Repblica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la DefensaUniversidad Nacional Experimental Politcnica De la Fuerza Armada Bolivariana Ncleo Aragua. Extensin Colonia Tovar05-IDS-D01Representacin de Datos ExperimentalesProf: Bachilleres:Yerlis Fabio Dorta Colonia Tovar, mayo 2014INTRODUCCION Las ciencias experimentales o naturales son aquellas que estudian los fenmenos observables en la naturaleza. Se llaman experimentales porque parten de la experiencia y utilizan como criterio para aceptar sus tesis, la verificacin experimental, su comprobacin en la experiencia. Experiencia se define por tanto, como todo objeto, hecho o fenmeno susceptible de ser observado o experimentado a travs de la percepcin sensible. En este tema hablaremos de los distintos mtodo, en la cuales tenemos los mtodo grficos, mtodos promedio y mtodos mnimos cuadrados y podemos indicar que se utilizaran principalmente para ilustrar caractersticas de los problemas.Representacin de Datos ExperimentalesMtodos Grficos: El mtodo grfico se utiliza para solventar cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas esta es la de una funcin de primer grado, es decir, una recta. Este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es as, dnde. Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas slo pueden tener tres posiciones relativas (entre s): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ste son el par (x, y) que conforman la nica solucin del sistema, ya que son los nicos valores de ambas incgnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, por lo que no hay ningn par de nmeros que representen a un punto que est en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que ste ser incompatible, o sea sin solucin. Por ltimo, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego ste ser compatible indeterminado. El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resume en las siguientes fases:Se despeja la incgnita y en ambas ecuaciones. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.En este ltimo paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas x e y. Sistema compatible determinado. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin. Sistema incompatible.Ejemplo: Entre Valeria y Sebastian tienen 600bsf, pero Sebastian tiene el doble de bolvares que Valeria. Cunto dinero tiene cada uno?Llamemos x al nmero de bsf de Valeria e y al de Sebastian. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600bsf, esto nos proporciona la ecuacin x + y = 600. Si Sebastian tiene el doble de bsf que Valeria, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:x + y = 6002x - y = 0 Para resolver el sistema por el mtodo grfico despejamos la incgnita y en ambas ecuaciones y tendremos:y = -x + 600y = 2x Vamos ahora, para poder representar ambas rectas,a calcular sus tablas de valores:y = -x + 600 y = 2xx y x y200 400 100 200600 0 200 400 Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar grficamente: La grfica, las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solucin del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Valeria tiene 200bsf y Sebastian tiene 400bsf.Mtodo de Promedios. Es un mtodo de bsqueda incremental, donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la funcin cambia de signo sobre un intervalo, se evala el valor de la funcin en el punto medio.La posicin de la raz se determina situndola en el punto medio del sub-intervalo dentro del cual ocurre el cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximacin. Escoger valores iniciales X1 y Xu de tal manera que la funcin cambie de signo sobre el intervalo.Se halla el valor real (al trabajar con errores de tolerancia).3. La primera aproximacin se determina con una frmula:4. Se evala el producto de f(X1)xf(Xr).Si f(X1)x f(Xr) < 0 --- la raz est en el 1er sub-intervalo --- Xu = XrSi f(X1)x f(Xr) > 0 --- la raz est en el 2do sub-intervalo --- X1 = XrSi f(X1)x f(Xr) = 0 --- la raz es Xr5. Se determina el error verdadero y el error.Grfica: Mtodo de Promedios. Mtodos de Mnimos Cuadrados: Existen numerosas leyes fsicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a travs de una ecuacin lineal: y = ax + b Donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parmetros que se pretende encontrar.El mtodo ms efectivo para determinar los parmetros a y b se conoce como tcnica de mnimos cuadrados. Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y.De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados grficamente, deberan caer sobre una lnea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados. El mtodo de mnimos cuadrados determina los valores de los parmetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dar aqu simplemente el resultado: Donde n es el nmero de medidas y ? representa la suma de todos los datos que se indican. Los errores en las medidas, se traducirn en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuacin un mtodo para calcular estos errores. En principio, el mtodo de mnimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores y i de la variable independiente se conocen con precisin absoluta (esto generalmente no es as, pero lo aceptamos como esencial en el mtodo). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irn afectadas de sus errores correspondientes, si ? es el valor mximo de todos estos errores. La pendiente de la recta se escribir, y la ordenada en el origen.El coeficiente de correlacin es otro parmetro para el estudio de una distribucin bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlacin r es un nmero que se obtiene mediante una frmula.Su valor puede variar entre 1 y -1.Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlacin que es perfecta e inversa.Si r = 0 no existe ninguna relacin entre las variables.Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlacin que es perfecta y directa.Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a traccin, se ha cargado el muelle con diferentes pesos (F, variable independiente o y) y se han anotado los alargamientos (l variable dependiente o x).Cargassucesivas F(yi)gramos Lecturassucesivas (xi)mm200 60400 120500 150700 210900 2601000 290Los distintos datos que se necesitan son:N 6?xi 1090?xi2 236300?yi 3700?yi2 2750000?xiyi 806000?0,2Con lo cual aplicando las expresiones [1], [2], [3] y [4]:b = -18,4153; a = 3,4959; ?b =0,08164966; ?a =0,00102217; r = 0,9995Redondeando en la forma usual b = -18,42 0,08 mm; a =3,50 0,00 mm/KpFunciones de tipo potencial y exponencial:Funcin Potencial: En esta clase de funcin, la variable dependiente cambia ms rpidamente que en el caso lineal, cuando cambia el valor de la variable independiente, bien sea en forma creciente o decreciente y la curva que la representa no es una lnea recta.En los procesos que ocurren en los seres vivos no se encuentran magnitudes relacionadas linealmente sino en casos aproximados o en intervalos muy limitados. En la literatura mdica es frecuente encontrar modelos matemticos obtenidos de datos experimentales, expresados mediante funciones en las cuales la variable dependiente es proporcional a alguna potencia (entera o fraccionaria) de la variable independiente. La expresin de una funcin potencia tiene la forma:y=bx^n Donde x e y son las variables relacionadas y b y n son constantes.Para graficar estas funciones se utiliza papel logartmico, en donde las dos escalas (vertical y horizontal) son logartmicas (de uno o varios ciclos). Si un conjunto de datos se ajustan a la forma de una funcin del tipo y=bx^n entonces, al graficar y -vs- x en un papel logartmico, se obtiene una lnea recta.En efecto, tomando logaritmo a ambos lados:y=bx^nLog y = Log (bx^n)Log y = n Log x + Log bSi hacemos el cambio de variablesy^' = Log yx^' = Log xb^' = Log bEntonces se tiene que:y^'=nx^'+ b^' En donde n es la pendiente de la recta (en papel logartmico) y b? es el intercepto. Ntese que con el cambio de variable, la funcin potencia adopta la forma de una funcin lineal. Para calcular n, se escogen dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) sobre la recta obtenida al graficar los datos en papel logartmico y se evala El intercepto de la recta con el eje vertical de la grfica en papel logartmico es Log b, por lo que b se lee directamente de la grfica en papel logartmico.Debe tenerse en cuenta extrapolar la lnea, si es necesario, para tomar a b sobre el eje vertical que cae sobre el punto identificado con Log 1 sobre el eje horizontal en el papel logartmico, ya que este corresponde al cero.Funcin Exponencial: En esta clase de funcin, la variable dependiente cambia (aumentando o disminuyendo) muy rpidamente. Son muchos los ejemplos en la Naturaleza que involucran este tipo de funcin: el decaimiento radiactivo, la atenuacin del sonido y de la luz, la densidad atmosfrica, el crecimiento de las bacterias, la esterilizacin, la mortalidad y la sobrevida en cncer y enfermedades crnicas, la depuracin renal, cintica de drogas y muchos ms.La expresin de una funcin exponencial tiene la forma:y=ba^mxDonde x e y son las variables relacionadas y b, a y m son constantes. Para graficar este tipo de funciones se utiliza el papel semi-logartmico, en donde solamente una de las escalas (vertical) es logartmica y la otra (horizontal) es milimetrada.Si se toma logaritmo a ambos lados de la expresin:y=ba^mxLog y = Log (ba^mx)Log y = (m Log a)x + Log bSi hacemos el cambio de variablesy^' = Log ya^' = m Log ab^' = Log bSe obtiene entonces la ecuacin de una lnea recta:y^'=a^' x+ b^' El valor de la pendiente a? se calcula escogiendo dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) de la recta dibujada en el papel semi-logartmico. Como a? = m Loga, debemos hallar el valor de m y el valor de a, y lo que tenemos es una ecuacin con dos incgnitas. Por simplicidad se puede suponer el valor a =10, y as estaramos tomando el papel semi-logartmico con una base decimal. Tambin se puede escoger un valor diferente para a o para m. Tenemos entonces:a? = m Log10 = m El intercepto con el eje vertical de la grfica corresponde a b?, y se lee directamente sobre el valor de cero en la escala lineal. En sntesis, las rectas en papel semi-logartmico corresponden a ecuaciones del tipo y=ba^mx, en donde m se encuentra con el procedimiento anteriormente citado, y b = ?10?^b es un nmero que se lee directamente de la grfica.Ejemplo: Grafica de funciones exponenciales. Efecto de propagacin de errores. En ciencias e ingeniera es imprescindible realizar mediciones, que consisten en obtener la magnitud fsica de algn atributo de objetos (proceso, fenmeno, sustancia, etc). Ejemplos de algunos atributos son; longitud, masa, temperatura, resistencia. Para determinar el valor de una magnitud fsica se emplea un instrumento de medicin y un mtodo de medicin. As tambin se requiere definir una unidad de medicin. El termino error es sinnimo como incertidumbre experimental. Existen limitaciones instrumentales, fsicas y humanas que causan una desviacin del valor verdadero de las cantidades que se desean medir. Estas desviaciones son denominadas incertidumbres experimentales o errores en la medicin. El valor verdadero es aquel que obtendramos si no existiesen errores en las mediciones, sin embargo esto es imposible. Se puede mejorar el procedimiento de medicin pero jams se puede eliminar el error, por lo que jams podemos esperar el valor verdadero.Entre las varias limitaciones de medicin se tienen: La precisin y exactitud de los instrumentos de medicin. La interaccin del mtodo de medicin con el mesurando. La definicin del objeto a medir. La influencia del observador que realiza la medicin. Tipos de Errores. Los errores experimentales son de dos tipos: determinados (sistemticos) e indeterminados. Los Errores Determinados o Sistemticos: Sistemtico, significa que cuando se realizan mediciones repetidas, el error tiene la misma magnitud y el mismo signo algebraico, Determinado, significa que pueden ser reconocidos e identificados, por lo tanto la magnitud y el signo son determinables. Ejemplos: Un instrumento o escala no calibrada, una persona que no distingue colores correctos, el uso de un valor no correcto de una constante (o unidades no adecuadas). Los Errores Indeterminados: Estn siempre presentes en las mediciones experimentales. En estos no existe la manera de determinar el signo ni la magnitud del error en mediciones repetidas. Los errores indeterminados resultan, en el proceso de medicin, en la obtencin de diferentes valores cuando se efectan mediciones repetidas (asumiendo que todas las condiciones permanecen constantes). Las causas en los errores indeterminados son diversas; error del operador o sesgo, condiciones experimentales fluctuantes, variabilidad inherente en los instrumentos de medicin, etc. El efecto que tienen los errores indeterminados en los resultados se puede minimizar al efectuar mediciones repetidas y despus calcular el promedio. El promedio se considera una mejor representacin del valor verdadero que una sola medicin, ya que los errores de signo positivo y los de signo negativo tienden a compensarse en el clculo de la media. Los errores determinados pueden ser ms importantes que los indeterminados por tres razones; no existe mtodo seguro para descubrirlos e identificarlos al analizar los datos experimentales, sus efectos no pueden ser reducidos al promediar mediciones repetidas, los errores determinados tienen la misma magnitud y signo para cada medicin en un conjunto de mediciones repetidas, por lo que no tienden a cancelarse los errores negativos y los positivos. Expresin del Error: Se ha mencionado que el error en la medicin est asociado al concepto de incertidumbre. Se desea expresar el grado de error en las mediciones o el limite probabilstico de la incertidumbre. Conceptualmente se concibe el error como la dispersin de las diferentes mediciones de un valor central.Esto se expresa como: x ?x = (x - ?x) < x < (x +?x)24.2 .8 = (24.2 - 8) < 24.2 < (24.2 +.8)El error se puede expresar como:Error Absoluto ? = ?xError Relativo ?x =?x/XEror Porcentual ?x % = ?x * 100Propagacin de Errores: Supongamos que se miden dos dimensiones con sus respectivos errores (x ? x), (y ?y) y con las mismas unidades, pero se desea encontrar una tercera cantidad que es el resultado de operaciones aritmticas de las dos primeras mediciones (x, y). Lo cual puede ser:z = x + yz = x yz = x*yz = x/y Por lo tanto se propaga para el resultado (z) a partir de los errores asociados a cada dimension original (x, y). Finalmente se expresa elresultado respectivo con un error propagado.Z ?z Para encontrar el error propagado ?z se emplean diversas frmulas, dependiendo de la operacin aritmtica empleada en el clculo de z. Los valores de ?x y ?y corresponden a la desviacin estndar respectiva.Caso suma y resta:Z = x + y?z = {(?x)2 + (?y)2 } Z = x - y?z = {(?x)2 + (?y)2} Ejemplo: En un experimento se introducen dos lquidos en un matraz y se quiere hallar la masa total del lquido. Se conocen:M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 10 gm1 = Masa del matraz 1 = 72 1 gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 20 gm2 = Masa del matraz 2 = 97 1 gLa masa de lquido ser:M = M1 m1 + M2 m2 = 1311gSu error:?M = ?M1 + ?m1 + ?M2 + ?m2 = 32gEl resultado se expresar:M = 1310 30 gCaso multiplicacin y divisin:Z = x * y(?z /Zz) = {(?x/x)2 + (?y/y)2 } Z = x/y(?z/Z) = { ?x/x)2 + (?y/y)2 } Ejemplo: Para medir la altura de un rbol, L, se mide la longitud de su sombra, L1, la altura de un objeto de referencia, L2, y la longitud de su sombra, L3. Por semejanza:L=L_(1 L_2/L_3 )Realizadas las medidas resultan:L1 = 200 2 cm, L2 = 100.0 0.4 cm, L3 = 10.3 0.2 cmPor tanto: Su error ser: L = 2000 70 cmCONCLUSION Mediante los mtodos mencionados anterior mente se pudieron solucionar distintos tipos de problemas llevndonos a una solucin, cada mtodo corresponde a procedimientos distintos pero con fcil comprensin. En el cual cada valor corresponde a otro disminuyendo o aumentando. Para resaltar y no olvidar, cabe mencionar que los mtodos llevan a resolver y a comprender cada paso que ponemos en prctica pero otro nos abre un camino de bsqueda en donde nos puede alargar el procedimiento para encontrar la solucin del mismo. En fin cada mtodo o proceso nos llevara a una solucin, pero solo aplicando el correcto llegaremos al resultado adecuado. La vida es muy peligrosa. No por las personas que hacen el mal, sino por las que se sientan a ver lo que pasa.(Albert Einstein).