Instituto Tecnológico Superior de HuichapanDivisión de Ingeniería en Sistemas Computacionales

Reporte

Unidad 1:Introducción a los métodos numéricos

ProfesorIng. Juan Olguín Camacho

Nombres de los AlumnosRicardo Alberto García Zamudio

Ricardo Vázquez CruzEdgar Iván Barrera Guerrero

Matriculas12021033, 12021169, 12021071

CarreraIngeniería En Sistemas Computacionales

MateriaMétodos Numéricos

El Saucillo, Huichapan, Hgo., 06 de Febrero del 2014

Índice general

0.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2. 1.1 IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUMERICOS . . . . . . 20.3. 1.2 CONCEPTOS BASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3.1. CIFRA SIGNIFICATIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3.2. EXACTITUD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3.3. PRECISION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3.4. INSERTIDUMBRE Y SESGO. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.4. 1.3 ERRORES Y TIPOS DE ERRORES . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4.1. ERROR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4.2. ERRORES DE TRUNCAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . 60.4.3. ERRORES DE REDONDEO . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4.4. ERROR NUMERICO TOTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4.5. ERRORES POR EQUIVOCACION, DE PLANTEAMIENTO

O INSERTIDUMBRE EN LOS DATOS . . . . . . . . . . . . 70.4.6. ERRORES DE FORMULACION . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.5. 1.4 MÉTODOS ITERATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.6. 1.5 DESARROLLO DEL PROGRAMA . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.6.1. Imagen 1.1 - Pantalla de inicio del Programa . . . . . . . .. 80.6.2. Imagen 1.2 - Inicio de Interfaz del Programa . . . . . . . .. 90.6.3. Imagen 1.3 - Muestra de la Mantisa . . . . . . . . . . . . . . 100.6.4. Imagen 1.4 - Continuación de la Mantisa y Elegir entreLimpiar

o Cerrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110.7. 1.6 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.8. 1. REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

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0.1. INTRODUCCION

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para asolución de pro-blemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometríascomplicadas, comunes en la ingeniería.

También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contengamétodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimientode la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no puedenplantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos sepuede diseñar programas propios y así no comprar software costoso.

Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación queson inseparables de los cálculos numéricos a gran escala

0.2. 1.1 IMPORTANCIA DE LOS MÉTODOS NUME-RICOS

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos ma-temáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo delfenómeno, así como de su evolución futura.

La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicarlas herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafor-tunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentesrazones:

No se adecúan al modelo concreto.

Su aplicación resulta excesivamente compleja.

La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpreta-ción posterior.

Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar solucionesal problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculomás o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica.El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace quesu uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores.

De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática re-sultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricasen ámbitos cada día más diversos

0.3. 1.2 CONCEPTOS BASICOS

0.3.1. CIFRA SIGNIFICATIVA

Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden utilizarse en formaconfiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza, más uno estimado.

Aunque por lo común, determinar las cifras significativas deun número es un pro-cedimiento sencillo, en algunos casos genera cierta confusión. Por ejemplo, los cerosno siempre son cifras significativas, ya que pueden usarse solo para ubicar el puntodecimal: los números 0.00001845, 0.0001845 y 0.001845 tiene cuatro cifras signifi-cativas. Así mismo cuando se incluye ceros en números muy grandes, no queda clarocuántos son significativos.

Por ejemplo el numero 45300 puede tener tres, cuatro o cinco cifras significativo, de-pendiendo de si los ceros se conocen o no con exactitud. La incertidumbre se puedeeliminar utilizando la notación científica, donde 4.53 x104, 4.530x104, 4.5200x104muestran, respectivamente que el número tiene tres, cuatroy cinco cifras significati-vas.El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudiode los métodos numéricos.

1. Los métodos numéricos dan resultados aproximados. Por lotanto, se deben desa-rrollar criterios para especificar qué tan confiables son dichos resultados. Una manerade hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, es posible afirmar quela aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta con cuatro cifras signifi-cativas.

2. Aunque ciertas cantidades tales como pi, e, ?7 representan cantidades específicas, nose pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. pi=3.14159265358979323846264..Hasta el infinito. Como las computadoras retienen solo un número finito de cifras sig-nificativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión delresto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo. .

0.3.2. EXACTITUD

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valorverdadero. Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el va-lor absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.

0.3.3. PRECISION

La precisión se refiere a que tan cercanos se encuentran, unosde otros, diversosvalores calculados o medidos. La precision se define a partirde la dispersion del con-

junto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor esla dispersion mayor la precision.

0.3.4. INSERTIDUMBRE Y SESGO.

Se le conoce como incertidumbre al grado de alejamiento entre sí, a las diversasaproximaciones a un valor verdadero. Es por ello que la incertidumbre también se leconoce como imprecisión.Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos osin sesgos (es decir,sin diferencia entre el valor esperado de un estimador y el verdadero valor) para quecumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

0.4. 1.3 ERRORES Y TIPOS DE ERRORES

0.4.1. ERROR

Los errores surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y can-tidades matemáticas exactas.

0.4.2. ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación enlugar de un procedimiento matemático exacto.dv = D u = u(t-1) - v(t)dt D t t-1 - tSe introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la ecuación dediferencias solo se aproxima el valor verdadero de la derivada.Los errores de truncamiento resultan del empleo de aproximaciones como un procedi-miento matemático exacto.

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximán-dose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculossobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir elintervalo "n"veces.

0.4.3. ERRORES DE REDONDEO

los errores de redondeo que se producen cuando se usan números que tienen unlímite de cifras significativas para representar números exactos.

0.4.4. ERROR NUMERICO TOTAL

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo yde truncamiento.(Los errores de truncamiento decrecen conforme él numero decálculos aumenta, porlo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente delerror total lleva al incremento del otro). El error numéricoes igual a la diferencia en-tre el valor verdadero y el aproximado, es decir Et= valor verdadero - valor aproximado.

Donde Et, se usa para denotar el valor exacto del error. El subíndice t indica que setrata del error "verdadero". Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con losotros casos, donde se debe emplear una estimación .aproximada"del error.

0.4.5. ERRORES POR EQUIVOCACION, DE PLANTEAMIEN-TO O INSERTIDUMBRE EN LOS DATOS

En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueronatribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadora misma. Hoy en día,esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pue-den atribuir a errores humanos.

0.4.6. ERRORES DE FORMULACION

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en loque se podría consi-derar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de unerror de formulaciónimperceptible es el hacho de que la segunda Ley de Newton no explica los efectosrelativistas.

0.5. 1.4 MÉTODOS ITERATIVOS

El método de Gauss y sus variantes se conocen con el nombre de métodos directos:se ejecutan a través de un número finito de pasos y dan lugar a una solución que seríaexacta si no fuese por los errores de redondeo.

Por contra, un método indirecto da lugar a una sucesión de vectores que idealmenteconverge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución apro-ximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de ciertonúmero de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos: para obte-ner la sucesión mencionada se utiliza repetidamente un proceso sencillo.

0.6. 1.5 DESARROLLO DEL PROGRAMA

0.6.1. Imagen 1.1 - Pantalla de inicio del Programa

En esta pantalla se muestra el GUIDE del programa donde aparece la portada de dichoprograma así como los botones para entrar al programa de la mantisa y el botón quepermite salir de la interfaz gráfica.

0.6.2. Imagen 1.2 - Inicio de Interfaz del Programa

Al presionar el botón de mantisa se muestra la siguiente pantalla la cual muestra unaserie de botones y cuadros de texto en los cuales se puede ingresar los valores delintervalo y el vector que se desea convertir.

0.6.3. Imagen 1.3 - Muestra de la Mantisa

Al ingresar el vector o número binario se presiona el botón deconvertir para que semuestre el número decimal en la tabla, así como al ingresar los límites del intervalo sepresiona el botón realizar para que se muestre la mantisa en la tabla.

0.6.4. Imagen 1.4 - Continuación de la Mantisa y Elegir entre Lim-piar o Cerrar

Después de terminar de calcular la mantisa y de convertir el numero decimal el usuariopuede elegir dos distintos botones el primero es el botón para limpiar por si el usuariodesea ingresar nuevos datos o presionar el botón salir si no desea realizar ninguna otraacción en el programa.

0.7. 1.6 CONCLUSIONES

El estudio de los métodos numéricos, de la manera en que lo veo, es muy útil y porende importante para quien quiera que necesite herramientas para resolver operacio-nes, las cuales se saben que pueden resultar complicadas, y por más que se dominenlos métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no sersuficientes, sin embargono esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí dondelos métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera.

El hecho de que se tomen tan en cuenta los errores, no nos deja cerca de la perfec-ción pero al considerarlos,. al menos no da una idea de con quecontamos y con queno, así podemos tomar decisiones informadas y por lo tanto pienso yo que mejores.Además pasando a la parte práctica, su estudio nos puede ayudar a modificar, entendere incluso simplificar algún tipo de software que los maneje, esto resulta mucha ventajapara el usuario, pues si conoces lo que haces lo puedes usar con más provecho y opti-mización.

En pocas palabras las aplicaciones de los métodos numéricosson muy variadas y nece-sarias, especialmente parta las ingenierías como ya lo expresé anteriormente, con esto,puedo concluir que me interesa su estudio, y sobre todo aprenderlos y manejarlos bien,porque ahora veo que en un futuro no muy lejano es muy probableque los necesiteaplicar.

0.8. 1. REFERENCIAS

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/analisis-numerico

http://enciclopedia.us.es/index.php/Analisis-Numerico

http://mat21.etsii.upm.es/matesp/index.htm

http://matematicas.ingenieria.googlepages.com/metodos-numericos-ingenieria