INGENIERÍA MECATRÓNICA

CONTROL DIGITAL

ING. JOSÉ LUIS LÓPEZ MORENO

REPORTE DE PROGRAMAS-METODO

COMPUTACIONAL Y DIVISION DIRECTA

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

EVARISTO ALEJANDRO GONZÁLEZ SANTIAGO

LUCAS ALEXIS VICENTE PÉREZ

8° B

10 DE MARZO DE 2015

INTRODUCCIÓN

En este documento se presenta el desarrollo de 2 métodos para calcular la

transformada Z inversa con ayuda de un software (Microsoft Excel en este caso),

buscando agilizar el proceso del cálculo de dicho procedimiento matemático, se

utilizó Excel para hacer un programa que imitara los procedimientos del método de

la División directa y del método computacional, en cada proceso se apreciarán las

imágenes correspondientes a cada método y el modo en que funcionan.

MARCO TEÓRICO

La transformada z en sistemas de control en tiempo discreto juega el mismo papel

que la transformada de Laplace en sistemas de control en tiempo continuo. Para

que la transformada z sea útil, debemos estar familiarizados con los métodos para

encontrar la transformada z inversa. La notación para la transformada z inversa es

Z-I. La transformada z inversa de X(z) da como resultado la correspondiente

secuencia de tiempo x(k).Se debe observar que a partir de la transformada z inversa

sólo se obtiene la secuencia de tiempo en los instantes de muestreo. De esta

manera, la transformada z inversa de X(z) da como resultado una única x(k), pero

no da una única x(t). Esto significa que la transformada z inversa da como resultado

una secuencia de tiempo que especifica los valores de x(t) solamente en los valores

discretos de tiempo, t = 0, T, 2T, ... , y no dice nada acerca de los valores de x(!) en

todos (os otros tiempos. Esto es, muchas funciones del tiempo X(/) diferentes

pueden tener la misma x(k1). Cuando X(z), la transformada z de x(k7) o x(k), está

dada, la operación que determina la x(k7) o x(k) correspondiente se denomina

transformación z inversa. Un método obvio para encontrar la transformada z inversa

es referirse a una tabla de transformadas z. Sin embargo, a menos que uno se

refiera a una tabla de transformadas z muy extensa, no sería uno capaz de

encontrar la transformada z inversa de una función de z complicada. (Si se utiliza

una tabla de transformadas z no muy extensa, es necesario expresar una

transformada z complicada como una suma de transformadas z más sencillas.

METODO DE LA DIVISIÓN DIRECTA

Método de la división directa. En el método de la división directa, la transformada z

inversa

se obtiene mediante la expansión de X(z) en una serie infinita de potencias de Z-I,

Este método es útil

cuando es dificil obtener una expresión en forma cerrada para la transformada z

inversa o se desea

encontrar sólo algunos de los primeros términos de x(k) .El método de la división

directa proviene del hecho de que si X(z) está expandida en una serie de potencias

de Z-l, esto es, si:

ent0.nces x(k7) o x(k) es el coeficiente del término Z-k. Por 10 tanto, los valores de

x(k7) o x(k) para k= O, l, 2, . , . se pueden determinar por inspección. Si X(z) está

dada en la forma de una función racional, la expansión en una serie de potencias

infinita en potencias crecientes de Z-l se puede lograr sencillamente al dividir el

numerador entre el denominador, donde tanto el numerador como el denominador

de ./Y(z) se escriben en potencias crecientes de ~-1. Si la serie resultante es

convergente, los coeficientes de los términos Z-k son los valores x(kT) de la

secuencia del tiempo o los valores x(k) de la secuencia de números.

Aunque este método da como resultado los valores de x(O), x(T), x(2T), ... o los

valores x(O), x(1), x(2), ... de una manera secuencial, por 10 regular es difícil obtener

una expresión para el término general a partir de un conjunto de valores de x(kT) o

x(k).

Éste es el método manual, ahora, si tomamos la misma función y la introducimos a

nuestro programa en Excel, quedaría de la misma forma, pero sin hacer los cálculos

anteriores, solo es cuestión de introducir el coeficiente de cada z-n comenzando de

z0 y así sucesivamente.

Ilustración 1

A continuación, se muestra la parte de los cálculos del programa elaborado.

Ilustración 2

MÉTODO COMPUTACIONAL

Considere un sistema G(z) definido mediante

Para encontrar la transformada z inversa, se utiliza la función delta de Kronecker

Do(kT), donde:

Suponga que x(k), la entrada al sistema C(.:), es la entrada delta de Kronecker, o

La transformada.: de la entrada delta de Kronecker es X(z) = 1, Mediante la

entrada delta de Kronecker, la ecuación anterior se puede rescribir como:

Ilustración 3. Ecuación 2-20

Al observar que la ecuación (2-20) se puede escribir como:

esta ecuación se puede convertir en una ecuación en diferencias como sigue:

Donde x(O) = 1 Y x(k) = O para k 1= O, Y y(k) = O para k < O. [x{k) es la entrada

delta de Kronecker.]

Los datos iniciales y(O) yy(1) se pueden determinar como sigue: mediante la

sustitución de k=

-2 en la ecuación (2-21), se encuentra que:

a partir de la cual se tiene

Después, mediante la sustitución de k = -1 en la ecuación (2-21), se obtiene:

a partir de la cual se tiene:

Ahora veamos el programa hecho en Excel, introducimos la misma función que en

texto de anterior y se puede apreciar el mismo resultado.

Ilustración 4

Aquí se muestra la parte donde el programa hace los cálculos, por medio de la

ecuación en diferencias:

Ilustración 5