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Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2010

Repartido 7–Ley de Biot-Savart – Ley de Ampère

Ejercicio 1.- (R.H.K. 35.8) Dos alambres paralelos rectos y largos, separados por 0,75 cm, son perpendiculares al plano de la página como se muestra en la figura. El alambre W1 conduce una corriente de 6,6 A hacia la página. ¿Cuál debe ser la corriente (magnitud y dirección) en el alambre W2 para que el campo magnético resultante en el punto P sea cero?

Campo creado por un alambre recto

Para que el campo sea nulo en P, debe tener sentido contrario al que crea el alambre 1, por tanto la corriente también tiene que tener sentido contrario.

Campo creado en punto P:

i2= 4,4 A (saliente)

Ejercicio 2.- (R.H.K. 35.16) Un segmento recto de alambre de longitud L conduce una corriente i. Use la ley de Biot-Savart para calcular el campo magnético B asociado con este segmento a una distancia R del segmento a lo largo de una bisectriz perpendicular (véase la

figura). Muestre que el campo está dado en magnitud por:

Demuestre que esta expresión se reduce a un resultado obtenido con la ley de Ampère cuando L →∞

ds=dx

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Ejercicio 3.- (R.H.K. 35.36) La figura muestra un alambre largo que conduce una corriente i1.

La espira rectangular de dimensiones L y b, está recorrida por una

corriente i2 y el lado más cercano de la espira al alambre está a

una distancia a.

a) Calcule la fuerza que ejerce el alambre sobre la espira.

b) ¿Qué fuerza ejerce la espira sobre el alambre?

c) Calcule el valor numérico de a), si: a=1,10 cm; b=9,20 cm;

L=32,3 cm; i =28,6 A; i2= 1,8 A.

a) La fuerza que ejerce el alambre sobre la espira será igual a la suma de las fuerzas que actúan en cada uno de sus lados. Las fuerzas de los lados izquierdo y derecho se cancelan entre sí, pues el campo varía de igual forma y tiene el mismo sentido, pero la corriente de la espira circula en

sentidos contrarios. Campo que crea el alambre:

2,700

×10-4 N

= (2,70×10-4 N) (hacia arriba) = (3,27×10-3 N) (hacia arriba) si i2= 21,8 A

b) Por el principio de acción y reacción, es igual y opuesta a la que ejerce el alambre sobre la

espira. Fuerza de la espira sobre el alambre:

Ejercicio 4.- (R.H.K 35.10, 26 ,27) a) Considere una espira circular de radio R contenida en el plano xy de forma que el eje z pase por el centro de la espira. Si circula una corriente i

demuestre que el campo magnético en el eje z vale

b) La figura muestra un arreglo conocido como bobina de Helmholtz. Consta de dos bobinas circulares coaxiales cada uno con N vueltas y radio R, separadas por una distancia R. Conducen corrientes iguales i en la misma dirección. Halle el campo magnético en P, a medio camino entre las bobinas. Estas bobinas proporcionan un campo B especialmente uniforme cerca del punto P.c) Considere que la separación de las bobinas sea una variable representada por s (no necesariamente igual

al radio R de la bobina). Demuestre que la derivada primera del campo magnético , es cero en el punto

medio P, cualquiera sea el valor de s, y que la derivada segunda es también cero en P cuando s = R.

Esto explica la uniformidad de B cerca de P para esta separación en particular de las bobinas.

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a) El campo es según el eje de la espira (las componentes perpendiculares al eje, se cancelan entre sí), por tanto sólo aporta dB.cos

(1)

b) Hay N vueltas en cada espira, por lo que la expresión (1) se debe multiplicar por un factor N, además son dos arreglos cuyos campos se anulan y se evalúan en z= R/2

c) El campo que crea una bobina a una distancia z vale

El campo que crea la segunda bobina, localizada a una distancia s de la primera, para puntos

medidos desde la primer bobina vale

Superponiendo ambos campos:

La derivada respecto a z:

Es

decir que efectivamente (representa un mínimo)

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Haciendo z= s/2

y ahora s= R:

Ejercicio 5.-Un anillo de plástico de radio a tiene una carga eléctrica, de densidad λ, uniformemente distribuida. Suponga el anillo en el plano xy con su centro en el origen de coordenadas. Si el anillo gira con velocidad angular constante ω en torno a su eje con sentido antihorario, halle la corriente eléctrica generada por el anillo al girar y halle el campo magnético creado por esta corriente en el centro del anillo. Sugerencia: use el resultado del ejercicio anterior.

La corriente del anillo es igual a la carga total multiplicada por su frecuencia de rotación: I = qf

Por lo visto en el ejercicio anterior, el campo que crea una espira circular de radio R, por el que circula una

corriente i, a una distancia z del eje de la espira vale:

Para nuestro caso:

Ejercicio 6.- (R.H.K. 35.32)

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Un disco delgado de plástico de radio R tiene una carga q distribuida uniformemente en su superficie. Si el disco gira con una frecuencia angular ω alrededor de su eje, demuestre que:

a) El campo magnético en el centro del disco es

b) El momento dipolar magnético del disco es

Sugerencia: el disco que gira es equivalente a un conjunto de espiras de corriente. Use el resultado del ejercicio anterior.

a) Consideremos un anillo de ancho dr situado a una distancia r del centro. Este anillo tendrá un diferencial de carga . Por lo visto en el ejercicio anterior, el mismo estará recorrido por un

diferencial de corriente dado por .

Este dI genera en el centro del disco un dB dado por:

El campo total será igual a la suma de todas las contribuciones dB:

b) Como: en nuestro caso

Ejercicio 7.- (R.H.K. 35.43) La figura muestra la sección transversal de un conductor cilíndrico hueco de radios a y b, que conduce una corriente i uniformemente distribuida. a) Usando el resultado del anillo amperiano circular mostrado, verifique que B(r) para

el intervalo b < r < a está dado por:

b) Compruebe esta fórmula para los casos especiales en los que r = a, r = b y b = 0. c) Suponga que a=2,00 cm, b=1,80 cm e i=100 A, bosqueje B(r) en el intervalo 0 < r < 6,00 cm.

a) Por la ley de Ampére: , si consideramos como anillo amperiano una

circunferencia de radio r, concéntrica al conductor tendremos que:

La corriente encerrada por ese anillo amperiano vale:

b) Si: ;

b) Si:

Ejercicio 8.- (R.H.K. 35.46) Un conductor es formado por un número infinito de alambres adyacentes, cada uno infinitamente largo y conduciendo una corriente i0. Demuestre que

las líneas de B son como se representan en la figura y que B para todos los puntos

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arriba y debajo de la lámina infinita de corriente está dado por en donde n es el número de

alambres por unidad de longitud.

Consideremos como anillo amperiano el rectángulo mostrado en la figura.

Para evaluar la integral, hacemos el cálculo en los 4 lados:

ya que el campo B es perpendicular a h ( ).

Ejercicio 9.- (R.H.K. 35.52) Un toroide que tiene una sección transversal cuadrada de 5,20 cm de lado y un radio interior de 16,2 cm tiene 535 vueltas y conduce una corriente de 813 mA. Calcule el campo magnético en el interior del toroide, adentro de la sección transversal y afuera del toroide.

El campo del toroide es solamente no nulo en su interior

a) 5,37×10-4 T

b) Sobre el exterior de la región central r = (0,162+0,052)m

4,07×10-4 T

Ejercicio 10.- (R.H.K. 35.54) Un solenoide largo con 115 vueltas/cm y un radio de 7,20 cm conduce una corriente de 1,94 mA. Un conductor recto se encuentra a lo largo del eje del solenoide y conduce una corriente de 6,30 A. a) ¿A qué distancia radial del eje estará la dirección del campo magnético resultante a 40,0º de la dirección axial? b) ¿Cuál es la magnitud del campo magnético?

a) Vamos a utilizar la aproximación del campo creado por un solenoide largo (despreciamos efectos de borde). Campo creado por el solenoide (en dirección del eje):

Campo creado por el alambre (perpendicular al plano y por tanto al eje)

Como estos campos son perpendiculares y nos interesa que formen un ángulo :

b) 3,66×10-5T

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hL


Ejercicio 11.- (R.H.K. 35.12) Se forma una horquilla larga al doblar un trozo de alambre como se muestra en la figura. Si el alambre conduce una corriente i = 11,5 A. Considere que R = 5,20 mm.a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de B en el punto a? b) ¿En el punto b, muy alejado de a?

a) El campo magnético en el punto a será igual al que genera el semi-aro más los campos que generan los trozos recto de alambre.

(saliente a la página)

b) El campo en el punto b lo podemos considerar como la suma de la de dos conductores de longitud infinita (y despreciar el efecto del semi-anillo ya que está muy alejado):

(saliente a la

página)

Ejercicio 12.- (R.H.K. 35.14) a) Por un tramo recto de longitud L fluye una corriente i. Demuestre que el campo magnético asociado con este segmento en P, a una distancia perpendicular D, de un extremo del alambre

está dado por

b) Demuestre que el campo magnético es cero en el punto Q, a lo largo de la línea del alambre.

del alambre.

a) El campo magnético en el punto P lo calculamos en forma similar a como lo hicimos en el

ejercicio 2, cambiando los límites de integración:

b) En el punto Q sin=0

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