repaso_trigonometria

CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniera

1. - Preliminares Ing. Juan Manuel Sarmiento Pulido

1.3. BREVE REPASO DE TRIGONOMETRA.

Las funciones trigonomtricas nos permiten el estudio de muchos fenmenos de la naturaleza que son peridicos.

Cuando un ngulo se sita en posicin normal en el centro de un crculo de radio r, las funciones Trigonomtricas del ngulo estn definidas como sigue:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

y x ysen Cos Tan

r r x

r r xCsc Sec Coty x y

= = =

= = =

Como complemento puede decirse que para las funciones trigonomtricas se tienen las siguientes relaciones:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1SenTan Csc Sec Cot

Cos Sen Cos Tan

= = = =

A partir de las definiciones anteriores y teniendo en cuenta el crculo unitario centrado en el origen se pueden establecer los siguientes valores de referencia:

Funcin 0 6pi

4pi

3pi

2pi

( )Cos 4 12 = 3 2 2 2 1 12 2= 0 02 = ( )Sen 0 02 = 1 12 2= 2 2 3 2 4 12 = ( )Tan 0 1 3 1 3 Indeterminado

Aplicando el teorema de Pitgoras al crculo unitario definido en la figura anterior:

122 =+ yx que es lo mismo que escribir su equivalente ( ) ( )2 2 1Sen Cos + =



Tambin es posible expresar las coordenadas del punto ( ),p x y en trminos del radio del crculo y del ngulo al centro, as:

( ) ( )x r Cos y r Sen = =

Cuando se trata de una ecuacin de radio unitario, la ecuacin anterior se transforma en:

( ) ( )x Cos y Sen = =

MEDIDAS EN RADIANES

La medida en radianes de cualquier ngulo BAC al centro del circulo est determinado por la longitud del arco que subtiende.

Tratndose de dos crculos concntricos, uno de radio unitario y el otro de cualquier valor, los arcos que subtiende un ngulo al centro sern semejantes.

Longitud del arco exterior Longitud del arco interiorRadio del Crculo exterior 1

=

Que es lo mismo que escribir: ==1r

s

Para cualquier crculo con centro en ( ),B x y , la razn s r de la longitud del arco interceptado al radio del crculo da siempre la medida del ngulo en radianes.

s r=

Lo que significa que para un crculo de radio unitario, la longitud del arco interceptado ser igual al ngulo al centro del crculo.

PERIODICIDAD

Debido que las coordenadas del punto ( ),P x y , estn definidas en funcin del ngulo , se puede afirmar que el punto 2s pi+ corresponde al punto s, lo que permite definir las siguientes identidades:



( ) 22 24 4 2

Cos Cos Cos Cospi pi pi pi + = + = =

( ) 22 24 4 2

Sen Sen Sen Senpi pi pi pi + = + = =

De donde es se asegurar que el nmero 2 pi puede ser adicionado o restado a cualquier ngulo que sea parte del dominio de las funciones Seno y Coseno; lo anterior puede aplicarse n veces sobre el ngulo.

( ) ( ) ( ) 22 5 24 4 2

Cos n Cos Cos Cospi pi pi pi + = + = =

( ) ( ) ( ) 22 7 24 4 2

Sen n Sen Sen Senpi pi pi pi + = + = =

FORMULAS DE SUMAS Y DIFERENCIAS

Dos ngulos de igual magnitud pero de signo opuesto nicamente difieren en el sentido de su proyeccin vertical, por lo que se puede decir:

( ) ( )ySen Senr

= =

( ) ( )xCos Cosr

= = A manera de repaso es bueno recordar las siguientes identidades:

(1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sen A B Sen A Cos B Cos A Sen B+ = + (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cos A B Cos A Cos B Sen A Sen B+ =

Si en estas ecuaciones se reemplaza B por B y teniendo en cuenta que:

( ) ( ) ( ) ( )BCosBCosBSenBSen ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sen A B Sen A Cos B Cos A Sen B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cos A B Cos A Cos B Sen A Sen B = +

La formula correspondiente a la Tangente de la diferencia se puede definir como una consecuencia de las dos ecuaciones anteriores:



( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Sen A B Sen A Cos B Cos A Sen BTan A B

Cos A B Cos A Cos B Sen A Sen B

= =

+

Dividiendo numerador y denominador por ( ) ( )Cos A Cos B

( ) ( ) ( )( ) ( )1Tan A Tan B

Tan A BTan A Tan B

=

+

Anlogamente para la tangente de la suma de dos ngulos se tiene:

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

Sen A B Sen A Cos B Cos A Sen BTan A B

Cos A B Cos A Cos B Sen A Sen B+ +

+ = =+

O lo que es lo mismo que:

( ) ( ) ( )( ) ( )1Tan A Tan B

Tan A BTan A Tan B

++ =

FORMULAS DEL DOBLE DEL ANGULO

Si == BA tomando como punto de partida las ecuaciones ( )1 y ( )2 , se tiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2

2

Sen Sen Cos

Cos Cos Sen

=

=

FORMULAS DE LA MITAD DEL ANGULO. (Un limite til)

Haciendo == BA en la ecuacin ( )2 , se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 22 1 2 1Cos Cos Sen Cos Cos Cos = = =

Despejando ( )2Cos se tiene:

(3) ( ) ( )2 1 22

CosCos

+=

De igual manera, trabajando para ( )2Sen se puede obtener la siguiente ecuacin:



( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 1 1 2Cos Cos Sen Sen Sen Sen = = =

Despejando ( )2Sen se tiene: (4) ( ) ( )2 1 2

2Cos

Sen =

Analizando las condiciones del signo para la ecuacin ( )3 , se tiene:

( ) ( ) ( )1 2 cuando 02

CosCos Cos

+=

Para cuando el ngulo se encuentra en primer y cuarto cuadrante, y ser negativo cuando:

( ) ( ) ( )1 2 cuando 02

CosCos Cos

+=

Lo que quiere decir que el ngulo se encuentra en el segundo o tercer cuadrante.

Lo mismo sucede para la ecuacin ( )4 , la cual quedara como:

( ) ( )1 22

CosSen

=

Donde el signo depender de la posicin del ngulo, ser positivo para cuando el ngulo se encuentra en primer y segundo cuadrante, de lo contrario ser negativo.

Ahora bien, reemplazando el ngulo por 2 en la ecuacin anterior se obtienen las siguientes expresiones:

( )12 2

CosCos

+ =

( )12 2

CosSen

=

Donde nuevamente el signo de la ecuacin depende de la posicin del ngulo 2 .



Dividiendo la ecuacin ( )4 por el ngulo , e invirtiendo la ecuacin resultante se obtiene:

( ) ( )21 22

Cos Sen

=

De manera que al aplicar el lmite cuando el ngulo tienda a cero de tiene: ( ) ( )2

0 0

1 22

Cos SenLim Lim

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

1 21 0 0

2Cos Sen Sen

Lim Lim Sen Lim Lim Sen

= = = =

Si se reemplaza 2=h en la ecuacin anterior, se tiene el siguiente resultado:

( )0

10

h

Cos hLim

h

=

Que es el resultado del limite propuesto, el cual ser utilizado para obtener la formula de la derivada de ( )y Sen x= .

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