REPASO BLOQUE II: MATEMÁTICAS 1º ESO PENDIENTE

UNIDAD 5: INICIACIÓN AL ÁLGEBRA

1

REsoluCIón DE PRoblEMas Con ECuaCIonEs

REsoluCIón DE ECuaCIonEs DE PRIMER GRaDo Con una InCóGnITa

Para resolver una ecuación:

1.º Se suprimen los paréntesis y denominadores, si los hu-biera.

2.º Se simplifican términos semejantes.

3.º Se aplica la regla de la suma.

4.º Se aplica la regla del producto.

2x = 10 − (4x − 2) 2x = 10 − 4x + 22x = 12 − 4x

2x + 4x = 12 − 4x + 4x6x6

= 126

x = 2

lEnGuajE alGEbRaICo

Utiliza números, letras y las operaciones habituales para expresar relaciones, propiedades o informaciones cuantitativas.

Usos del lenguaje algebraico

• Expresar propiedades generales ⇒ Propiedad distributiva: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c • Escribir fórmulas ⇒ A = b ⋅ h • Expresar igualdades ⇒ 2x + 3 = 13

Valor numéricoEl valor de n ⋅ (n + 1) para n = 5 es:

5 ⋅ (5 + 1) = 30

Monomio Coeficiente

−3xy2

Parte literal Grado: 1 + 2 = 3

Monomios semejantesTienen la misma parte literal.

semejantes 5xy2  y  −2xy2

no semejantes −3xy2 y  −4x3y2

Sumas y restas de monomios

Igualdades algebraicas

• Solo se pueden sumar o restar monomios semejantes. • Para sumar (o restar) monomios semejantes, se suman (o restan) sus coeficientes y se mantiene la misma parte literal.

7x2 + 3x2 = 10x2 3a2b − a2b = 2a2b • Si los monomios no son semejantes se deja la suma (o la resta) indicada.

3x2 + 4xy

ExPREsIonEs alGEbRaICas

Identidad

a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c

Ecuación

5x − 12 = x + 4

Pasos a seguir:

1.º Comprender el problema: identificar los datos y las incógnitas y buscar sus relaciones.

2.º Trazar un plan para resolverlo: plantear la ecuación o ecuaciones que permita resolver el problema.

3.º Poner en práctica el plan: resolver la ecuación.

4.º Comprobar los resultados: comprobar si la solución tiene sentido en el contexto particular del problema.

UNIDAD 5: INICIACIÓN AL ÁLGEBRA.

2

Actividades

EJERCIC IOS PARA PRACTICAR

Lenguaje algebraico

30. Contesta en tu cuaderno verdadero o falso.

a) 3 ⋅ a es lo mismo que a ⋅ 3.

b) n + 2 es lo mismo que 2 + n.

c) 2 − a es lo mismo que a − 2.

d) 3 ⋅ (5 + a) es lo mismo que 15 + a.

e) 2 ⋅ a es lo mismo que a + a.

31. Identifica los apartados que son iguales a 3m.

A. 3 + m D. 3 + 3 + 3

B. 3 y m E. m + m + m

C. 3 ⋅ m F. Ninguna de las anteriores

32. Indica en tu cuaderno qué expresiones equivalen a x2.

A. 2x D. x + 2

B. 2 + x E. x ⋅ x C. x + x F. Ninguna de las anteriores

34. Copia en tu cuaderno, asociando cada frase con su ex-presión algebraica.

2 decenas más que un número n − 3n

El cuadruple de un númeron3

4 menos un número n + 20

El tercio de un número 4n

Un número menos su triple 4 − n

Expresiones algebraicas. Valor numérico

35. Si llamamos x al número de DVD que tiene Luis, escribede forma algebraica las siguientes afirmaciones.

36. Rogelio ha plantado un huerto con lechugas, tomaterasy pimientos. Si el número de lechugas es x, expresa enlenguaje algebraico el número de tomateras y de pi-mientos sabiendo que:• Las tomateras son una más que el doble de lechugas.• Hay tantos pimientos como lechugas y tomateras juntas.

37. En un rectángulo de 40 cm de perímetro la base mide4 cm más que la altura. Traduce estas informaciones alenguaje algebraico.

Yo tengo el triple que Luis.

Yo tengo 3 más que tú.

Yo tengo el doble que tú.

Yo tengo 3 menos que Luis.

39. Calcula los siguientes valores numéricos.

a) x2 − x + 3 para x = 2

b) x2 − x + 3 para x = −2

c) x2 − x + 3 para x = −1

d)5a − 3b para a = 1 y b = −2

e)5a − 3b para a = 2 y b = −1

40. Copia y completa en tu cuaderno las siguientes tablas.

a) n 1 2 3 ● 10

2n + 1 ● ● ● 11 ●

b) x 1 −2 5 7 12

x2 − x 0 ● ● ● ●

33. Llamamos t al tiempo que tarda un tren de mercancíasen ir de Jaén a Sevilla. Escribe las expresiones alge-braicas de las siguientes situaciones.

a) El AVE tarda tres veces menos.

b) Un coche tarda la mitad.

c) Un camión tarda 2 horas menos.

situación Expresión algebraica

El AVE tarde tres veces menos.t3

Un coche tarda las tres cuartas partes del tiempo.

3t4

Un camión tarda 2 horas menos. t − 2

ACT IV IDAD RESUELTA

38. Calcula el valor numérico de estas expresiones alge-braicas.

a) 5x − 12, para x = 3 b) −3x2 + x − 2, para x = 2c) 3x2y, para x = −1; y = 4 a) 5x − 12, para x = 3 es 5 ⋅ 3 − 12 = 15 − 12 = 3 b) −3x2 + x − 2, para x = 2 es −3 ⋅ 22 + 2 − 2 = −12c) 3x2y, para x = −1; y = 4 es 3 ⋅ (−1)2 ⋅ 4 = 3 ⋅ 1 ⋅ 4 = 12

ACT IV IDAD RESUELTA

3

Actividades

41. Una identidad se cumple para cualquier valor que seasigne a la incógnita. ¿Cuál de estas igualdades es unaidentidad?

a) 2x2 = 18 d) x2 − 4x + 3 = 0

b) 2x − 8 = 2(x − 4) e) x(x − 1) = x2 − x

c) 3x + 2 − x = 2(x + 1) f) xy = 1

Monomios. Operaciones con monomios

43. Indica cuáles de estas expresiones son monomios.

A. 2mn C. 3x2 E. 7x2y3

B. 3x + 3 D. 4(2 + x) F. 7x2 + y3

45. Asocia en tu cuaderno cada expresión con su corres-pondiente simplificada.

3x − 3 + x + 1 x2 − 3x

4x − (x − 3) −2

4x2 − x − 3x2 − 2x 4x − 2

2x2 − 3x2 + x2 − 2 2x2

2x2 − x + 3x − 2x 3x + 3

46. Simplifica todo lo posible las siguientes expresiones eindica cuáles de los resultados finales son monomios.

a)2x2 − x2 − 3x2 d) x2y − 3x2y2

b)2x2 + x2 − 3 e) x2y2 − 3x2y2 − 3

c) 2x2y − 3x2y f) x2 − (2x2 + x)

Ecuaciones

47. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones. Com-prueba después tu resultado.

a) x − 4 = 2 d) 3x = 21

b) 3 + x = 11 e) x3= 5

c) −4 + x = 3 f) −2x = 6

6. Une en tu cuaderno cada ecuación con su solución.

4x + 2 = 6x − 2 x = 1

2x + 8 = 18 x = 2

3x − 2 = 1 x = 3

5 − x = 2 x = 4

3x − 2 = 10 x = 5

48. Inventa una ecuación de primer grado cuya soluciónsea t = 11.

49. Copia y completa esta tabla en tu cuaderno.

Enunciado Ecuación solución

Un número menos 4 es igual a 17.

x − 4 = 17 x = 21

El doble de un número es igual a 18. ● ● ● ● ● ●

El anterior a un número es 123. ● ● ● ● ● ●

El tercio de un número es 54. ● ● ● ● ● ●

● ● ● 4x = 16 ● ● ●

● ● ● 30 − x = 2 ●

● ● ●x4= 5 ● ● ●

● ● ● x + 7 = 67 ● ● ●

50. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2x + 10 = 16 d) 5x — 30 = 0

b) —2 + 3x = —14 e) 6x — 5 = 4x + 7

c) 3x — 5 = 4 f) 2x + 9 = 4x + 3

44. Opera y simplifica las expresiones siguientes.

a) 7x2 + 3x − x + 4x2

b) x2 − 2x2 − x + 4x + 2

c) a3 − 3a2 + 2a − a2 + 4a − 1

d) 5x2y − 3xy2 + xy2 − 2x2y

a) 7x2 + 3x − x + 4x2 = 11x2 + 2x

b) x2 − 2x2 − x + 4x + 2 = −x2 + 3x + 2

c) a3 − 3a2 + 2a − a2 + 4a − 1 = a3 − 4a2 + 6a − 1

d) 5x2y − 3xy2 + xy2 − 2x2y = 3x2y − 2xy2

ACT IV IDAD RESUELTA

51. Resuelve esta ecuación: 3x +2= x − 12

−5

• Multiplicamos los dos miembros por 2 para quitar el deno-minador:

2 · (3x + 2) = 2 · x − 12

− 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒6x +4 = x − 1− 10

• Agrupamos términos semejantes: 6x + 4 = x − 11

• Para eliminar la x del segundo miembro, la pasamos res-tando al primer miembro: 6x + 4 − x = −11

• Para eliminar el 4 de primer término, lo pasamos restandoal segundo miembro: 6x − x = −11 − 4

• Agrupamos términos semejantes: 5x = −15

• El 5 que está multiplicando en el primer término, lo pasa-

mos dividiendo al segundo miembro: x = −155

= −3

ACT IV IDAD RESUELTA

4

52. Resuelve estas ecuaciones.

a)6x − 42 = 0 f) 3x − 1 = −x + 5 + 4x

b) 3 + 2x = 11 g) x + 3(x − 2) = 3

c)3 − 6x = 21 h) 3(x − 2) = 15

d) 28 − 13x = x i) 11(3x − 6) = 99

e) −1 = −x + 5 + 4x j) 3(x − 1) = −(x + 5 + 4x)

7. Resuelve las siguientes ecuaciones eliminando los pa-réntesis.

a) 2(5x − 4) − 3 = 9

b) 10(x − 2) = 4x + 4

c) 3(7x + 2) + 2 = 4x – 9

d) 2(2x − 1) = 5(3 − 2x) − 3

e) 3(x + 2) − 8x = 7x + 2

f) 3 − (3x + 3) = 6(3 − 3x) − 18

8. Resuelve las ecuaciones. Para ello, elimina los denomi-nadores multiplicando todos los términos por su míni-mo común múltiplo.

a) x − 14

= 9 e) x2+ 1 = 5

b) 5x2= 15 f)

25= x15

c) 8=4x3

g) 3−x5= 1

d) x6= 53

h) 2x3+ 1 = 5

9. Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadoresy paréntesis.

a) 3x2−4⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 6

d) 3x − 5 x2− 1⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = 6

b) 2x2− 3⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

4x3

e) 1+ 3 x − 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2x +

26

c) x2+ x3= 2 1

3+ x6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

f) x − 12(x −4) = x

3+ 2

Ejercicios de síntesis

56. ¿Cuánto pesa un huevo?

20 g 60 g 100 g

57. Completa en tu cuaderno la tabla de sueldos de la em-presa MATEMAS con las siguientes informaciones. Es-cribe los resultados en función de x.

• Luis cobra x euros.

• Pedro, su jefe, gana el doble que Luis.

• A Andrés, el gerente, le faltan 300 € para triplicar elsueldo de Pedro.

• Juana gana la mitad de Pedro.

• A Pepe, el becario, le faltan 150 € para llegar a los trescuartos del sueldo de Juana.

Empleado sueldo

Luis x

Pedro ●

Andrés ●

Juana ●

Pepe ●

58. En un triángulo isósceles cada uno de los lados igualesmide 5 cm más que el tercer lado.

x + � x + �

x

Si tiene 70 cm de perímetro, ¿cuánto mide cada lado?

59. A la base de un rectángulo le faltan 2 cm para que seaigual a su altura. Si su perímetro es de 72 cm, ¿cuálesson sus dimensiones?

62. Calcula en cada caso el número desconocido.

a) Sumando 20 al doble de un número se obtiene 30.

b) Un número aumentado en 60 es igual a su quíntuplo.

c) Un número más su mitad suman 72.

d) Si al doble de un número le restas 5 unidades obtieneslo mismo que si sumas al número 10 unidades.

63. La suma de tres números enteros consecutivos es iguala 66. Calcula esos números.

10. El doble de un número más su mitad es lo mismo quesumarle 3 a ese número. ¿Qué número es?

11. Si a un número se le suma su siguiente y el resultado sedivide entre 3, se obtiene 47. ¿Cuál es ese número?

12. ¿Qué cantidad hay que sumarle al número 15 para ob-tener el triple de esa cantidad?

13. Un número es igual a la suma de sí mismo, más su do-ble, más su triple, más uno. ¿Qué número es?

5

Actividades

14. Una madre reparte entre sus cuatro hijos 50 pastelitos.A Berta le da el doble que a Ana, a Carlos, 4 más que aAna, y a Damián, 2 más que a Berta. ¿Cuántos dulces leda a cada uno?

Incógnita A Ana x

Dato A Berta el doble que a Ana 2x

Dato A Carlos 4 más que a Ana 4 + x

Dato A Damián 2 menos que a Berta 2x − 2

Dato Total 50

• Planteamos la ecuación: x + 2x + x + 4 + 2x − 2 = 50.

• Resolvemos la ecuación:

x + 2x + x + 2x = 50 − 4 + 2

6x = 48

x = 486

= 8

• Por lo tanto, reparte 8 pastelitos a Ana, 16, a Berta, 12,a Carlos, y 14, a Damián.

Comprobamos el resultado: 8 + 16 + 12 + 14 = 50.

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PARA RESOLVER 15. Javier guarda sus cromos en dos tipos de cajas, gran-des y pequeñas. Una caja grande pesa 10 g más queuna pequeña. Tres cajas grandes pesan lo mismo que 5pequeñas. ¿Cuánto pesa una caja de cada tipo?

Dato Caja grande 10 + x

Incógnita Caja pequeña x

Dato Tres grandes pesancomo 5 pequeñas

3(10 + x) = 5x

66. Arantxa tiene el doble de lápices de colores que Julio.Este tiene 10 lápices menos que Cristina. Pedro tiene13 lápices más que Julio. Entre todos tienen 88 lápices.¿Cuántos tiene cada uno?

Incógnita Lápices de Arantxa 2x

Dato Lápices de Julio x

Dato Lápices de Cristina x + 10

Dato Lápices de Pedro x + 13

Dato Total 88

67. Jaime tiene 1 año más que Beatriz, que tiene el doblede edad que su hermano pequeño. Entre los tres tienen26 años. Calcula la edad de cada uno.

Incógnita Edad del pequeño x

Dato Edad de Jaime 2x + 1

Dato Edad de Beatriz 2x

Dato Total años 26

16. Ana tiene 4 años menos que su hermana Lucía y un añomás que su hermana Clara. Si entre las tres suman 30años ¿Cuántos años tiene cada una?

Incógnita Edad de Lucía x + 4

Dato Edad de Ana x

Dato Edad de Clara x − 1

Dato Total 30

17. En clase de plástica hay el doble de chicos que de chi-cas. Si en clase hay 24 alumnos, ¿cuántas chicas hay?

68. Esther y Ramón han recorrido, en total, 275 km del ca-mino de Santiago. El primer día recorrieron 25 km másque el segundo, y el tercero, el doble de kilómetros queel primero. Calcula la distancia recorrida cada día.

Santiago (50 km)

65. Un famoso cuento chino (Adaptación del libro “Losnueve capítulos del arte matemático”. Año 100 a.C.).

Incógnita Peso maleta del mapache x

Dato El perro, el doble del peso de la maletadel mapache

2x

Dato El zorro, la mitad del peso del mapachex2

Dato Total 112

¿Cuánto paga cada uno?

Un zorro, un mapache y un pe-

rro pasan por la aduana y entre los tres pagan 112 monedas. El mapache le dice al perro: “Tu maleta pesa el doble que la mía, así

que tendrás que pa-gar el doble que yo.”

Y eso mismo le dice el zorro al

mapache.

6

78. Un examen de matemáticas consta de diez cuestiones.Por cada una bien resuelta te dan 10 puntos y por cadauna mal te quitan 3 puntos. Si Ana contestó a todas lascuestiones y obtuvo 61 puntos, ¿qué cantidad de res-puestas correctas obtuvo?

71. Jonás tiene 5 € en monedas de 0,50 € y de 0,20 €. Si entotal hay 16 monedas, ¿cuántas tiene de cada clase?

1.º Identifica los datos y la incógnita.

Incógnita N.º de monedas de 0,50 € x

Dato Cantidad total 5 €

Dato N.º de monedas 16

Dato N.º de monedas de 0,20 € 16 − x

2.º Traduce las relaciones a una ecuación.

Dinero total: 0,50 ⋅ x + 0,20 ⋅ (16 − x) = 5

3.º Resuelve la ecuación.

0,50 ⋅ x + 3,20 − 0,20 ⋅ x = 50,30 ⋅ x = 5 − 3,20

0,30 ⋅ x = 1,80 ⇒ x = 1,800,30

= 6

4.º Expresa la solución y compruébala.

Tiene 6 monedas de 0,50 € y 10 de 0,20 €.

Comprobamos: 0,50 ⋅ 6 + 0,20 ⋅ 10 = 3 + 2 = 5

PROBLEMA RESUELTO

77. En un examen tipo test dan 3 puntos por cada preguntaacertada y quitan 2 puntos por cada fallo.

Si el examen tiene 50 preguntas y un alumno ha obteni-do 80 puntos, ¿cuántas preguntas ha acertado? ¿Cuántas ha fallado?

1.º Identifica los datos y la incógnita.

Incógnita Número de aciertos. x

Dato Preguntas totales. 50

Dato Puntos sumados por aciertos.

3x

Dato Número de fallos. 50 − x

Dato Puntos quitados por fallos.

2 ⋅ (50 − x)

Dato Puntos totales. 80

2.º Traduce las relaciones a una ecuación.

3x − 2(50 − x) = 80

3.º Resuelve la ecuación.

3x − 100 + 2x = 80

3x + 2x = 80 + 100

5x = 180 ⇒ x = 1805

= 36

4.º Expresa la solución y compruébala.

Aciertos: 36; fallos 50 − 36 = 14

Puntos: 36 ⋅ 3 − 14 ⋅ 2 = 108 − 28 = 80

PROBLEMA RESUELTO

20. Un bolígrafo cuesta 25 cent más que un lapicero. Hepagado 3 € por tres lapiceros y dos bolígrafos. ¿Cuál esel precio de cada uno?

72. El patrocinador de un equipo deportivo juvenil se hagastado 735 € en la compra del equipo de los 15 juga-dores. Si una camiseta cuesta 3 € más que un pantalón,¿cuánto cuesta cada prenda?

73. Marcos ha gastado 205 € en comprar 20 paquetes defolios y 15 carpetas para su oficina. Si una carpetacuesta 2 € más que un paquete de folios, ¿Cuánto cues-ta una carpeta? ¿Y un paquete de folios?

74. Miguel mete en su hucha todas las monedas de 2 € y de50 cent que consigue. Si ya tiene 32 monedas que ha-cen 32,50 €, ¿cuántas monedas tiene de cada tipo?

18. Un profesor reparte entre tres clases de 1.° de ESO140 libros de lectura. A 1.° A le da el doble que a 1.° B y a1.° C el doble que a 1.° A. ¿Cuántos libros da a cada clase?

19. Entre Alicia y Astrid tienen 25 pulseras. Si Astrid tienedos terceras partes de las pulseras de Alicia, ¿cuántastiene cada una?

70. Dos kilos de naranjas cuestan lo mismo que un kilo deplátanos. Juan ha comprado 3 kg de plátanos y 4 kg denaranjas y ha pagado 15 €. ¿Cuánto cuesta cada fruta?

75. Luis ha regalado la mitad de los DVD que tenía a Juan.Después, le ha dado la tercera parte de los que le que-daban a su hermana. Al final se ha quedado con 6 DVD.

¿Cuántos DVD tenía al principio?