repaso de geometrÍa mÉtrica plana 1. hallar el simétrico ... · c en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0...
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REPASO DE GEOMETRÍA MÉTRICA PLANA 1. Hal lar e l s imétr ico del punto A(3, - 2) respecto de M(- 2, 5).
2. Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
3. Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean: a. Perpendiculares.
b. Paralelos.
c. 3 Formen un ángulo de 60°.
4. Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
x1 = 7 y1 = 4 x2 = 5 y2 = 0 x3 = −1 y3 = 2
A(7, 4) B(5, 0)
C(−1, 2)
No válida
5. Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).
S i O es el centro de la c ircunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales
6. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
Recuerda que se cumple:
En este caso se cumple:
7. Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale: a. 90°
b. 0°
c. 45°
Las dos soluciones son vál idas
8. Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
9. Calcula x para que el vector ( )xu ,21=r sea unitario
2
3
4
31
4
11
2
1 2222
±=→=→=+→=+
= xxxxur
(las dos soluciones son válidas)
10. ¿Qué ángulo forman los vectores ( ) ( )3,41,3 −=−= vyu
rr? ¿Y los vectores
( ) ( )5,11,3 −−=−= wysrr
?
( )
( ) ´´06,307́º277´´94,29´52º82º360,
´´94,29´52º8265
1cos
65
1
260
2
2610
2
5)1()1(3
5)1()1(3cos
2222
=−=
→=→=
==⋅
=+−⋅−+
−⋅−+−⋅=⋅⋅=
ws
ws
ws
rr
rr
rr
ββ
β
( )( ) ( )
( ) ´´1,54´33º161´´82,5´26º18º180,
´´82,5´26º1810
3cos
10
3
510
15
3413
3143),(cos
2222
=−=
→=→=
−=⋅
−=−+⋅+−
−⋅+⋅−=⋅⋅=
vu
vu
vuvu
rr
rr
rrrr
αα
11. Calcula el producto escalar de ( ) vyurr
4,3= , sabiendo que 4=vr
y el ángulo que forman es de 30º
( )
3102
345º30cos
5434,3 22
=⋅⋅=⋅⋅=⋅→
=+=→=
vuvu
uu
rrrv
rr
12. Calcula un vector ortogonal a ( )8,6=u
r y que sea unitario.
13. Calcula x para que los vectores ( ) ( )xvyu ,14,3 == rr sean:
a. Ortogonales
( ) ( )4
3043,14,30 −=→=+=⋅→=⋅ xxxvu
rr
b. Paralelos
3
44
1
3 =→=→ xx
alesproporcionsonvyurr
c. Formen un ángulo de 60º
( )
( ) ( )
( )
( ) 2
1
34,21.5
36,9334,2
2
1
12,015
48,0312,0
0119639
2525649636125162494
154322
1
143
43º60cos
22
21
2
2222
2
2222
≠−+
−−=
=−+⋅
−−=
→=+++=++→+⋅=++⋅
+⋅=+⋅→=+⋅+
+=
válidanox
válidax
xx
xxxxxx
xxx
x
14. Dados los puntos A (2, 1); B (6,3); C(7,1) y D(3, -1) Demuestra que el polígono ABCD es un rectángulo y calcula su perímetro y su área.
( ) ( ) ( )
−
−
=→±=→=→=
−+→
=+
−=→
=+
=+
=+→=
=+→=+→=⋅→⊥
5
3,
5
4
5
3,
5
4:
5
3
5
41
16
251
4
3
14
3
1
043
11
04308608,6,:,
22
2
2222
22
Soluciones
yxxxx
yx
xy
yx
yx
yxw
yxyxyxuwcumplequeyxwBuscamos
m
v
rrr
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 22222 101005202124,(),(
0442,12,4
0442,42,1
;2,1;2,4
;;;
uCDABDAdBAdalturabaseÁrea
BCAB
DCAD
BCADDCAB
BCABDCADBCADDCABlaresperpendicuesconcurrentladoslosy
dosadosparalelosserdebenopuestosladoslosrectángulounesSi
==⋅=−+⋅+=⋅=⋅=⋅=
⊥→=−=−⋅
⊥→=−=⋅−
=−===
⊥⊥==→
15. Los puntos A (-1, -2); B (1,1); C(4,0) son tres coordenadas de un paralelogramo, calcula las coordenadas del cuarto vértice.
Si llamamos D al cuarto vértice hay que considerar tres posibliidades: paralelogramo ABCD; paralelogramo ABDC; paralelogramo ACBD
a) ABCD sea paralelogramo. D (a, b) DCAB = (2, 3)=(4-a, -b) a=2; b=-3
b) ABDC sea paralelogramo
D (a, b) CDAB = (2, 3)=(a-4, b) a=6; b=3
c) ACBD sea paralelogramo
D (a, b) DBAC = (5, 2)=(1-a, 1-b) a=-4; b=-1
16. Halla las coordenadas de los puntos medios y del baricentro del triángulo de vértices A (0, 0); B (3,1); C(1,5).
( )
=
++++
=
++
=
++
=
++
2,3
4
3
510,
3
130
2
5,
2
1
2
50,
2
10
3,22
51,
2
13
2
1,
2
3
2
10,
2
30
G
P
N
M
17. Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(-2, 5).
B
C
A
D
D (2, -3)
D (6, 3) B
D
A
C
D (-4, -1) C
B
A
D
18. De un paralelogramo ABCD conocemos A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0). Halla las coordenadas del vértice D.
19. Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(6, 0), B(3, 0) y C(6, 3).
20. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x + 2y - 7 = 0.
21. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por A(1,5) y es paralela a la recta s: 2x + y + 2 =0.
22. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo isósceles ABC que tiene su vértice C en la recta 2 x - 4 y + 3 = 0 siendo AC y BC los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice C.
23. La recta r ≡ 3x + ny - 7 = 0 pasa por el punto A(3,2) y es paralela a la recta s ≡ mx + 2y - 13 = 0. Calcula m y n.
24. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B(4, 0) y C(4, 4); calcula la ecuación de la mediana que pasa por el vértice C.
25. Calcular la ecuación de la recta perpendicular a r : 8x - y - 1 = 0 y pasa por el punto P(-3,2).
26. Halla el punto simétrico A', del punto A (3, 2), respecto de la recta r : 2 x + y - 12 =0
27. Una recta de ecuación r : x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.
28. Una recta es paralela a la que tiene por ecuación r : 5x + 8y - 12 = 0, y dista 6 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
29. Calcular las bisectrices de los ángulos determinados por la rectas:
30. Hallar el ángulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones: a.
b.
c.
d.
31. Se tiene el paralelogramo ABCD cuyos vértices son A(3, 0), B(1, 4), C(-3, 2) y D(-1, -2). Calcular su área.
32. Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my -8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.
33. Dado el triángulo A(-1, -1), B(7, 5), C(2, 7); calcular las ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del triángulo.
34. Una recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r : 5x - 7y + 12 = 0 y dista 4 unidades del origen. ¿Cuál es su ecuación?
válidas
35. De la recta r se sabe que pasa por el punto A(2,1) y un vector director es (-2, 4). Determina la ecuación de la recta en todas las formas que conozcas.
36. Dada la recta 2x-3y+1=0 escríbela en forma vectorial, paramétrica, contínua y punto pendiente.
37. Dadas las rectas 2x-3y+1=0 ax+(a-1)y-2(a+2)=0, calcual el valor de a para que sean:
a. paralelas
( ) ( )
+−≠
=→=+−→−=−→+−
≠−
−=
25
22
1
5
22
5
20322312
22
1
1
32aaaaa
aaa
b. perpendiculares
( ) ( ) 303033201320´´ =→=+−→=+−→=−⋅−+⋅→=⋅+⋅ aaaaaaBBAA
38. Determina el valor de m para que las rectas mx+y=12, 4x-3y=m+1 sean paralelas. Después halla su distancia.
( )
( ) ( )usAdsrd
yxsyxyxs
Ayxsiyxyxr
otralaaciadissucalcualseyelasdeunadepuntouneligeseciadissuCalcularPara
cumpleSemmm
m
15
107
912
189312),(),(
019123
1341
3
434
8,38303634123
4
:tantan
13
412
3
1
3
443
1
12
3
1
4
22=
++⋅−−⋅==
=+−≡→−=−→+−=−≡
−→=→−=→=−+−→=+−≡
+−≠
−→−=→=−→
+≠
−=
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 522212
2
41
0102422841224
4
1
2
2
4
1
2
241
22
4,21,2
+−=→−−=−→−−
=−
=−+→+−=−→−−=−−=
−−
−=−−→
+=−=
→
−+=→
xyExplícitaxyPendientePuntoxy
yxGeneralyxyxyx
yxVectorial
ty
txasParamétric
tOXVectorial
( )( )
( ) ( )
( )3
1
3
2
3
2
3
211
3
21
2
1
3
1
2
1
3
1
21
31
2,31,1
1,11013211
2,30132
+=→−=−→−=−→−=−
−=−→
+=+=
→
+=→
→=→=+−→=→=
→=+−
xyExplícitaxyPendientePuntoxyyx
yxVectorial
ty
txasParamétric
tOXVectorial
AyyxvalorelxadamosleAPunto
uldireccionavectoryx
r
39. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A(1,-2) y B(3,0). Hallar también el ángulo que forma esta mediatriz con el eje de abscisas.
40. Halla el área del paralelogramo ABCD sabiendo que la ecuación del lado AB es x-2y=0, la ecuación del lado AD es 3x+y=0 y las coordenadas del punto C son (3,5)
41. Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P(2,3) y forman un ángulo de 45º con la recta 3x-4y+7=0
( ) ( )
( )
( )
−=−⋅−→
−⋅−=−≡′→−=→−=→+−=+→+
−−=
−=−≡→=→−=−→−=+→+
−=→
→+
−±=→+
−
±=→+
−±=→
⋅+
−=→
′⋅+′−=
→
=′=+−≡
−=−≡
17
171
27
13
7
1173434
34
341
27377343434
341
34
341
4
344
34
1
4
31
4
3
1
4
31
4
3
11
º45
:º454
30743
2.33,2
espendientessusdeproductoelaresperpendiclsonsoluciónrectasdosLas
xypmmmmm
m
xypmmmmm
m
m
mm
m
m
m
m
m
mm
mmtg
cumplenpendientessusdeángulounformanrectasdosLas
mesyxtrectaladependienteLa
xmyppendientepuntoformaenescribimoslappedidarectaLaP
42. Dados los puntos A(4,-2) y B(10,0) hallar el punto de la bisectriz del 2º y 4º cuadrante que equidista de ambos puntos
B
C
A
D
( )
( )
( )
( ) ( )( )
2
22
22 145
752
5
720
21
70203513
,),(
3,131076
3
072
03
sec
0727010302
0,00006203
02
u
DCladoAdCDdalturabaseÁrea
Dyxxx
xy
yx
yx
DCyADladoslosdeciónirtelaesDpuntoEl
yxDCKKKyxDC
CporpasayABaparaleloesDCladoEl
Ayxxxyxyx
yxA
=⋅=⋅=−+
+⋅−⋅−++
=⋅=⋅=
−→=→−=→
=++
−=→
=+−
=+
→
=+−≡→=→=+−→=+−≡
→
→=→=→=+→=→
=+
=−≡
rectaslasdeóninterseccilaesApuntoEl
( )
( )( )
º45º1351101
010222
201222022
2,2
1,22
02,
2
31
ángulotgesyxdePendienteLa
yxmyxm
CCCyxm
normalvectoresAB
Mm
→=→−=→−=−+
=−+≡→=−+≡→
−=→=+−⋅+⋅→=++≡→
=
−=
+−+
≡
αα
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )10,10108082010044816
1024
,,tan
,º4º2sec
2222
2222
−→=→=→++−=+−++−→
→+−=+−+−→
=→
−
Pttttttttt
tttt
BPdAPdByAdeequidisquePpuntoslosBuscamos
ttPformaladeescuadranteydeltrizbiladepuntoUn
43. Dados los puntos A(2,1), B(-3,5) y C(4,m), calcular el valor de m para que el triángulo ABC tenga de área 6 unidades cuadradas
44. Halla las ecuaciones de las rectas que pasando por el punto A(1,-2) distan dos unidades del punto B(3,1)
( )( )
029125012
29
12
5:02
12
5
12
5:
12
5125912444
1
324
1
322
1
21322),(
02:12
22
2
2
22
=−−→=−−→=−−−
=→−=−→+−=+
→+−=→
+−=→
+−−−=→=
=−−−→−=+→
yxyxryxr
válidasoluciónmmmmm
m
m
m
m
m
mmrBd
mymxrxmypendientepuntoformaenrectalaEscribemos
45. Halla los puntos de la recta 7x-y-28=0 que distan 5 unidades de la recta 3x-4y-12=0
( )( )
( ) ( )( )7,552055
7,3320552055
20555
100255
43
122874355),(
287,2870287:
22
Pxx
Pxxx
xxxx
sPd
xxPesrdecualquierapuntounxyyxr
→=→−=−→=→+−=
→+−±=
→+−=→+−=→+
−−−=→=
−→−=→=−−
46. Calcula las coordenadas del punto P situado en la recta x+y-15=0 que equidiste de las rectas
y-2=0, 3y=4x-6
( )
( )
( )( )22,77142517565
3
16,
3
29
3
29
12
11611612517565
517565
5175655
51713
34
61534
10
215),(),(
0634:02:
15,15015:
2222
−→−=→−=→+−=−
→==→=→−=−→−±=−
−=−→−=−→+
−−−=+
−−→=
=−−=−
−→−=→=−+
Pxxxx
Pxxxxxx
xxx
xxxx
tPdsPd
yxtys
xxPesrdecualquierapuntounxyyxr
B(-3,5) A(2,1)
C(4,m)
h ( ) ( ) ( )),(
411523,
2
16
22
ABladoCdhaltura
uBAdbase
alturabaseÁrea
==−+−−==
⋅==
( )( )
( )3,431235
5
9,4
5
91235
12351235641
3541
2
1
41
35
54
1354401354
1305240544,5
1,2
22
−→−=→−=+
→=→=+→±=+→=+→=+⋅
+=+
−⋅+⋅=→=−+≡
−=→=++⋅→=++≡→
−=≡
Cmm
Cmmmm
m
mmhyxABLado
KKKyxABldireccionaesAB
AAB
47. Las rectas r:3x+4y-5=0 y s:ax+7y+2=0 forman un ángulo cuyo seno vale 3/5. Calcula a
( ) ( )
( )VÁLIDASOLUCIÓNSÍa
VÁLIDASOLUCIÓNSÍa
aa
aaaaa
a
aa
a
a
a
a
a
a
sen
→=+
+=→=
→=→=→=−⋅
→=−→++=+
→+
++=→+
+=→+
+=→+⋅+
⋅=
=
−=→=
25
1004;
49576
2872424
49
2840
0247
01687784168978416
49
784168916
49
2834
495
283
5
4
49169
7,4,3
5
4
5
4
5
31cos
5
3
222
2
2
222
2
αα
48. Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A(1,4) B(-3,4) y C(-1,0).
49. Un hexágono regular tiene su centro en el origen de coordenadas y uno de sus lados sobre
la recta x+y+5=0. Halla su área.
B(-3,4) A(1,4)
C(-1,0)
h ( ) ( ) ( )
),(
44413,
2
1
22
ABladoCdhaltura
uBAdbase
alturabaseÁrea
==−+−−==
⋅=
( )( )
2
22
4242
1
201
1101044
404040,4
4,1
uÁrea
hxABladoxABLado
KKKxABldireccionaesAB
AAB
=⋅⋅=
=+−−=→=−≡→=+−≡
=→=+−→=+−≡→
−=≡
C(0,0)
a r
s: x+y+5=0
( )( )
2
2
222
22
2
3253
375
3
2515
6
5015
22
5
3
506
2
3
50
3
50
3
50
6
100
2
25
4
3
2
25
422
5
,
2
5
2
500,0,0
uapotemaPerímetro
Área
ladorr
rrr
rr
rectángulotriángulounformanapotemalayradiodelmitadlaradioel
tacircunscrinciacircunfereladeradioaligualesladoelregularhexágonoelEn
sdaapotema
====⋅⋅
=⋅=
=→=→==
→=→=−→
+
=
→→
=++==
50. Determinar las coordenadas de los vértices B y C de un cuadrado que tiene por diagonal AC donde A(1,2) y C(9,6).
51. Las coordenadas de los vértices del cuadrilátero ABCD son A(0,0), B(7,3), C(8,12) y D(3,16).
a. Averigua de forma razonada y sin recurrir a un dibujo si se trata o no de un paralelogramo.
b. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los cuatro lados. c. Averigua si el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios anteriores es o no
un paralelogramo. a) Si fuera un paralelogramo, los vectores AB y DC tendrían la misma dirección y el mismo módulo. Por lo tanto, tenemos dos maneras de comprobar si es un paralelogramo: AB = (7,3) – (0,0) = (7,3) y DC = (8,12) – (3,16) = (5,-4). Si tuvieran la misma dirección serían proporcionales, es decir (7,3) = t (5,-4), por lo que t debería valer simultáneamente 7/5 y –3/4. Como es obvio que estas cantidades no son iguales, estos vectores no son proporcionales (linealmente dependientes) por lo que no son paralelos. La otra forma de comprobarlo es determinando sus módulos. Si fuera un paralelogramo d(A,B) = d(D,C).
( ) ( ) ( ) ( ) 41161238),(;580307),( 2222 =−+−==−+−= CDdBAd Como las distancias no coinciden no es un paralelogramo. b) El punto medio de un segmento se obtiene hallando la media aritmética de las coordenadas de sus extremos:
c) Aplicamos el primer razonamiento empleado en el apartado a):
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
=+==
=+==
=+==
=+==
8,2
3
2
0,016,3;14,
2
11
2
16,312,8
;2
15,
2
15
2
12,83,7;
2
3,
2
7
2
3,70,0
DACD
BCAB
MSMR
MQMP
B
C
A
D ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
)8,3(83
)0,7(07021100105505
02116112110456196
021214821410
214
021810
0142
:Re
021810042162202
12216220280
36128118441248
),(),(),(
01420112816
361281184412
6921
),(),(
22
22
2222
2222
22
222222
222
2222
2222
Dyx
Byxxxxx
xxxxx
xxxx
xy
yyxx
yx
ecuacionesdoslasformanquesistemaelsolviendo
yyxxyyxx
yyxx
yyxxyyxx
BCdBAdCAd
rectángulotriánguloundehipotenusalaesdiagonalladelongitudLa
yxyx
yyxxyyxx
yxyx
BCdBAdcuadradoserPor
→=→=→=→=
→=+−→=+−
=++−−+−+
→
=+−−−+−
−=→
=+−+−=−+
=+−+−→=+−+−→+−+−=
+−++−++−++−=+
→+=
=−+→=−++−++−=+−++−
−+−=−+−
→=→
Resulta que PQ = SR, luego además de ser paralelos son iguales, por lo que QR y PS también deben ser iguales. Es decir, se trata de un paralelogramo.
( )
( )6,48,2
314,
2
11
;6,42
3,
2
7
2
15,
2
15
=
−
=
=
−
=
SR
PQ
52. La recta r tiene como ecuación implícita 3x+2y+10=0 y la recta s tiene como ecuaciones
paramétricas
+=−=
ty
tx
6
35. Escribe las ecuaciones de r en formas explícita, punto-pendiente,
continua y paramétricas y las ecuaciones de s en forma continua, implícita, explícita y punto-pendiente.
Empecemos con la recta r. Para pasar a forma explícita basta con despejar la y, por lo que queda:
Forma explícita: 52
3 −−= xy
De esta ecuación deducimos que la pendiente m=-3/2. Para hallar la ecuación en la forma punto-pendiente necesitamos las coordenadas de un punto. Si en la ecuación anterior le damos a x el valor 2, resulta y=-8, luego la recta pasa por el punto P(2,-8) y por lo tanto:
Forma punto-pendiente: ( )22
38 −−=+ xy
El vector director de r se obtiene a partir de los coeficientes de x y de y en la ecuación implícita: u = (2,-3). Como conocemos las coordenadas de un punto de la recta, tenemos
Forma continua: 3
8
2
2
−+=− yx
Para concluir ponemos la forma paramétrica:
−−=+=
ty
tx
38
22
Vamos ahora con la recta s. Si en las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro e
igualamos, obtenemos la forma continua: 1
6
3
5 −=−−= yx
t
Quitando denominadores y pasando todo a un miembro tenemos la ecuación implícita: 02331835 =−+⇒+−=− yxyx
Despejando la y obtenemos la forma explícita:
A partir de la forma continua deducimos la forma punto-pendiente: 53. Halla las coordenadas del simétrico del punto P(0,6) respecto de la recta r: y=2x-3. El proceso que vamos a seguir es el siguiente: a) Hallamos la perpendicular a r que pasa por P. Como r está en forma explícita tenemos su pendiente m=2. Cualquier recta perpendicular a r tendrá de pendiente –1/2, luego la ecuación del
haz de rectas perpendiculares a r es nxy +−=2
1. Como queremos que pase por el punto P, la
ecuación anterior debe ser cierta para x=0 e y=6, por lo tanto: 6=0+n, n=6 y la recta buscada es
62
1 +−= xy .
b) Ahora hallamos el punto de corte entre esta recta y r:
⇒
=+−=⇒=⇒=⇒+−=−⇒+−=−⇒+−=
−=
5
21,
5
18
5
216
5
9
5
1818512646
2
132
62
132
Qyxxxxxxxy
xy
c) Ahora calculamos el punto P’, pedido por el problema, teniendo en cuenta que Q debe ser el punto medio del segmento PP’: P’=(x,y), luego
3
23
3
1 +−= xy
( )53
16 −−=− xy
( ) ( )
⇒
=⇒=+⇒+=
=⇒=⇒
+=
5
12,
5
36'
5
12
5
426
2
6
5
215
36
25
18
2
,6,0
5
21,
5
18P
yyy
xx
yx
54. Un rombo tiene la diagonal menor de la misma longitud que sus lados y sus extremos son los puntos A(3,1) y C(7,7). Contesta a las siguientes cuestiones razonando las respuestas:
a. ¿Cuánto valen los ángulos del rombo? b. ¿Cuánto vale el perímetro del rombo? c. ¿Cuánto mide la diagonal mayor? d. Calcula las coordenadas de los otros dos vértices.
a) Si la diagonal menor es igual a los lados del rombo, esta diagonal divide al rombo en dos triángulos equiláteros, por lo que el ángulo menor del rombo será de 60º y el mayor de 120º. b) El perímetro es la suma de las longitudes de los cuatro lados. Si los lados miden lo mismo que la diagonal menor, bastará con hallar la longitud de esta diagonal y multiplicar el resultado por 4:
( ) ( ) 5245236161737),( 22 ==+=−+−== perímetroCAddiagonal
c) La diagonal mayor es el doble de la altura de un triángulo equilátero de lado 52 . Por el
teorema de Pitágoras sabemos que la altura de cualquier triángulo equilátero es 2
3lh = , siendo l
el lado del triángulo, así pues como la diagonal mayor es el doble de esa altura, tenemos:
1562
1562
2
156
2
352 ==⇒== mayordiagonalh
d) Hay varias maneras de resolver la última parte. Nosotros vamos a seguir el siguiente procedimiento: En primer lugar hallamos la ecuación de la diagonal mayor, porque los puntos buscados deben estar en esa recta. Esa diagonal no es otra que la mediatriz del segmento AC. La mediatriz también se puede calcular de varias maneras. Nosotros usaremos la propiedad d(P,A) = d(P,C):
( ) ( ) ( ) ( )
02232088128
491449141296
77132222
2222
=−+⇔=−++−++−=+−++−
−+−=−+−
yxyx
yyxxyyxx
yxyx
En segundo lugar hallamos las coordenadas del punto medio, M, de AC: En tercer lugar hallamos la ecuación de la circunferencia de centro M y la altura del triángulo equilátero mitad del rombo: En cuarto lugar hallamos los puntos de corte de esta circunferencia con la mediatriz (que es la diagonal mayor). Las soluciones serán las coordenadas de los puntos
buscados:
Por lo tanto, las soluciones son:
( ) ( ) ( )
+=+−=⇒−
−=−−=⇒+=−±=
⇒=+−⇒=+−⇒=−−++−
⇒=−−++−⇒=+−+
−
⇒=−+
−−⇒
−=⇒
=−+
=−+−
3352
361222324
3352
361222324
4164
04805210413092324972144
02384
97214439168
2
312
39452
322
2
322
022322
15645
2222
22
22
22
2
22
x
xy
yyyyyyyy
xyyy
xyy
yyy
x
yx
yx
( ) ( )324,335324,335 −+=+−= DB
( ) ( )2
22
2
15645
=−+− yx
( ) ( ) ( )4,52
7,71,3 =+=M
55. Con los datos del problema 53, halla la ecuación de la circunferencia que pasa por P y es tangente a la recta r, de forma que el segmento que une P con el punto de tangencia es un diámetro. Razona la respuesta.
Podemos aprovechar los datos del problema anterior. El centro de la circunferencia será el punto medio de los puntos P y Q del problema anterior, es decir: El radio de la circunferencia será la mitad de de la distancia de P a r. Si ponemos r en forma implícita, tenemos: 2x-y-3=0 y por tanto:
52
9
122
3602
2
),(22
=+
−−⋅== rPd
rad La ecuación de la circunferencia
56. Calcula el área del triángulo de vértices A(2,-1), B(-5,1) y C(0,3). Calcula también las
coordenadas del baricentro del triángulo. Razona las respuestas. El área de un triángulo es igual a la base por la altura dividido entre 2. Si llamamos r a la recta que pasa por A y B, la base es la distancia entre A y B y la altura es la distancia entre C y r. Así pues:
( ) ( ) 534491125),( 22 =+=++−−== BAdbase La recta que pasa por A y B tiene como vector director AB = (-5-2,1+1) = (-7,2) y como vector normal n = (2,7). Por lo tanto, el haz de rectas paralelas a r es: 2x + 7y + C = 0. Como queremos que pase por A tenemos 4 – 7 + C = 0 de donde C = 3. Es decir, r tiene como ecuación 2x + 7y + 3 = 0.
122
53
2453
53
24
72
33702),(
22===
+
+⋅+⋅== árearCdaltura
Por su parte, el baricentro de un triángulo (punto de corte de las medianas) se obtiene como la media aritmética de las coordenadas de los vértices:
( ) ( )1,13
311,
3
052 −=
++−+−+=G
57. Halla las ecuaciones de los lados, las coordenadas de los vértices y las coordenadas del
baricentro de un triángulo cuyos lados son paralelos a los lados del triángulo del ejercicio anterior y pasan por sus vértices (ver figura adjunta). Razona las respuestas.
En este ejercicio hemos de calcular las ecuaciones de los lados del triángulo del ejercicio anterior. La ecuación del lado AB ya la hemos calculado, así que tendremos que calcular las ecuaciones de los lados AC y BC. Después habrá que calcular las ecuaciones de las paralelas a esas tres rectas que pasen por los puntos C, B y A respectivamente. Después habrá que calcular los puntos de corte de estas tres nuevas rectas y tendremos los vértices A’, B’ y C’ del nuevo triángulo. Por último hallaremos las coordenadas del baricentro del nuevo triángulo y comprobaremos que son las mismas que las del baricentro del triángulo ABC.
La ecuación de la recta AB es 2x + 7y + 3 = 0.
20
81
10
51
5
922
=
−+
− yx
( )
=
+=
10
51,
5
9
2521
,5
186,0
C
Calculamos ahora la ecuación de la recta AC: El vector director de esta recta es AC = (-2,4), por lo que el vector normal es n = (4,2). La ecuación del haz de rectas paralelas a AC es 4x + 2y + C = 0. Imponiendo la condición de que pase por el punto C resulta: 6 + C = 0, de donde C = -6 y la recta buscada es 4x + 2y – 6 = 0, que simplificando queda: 2x + y – 3 = 0. Hallamos ahora la recta BC: Vector director: BC = (5,2); vector normal (2,-5). Haz de rectas paralelas a BC: 2x – 5y + C = 0 e imponiendo que pase por C resulta –15 + C = 0, de donde C = 15 y la recta buscada es 2x – 5y + 15 = 0. Recta paralela a AB que pasa por C: (r) 2x + 7y + C = 0, imponiendo que pase por C tenemos: 21 + C = 0, de donde C = -21 y la recta buscada es 2x + 7y – 21 = 0. Recta paralela a AC que pasa por B: (s) 2x + y + C = 0, imponiendo que pase por B tenemos: -10 + 1 + C = 0, de donde C = 9 y la recta buscada es 2x + y + 9 = 0. Recta paralela a BC que pasa por A: (t) 2x – 5y + C =0, imponiendo que pase por A tenemos: 4 + 5 + C = 0, de donde C = -9 y la recta buscada es 2x – 5y – 9 = 0. Para hallar los vértices del nuevo triángulo tenemos que resolver tres sistemas de ecuaciones eligiendo las ecuaciones anteriores dedos en dos: Hallamos el vértice A’: para ello usamos las rectas r y s:
7142530692
2172−=
⇒−=⇒=⇒=⇒−=+
=+xxyy
yx
yx Así pues: A’ = (-7,5)
Hallamos el vértice B’: para ello usamos las rectas r y t:
=⇒=⇒=⇒=⇒=−=+
714211212952
2172xxyy
yx
yx Así pues: B’ = (7,1)
Hallamos el vértice C’: para ello usamos las rectas s y t:
−=⇒−=⇒−=⇒−=⇒=−−=+
3623186952
92xxyy
yx
yx Así pues: C’ = (-3,-3)
Por último, hallamos el baricentro del triángulo A’B’C’:
( )1,13
315,
3
377' −=
−+−+−=G
que, como podemos ver, coincide con el baricentro del triángulo ABC.
58. Halla la ecuación de la bisectriz interior correspondiente al vértice A del triángulo del ejercicio 4. Razona la respuesta. Explica a continuación qué cálculos sería necesario hacer para hallar la ecuación de la circunferencia inscrita a ese triángulo.
Tenemos que hallar las bisectrices de los ángulos formados por las rectas AB y AC del ejercicio anterior y elegir la interna. Para saber cuál de las dos es basta con fijarse en el dibujo. Necesitamos la que tenga pendiente negativa. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas, así pues:
14
32
494
372),(),(
+
−+=
+
++⇔=
yxyxtPdsPd
Al quitar los valores absolutos obtendremos las dos bisectrices:
b1: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 053353535753252
325337255
32
53
372
=++−+−⇔
⇔−+=++⇔−+=++
yx
yxyxyxyx
b2: ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 053353535753252
325337255
32
53
372
=−++++⇔
⇔−+−=++⇔−+−=++
yx
yxyxyxyx
El vector director de la primera bisectriz es ( ) ( )09'10,37'853252,5753 −−≈−− . La pendiente de una recta se obtiene dividiendo la segunda coordenada del vector director por la primera. Como en este caso las dos son negativas resulta que la pendiente es positiva, por lo que no es ésta la bisectriz que estamos buscando, sino la segunda cuya ecuación es ( ) ( ) ( ) 053353535753252 =−++++ yx
Para finalizar, explicaremos brevemente qué cálculos serían necesarios para hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC: Para hallar la ecuación de una circunferencia se necesitan las coordenadas del centro y el radio. El centro de la circunferencia inscrita (o incentro) es el punto en el que se cortan las bisectrices. Ya hemos calculado una de ellas, por lo que tendríamos que repetir el proceso anterior en el vértice B o en el C (basta con
hacerlo en uno de ellos). Una vez que tengamos dos bisectrices, resolvemos el sistema de ecuaciones que determinan y la solución nos da las coordenadas del incentro. Para hallar el radio tenemos en cuenta que el incentro equidista de los tres lados del triángulo, luego basta con calcular la distancia del incentro a cualquiera de los tres lados del triángulo. Con las coordenadas del incentro y el radio podemos escribir ya la ecuación de la circunferencia inscrita en el mismo.
( ,30 →=⋅vurr