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LUIS MONTERO / ROBERTO PRADOSProfesores de Construcciones Civiles y Edificacin

CICLO FORMATIVO: PROYECTOS DE EDIFICACIN MDULO: REPLANTEOS DE CONSTRUCCIN

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TEMA 3:

ESCALAS, UNIDADES Y ERRORES

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1.- ESCALAS

2.- UNIDADES DE MEDIDA

3.- ERRORES

4.- NOCIONES ACOTACIN

5.- LEYENDAS Y SIMBOLOGA

6.- CONCEPTOS TRIGONOMTRICOS BSICOS

7.- CROQUIZACIN

8.- EJERCICIOS PROPUESTOS

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MDULO: REPLANTEOS DE CONSTRUCCIN TEMA: 3.- ESCALAS, UNIDADES Y ERRORES PGINA 1

TEMA 3:ESCALAS, UNIDADES Y ERRORES

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3.1.- ESCALAS:

El dibujo de un objeto no siempre se puede realizar respetando su verdadero tamao.

Es obvio que los planos que hace un arquitecto de un edificio no pueden tener nunca el tamao que enrealidad tiene ste; hay que representarlo con un tamao inferior al real, de la misma manera que no tendrasentido representar una pieza diminuta del engranaje de una mquina con sus magnitudes verdaderas, ya queresultara prcticamente inapreciable y, por lo tanto, intil. As, en este caso, se debe representar en un tamaomayor que el que realmente tiene.

Por lo tanto, en algunas ocasiones hay que representar grficamente los objetos ms pequeos de lo que

son en la realidad, y en otras, ms grandes, pero siempre hay que hacerlo guardando la proporcionalidad de susdimensiones.

Escala es el cociente constante entre las dimensiones del dibujo de un objeto y las correspondientes adicho objeto en la realidad.

Escala= Dibujo/Realidad = D/R

La escala, por ser una relacin constante, se expresa por un cociente, cuyo numerador representa eldibujo, y el denominador, la realidad. As, un dibujo de un terreno a escala 1/10.000 quiere decir que una longitud,igual a una unidad en el dibujo, equivale a otra igual a 10.000 unidades en el terreno.

3.1.1.- CLASES DE ESCALAS

Escala natural:cuando la representacin tiene las mismas dimensiones que la pieza, es decir,cuando el dibujo (D) es igual a la realidad (R) por lo que se representa:

E= 1/1 o E= 1:1

Escala de ampliacin: cuando la representacin tiene mayores dimensiones que la pieza arepresentar. Es la relacin o cociente utilizado para representar objetos pequeos por medio deun dibujo de mayor tamao. Este cociente viene dado por medio de una fraccin ordinaria cuyodenominador es la unidad. De este modo, el numerador indica las veces que se ha ampliado elobjeto.

E= D/1; siendo D>1

Escala de reduccin: cuando la representacin tiene menores dimensiones que la pieza arepresentar. Es la relacin de medidas, aplicada para representar objetos muy grandes por mediode un dibujo de tamao reducido. Este cociente se indica por una fraccin ordinaria, cuyonumerador es la unidad, sealando el denominador las veces que se ha reducido el objeto.

E= 1/R; siendo R>1

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3.1.2.- ESCALAS NORMALIZADAS

Son aquellas de uso ms comn utilizadas generalmente en topografa, construcciones industriales,construccin, etc.

Escala natural: 1/1. Escalas de ampliacin: 2/1; 5/1; 10/1.

Escalas de reduccin: 1/2,5; 1/5; 1/10; 1/20; 1/50; 1/100; 1/200; 1/500; 1/1000.

Llamamos Coeficiente de escalaa la relacin que existe entre el numerador y el denominador de unaescala.

Por ejemplo: la escala 1/5 tiene como coeficiente de escala 0,2.

A la hora de elegir la escala que debemos utilizar en la representacin de un objeto, debemos tener encuenta los siguientes puntos:

1. Siempre que sea posible, debe utilizarse la escala natural (1:1), aunque para ms claridad dealgunos detalles se utilicen en el mismo plano otras escalas.

2. Debe elegirse la escala ms apropiada, de manera que resulte un dibujo agradable a la vista y enel que puedan apreciarse claramente todos los detalles.

3. La eleccin de la escala estar en funcin de las dimensiones de lo que se va a dibujar y delformato a utilizar.

Ejemplo: en un formato Din A-3 de 420 x 297 mm se quiere dibujar, a escala, una finca de plantarectangular de 300 x 180 metros. Cul ser la mxima escala que podemos emplear?

Como el papel y la planta de la finca son rectangulares, convendr dibujar sta de modo que su ladomayor se corresponda con el lado mayor del papel.

Segn esto, la escala correspondiente a los lados mayores sera (reduciendo todo a milmetros):

Escala =420/300.000= 1/714(A)

Considerando ahora los lados menores del papel y de la finca tendramos:

Escala =297/180.000= 1/606(B)

Entre estas dos escalas, emplearemos la (A), ya que si utilizamos la (B), el lado mayor no podrarepresentarse en el papel. Redondearemos por exceso el denominador y adoptaremos la escala 1/1000 que nospermite realizar el dibujo y dejar los mrgenes.

En mapas, las escalas normalizadas en Espaa son:

IGN(Instituto Geogrfico Nacional)

SGE(Servicio Geogrfico del Ejrcito)

1/25.000 Mapa Topogrfico Base1/50.000 Mapa Topogrfico Nacional1/200.000 Conjuntos Provinciales1/500.0001/Pennsula e Islas

1/1.000.000 Internacional del Mundo

1/25.000*1/50.000*1/100.0001/200.000*1/400.000

1/800.000

(*) En colaboracin con el IGN a travs del Consejo Superior Geogrfico.

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3.1.3.- CONSTRUCCIN DE ESCALAS

Para la construccin de escalas tanto numricas como grficas, debemos tener en cuenta el conceptoanteriormente citado de "coeficiente o cociente de escala".

Escala numrica

Se indica mediante la fraccin D / R.

Para aplicarla multiplicaremos cada una de las unidades a representar por el coeficiente de escala.

Ejemplo: si una dimensin de la pieza que hay que construir es de 30 mm, y debe emplearse una escalade 2:1, el segmento a dibujar ser el resultado de multiplicar los 30 mm por el coeficiente de escala 2 (2:1 = 2) quees 60 mm.

Escala grfica

Representa la fraccin de la escala numrica de forma grfica.

Es un segmento representativo de la unidad de medida dibujado a escala.

Se realiza sobre una tira de papel de unos 20 mm de ancho por 250 mm de largo; sobre uno de los bordesse sealan las divisiones y subdivisiones de la escala que se va a emplear.

Toda escala grfica consta de dos partes llamadas escala y contraescala. La contraescala se construye ala izquierda del "0" de la escala subdividiendo una unidad en diez partes iguales, de tal forma que si las unidadesrepresentadas en la escala grfica fuesen centmetros, la contraescala indicara los milmetros.

En el mercado existen escalas ya fabricadas, constituyendo los escalmetros, de los que hicimos mencinal describir el material de dibujo.

En algunas ocasiones, se precisa la construccin rpida de una escala no existente y ello se puede lograrpor medio del llamado Tringulo Universal de Escala.

El Tringulo Universal de Escala es una construccin geomtrica basada en el Teorema de Thales con elque se puede obtener escalas de reduccin y de ampliacin.

Construccin:

Se dibuja un tringulo rectngulo ABC cuyos catetos tienen una longitud de 100 mm. Se prolongan hacia abajo el cateto AC y la hipotenusa. Se dividen los dos catetos en diez partes iguales. Se trazan paralelas por los puntos de divisin del cateto AC. Se unen los puntos de divisin del cateto BC con el vrtice A.

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Nota:

- Si en el plano existen varias escalas, se indicar en el lugar al efecto, es decir en el cajetn, la escalaprincipal, y las dems escalas se indicarn junto al dibujo correspondiente.

- Las cifras de las cotas correspondern siempre a medidas reales, nunca a las reducidas o ampliadas.

3.2.- UNIDADES DE MEDIDA:

3.2.1.- CONCEPTOS BSICOS

Medir.Operacin por la que establecemos las veces que una magnitud es mayor o menor a otra tomadacomo unidad.

Medidas directas.Son aquellas que se consiguen por la yuxtaposicin de un elemento comparador conel objeto a medir. Se deducen por un encuentro directo. Su precisin esta funcin de la apreciacin del til demedida y del mtodo de medida. Ejemplo: cinta mtrica, flexmetro...

Medidas indirectas. Son aquellas que no se producen por un contacto entre el objeto a medir y elinstrumento de medida, sino que se deduce por una relacin de semejanza o proporcionalidad, por el ajuste delocular de un anteojo y la apertura de campo, etc. Ejemplo: lser, GPS...

Precisin. Grado de aproximacin de una medida a la realidad o verdadera medida de un elemento.Depende de la mayor o menor apreciacin del instrumento de medida y del mtodo empleado para la medicin.Se cuantifica por el grado de error.

3.2.2.- UNIDADES

Las unidades empleadas en topografa, son las correspondientes al Sistema Internacional:

Unidad de longitud: metro.

Unidad angular: grado centesimal.

Unidad en superficie: m2.

Unidad en volumen: m3.

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Veamos estas unidades de forma ms detallada:

En la unidades de longitud, los mltiplos y submltiplos del metro ms usuales son los tres

inmediatos a la unidad patrn: decmetro (10

1

), hectmetro (10

2

), kilmetro (10

3

), y decmetro(10-1), centmetro (10-2), milmetro (10-3).

La unidad angular en la toma de datos y lectura instrumental no es el radin, sino el gradocentesimal (1g= / 200 radianes).

El sistema centesimal divide en 400 partes la circunferencia; cada una de estas partes constituyeun grado; a su vez un grado se divide en 100 minutos y ste en 100 segundos.

Otra divisin angular utilizada es el grado sexagesimal, que divide a la circunferencia en 360partes, llamadas tambin grados, sta se divide a su vez en 60 partes llamadas minutos y elminuto en 60 segundos.

Adems del m

2

como unidad superficial, es usual utilizar denominaciones de mbito agrcoladado la relacin directa que tiene la topografa con la agrimensura. Entre ellas destacan:

Centirea: 1 ca = 1 m2

rea: 1 a = 100 m2

Hectrea: 1 Ha= 10.000 m2

En cuanto a las unidades de volumenutilizaremos el m3 y todos sus mltiplos y submltiplos.Denominaremos volumen de desmonte al volumen del terreno que es necesario retirar o excavaren una explanacin y volumen de terrapln al que hay que aportar.

3.3.- ERRORES:

Error.Diferencia entre la medida real o verdadera y la que nos es posible medir con un til o instrumento.

Error Sistemtico.Son aquellos que se producen invariablemente a la toma de medida y es de causapermanente. Ejemplo: una cinta que tiene 2 cm. de ms.

Error aleatorio o accidental. Son aquellos que se producen de una forma espontnea y no se tieneposibilidad de control. Ejemplo: utilizar con ms o menos tensin una cinta.

Error de cierre.Es la diferencia entre el valor final obtenido y el valor verdadero al realizar una medicin o

una serie de mediciones que convergen.Si este error se reparte de forma proporcional a los valores de las medidas efectuadas, habremos realizado unacompensacin de los valores participantes en el resultado final obtenido.

Exactitud.Correccin de resultados. Resultados exentos de equivocaciones.

Equivocacin.Tomar como valor de una medida una que no es.

Tolerancia.Error mximo admitido al realizar una medicin.

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3.4.- NOCIONES DE ACOTACIN:

Las normas de acotacin tienen por objeto unificar los criterios de tcnicos, delineantes, operarios... a lahora de interpretar los conceptos de medida, tan importantes en la confeccin de planos.

Se llama acotacin al conjunto de lneas, cifras y signos que definen y determinan las dimensiones yformas de una pieza, objeto o figura.

Las magnitudes que se acotan son las longitudes y los ngulos. Las longitudes se expresan en milmetros,pero se pueden utilizar otras unidades, en cuyo caso se indicar debidamente en el plano. Los ngulos seexpresan en grados, minutos y segundos sexagesimales, salvo en el caso de la Topografa que nos referiremossiempre a grados centesimales.

Los elementos que se emplean en la acotacin son:

Lneas de cota. Lneas auxiliares. Lneas de referencia.

Flechas. Cifras y signos.

Las lneas de cota

Sirven para indicar las medidas y se disponen paralelas a las aristas o lneas del elemento que se va aacotar. (En el caso particular de ngulos, dichas lneas son arcos concntricos al acotado):

Estas lneas estn separadas 8 mm de la arista del cuerpo a acotar.

Cuando hay otras lneas de cota paralelas a la primera, stas, estarn separadas entre s 5 mm unasde otras, si bien estas medidas son susceptibles de aumentar o disminuir en funcin del tamao del

dibujo.

No deben cruzarse con otras lneas de cota o con lneas auxiliares.

Los ejes y aristas no se tomarn nunca como lneas de cota.

Las lneas auxiliares

Son las que delimitan la zona a acotar y se disponen perpendiculares a la lnea de cota, aunque enalgunos casos se pueden trazar formando 60, y en a cotacin de ngulos son radiales.

Se pueden emplear como lneas auxiliares de cota las aristas de las piezas y las lneas de ejes aunque no sonaconsejables.

Estas lneas sobrepasan de las de cotas 2 o 3 mm.

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Lneas de referencia

Se emplean para acotar o indicar algo de la pieza cuando no se pueda reflejar con lneas de cota.

Deben partir de la representacin oblicuamente, y ser cortas. En lo posible deben evitarse.

Terminarn en flecha si sealan a una arista del cuerpo.

En punto si sealan a una superficie.

Y sin flechan punto cuando terminan

Flechas

Es una de las terminaciones de las lneas de cota, aunque tambin pueda emplearse un trazo corto ygrueso a 45o un punto.

El ngulo de la flecha ser aproximadamente de 15.

La longitud ser de unas 5 veces el grosor de la lnea llena ancha.

Sern homogneas en todo el dibujo.

Se evitaran los cruces de flechas.

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Cifras y signos

Tendremos en cuenta:

La forma de las mismas estar acorde con el tipo de rotulacin utilizada.

Todas estarn expresadas en la misma unidad.

Sern proporcionadas al dibujo.

Se colocarn centradas y encima de la lnea de cota.

Para lograr una mayor claridad y cuando las lneas de cota se encuentren estrechamente unas sobreotras, las cifras se podrn colocar alternadas.

Todas se colocarn de tal forma que sean ledas desde la posicin normal del dibujo y desde laderecha.

No sern separadas ni cruzadas por lneas, ni se colocarn sobre aristas ni en puntos de interseccinde lneas.

Algunas normas de acotacin a tener en cuenta:

Zonas a evitar.

Cotas angulares.

Signos de acotacin.

Zonas a evitar

En acotacin de segmentos rectilneos: En ngulos:

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Cotas angulares

Se determinan por un arco terminado en flechas, y se expresan en grados, minutos y segundos.

Signos de acotacin

Dimetro:se colocar delante de la cifra de cota cuando dichaacotacin no se refleje en un crculo.

R Radio: se colocar delante de la cifra de cota siempre que no sedetermine la posicin del centro.

La lnea de cota ir en todo caso dirigida al centro.

La flecha que limita a la lnea de cota ir por dentro del arco, salvo en el caso de escasez de sitioque se podr colocar por fuera.

Cuando se ve el centro, ste se representar:

Por un punto.

Por un crculo pequeo.

Por una cruz de ejes.

Esfera: se pondr la palabra "esfera" delante de la cifra de cota del dimetro o radio, cuandorepresentemos en una sola vista figuras de forma esfrica.

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Cuando no se representa la lnea de cota completa, es decir, slo vemos una de las flechas, sepondr adems de palabra esfera el signo de dimetro.

Cuando el centro se encuentra fuera de los lmites del dibujo, se pondr, adems de esfera, el signoR.

Cuadrado:un cuadrado visto en planta, se acota siempre con las dos medidas.

Cuando en la vista elegida no aparezca el cuadrado como tal, se antepone un delante de la cota.

Cruz de San Andrs: es una lnea fina llena que cruza a los prismas, pirmides y troncos depirmides cuadrangulares regulares, cuando se representan en una sola vista, indicndonossuperficies planas.

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Acotacin en dibujo topogrfico y de construccin

La terminacin de las lneas de cotas puede ser por medio de puntos, flechas, crculos y trazos, siendoeste ltimo el sistema ms empleado por su claridad y rapidez.

Las cotas de nivel, es decir las empleadas para referirnos a las diversas alturas de los pisos, se indicanpor medio de flechas, seguidas del signo y la cifra.

Las cotas de plantas, conjuntamente con el signo que las antecede, se encierran en un rectngulo, o biense utiliza el siguiente smbolo + delante del signo y la cifra de cota.

Los rtulos de ros, caminos, carretera, etc. se efectan siguiendo la direccin y formas de stos.

Las cotas en la curvas de nivel se colocan sobre dichas curvas o interrumpindolas.

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MAL BIEN

Las lneas de cota debendibujarse fuera de lasfiguras.

Las lneas de cota no

pueden coincidir con otraslneas del dibujo.

Las lneas de cota de losradios solo llevan unaflecha en el arco quedefinen.

Las lneas de cota deben serparalelas al contorno de lafigura y las lneas dereferencia tienen que serperpendiculares a loselementos que acotan.

Las lneas de cota y de

referencia no deben cortarel dibujo, a menos que seainevitable.

Los nmeros deben situarseseparados de las lneas decota, centrados y porencima de ellas.

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3.5.- LEYENDAS Y SIMBOLOGA

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3.6.- CONCEPTOS TRIGONOMTRICOS BSICOS3.6.1.- RAZONES TRIGONOMTRICAS

Es necesario recordar aqu cmo se definen las razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera.Designando:

x e y, a las coordenadas de un punto

r, al radio o distancia del punto de origen

, el ngulo que forma el radio con la direccin positiva del eje de abscisas, se tendrn las seisrazones fundamentales.

En un tringulo rectngulo son:

sen = cateto opuesto al ngulo / hipotenusa = y/r; cosec = 1 / sen = r/y

cos = cateto contiguo al ngulo / hipotenusa = x/r; sec = 1 / cos = r/x

tan = cateto opuesto al ngulo / cateto contiguo al ngulo = y/x; cot = 1 / tan = x/y

X

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3.6.2.- RESOLUCIN DE TRINGULOS

Resolver un tringulo consiste en calcular todos sus elementos, conocido un nmero mnimo de losmismos que sea suficiente para determinarlo.

3.6.2.1.- Tringulos oblicungulos

La resolucin de tringulos oblicungulos se realiza mediante la aplicacin de los teoremas del seno y delcoseno, y considerando el valor de la suma de sus ngulos interiores.

Se presentan cuatro casos, segn que el tringulo venga definido por:

Los tres lados.

Dos lados y el ngulo comprendido.

Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos.

Un lado y dos ngulos.

Antes de escribir los teoremas debemos recordar cmo se nombran los distintos elementos de untringulo:

Los lados se nombran con letras minsculas (a, b, c).

Los ngulos con las mismas letras pero maysculas (A, B, C).

El ngulo opuesto a un lado tiene la misma letra que el lado, es decir, el vrtice opuesto al lado "a"es el ngulo "A'.

Teorema de los senos

En un tringulo cualquiera, el cociente entre el seno de uno de sus ngulos interiores y la longitud del ladoopuesto a ese ngulo, es constante.

a /sen A = b / sen B = c / sen C

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Hay que tener en cuenta que a cada valor del seno le corresponden dos ngulos que son suplementariosentre s. Esto no supone que el problema tiene varias soluciones, sino que la eleccin de los valores de losngulos deben efectuarse adecuadamente, y para ello debemos aplicar la propiedad de que en todo tringulo, amayor lado se opone mayor ngulo, as como tambin que la suma de los ngulos interiores de un tringulo esigual a 180o 200 g.

Teorema del coseno

El cuadrado de cualquier lado de un tringulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menosel doble producto de ambos por el coseno del ngulo que forman.

a2=b2+c2-2 b c cosa

b2=a2+c2-2 a c cosB

c2=a2+b2-2 a b cosC

Para la aplicacin de este teorema hay que tener en cuenta que los datos no pueden establecerse

aleatoriamente y para ello debemos cumplir la propiedad de que un lado es menor que la suma de los otros dos ymayor que su diferencia.

3.6.2.2.- Tringulos rectngulos

La resolucin de tringulos rectngulos se realiza mediante la aplicacin del Teorema de Pitgoras yconsiderando que sus ngulos agudos son complementarios.

Teorema de Pitgoras

El cuadrado de la hipotenusa (a) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (b y c).

a2= b2+ c2 de donde a =(b2+ c2)

b2= a2- c2 de donde b =(a2- c2)

3.6.2.3.- Superficie de un tringulo

La determinacin del rea de un tringulo en funcin de la longitud de sus lados fue aportada a la cienciade la geometra (medida de la tierra) por Heron de Alejandra.

Heron fue una figura destacada y una autoridad entre los topgrafos de su poca, llegando a ser

considerado como el ms grande ingeniero de la antigedad.La Frmula, llamada de Heron dice:

ST=( p x (p-a) x (p-b) x (p-c))

siendo:

ST. la superficie del tringulo.

a, b y c la longitud de los lados del tringulo.

p el semipermetro del tringulo: p = (a + b + c) / 2

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Otra frmula para el clculo de la superficie de un tringulo, conocido dos lados y el ngulo que locomprende, es:

rea = 1/2 a x b x sen C

b

3.7.- CROQUIZACIN

Se llama croquis acotado de un objeto o pieza al dibujo que la representa hecho a mano alzada, conrapidez, pero representando debidamente todas sus dimensiones, detalles y correctamente acotado.

Es, por tanto, un dibujo que no est realizado a escala, pero en todo caso debe tener sus formas ydimensiones lo ms proporcionadas posible.

No debe llevar lneas superfluas, y debe ser lo suficientemente claro para poder ser interpretado porpersonas distintas a su autor.

Aunque se hace rpido y sin tiles de dibujo, no quiere decir que se haga mediocre, pues ha de resultarlimpio y suficientemente claro para la posterior realizacin del dibujo a escala, proyecto o fabricacin de un objetodeseado sin necesidad de delinear el plano.

Puede hacerse de algo que an no existe o bien tomando el modelo de una figura, pieza u objeto delnatural.

Generalmente se croquiza en proyecciones ortogonales y en algunos casos en perspectiva.

Fases para la ejecucin de un croquis:

a) Preparacin del material que vamos a necesitar; papel, lpiz, goma e instrumentos de medida.

b) Examen previo de lo que vamos a croquizar.

Nota:En topografa, examinaremos el terreno que se va a levantar, ubicndolo, situndolo y orientndolo, de talforma que quede perfectamente definido.

c) Seguir un orden lgico en la ejecucin de mismo. Desde el principio nuestro dibujo debe quedarcentrado, proporcionado y realizado en el menor tiempo posible.

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d) Completar el croquis incluyendo datos como:

Acotacin.

Simbologa de cada elemento que vemos.

Clases de superficies.

etc.

Fuentes: TOPOGRAFA: TRABAJO DE CAMPO Y GABINETE. Ed. MAD

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3.8.- EJERCICIOS PROPUESTOS:

EJERCICIO 1:

Dada una porcin de terreno de forma rectangular, dibujada a escala1/2500, resulta que la alineacin AB

(lado AB) equivale a 14 cm., y la alineacin BC (lado BC) a 10 cm. Calcular el rea o superficie de dicha porcinde terreno en Ha.

EJERCICIO 2:

Dado un terreno rectangular cuyos lados arrastran las siguientes medidas. AB=385 m. y BC=575 m. yqueremos representarlo a escala 1/1.000.

Calcular:

a) El menor formato normalizado a utilizar.

b) Si queremos representarlo en un formato A-3 . Qu escala deberamos usar y cual seria lasuperficie real que ocupara en cm2?.

EJERCICIO 3:

Observamos, de canto, una moneda circular de 24 mm. de dimetro bajo un ngulo de 235650 g.

Calcular:

a) La distancia que existe desde el punto de observacin hasta la moneda en dm.

b) La superficie, en reas, del tringulo formado por el punto de observacin, el punto de tangencia,el centro de la moneda y el punto de observacin.

V

T

O

100.00g

Radio

Radio (12 mm)

23' 5

65

g

B

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5

55

,25

x

EJERCICIO 4:

La construccin de la famosa torre de pisa concluy en el ao 1.284. Al terminar se comprob que la partems alta de la torre se separaba de la vertical unos 90 cm. En la actualidad la separacin es de unos 5.00 m. y lalongitud de la torre es de 55.25 m.

Calcular:

a) El ngulo centesimal que forma la torre con la vertical.

b) El rea del tringulo de desplome en Ha. a. y ca.

EJERCICIO 5:

La altura de una colina es de 122563 m. sobre el nivel de un plano horizontal. Desde un punto A dedicho plano, se observa que la elevacin angular de la cima de la colina es de 631431 g.

Calcular:

a) La distancia en dm. que separa al observador del pico, en el instante que visualiza la cima de lacolina.

b) La superficie en Hm2De la figura formada por: el pico de la colina, el observador y la distancia alsuelo entre el pie y la cima de la colina.

1225,

63

V

C

P

63'143

g

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EJERCICIO 6:

Dos torres gemelas A y B, tienen la misma altura. Una persona que se encuentra entre ellas, en la

recta BBque une sus bases, observa la altura de la torre ms cercana bajo un ngulo de elevacin de 586984

g

.Despus de caminar 266348 m, en una direccin perpendicular a la recta BB, observa que los ngulos

de elevacin con los que divisa las cimas de dichas torres son: de 50gla ms cercana y de 413016gla ms lejana.

Calcular: (despreciando la altura del observador)

a) La altura de dichas torres en mm.b) La distancia total que las separa en cm.c) La superficie de la figura determinada por la cima de la torre ms lejana y los dos puntos de

observacin, en reas.

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