación interna de las ideas matemáticas que se generan en la mente del
individuo que como indica Gairín, (1998). “resultan inobservables y las
representaciones externas que con la forma del lenguaje (signos o símbolos) permiten
expresar las ideas que el individuo comunica o recibe del exterior”. (p. 13). Aunque
nuestro interés se centra en el estudio de esas representaciones externas del sujeto y
aun cuando nos propondremos a analizar las representaciones utilizadas por los
estudiantes y los significados que estos le asignan a sus representaciones
abordaremos la forma como se producen esas representaciones internas.
Para Font, (2009).En la interpretación diferenciada de la concepción de representación
podemos destacar dos categorías:
De reflejo y de construcción; la mente actúa como un espejo y la
representación actúa como un fenómeno de reflejo del mundo real en la
mente y desde un enfoque epistemológico representación alista, las
representaciones supone que las personas un su mente producen y
construyen procesos mentales y que los objetos externos a las personas
generan representaciones mentales internas. La opción representación
alista presupone que tanto el referente entendido este como las
situaciones que dan sentido al concepto, la operatividad de los esquemas
mentales como el significado y el significante como el concepto
matemático tienen un equivalente en la mente del sujeto que los utiliza.
Por el otro lado la concepción de representación desde la construcción
considera que nuestro mundo de experiencias no está categorizado de
antemano por “la realidad” sino que se categoriza de una forma u otra a
medida que las personas hablan, escribe y discuten sobre él. (p. 54)
30
La representación no puede estudiarse separadamente de la significación, esto implica
que es necesario estudiar la noción de comprensión, que tiene el individuo para
realizar el análisis de sus esquemas mentales, considerado que ésta es parte esencial
del aparato conceptual necesario para analizar los procesos de aprendizaje y
comprensión de las matemáticas.
4.2.1 Sobre el aprendizaje de conceptos .para involucrarnos en el papel que ostenta el
lenguaje haremos relación a como se forma el concepto dentro del individuo para poder
direccionar de qué manera el lenguaje es el mediador en este proceso de
conceptualización que presenta toda acción cognitiva del ser humano
Es necesario dirigirnos a las diferentes referentes filosóficos, científicos en donde se
define concepto, es de allí, que desde la filosofía el concepto es usado en dos
direcciones; como un signo, pero también como la esencia misma de los atributos que
lo definen. La función que este representa es manifiesta en dos categorías el concepto
con una función intencional pero también el concepto con una función instrumental, de
esta última que su función llegaría a ser la de describir los objetos y permitir su
reconocimiento, además la de clasificar según sus atributos, el concepto como
instrumento para establecer conexiones entre ellos. Pero ¿Cómo se forman los
conceptos? nos dice Kant citado por D´Amore (2001).”Puros sin que la experiencia sea
el artífice de su construcción y empíricos como las nociones sociales que definen las
clases de objetos construidos”. (p. 13)
En qué momento podemos llegar a la conceptualización, que es la expresión máxima
de la significación como lo mencionan los mayores filósofos y estudiosos; para
D´Amore (2001).” en el desarrollo conceptual del individuo se involucran tres fases muy
distintas” (p. 12).
31
4.2.2 Esquema del desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky adaptación
Figura 1.Desarrollo conceptual del individuo l. S. Vygotsky
Fuente: l. S. Vygotsky (1979) adaptación El autor.
Es recurrente pensar que desde la epistemología de Kant, los instrumentos cognitivos
de los que se fortalece un proceso de significación o conceptualización se hayan
dotados de un lenguaje desarrollado, con capacidad de abstracción y de
generalización, es de allí que para efecto de nuestro estudio nos preguntemos si este
proceso es alcanzado por los estudiantes de educación media, o como cambia este
estudio si hablamos de educación escolar, en jóvenes que están en un proceso de
formalización de su aprendizaje
involucra lasubjetividaden laconstrucciónconceptual
FASE DE LOS CUMULOS
SINCRETICOS
•Es mas objetivo
•No hay sincronia en la concepción
FASE DEL PENSAMIENTO
POR COMPLEJOS
capacidad de abstracción
FASE CONCEPTUAL
Su análisis se fundamenta en que primero va de lo concreto a lo figurativo, de lo
lógico a lo abstracto
32
4.2.3 El papel del lenguaje (semiótico) en el aprendizaje y en la formulación de los
conceptos. Las representaciones semióticas juegan un papel primordial tanto en la
enseñanza como la conceptualización de las matemáticas, pues las representaciones
semióticas son la plataforma que permite establecer las relaciones con los objetos
matemáticos, como lo menciona Duval, (2006). “la actividad matemática se realiza
necesariamente en un contexto de representación”. (p. 145) De allí, que los contextos
de representación usados en la actividad matemática son necesariamente semióticos y
tener en cuenta la naturaleza semiótica de las mismas implica tener en cuenta tanto las
formas en que se utilizan como los requisitos cognitivos que involucran. Es necesario
hacer esta apreciación puesto que los contextos de representación son múltiples y
pueden constituir el lenguaje de comunicación; siempre que desde el mismo lenguaje
cotidiano o científico como lo menciona Vygotsky se establecen diferentes elementos
que se enriquecen de atributos y mejoran los canales de comunicación. Por lo tanto, la
construcción de los conceptos matemáticos depende estrechamente de la capacidad
de usar más registros de representaciones semióticas de esos conceptos
Según D’amore (2004).
Aprender parece ser una construcción sujeta a la necesidad de
“socializar”, lo que se da obviamente gracias a un medio de comunicación
(que puede ser el lenguaje) y que en las matemáticas cada vez más será
condicionado por la elección del mediador simbólico, es decir, por el
registro de representación preseleccionado (o impuesto, de diversas
formas, incluso solo por las circunstancias) (p. 90)
Haciendo una claridad y para direccionar al lector y focalizarlo en nuestra investigación
debemos hacer la siguiente aclaración abordada por Ospina (2012):
Existen diferencias entre las representaciones mentales y las
representaciones semióticas. Las representaciones mentales están
conformadas por todo el conjunto de concepciones o imágenes mentales
que un individuo tiene acerca de un objeto y las representaciones
33
semióticas son las producciones constituidas por el empleo de signos, no
son más que el medio por el cual disponen los individuos para exteriorizar
sus representaciones mentales, para hacerlas visibles y accesibles a
otros. Éstas, además de cumplir una función de comunicación, tienen una
función de objetivación, son necesarias para el desarrollo de la actividad
matemática misma, del funcionamiento cognitivo del pensamiento, del
tratamiento de la información, de la toma de conciencia y de la
comprensión lo que permite establecer la conceptualización del individuo
dentro de sus representaciones externas como complemento a su
conceptualización interna (p.112)
Existen diferentes accesos al conocimiento, uno de ellos es el uso de códigos como
apoyo visual, abstracto si se quiere, en los procesos de enseñanza - aprendizaje,
principalmente en los contenidos de geometría, pues estos presentan dificultad en su
enseñanza y más aún en su aprendizaje, estos contenidos fácilmente se pueden
representar, por lo que en el presente estudio el concepto de “representación” juega un
papel importante, como medio de comunicación entre alumno—conocimiento.
Y es que se hace necesario definir que es la representación en matemáticas y general
para ello definiremos a la luz de Duval, (2006) que tipos de representaciones
interactúan en el pensamiento del individuo.
REPRESENTACIONES MENTALES: aquel conjunto de imágenes y
concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una
situación y sobre aquellos que le está asociado.
REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS: el medio del cual dispone un
individuo para exteriorizar sus representaciones mentales, es decir, para
hacerlas visibles o accesibles a los otros. En matemáticas, las
representaciones semióticas no solo son indispensables para fines de
comunicación, sino que son necesarias para el desarrollo de la actividad
34
matemática misma. La noción de representación semiótica presupone,
pues, la consideración de sistemas semióticos diferentes y una operación
cognitiva de conversión de las representaciones de un sistema semiótico
a otro. (p. 146)
El tránsito de un sistema de representación a otro o la movilización de una red de
sistemas en el en un mismo recorrido intelectual es muy frecuente en matemáticas y la
vez no es una actividad evidente o espontanea para la mayoría de los estudiantes,
pues por lo general el mismo concepto matemático no es interiorizado por los
estudiantes cuando se representa en diferentes sistemas semióticos. Como se analizó
en los antecedentes las investigaciones han señalado las dificultades encontradas por
estudiantes en la interpretación y el establecimiento de vínculos entre los diferentes
tipos de representación.
Para pensar sobre ideas matemáticas y comunicarlas necesitamos “de algún modo”. La
comunicación requiere que las representaciones sean externas, tomando la forma de
lenguaje oral, símbolos escritos dibujos u objetos físicos…etc.
4.2.4 Significado de los objetos matemáticos. Según D´Amore (2001). es de aclarar
que “todo concepto como se puede llegar a identificar a la configuración de un
concepto matemático para un individuo”(p. 11)
Según Sierpinska (1990)
Comprender el concepto será concebido como el acto de adquirir su
significado. Tal acto será probablemente un acto de generalización y
síntesis de significados en relación con elementos particulares de la red
de significados que posee el mismo concepto. Estos significados
particulares deben ser adquiridos con actos de comprensión. De allí que
la metodología de los actos de comprensión se debe preocupar
principalmente del proceso de construir el significado de los conceptos.
(p.24)
35
Para este trabajo nos orientaremos desde la perspectiva pragmática, en la que la
significación de un objeto matemático se relaciona con los símbolos de unidad cultural
que emergen de un sistema de utilizaciones que caracterizan las pragmáticas humanas
(o, al menos, de grupos homogéneos de individuos) y que se modifican continuamente
en el tiempo, dependiendo también de las necesidades. De hecho, los objetos
matemáticos y el significado de tales objetos dependen de los problemas que se
enfrentan en matemáticas y de los procesos de resolución.
Según Duval (1999) afirma que
Desde el punto de vista del realismo ingenuo; por lo que la
conceptualización no es y no se puede basaren significados que se
apoyen en la realidad concreta dado que, en matemáticas, no son
posibles referencias ostensivas; ahora todo concepto matemático se ve
obligado a servirse de representaciones, dado que no existen “objetos”
por exhibir en su nombre o en su evocación; por lo que la
conceptualización debe pasar necesariamente a través de registros
representativos que, por varios motivos, sobre todo si son de carácter
lingüístico, no pueden ser unívocos: por lo que, en matemáticas, no existe
acceso sensible (vista, tacto, …) directo a los “objetos” sino solo a sus
representaciones semióticas en diferentes registros lingüísticos;· se habla
más frecuentemente en matemáticas de “objetos matemáticos” y no de
conceptos matemáticos en cuanto que en matemáticas se estudian
preferentemente objetos más que conceptos: “ la noción de objeto es una
noción que no se puede no utilizar desde el momento en el que nos
cuestionamos acerca de la naturaleza, de las condiciones de validez o del
valor del conocimiento(p. 139)
La matemática escolar se asume hoy, construida en un contexto sociocultural y por
ende los objetos de la matemática pueden tener múltiples sentidos. AseguraAcevedo
(2007). Esto hace posible reconocer objetos propios de la matemática escolar, distintos
36
de los objetos de la matemática disciplinar, pues los objetos de la primera están en
proceso de construcción. (p. 48)
4.2.5 Sistemas semióticos según Raymond Duval. Para poder abordar este aspecto
realizaremos la siguiente pregunta ¿Por qué para los estudiantes el abordar un
problema matemático como su profesor le prestan todo el detalle pero por que cambiar
el análisis dentro de las mismas condiciones es tan difícil? ¿Por qué un ejercicio del
mismo temático escrito diferente como la explicación de la clase se vuelve un dolor de
cabeza? Pues allí es donde radican los contextos de representación de los que nos
hablan estudiosos como Duval, D’Amore, entre otros.
Asegura Duval (2006)
Los contextos de representación usados en la actividad matemática son
necesariamente semióticos y tener en cuenta la naturaleza semiótica de
los mismos implica tener en cuenta tanto las formas en que se utilizan
como los requisitos cognitivos que involucran. Estos sistemas semióticos
utilizados por los individuos pueden percibirse desde su multiplicidad
como funcionamiento en el pensamiento. (p. 150)
Duval, plantea que la representación tiene su importancia en su propiedad de
transformación porque el procesamiento matemático siempre implica alguna
transformación de representaciones semióticas. En matemáticas los signos no son
prioritarios para presentar objetos sino para sustituirlos es decir lo que en la geometría
para un chico es un punto luego va a ser una recta y está un plano así un sistema o red
de atribuciones que adquieren los objetos matemáticos
37
4.2.6 Clases de transformaciones semióticas. En la actividad cognitiva del individuo se
presentan tres fenómenos de representación: La primera es la representación de un
registro semiótico particular, asegura Duval (2006)
la percepción inicial impresa de una red básica y la cual constituye un
conjunto de señales perceptibles e identificables que permiten expresar y
caracterizar un objeto como una representación de alguna cosa en un
sistema determinado y preciso, esta representación debe cumplir con
unas reglas de conformidad, por razones de comunicación y de
transformación de representaciones llamada formación. (P. 151)
La segunda son las transformaciones de la representación dentro del mismo registro
donde se ha formado de acuerdo con unas únicas reglas que le son propias al sistema,
Según Duval (2006):
Es una red más elaborada de modo que a partir de éstas se obtengan
otras representaciones que puedan constituirse como nuevos atributos de
conocimiento en comparación con las representaciones iníciales, se
denomina tratamiento de una representación. Es decir, se refiere a la
transformación desde dentro de la misma categoría con las reglas propias
a cada registro. (P. 151)
Y la tercera es la transformación de una representación → en otra representación en un
registro diferente, es allí cuando la red de relaciones semióticas puede cambiar de
registros de representación semiótica, según Duval (2006) “el poder convertir las
representaciones producidas de un sistema de representación a otro sistema, de
manera que este otro sistema este fundamentado en otros atributos pero que conserve
las relaciones iníciales”, (P. 151) es aquello a lo que Duval denomina conversión. Por
ejemplo, cuando se logra percibir un sólido desde un desarrollo plano, y sus atributos
son otros pero conservan una red inicial de relaciones.
38
4.2.7 Esquema interpretativo de las clases de sistemas semióticos
Figura 2. Clases de sistemas semióticos
Fuente: El autor.
Un ejemplo de tratamiento y conversión, se da en el siguiente ejemplo citado por
(Duval2006.)
Figura 3.Los dos procesos cognitivos fundamentales del pensamiento
Fuente: DUVAL, Raymond. (2006 p. 146)
De allí que se puede interpretar que la conversión de las representaciones semióticas
se constituye en la actividad cognitiva menos espontánea y más difícil de alcanzar para
FORMACIÓN
Impresiones previas con asociados a una red básica de atributos
TRATAMIENTO
Asociación a una red de atributos comunes
CONVERSIÓN
Establecimiento de un nuevo sistema semiótico, en signos y atributos
39
la gran mayoría de los alumnos, pero esta dificulta puede tener su explicación en
algunas causas razonables como lo son la dificultad para establecer un relación en los
registros de representación de uno al otro; del registro de partida al registro de llegada,
el desconocimiento de los registros anteriores y la congruencia P Q o no
congruencia de los registros semióticos
Según (Duval, , 2006)
Los ejemplos más típicos se dan en geometría en que a menudo son
necesarios estos dos tipos de transformaciones: uno se produce de forma
discursiva, por deducción válida de propiedades de los datos y de
teoremas que implica el uso del lenguaje; el otro se produce de una
manera visual a través de las diversas reorganizaciones de las formas.
Ambos procesos tienen lugar de manera separada porque no movilizan
los mismos sistemas cognitivos, sin embargo la actividad matemática en
geometría depende de su interacción cognitiva. (p. 154)
En geometría es común y en general en matemáticas el uso de la palabra “figura”, está
a su vez hace confundir a veces la visualización con su codificación, induce a entender
mal la especificidad de estas dos clases de transformaciones independientes, así como
el valor complejo de la conversión que está presente en cualquier actividad geométrica.
Esto se puede ilustrar mediante la siguiente situación que muestra seis textos posibles
de un mismo problema.
En la siguiente grafica adaptada Duval (2006) “vamos a analizar como dentro de una
figura inicial se puede reconocer visualmente las otras dos u obtenerse directamente a
partir de ellas con independencia de toda propiedad (flechas verticales en la columna
de la izquierda)”. (P. 157)
Igualmente los dos enunciados son dos descripciones análogas que se pueden hacer
de cada una de las tres figuras iníciales, porque encierran las mismas hipótesis
40
requeridas para responder a la cuestión. La asociación de un enunciado con una
representación visual puede desarrollar dos funciones:
Bien como economía de memoria para tener en cuenta todos los elementos que
se relacionan
Bien como razonamiento para encontrar el teorema. Se puede elaborar pues un
conjunto de problemas equivalentes combinando los dos enunciados con las tres
figuras iníciales.
Figura 4.Los dos tipos de tratamiento, visual y discursivo, en relación a la actividad
geométrica y el problema de su articulación.
Fuente: DUVAL, Raymond. (2006 p. 148)
41
La toma de conciencia dela especificidad de estos tratamientos visuales por parte de
los alumnos es una condición previa y necesaria para la resolución de problemas. Pero
la importancia y la complejidad cognitiva de estos tratamientos visuales específicos,
¿se tiene en cuenta en la enseñanza de la geometría?
4.2.8 Congruencia y no congruencia entre registros de representación. Ospina García,
D. (2012), Citando a Duval expresa que
La actividad de conversión de una representación a otra en diferente
registro es congruente, si al fragmentar cada una de las representaciones
en sus unidades significantes, es decir los valores que pueden tomar las
diferentes variables, para ubicarlas en correspondencia, deben ser
cumplidos tres criterios:
Correspondencia semántica
Univocidad semántica terminal
Conservación del orden de organización de las atributos significantes (p.
74)
El primer criterio hace referencia a que cada atributo del registro de partida se asocia
con algún atributo del registro de llegada,
Figura 5.Correspondencia semántica
Fuente: El autor
El segundo criterio univocidad semántica terminal hace referencia a que atributo del
registro de la representación de partida le corresponde un atributo en el registro de
llegada
42
Figura 6.Univocidad semántica terminal
Fuente: El autor
El tercercriterio conservación del orden de organización de las unidades significantes
en las representaciones, establece que existe igual orden de aprehensión y ajuste entre
los atributos significantes en las dos representaciones de los registros de partida y de
llegada.
Figura 7.Conservación del orden de organización de los atributos significantes
Fuente: El autor
De allí que los análisis de la geometría en sus figuras planas, en sus tablas, en sus
sólidos, en sus imágenes, en sus diferentes sistemas de representación, y en su mismo
lenguaje natural permiten la relación de estas actividades.
Aunque para D’amore (2004). “la representación es una hecho natural del hombre, a lo
que lo lleva el mismo saber, la necesidad misma de su condición humana”, (p. 92)
concuerdan con Duval (2006)en que:
<
<
43
El saber adquirido puede verse como el producto de la elaboración de la
experiencia con la cual entra en contacto el sujeto que aprende; y esta
elaboración consiste en la interacción entre él y su ambiente y en el modo
en el cual el individuo interioriza el mundo externo. Independientemente
de las peculiaridades de estas “actividades”, el sujeto que aprende debe
comprometerse en algo que necesariamente lo lleva a simbolizar. Se trata
de una elaboración (con características internas o sociales o incluso
ambas) que se organiza alrededor o en los sistemas semióticos de
representación. (p. 160)
Así las cosas, se entiende que los recursos o mecanismos semióticos que use el
individuo para la representación de los objetos en su conceptualización, siendo estos
subjetivos o intersubjetivo incluso los dos, son cruciales para el conocimiento.
Esta posición nos conduce a que el estudiante en su proceso de conceptualización no
debe confundir los objetos matemáticos con sus representaciones semióticas; sin
embargo en su aprendizaje él solo puede acceder a las representaciones de ese
objeto, si no tuvieran acceso ellas, tendría gran dificultad para acceder a dichos objetos
Matemáticos.
Ya que esta investigación centra su interés en la habilidad de identificar las
representaciones de sólidos que tienen los estudiantes de educación media en sus
registros de representación a través de los cuales un concepto matemático es
representado, y a partir de estos diferentes registros de representación,analizar los
registros semióticos que más utilizan los estudiantes en las representaciones de
sólidos, así como rastrear el concepto de solido geométrico que se puede inferir de las
representaciones que hacen los estudiantes
44
4.2.9 Algunas representaciones del concepto matemático.Definiremos los tipos de
representación del concepto matemático, que en nuestro estudio abordaremos, para
satisfacer las condiciones de claridad en la presente investigación. Adaptado de
MuñozAlgarra y Tobon (1998).citando a Duval
4.2.9.1 Representaciones semióticas. SegúnTamayo (2006). “Hace referencia a
todas aquellas construcciones de un sistema de expresión y representación que
pueden incluir diferentes sistemas de escritura, como números, notaciones simbólicas,
representaciones tridimensionales, gráficas, redes, diagramas, esquemas, etc”. (p. 37)
4.2.9.2 Expresión verbal. Se refiere al enunciado verbal, en grabación o escrito,
donde se puede expresar o describir una interpretación que asocia dos conjuntos
cualesquiera y utiliza generalmente el lenguaje como para darnos una descripción
cualitativa.
4.2.9.3 Objeto matemático Es todo lo que es indicado, señalado, nombrado
cuando se construye, se comunica o se aprende (Godino, 2002 p. 237).
4.2.9.4 Semiósis Interpretativa. Donde la producción de imágenes, son efecto de
la percepción (ya sea visual, auditiva, táctil, gustativa u olfativa), que desarrollan.
(Godino, 2002 p. 237).
4.2.9.5 Semiósis Proyectiva: Según Godino y Batanero (1994). “Donde la
producción de imágenes es el efecto de una visualización como forma de
representación semiótica” (p. 325)
45
5 METODOLOGÍA
5.1 TIPO DE ESTUDIO
La metodología de investigación es tipo descriptiva- cualitativa de corte exploratoria por
sus característica propuestas, puesto que esta nos permite acércanos de forma más
efectiva a los procesos cognitivos que experimentan los estudiantes de educación
media durante su proceso de aprendizaje.
La pretensión del estudio es identificar las representaciones de los sólidos que emplean
o realizan los estudiantes para poder reconocer el concepto de sólido que poseen, por
lo tanto tiene un momento exploratorio pero también es interpretativo.
El procedimiento entonces tendría los siguientes momentos:
1. Reconocimiento y descripción de las representaciones que hacen los
estudiantes y el tratamiento de ellas en términos de Duval.
2. Interpretación de las representaciones identificadas en relación con el concepto
de sólido que están manejando los estudiantes.
3. Un tercer momento de categorización en torno al concepto de sólido.
5.2 PARTICIPANTES DEL ESTUDIO
Para el desarrollo de esta propuesta se tienen en cuenta los estudiantes de la
educación media de la institución educativa Modelia, ubicada en el barrio Modelia
sector 1 comuna 7 de la ciudad de Ibagué municipio de Tolima.
46
Figura 8. Mapa contextual del proyecto.
Fuente: Alcaldía de Ibagué (2013)
La población corresponde a los 70 estudiantes en edades entre 15 y 18 años,
formados en instituciones públicas desde sus primeros años y rodeados de un
contexto, enmarcado en su mayoría por desplazados, reinsertados y jóvenes
provenientes del campo.
5.3 PLAN PARA LA RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN
Para la recolección de la información se diseñaron tres talleres cada uno con una
estructura diferente exploratoria, se realiza grabaciones de voz, donde se registraron
las preguntas que los estudiantes realizaban ante la realización de los talleres y donde
se ponía en manifiesto su proceder y su interpretación.
5.3.1 Taller número uno– actividad de representación cotidiana. Mediante situaciones
cotidianas se buscaba la exploración de las representaciones de sólidos presentes en
los estudiantes y su aplicabilidad en la cotidianidad.
47
En este taller el estudiante puede utilizar cual tipo de elemento escrito para asociar
conceptos propios de sólidos con elementos de su vida, así como apropiación de todos
los elementos que pueden existir en una construcción hecho por los hombre.
5.3.2 Taller número dos- actividad de representación 2D VS 3D. Un taller diseñado
para explorar la dimensión espacial y métrica de los estudiantes conociendo que bajo
los estándares de matemáticas los sólidos, deberían ser abordados en los grados
anteriores, y que el proceso de abstracción de los mismos en el espacio tridimensional
se está fortaleciendo.
En este taller podemos encontrar sólidos en un desarrollo plano y desarrollos planos
para construir sólidos.
5.3.3 Taller número tres- actividad de exploración multiplicidad de construcciones. Un
taller diseñado con la característica de profundizar en el componente espacial y
explorar la multiplicidad de representaciones que pueden causar un mismo objeto
matemático, el contexto semiótico de lo escrito.
5.3.4 Grabaciones de voz. Este instrumento pretende recoger los cuestionamientos de
los estudiantes al momento de la sesión y después de ella, para capturar todas
aquellas observaciones que no se aborden desde los talleres.
5.4 PROCEDIMIENTO
Para el desarrollo de esta propuesta se tienen en cuenta los estudiantes de la
educación media de la institución educativa Modelia que son 70 estudiantes, para los
cuales se diseñan tres talleres que junto con las grabaciones y observaciones tomadas
en las sesiones de recolección de la información se analizaran posteriormente para dar
respuestas a preguntas problematizadoras y cumplir así con el objetivo general
propuesto
48
6 ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN
Una vez recolectados los diferentes instrumentos a analizar, se comienza a categorizar
los diferentes tipos de representación que utilizaron los estudiantes de la educación
media en el proceso investigativo, se mencionan los siguientes tipos de
representaciones. Verbales orales y escritas gráficas y las geométricas. A lo que a su
vez se presenta el análisis correspondiente a cada uno, así como los procesos que
existen dentro de ellas.
6.1PROCESO DE FORMACIÓN
Figura 9.Representaciones verbales escritas.
Fuente: El autor (2015)
En esta representación los estudiantes están abordando la situación desde el uso de
figuras geométricas, planas y sólidas. Se vincula del contexto objetos que se asocian a
la visualización de los estudiantes
49
Figura 10. Registro verbal a fotográfico
Fuente: El autor (2015)
Aunque el enunciado era de representación grafica en esta imagen se puede apreciar
que el estudiante utiliza el registro verbal para apoyar su representación del registro
gráfico. Se puede establecer una coherencia en el párrafo descrito. Hace uso de
palabras que identifican poliedros, realiza un gráfico pero no le es posible plasmar la
representación verbal
Figura 11.Uso de características de forma
Fuente: El autor (2015)
50
En esta representación es evidente el uso de características de forma y de fondo en los
polígonos, se identifican palabras que relacionan la coherencia del objeto y del objeto
matemático.
Se comprueba el uso de un lenguaje de medidas, “diámetro”, altura y espacio del suelo
(área).
Se identifican figuras geométricas planas como cuadrados, hexágono, rectángulo.
Características como estructura, divisiones, bases
Figura 12.Palabras asociadas
Fuente: El autor (2015)
El estudiante en esta representación hace uso de palabras asociadas pero aisladas
de una frase.
Se evidencia el representación de objetos, y a su vez se convierten en objetos
matemáticos
Figura 13.Párrafo descriptivo
51
Fuente: El autor (2015)
Par esta representación se realiza un párrafo descriptivo en él se comprueba el uso de
la palabra sólido, asociada a una identificación de objetos. Se muestra una frase
coherente por sus conectores y artículos, aunque asume terminar la idea pero
consecutivo escribe otros dos objetos.
6.1.1 Representaciones gráficas. La representación gráfica se conecta con las
potencialidades conceptualizadoras de la visualización y se relaciona con la geometría
y la topología por eso se tomó algunas de las representaciones gráficas para analizar
los aspectos semíticos de las mismas. La construcción por unidades significantes y su
correspondencia geométrica.
Figura 14.Figuras geométricas planas.
.
Fuente: El autor (2015)
En esta representación gráfica, se hace uso de diferentes figuras geométricas planas.
El grafico presenta trazos en línea recta y curva se nota de fondo que no fue la primera
construcción si no que ya se había realizado otra. No hay proyección tridimensional, es
un gráfico plano.
Figura 15. Trazos rectos y curvos
52
Fuente: El autor (2015)
En esta representación se realiza el uso de trazos rectos y curvos solo existe la
proyección tridimensional en la base del árbol, se hace uso de diferentes figuras
planas, triángulos, rectángulos, entre otras irregulares, se evidencia la ausencia de
reglas, en su construcción y el sentido del grafico plano es coherente con la realidad.
Figura 16.Figuras planas (triángulos, rectángulos trapecios
Fuente: El autor (2015)
Para esta representación se observa el uso de diferentes figuras planas (triángulos,
rectángulos trapecios, entre otras figuras planas irregulares. Se realiza un intento de
proyección tridimensional al lado izquierdo del gráfico, pero al lado derecho del mismo
es una figura plana; los trazos en los segmentos de rectas evidencian el uso de regla,
pero también es evidente que no es la única figura construida lo que demuestra, que
antes se realizaron intentos que no convencieron al estudiante.
Figura 17.Líneas rectas en la construcción de al parecer un acuario,
53
Fuente: El autor (2015)
En esta representación gráfica se pone en evidencia el uso de líneas rectas en la
construcción de al parecer un acuario, se observa la intensión de proyección
tridimensional en mismo lo que no sucede en la elaboración de lo que sería un caimán,
figura irregular con una construcción plana, que está ubicada en el centro de la
proyección.
Figura 18.Proyección tridimensional
Fuente: El autor (2015)
En esta representación se observa una intención de proyección tridimensional haciendo
uso de líneas rectas, en la parte superior de la figura, pero se nota que no es posible la
proyección en la parte inferior de la misma ya que esta, en este lugar geométrico es
una línea recta que asume una representación plana, en esta imagen no se representa
el caimán, no hay medidas y no hay una elaboración asociada a la situación planteada.
Figura 19. Proyección basada en medidas
54
Fuente: El autor (2015)
En esta representación no hay uso de una proyección en la construcción del acuario
que se solicitaba, esta construcción a diferencia de las anteriores se centra en las
medidas y en el animal que de igual manera tiene una representación plana, los
segmentos de recta utilizados se asocian con el recurso de medida, el posible caimán
se presenta dos medidas de largo, se piensa que una de ellas, está asociada con la
elaboración del acuario.
Figura 20.Lengua representacionista
Fuente: El autor (2015)
En esta imagen podemos observar, que el estudiante en su lengua representacionista
hace uno de líneas rectas para realizar un rectángulo que se asociaría con el acuario,
el dibujo de lo que parece un caimán está identificado con segmentos de rectas que
demandan sus medidas, al igual que el rectángulo.
55
Figura 21uso de líneas rectas, el uso de líneas curvas
Fuente: El autor (2015)
En esta representación existe el uso de líneas rectas, el uso de líneas curvas,
adicional, el grafico se apoya en un texto que de manera específica dice esfera, y que
su une a este con una flecha curva al parecer indicando que allí debe de ir una esfera
dentro del cilindro representado, para interiorizar un poco este registro de
representación geométrico esta combinado para poder realizar la solución al problema.
Figura 22.No hay un uso de reglas en la construcción de líneas rectas y curvas
Fuente: El autor (2015)
Para esta representación gráfica, es evidente que no hay un uso de reglas en la
construcción de líneas rectas y curvas, la descripción global da por entendido que
existe una esfera dentro de un cilindro, lo que significa que el estudiante alcanzo a
56
realizar los trazos direccionados en una proyección espacial de un plano tridimensional
que no es evidente.
6.1.2 Representaciones geométricas. Font (2009) Clasifica las representaciones
externas en dos grandes grupos:
Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico, la sintaxis de las
cuales viene descrita por una serie de reglas de procedimiento.
Las representaciones analógicas, continuas, de tipo gráfico o
geométrico, la sintaxis de las cuales viene dada por reglas de
composición y convenios de interpretación (P. 152)
Figura 23.Proyección espacial (tridimensional),
Fuente: El autor (2015)
En esta representación el estudiante hace uso de líneas rectas con una proyección
espacial (tridimensional), donde se construye un imagen que tiene cuatro caras
laterales en forma de triángulo, y una base cuadrada que es diferente del desarrollo
plano. Aunque en la imagen no se evidencia un plano tridimensional la totalidad de la
misma, así, lo muestra.
57
Figura 24desarrollo plano.
Fuente: El autor (2015)
En esta representación geométrica el estudiante hace uso de líneas rectas, se
evidencia el uso de regla, en los trazos de los segmentos, esta figura forma, cuatro
caras triangulares la base de la misma es un triángulo lo que están correspondencia
con el desarrollo plano.
Figura 25.No se conservan las dimensiones del solido patrón.
Fuente: El autor (2015)
En esta representación geométrica el uso de líneas rectas predomina en todo el
grafico, la elaboración lleva internamente la construcción al parecer de trapecios,
triángulos, pero no se realiza con el uso de reglas, en su desarrollo plano nos muestra
58
seis figuras geométricas. Al observar la construcción no se conservan las dimensiones
del solido patrón.
Figura 26.Gráfico de apoyo adiciona
Fuente: El autor (2015)
La elaboración de esta representación geométrica cuenta con un gráfico de apoyo
adicional, además utiliza un tipo de patrón de correspondencia, utilizando letras para
identificar las caras del solido primario, y estas mismas para el desarrollo plano.
La primera construcción está diseñada con líneas rectas que no se unen en los vértices
de la figura de sus caras laterales. En estos trazos se evidencia el uso de regla. Y se
realizan con una proyección tridimensional; que si es cierto no tiene un plano
cartesiano tridimensional evidente, si se manifiesta en el diseño global de la misma.
La elaboración final contiene seis cuadrados y estos a su vez tienen una letra, de
asocian con la imagen original, adicional a esto, esta figura presenta unos diseños de
bordes aparentemente, para sujetar los dobleces cuando se realicen los pegues.
59
Figura 27.Proyección visual
Fuente: El autor (2015)
En este diseño se puede observar la construcción de tres imágenes construidas con
líneas rectas, que se forman de tres triángulos pero que por su proyección muestra
cuatro caras. La proyección de estas tres imágenes es visual, puesto que no tiene una
plano cartesiano, evidente.
Esos diseños están sujetos a una señalización que transforma el registro de
representación y lo convierte en verbal escrito y donde se asegura las tres imágenes
representan el mismo objeto de estudio matemático.
6.1.3 Representaciones verbales orales. La representación verbal se relaciona con la
capacidad lingüística de las personas, y es básica para interpretar, en esta
investigación se tomaron algunas grabaciones para registrar los comentarios, peguntas
que se generaron en la realización de todo el proceso investigativo, de aquí que se
tomaron algunas para mostrar y analizar.
60
Tabla 1. Grabación uno
SITUACIÓN
Representa mediante una figura las siguiente situación Un acuario donde se pueda ubicar y girar libremente un caimán de 2 metro de largo, 50 cm de ancho y 40 cm de gordo.
DIALOGO Diego molano. “Profe mide dos metro de largo entonces pa´ que se pueda mover libremente, le pongo tres metros y de ancho como mide dos metros, aaa no de ancho mide 50 cm y como dice que da la vuelta, Profesor ¿eso cuanto seria? Diego molano: pues eso sería más o menos…….mmmm. Si de largo mide dos metros, da la vuelta, ósea, vuelve y queda de largo pero en lo ancho, ¿noooo? Profesor ¡no se! ¿Usted qué dice?, ¿Entonces cuánto le va a poner? Diego molano: pues no sé.
ANÁLISIS En esta grabación los elementos expuestos por el estudiante, son en relación a la medida, tanto del recipiente como del caimán, el análisis del fenómeno de rotación y el estudio del espacio geométrico. En un plano abstracto.
Fuente: El autor (2015)
Tabla 2. Grabación dos
SITUACIÓN
En este momento en el salón donde estas que solidos puedes observar y cuáles son sus características.
DIALOGO Luis Jiménez: “yo estoy colocado por lo menos el tablero que es de forma rectangular la escuadra que es forma triangular. ¿Es así? ¿Así la puedo hacer?” Profesor: “Pero hay más cosas en el salón” Luis Jiménez: “si exacto.”
ANÁLISIS En esta grabación vemos que el estudiante hace evidente objetos y objetos matemáticos habla, de figuras concretas y visibles en su contorno, manifiesta el conocimiento de algunas figuras geométricas planas y hace asociaciones entre estas.
Fuente: El autor (2015)
Tabla 3.Grabación tres
SITUACIÓN
¿Si fuéramos a desbaratar estas figuras como quedarían?
DIALOGO Faidy: “Profe por lo menos ósea tocaría dibujarla como queda desbaratada” Profesor: “¿Cómo quedaría esa figura si usted la desbaratará?” Faidy: “Por eso la dibujo desbaratada ya.”
ANÁLISIS En esta grabación se observa la intención de identificar instrucciones, plantear una posible modelación, y confirmar la duda en seguimiento de instrucciones. Así como también, hace evidente el conocimiento del desarrollo plano de la figura
Fuente: El autor (2015)
61
Tabla 4. Grabación cuatro
SITUACIÓN
Aquí también tenemos algunas figuras recortables menciona o dibuja que figura se podría construir con todos o con cada uno de estas.
DIALOGO
Rene Josué: “profe falta una (le falta al taller) de la de arriba”. Profesor: “¿seguro?” Rene Josué: “porque si esta se sube esta, esta, esta. Quedaría una caja y ¿la tapa?” Profesor: “¿podría ser?
ANÁLISIS La intervención de Rene en esta grabación muestra el conocimiento en el desarrollo plano, el uso del espacio y las características de doblar, armar, construir. El manejo de las características de una caja le permite aproximarse a los conceptos de caras vértices, aristas en su manera lo menciona y la tapa.
Fuente: El autor (2015)
6.2PROCESO DE TRATAMIENTO
Tabla 5.Representación verbal escrito correspondencia semántica de asociación
Fuente: El autor (2015)
UNIDADES SIGNIFICANTES
Correspondencia semántica En esta representación se puede observar que se cumple con una correspondencia semántica de asociación pero la coherencia geométrica no se perpetúa, es decir, hay dificultad para establecer ciertos atributos en el traslado entre registros.
A la situación que pedía relacionar la forma geométrica con que se puede visualizar algunos objetos se encontró esta representación
UNIDADES SIGNIFICANTES
Objetos matemáticos
Pues se trata de la confrontación de
representaciones de naturaleza diferente de
un mismo objeto
62
Tabla 6.Uso que ofrece el objeto
UNIDADES SIGNIFICANTES
Objeto
Objeto matemático
Al observar esta representación verbal se identifica que la asociación que se presenta, se realiza con base en el uso que pueda ofrecer el objeto, de esta manera como lo menciona
A la situación que pedía relacionar la forma geométrica con que se puede visualizar algunos objetos se encontró esta representación
UNIDADES SIGNIFICANTES
Correspondencia semántica (PLANCHART MÁRQUEZ, 2000) La visualización de los atributos del registro de representación se manifiesta como elemento de comunicación y cognición.
Fuente: El autor (2015)
Tabla 7.La organización de las palabras
UNIDADES SIGNIFICANTES
Correspondencia
semántica La organización de las
palabras y la frase tiene sentido
UNIDADES SIGNIFICANTES
Coherencia Se establece
coherencia cuando al
Fuente: El autor (2015)
63
Tabla 8.Esquemas basados en líneas sin operar
UNIDADES SIGNIFICANTES
Dimensión
Espacio
Frases asociadas al concepto
En efecto, para muchas personas es difícil resolver el problema si no dibujan, la figura y juegan con trazos de líneas De aquí que la forma de representación se apoya en el usoesquemas basados en líneas sin operar las unidades significantes de dimensión y espacio.
UNIDADES SIGNIFICANTES
Sin embargo, la correspondencia semántica no se evidencia cuando deja fuera atributos que están fuera de los trazados en los que se apoya.
Fuente: El autor (2015)
64
Tabla 9.Coherencia
UNIDADES SIGNIFICANTES
Expresión verbal
Coherencia
Para esta representación el nivel de aprehensión y la sincronía en dos de las tres ideas representadas por el estudiante muestra una leve correspondencia semántica entre el objeto y los atributos que se le asocian, aunque la forma el tablero se asocia con una figura plana, la especificación tridimensional parece desconocerse, lo que no sucede con el cofre.
Es de anotar que los estudiantes privilegian las expresiones verbales que orientan su interpretación así el uso de figuras planas, de allí que esto tiene que ver con la falta de congruencia entre las representaciones semióticas del concepto.
UNIDADES SIGNIFICANTES
Expresión verbal
Coherencia
Cohesión
La asociación que se observa en esta representación está sujeta a la identificación de un objeto y su característica, pero se establece que el nivel de correspondencia semántica horizontal y vertical no evidencia la unidad significante de características, espacio, dimensión, si bien, la coherencia en esta red de atributos no es congruente
Es de anotar que los estudiantes privilegian las expresiones verbales que orientan su interpretación hacia el uso de figuras planas, de allí que esto tiene que ver con la falta de congruencia entre las representaciones semióticas del concepto. Y la dificulta en el cambio de registro.
UNIDADES SIGNIFICANTES
Expresión verbal
Coherencia
Cohesión
En el ejercicio de describir la estructura, con todos los elementos que considerará necesarios, podemos observar en esta representación la serie de atributos que se relacionan así, como, la semántica que se utilizó para hacerlo, se realizó con coherencia semántico puesto que inicia desde la parte superior de la estructura y llega a la base, sin embargo los elementos con los que se establecieron correspondencia no son congruentes, ejemplo rectángulo---sólido.
Fuente: El autor (2015)
65
6.2.1 Representaciones verbales orales
Tabla 10.Grabación uno
SITUACIÓN
En este momento en el salón donde estas que solidos puedes observar y cuáles son sus características.
DIALOGO Luis Jiménez: “yo estoy colocado por lo menos el tablero que es de forma rectangular la escuadra que es forma triangular. ¿Es así? ¿Así la puedo hacer?” Profesor: “Pero hay más cosas en el salón” Luis Jiménez: “si exacto.”
ANÁLISIS En este relato vemos de nuevo una asociación que deja por fuera la unidad significante de espacio y dimensión, se puede pensar que cuando se realiza la visualización por partes y no las observan globalmente, esto se convierte en un obstáculo en el camino a la aprehensión del concepto matemático.
Fuente: El autor (2015)
Tabla 11Grabación dos
SITUACIÓN
¿Si fuéramos a desbaratar estas figuras como quedarían?
.
DIALOGO Faidy: “Profe por lo menos ósea tocaría dibujarla como queda desbaratada” Profesor: “¿Cómo quedaría esa figura si usted la desbaratará?” Faidy: “Por eso la dibujo desbaratada ya.”
ANÁLISIS En este relato se evidencia que la transformación de un registro de representación a otro con la correspondencia de sus atributos, genera un fenómeno de inseguridad y duda. Así se puede percibir dentro de las pautas de la grabación.
Fuente: El autor (2015)
Tabla 12.Grabación tres
SITUACIÓN
Aquí también tenemos algunas figuras recortables menciona o dibuja que figura se podría construir con todos o con cada uno de estas.
DIALOGO
Rene Josué: “profe falta una (le falta al taller) de la de arriba”. Profesor: “¿seguro?” Rene Josué: “porque si esta se sube esta, esta, esta. Quedaría una caja y ¿la tapa?”
66
Profesor: “¿podría ser?
ANÁLISIS En este relato hay una coherencia en el dialogo, sin embargo, la apreciación de Rene deja ver que no se alcanza el nivel en una fase conceptual como menciona Vygotsky (1960, 1962), la pregunta que realizo era coherente en su momento con la interpretación que realizaba, pero la visualización que realizo mostraba un esquema global.
Fuente: El autor (2015)
6.2.2 Representación geométrica
UNIDADES SIGNIFICANTES
Correspondencia semántica
Congruencia y no congruencia
(Font, 2009)Clasifica las representaciones externas en dos grandes grupos:
Figura 28.Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico
Fuente: El autor (2015)
Las digitales, discretas, de carácter alfanumérico, la sintaxis de las cuales viene
descrita por una serie de reglas de procedimiento.
67
Figura 29.Representaciones analógicas
Fuente: El autor (2015)
Las representaciones analógicas, continuas, de tipo gráfico o geométrico, la sintaxis
de las cuales viene dada por reglas de composición y convenios de interpretación.
De allí que al observar estas transformaciones de sistemas de representación se
puede pensar que el uso de un sistema de referencia, como fue la cuadricula para
estas primeras representaciones se hizo de contexto dinámico y geométrico.
Cuando se les propone la situación que con este plano que imagen construiría
(realiza el dibujo y si puede le pones el nombre)
Figura 30.Representación semiótica
Fuente: El autor (2015)
68
Se analiza que en esta forma de representación se pretende explorar en los
estudiantes la capacidad de transformación de un lenguaje plano en dos dimensiones a
una representación semiótica en tres dimensiones o un desarrollo plano y un sólido.
Se observó gran ausencia de respuestas; lo que me lleva a pensar que los estudiantes
no dominaban la construcción de estos sólidos porque de hecho el tiempo fue
suficiente ya que la entrega del material fue voluntaria.
Figura 31.Prisma de base pentagonal y la pirámide de base hexagonal
Fuente: El autor (2015)
Dentro de las figuras que presentaron mayor complejidad en su elaboración estaba el
prisma de base pentagonal y la pirámide de base hexagonal
Los resultados de este ejercicio nos dejan ver en algunos de los estudiantes se
necesita un esquema de cuadricula para la elaboración de algunas figuras, mientras
que otros en su elaboración no presentaron una correspondientes geométrica con los
atributos que cada plano ofrecía con la elaboración del solidos puesto que diseñaron
bases rectangulares cuando no existían condiciones para ello; de allí que también se
observó que el cilindro fue la figura que se realiza con mayor facilidad, pero la
posibilidad de acompañar las representaciones semióticas con la respectiva
representación semántica escrita no fue posible sino para una sesta parte de la
población estudiada.
69
Figura 32.Bases rectangulares
Fuente: El autor (2015)
Figura 33.Interpretación a la luz de Duval
Fuente: El autor (2015)
La interpretación a la luz de Duval de estas representaciones geométricas nos
evidencia que algunos estudiantes pueden llegar a la etapa de tratamiento pero que la
gran mayoría de los estudiantes de la población, no supera la etapa de formación de
sistemas semióticos y otros que no están ni asociando los atributos que allí se
presentaron para su elaboración en la red de atributos.
Dentro de las grabaciones los estudiantes preguntaban “¿será profe que esto será
así?” esto nos deja percibir que no existía seguridad en su elaboración y la forma de
confirmar era la de mirar a un compañero y realizar su comparación.
En este ejercicio se obtuvo una totalidad de respuestas, un fenómeno a tener en cuenta
es que la gran mayoría de la población realiza sus representaciones tomando como un
70
atributo fundamental el uso de rectángulos puesto que en este ejercicio y en el anterior
se percibió bastante este fenómeno.
A la luz de Duval la mayoría de los estudiantes pueden ubicarse en la etapa de
tratamiento cuando el cambio de registro se realiza del solido al desarrollo plano.
Aunque se percibió que algunos de ellos asocian la representación semántica de los
sólidos solo algunos atributos que estos poseen como lo son sus caras.
6.3 PROCESO DE CONVERSIÓN Tabla 13. Unidades significantes
UNIDADES SIGNIFICANTES
TRAZOS Aunque los trazos no están bien definidos, los segmentos de recta tiene la intencionalidad de mostrar parte todo
CORRESPONDENCIA GEOMÉTRICA.
La asociación de las respectivas láminas obtenidas luego de la construcción de un desarrollo plano muestra la correspondencia de seis posiblemente cuadrados asociados con seis caras cuadradas.
UNIDADES SIGNIFICANTES Volumen Esta unidad significante no se hace evidente puesto las medidas están variantes.
71
6.3.1 Representaciones verbales escritas.
Figura 34.Organización sintáctica, relación con las figuras
Fuente: El autor (2015)
La organización sintáctica de esta frase se no puede poner en correspondencia término
a término en relación con las figuras planas; puesto que el uso de la palabra
“diferentes” no permite la coherencia, en la descripción de un rectángulo, pues no
puede tener dos alturas diferentes
En la descripción del cuadrado si se puedeponer en correspondencia término a
término, lo que no sucede en el párrafo como señala Duval, citado por (Ospina García,
2012) la correspondencia semántica que daría el sentido y la armonía al párrafo esta
desviada puesto que claramente se evidencia la ausencia de la unidad significante en
su totalidad solido (y se refleja algunas características aisladas, incoherentes.)
Figura 35.Ausencia de la unidad significante
Fuente: El autor (2015)
72
Al observar las imágenes que se tomaron de muestra podemos percibir que esa
asociación de redes geométricas de la misma noosfera de los estudiantes se encuentra
un planteamiento ambiguo o bifurcado o simplemente no existe relación en su
visualización puesto que para algunos estudiantes sólidos la relación se hace con
figuras bidimensionales abstractas y en otras con sólidos asociados, pero se puede
percibir que existen asociaciones que no presentan ningún tipo de atributo en común
como un globo con un heptágono, o una más cercana de un pitillo con un prisma al
parecer en este punto, la vinculación de Duval nos ubica de nuevo en la clasificación
del sistema semiótico de formación. Para (Ospina García, 2012)no existiría una
univocidad semántica terminal puesto que no es clara la relación de correspondencia.
Figura 36.Sistema semiótico de formación
Fuente: El autor (2015)
Unidades Significantes
Congruencia y no congruencia
Organización de unidades significantes.
Figura 37. Congruencia y no congruencia
Fuente: El autor (2015)
73
En esta representación las frases asociadas que se establecen de manera horizontal
en el párrafo no son consecuentes con la asociación vertical aunque horizontal hay una
asociación de objetos y características elementales, vertical hay una disociación de
figuras geométricas y sólidos.
Aunque existen relaciones internas en cada frase la correspondencia semántica que se
establece para este párrafo, no es consecuente con lo que puede establecer en el
contexto general del mismo, se evidencia la gran dificultad de cambiar el registro de
representación. (Duval, , 2006)
Unidades Significantes.
Figuras sólidas.
Figuras planas
Volumen
Figura 38. Figura solidas, planas volumen.
Fuente: El autor (2015)
En esta representación escrita sin bien, existe correspondencia semántica vertical entre
la unidad significante elemental, entienda esta como <característica del objeto> que
presentan los objetos observados por el estudiante; la coherencia en relación con la
asociación horizontal que establece el estudiante muestra el desconocimiento de las
unidades significantes de espacio y dimensión.
74
“El salón completo es un cuadrado tiene todo los lados.” Muestra que no, existe igual
orden de aprehensión de las unidades significantes y establece que en este sistema
de representación no existe correspondencia semántica.
Unidades Significantes.
Objeto.
Objeto matemático
Congruencia semántica
Figura 39.Objeto, matemático, semántica
Fuente: El autor (2015)
Si bien es cierto que como menciona(Guzmán R, 1998) El traslado entre registros se
trata de la confrontación de representaciones de naturaleza diferente de un mismo
objeto. Este traslado da lugar a fenómenos de congruencia y no congruencia
semántica. Al observar esta representación podemos ver que el estudiante ya
menciona como evidente la unidad significante global (solido), además centra su
atención en identificar esa red de atributos que pueden asociarse a su descripción. De
aquí que esta representaciones verbal escrita que satisfacen los criterios de
congruencia. Y donde se puede establecer los objetos matemáticos que intervienen en
las prácticas matemáticas, y los emergentes de las mismas, según el nivel de
visualización del estudiante puede ser asociado desde diferentes facetas.
75
Figura 40.Correspondencia semántica vertical y horizontal,
Fuente: El autor (2015)
En esta representación verbal se identifica un nivel de correspondencia semántica
vertical y horizontal, además las unidades significantes espacio dimensión, se
evidencia claramente
Esta es de las representaciones verbales escritas que satisfacen los criterios de
congruencia semántica como lo manifiesta (Duval, , 2006) cuando en un cambio de
registro se alcanza la conservación del orden de organización de las atributos
significantes. La identificación y asociación se realizan con base en la selección de un
sólido y la asociando de un objeto concreto.
6.3.2Representaciones verbales orales
Tabla 14. Grabación 1.
SITUACIÓN
Representa mediante una figura las siguiente situación Un acuario donde se pueda ubicar y girar libremente un caimán de 2 metro de largo, 50 cm de ancho y 40 cm de gordo.
DIALOGO Diego molano. “Profe mide dos metro de largo entonces pa´ que se pueda mover libremente, le pongo tres metros y de ancho como mide dos metros, aaa no de ancho mide 50 cm y como dice que da la vuelta, Profesor ¿eso cuanto seria? Diego molano: pues eso sería más o menos…….mmmm. Si de largo mide dos metros, da la vuelta, ósea, vuelve y queda de largo pero en lo ancho, ¿noooo? Profesor ¡no se! ¿Usted qué dice?, ¿Entonces cuánto le va a poner? Diego molano: pues no sé.
ANÁLISIS En este relato es evidente un alcance en el nivel de abstracción cuando pone en evidencia la unidad significante de espacio y dimensión, “Si de largo mide dos
76
metros, da la vuelta, ósea, vuelve y queda de largo pero en lo ancho” que como menciona L. S. Vygotsky (1960, 1962) citado por (D´amore, 2001) el desarrollo conceptual del individuo en su fase conceptual se fundamenta en que primero va de lo concreto a lo figurativo, de lo lógico a lo abstracto. Lo que nos deja identificar que este estudiante presento una congruencia semántica en esta grabación.
Fuente: El autor (2015)
6.3.3 Representación grafica
Tabla 15.Proyección
UNIDADES SIGNIFICANTES
ARMONÍA EN EL
DISEÑO Esta representación
logra realizar una intervención vistosa asociada al uso de diversos recursos
geométricos ESPACIO
la representación logra el propósito de mostrar un objeto tridimensional
UNIDADES SIGNIFICANTES
LÍNEA
El uso de líneas rectas y curvas en correspondencia con la creación de prismas, y solidos geométricos irregulares determina que hay un avance en la construcción geométrica tridimensional
Fuente: El autor (2015)
La proyección de una figura geométrica sobre un plano, desde un punto (al que
llamamos centro o vértice de proyección), será la intersección con el plano, de los
distintos rayos proyectantes que pasan por el centro de proyección y cada uno de los
puntos de la figura (Gómez Aracil, 2015), así vemos que la representación cumple con
un nivel de congruencia entre los dos registros de representación.
Para esta imagen los trazos son un poco imprecisos pues no hay una seriedad en los
mismos. Con uso de reglas no de instrumentos de dibujo.
77
Tabla 16.Proyección 2
UNIDADES SIGNIFICANTES
Proyección
Espacio
Congruencia geométrica
A diferencia de la anterior grafica los trazos en esta imagen, junto con la proyección de las mismas, el espacio, no ofrecen una correspondencia geométrica tridimensional como lo exige el problema.
UNIDADES SIGNIFICANTES
“fenómeno de no congruencia, el cual se da entre las representaciones deun mismo objeto que provienen de sistemas semióticos diferentes y el pasaje entre ellas noes inmediato” (Duval, 1999). Para este caso vienen del mismo registro de representación pero la conversión está sujeta a la visibilidad del sujeto.
Fuente: El autor (2015)
6.3.4 Representación geométrica
UNIDADES SIGNIFICANTES
Correspondencia semántica
Congruencia y no congruencia
Figura 41. Semántica, Congruencia y no congruencia
78
En la elaboración de estos diseños los estudiantes plantearon desarrollos planos interesantes,
donde se pudo observar que a ellos se les facilita más la elaboración plana, que la construcción
de sólidos en espacio tridimensional.
Desde la dinámica de la representación de Duval la transformación de un registro de
representación a otro registro de representación de un sólido en su respectivo desarrollo
plano, ubica a la gran mayoría de los estudiantes en el proceso de conversión pues que se
vinculan en sus construcciones atributos que se relacionan directamente de una figura
tridimensional a una figura plana
6.3.5Representación de objeto matemáticos concretos
El patrón dibujado en la parte izquierda de la figura permite construir el cubo de la
derecha.
Dibujar la letra, en su posición correcta, que debe aparecer en cada una de las caras
del cubo que se muestra que ha sido obtenido usando el mismo patrón
Tabla 17. Construcción de cubos
En este ejercicio sucedió algo diferente; para la solución de esta situación varios de los muchachos lo que hicieron no fue conjeturar en su nivel abstracto el espacio y la ubicación de cada letra, como lo menciona L. S. Vygotsky (1960, 1962) citado por (D´amore, 2001) sino que lo volvieron un ejercicio tangible es decir con papel recortado hicieron el cubo, lo que deja ver de lado, que no realizaron abstractamente lo solicitado, si no que tuvieron que pasar a una etapa de modelación concreta como lo muestran las fotos. Esto implica, desde nuestro entendimiento, la utilización de diferentes Enfoques para construcción de un sistema de registro, entre ellos: elcampo de las representaciones semióticas y la modelación como aspectointegrador de distintas representaciones y en el contexto real donde muchas veces sedesprenden las situaciones
79
matemáticas. La asociación de rotar, girar, trasladar, etc. En el espacio es un factor constante de ausencia en este taller que se interesó en indagar la relación geometría, contexto y nociones básicas de los sólidos.
Fuente: El autor (2015)
80
7. CONCLUSIONES
Desde la Identificación de procesos de tratamiento y conversión de las
representaciones semióticas de sólidos geométricos que hacen de los estudiantes, se
concluye que el contexto de la situación influye en los registros de representación y en
las transformaciones que utilizan los estudiantes para resolverlas, asimismo los
estudiantes aunque algunos identificaron en lassituaciones las unidades significantes
no las visualizan en correspondencia con los otros registros, sin embargo el registro
privilegiado para estaconversión es el registro gráfico escrito, por las numerosas
unidades significantes que posee, y también porque es el recurso cuando no dominan
otros registros de representación, pero también es evidente la no correspondencia de
estas con el registro gráfico de construcción de imágenes, entre ellas la construcción
de solidos desde un desarrollo plano, losvalores que toma cada una de las variables,
cuando pasan de un sistema de representación a otro son de no congruencia aunque
conservaban los atributos iníciales no de conversión. Así como lo fundamental para una
aprehensión conceptual de los objetosmatemáticos”(Duval R. , 1999).
En este proyecto investigativo se logróreconocer el concepto de solido geométrico que
poseen los estudiantes de educación media de la institución Modelia a partir de las
representaciones semióticas, no siendo más que sencillamente la unión de una serie
de figuras planas, sin relacionarse con la misma esencia del concepto, como si la suma
de las partes construyera la esencia del ser.
Dentro del análisis que pueden conjeturar estas aproximaciones al concepto que
poseen
La no asociación de diferentes sistemas de representación, cuando se
relacionaban objetos sólidos con desarrollos planos, e imágenes
correspondientes
81
La relación de los elementos cotidianos de su entorno con un signo verbal o
nombre
La representación gráfica de los sólidos estaba sujeta directamente al uso
generalizado de cuadrados y rectángulos solamente.
No está disponible la capacidad para rotar un sólido en el espacio si no era un
objeto concreto, puesto que cuando debió de hacerse este fenómeno,
construyeron de manera tangible el sólido.
Dentro de los registro semióticos que se analizaron el de mayor correspondencia
y congruencia fue lo redactado, lo grafico referente al diseño de sólidos fue no
congruente en la mayoría de los talleres, y la expresión verbal a través de audios
dejo ver la inseguridad para preguntar algo en concreto.
El ejercicio de hacer diferentes formas de representación de un problema,
pueden tener efectos positivos tanto en facilitar el procesamiento de información,
ayudando a la memoria de corto plazo, como en el hallazgo de relaciones entre
contextos, y de esta manera facilitar tanto la generalización y la transferencia del
aprendizaje para aplicarla ensituaciones concretas.
De allí que (Duval R. , 1999, pág. 181) en el marco de su teoría, exprese que las
dificultades para transitar entre representacionespueden ser interpretadas como la
consecuencia de una deficiente conceptualización delobjeto matemático.
82
RECOMENDACIONES
Es necesario incluir situaciones geométricas que permitan articular diferentes registros
de representación para que los estudiantes adquieran un pensamiento adecuado que
les permita alcanzar una mejor conceptualización de los sólidos.
Se debe incorporar la representación como una herramienta didáctica que permita a
los estudiantes acercarse a los objetos matemáticos y a las situaciones físicas
particulares y relacionarlas con las representaciones semióticas adecuadas de tal
manera que los acerquen al concepto matemático.
Es importante continuar con las investigaciones en torno a las representaciones
semióticas de los conceptos matemáticos y en particular en el campo de la geometría,
ya que estas representaciones son las que permiten el acceso a dichos conceptos
debido a la naturaleza abstracta de esta ciencia, es fundamental para la enseñanza en
el logro de procesos de comprensión en los estudiantes tal como lo plantea Duval
desde su teoría de las representaciones semióticas.
El análisis de los procesos de tratamiento y conversión entre representaciones
semióticas han sido uncampo poco explorado en investigación de la didáctica de las
matemáticas, en el contextodel aula escolar, y es posible que muchas de las
dificultades en el aprendizaje de las matemáticas sedeba al desconocimiento que los
docentes poseen sobre las representaciones y la carga cognitiva que ellas traen, es por
ello que este trabajo extiende la invitación a continuarinvestigando en este tema.
83
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