'\t~ FUNCIONES

~

Diagrama de la relación

F A~B

•2

-3

·4

.5

·6

Figura 1

4 - Y

3 , ,y = 3x - 2

x --------.-~+---~---

-1 -4 -3 -2 -1

t" Figura 2

~ 1.1 RELACIONES

/ Si AY B son conjuntos no vacíos, entonces cualquier subconjun­to F de A X B se llama una relación entre los conjuntos A y B.

El dominio de F, notado por Dom F, es el conjunto {x / (x , y ) E F} Y el rango de F, notado por Ran F, es el conjunto {y / (x, y ) E F}.

Por ejemplo, si e = {2 , 4, 6} YD = {l , 3, 5, 7}, una relación F de e x D es

F = {(2, 3), (2, 7), (4, 1), (6, 3)} .

Su dominio es el conjunto de todas las primeras componentes de las pare­jas ordenadas de F. Luego, Dom f = {2, 4, 6}_El rango de F es el conjunto de todas las segundas componentes de las parejas ordenadas de F. Luego, Ranf= {1, 3, 7}.

E;empfo

Dados los conjuntos A = {O, 1,2, 3} Y B = {2, 3, 4, 5, 6}:

a. Hallar la relación Fque cumple : "La segunda componente es igual a dos veces la pri mera com ponente más dos".

b. Escribir la fórmula.

c. Trazar el diagrama que representa la relación .

d. Hallar el dominio y el rango.

Sol ución

a. Se halla A x B = {(O, 2). (0, 3). (O, 4). (0, 5), (O, 6), (1, 2). (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6). (2, 2). (2,3). (2,4), (2, 5), (2, 6), (3, 2). (3, 3), (3,4), (3, 5), (3, 6)}

Las parejas que forman la relación Fson F = {(O, 2). (1,4). (2, 6)}

b. F = {(x, y) E A x B I y = 2x + 2}

l c. El diagrama de la relación se muestra en la figura 1.

d. Dom F = {O, 1, 2}. Ran F = {2, 4, 6}.

Relaciones funcionales

/ Una relación fes ztna !unciórl si 'v'(a, b) E f Y (a, c) E f, b = c; es decir, no hay dos parejas ordenadas diferentes con la misma pri­mera componente.

Por ejemplo,

• La relación f = {(x, y) / Y = 3x - 2} es una [unción pues no se pueden en­ <zcontrar dos parejas ordenadas distintas con la misma primera componen- ~ <

te (figura 2). :::!

<• La relación g = {(x, y) / x = i + 2} no es una [unción, pues si x = 3, enton- ~ , 2 ..

V1

ces, y = ± 1, es decir, (3, 1) E g 1\ (3, - 1) E g 1\ 1 =f. - 1. @

46

-ango

are­Jnto ego,

La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII yXVIII, en particular de Leonhard Euler, a quien se debe la notación

y = f(xl.

·n­<1:<1: zn- z 55 ...J

...J ¡::¡:: zz <1:fl ­ <1: VIVI @@

_____ --'..::;.;:::ONES FUNC1c:::= UNIDAD 2

Ejemplo

Escribir en palabras las relaciones descritas. Luego, hallar el dominio y el rango 1 de cada una e indicar cuáles de ellas son funciones. 1

la. F = {(x, y) I y = 3x + 2} b. G = {(x, y) I y = x2} c. H = {(x, y) I x = y2} Solución

a. F = {(x, y) I y = 3x + 2} equivale a decir, la segunda componente es igual a tres veces la primera componente más dos.

Dominio de la relación: Dom F = IR Rango de la relación: Ran F = IR

Como no hay dos parejas ordenadas diferentes con la misma primera componente, la relación es una función.

2lb. G = {(x, y) I y = x } significa que la segunda componente es igual al cuadrado de la primera.

Dominio de la relación: Dom G = IR Rango de la relación : Ran G = [O, col Como no hay dos parejas de la forma (x, Y,) y (x, Y2)' entonces es una función.

c. H = {(x, y) I x = y2} equivale a decir, la primera componente es igual al cuadrado de la segunda componente.

Dominio de la relación: Dom H = IR+ U {O} Rango de la relación: Ran H = IR La relación no es una función, pues las parejas (4, 2) Y (4, -2) pertenecen a ella.

Diferentes notaciones de función

Una función f de un conjunto X en otro conjunto Yes una correspondencia que asigna a cada elemento x E X uno y sólo un elemento y E Y. Los elemen­tos y E Y son las imágenes de x bajo f Las funciones se pueden notar así:

X -7 f

Y; f X -7 Y ; f x -7 f(x)

lo que significa que fes una función de X en Y. También se dice que f envía X a Yo que f envía x a f(x).

Por ejemplo, si f(x) = 3x - 1, entonces, f envía x a 3x - 1. Así el valor de la función f(x) cuando x = 2 es f(2) = 3(2) - 1 = 5.

La notación funcional tiene la ventaja de ídentíficar claramente la variable de­pendíente "y" y la variable independiente "x" .

Ejemplos

lo Evaluar la función f definida por f(xl = x2 - 5x - 6 si x = O, -1, 2, a, b - 1.

Solución

f(O) = 02 - 5(0) - 6 = O - O - 6 = -6 f( -1) = (-1)2 - 5( -1) - 6 = 1 + 5 - 6 = O f(2) = (2]2 - 5(2) - 6 = 4 - 10 - 6 = -12 f(a) = a2 - 5a - 6

b2f( b - 1) = (b - 1)2 - 5(b - 1) - 6 = b2 - 2b + 1 - 5b + 5 - 6 = - 7b

47

2. Dibujar la gráfica de cada función elaborando una tabla de valores.5

a. f[x) = x'- b. g(x) = Xl3

2 · Solución,.j¡ y

. x _ . + a. La gráfica de la función pasa por los puntos de coordenadas (x, f(x)). es decir, los

-3-2-'-, . '23 puntos de la forma (x, xl). Estos puntos se registran en una t3bla de valores así.

-2·

La gráfica de la función se muestra en la figura 3.Figura 3

Tabla de valores

9·

8 ·

, y

1 ~ 1 ~2 1 ~1 1 : 1: 1: I7 ­

6 ·

5 - b. La gráfica de la función g(x) pasa por los puntos de coordenadas [x, Xl).4 ­

3 ­ La gráfica de la función se muestra en la figura 4. 2 · ,. Tabla de valores

o' .~._ x -3 -2 - J , 2 r t

-2 ­ 1;1=:1=: 1 : 1 : 1 : IFigura 4

[- . ItmR1'~ATIVA ,.. ~;;;~nvA • ARGUMENlAflVA : .. _.__..._-----------~ ~ I Práctica 1

1. Si A = { 1, 2, 3} Y B = {4, 5, 6, 7}. Halla r las parejas que cum plen cada r·elaciÓn. Luego, hallar su dominio y su rang o.

a. R1: "La suma de la primera componente con la se­gunda componente es mayor que 7".

b. R2: "La segunda componente equiva le a la primera com ponente aumentada en 3".

c. R3: "El producto de la pri mera componente con lél segunda componente es un nLl mer-o im par'''.

d. R4 : "La suma de la primera co mponente con la se­gunda componente es un númer-o par".

e. R5: "La pr'imera componente equivale él la se gu nda co mponente dismi nuida en uno'~

f. R6: "La segunda co mpo nente es el doble de la p r'i ~

merél com ponen te".

Dad os A = {3, 6, 9,5, 12} Y B = {l, 2, 3, 4,5, 6} esui­bir una relación Rque cor responda a ca da conju nto de par'ejas ordenadas.

a. {(3, 3), (6, 6), (5, 5)} e. {(3 , 4). (5, 6)}

b. {(6, 3), (9, 6)} f. {(12, 6), (6, 3)}

c. {[3, 5)} g. {[3, 1), (6, 2), (9, 31. [12, 4)}

d. {(12,2l. [9 , l)} h. {(3, 1), (6,4), (5, 3)}

3. Da dos los conjuntos X = {l, 2, 3, 4, 5, 6} Y Y = {2, 3, 4,5,6,7, 8}. Representar cada una de las siguientes relaci ones en un diagrama.

a. T= {(x, y) I x = y + 2}

b. S = {(x, y) I x = y2} c. L = {(x, y) I x + y < 5}

d. M = {[x, y) I y ­ x = 2}

e. N = {(x, y) I Y = x2 + l}

f. H = {(x, y) I y = 5x - 2}

4. Indicar cuáles de las sigu ientes relaciones son funcio­nes. Luego, justificar la r· espuesta.

a. R, = {[l, x), [2, y), (3, y)}

b. R2 = {(l, xl. (2, yl. (1, y)}

C. R3 = {[a, b), lb, al. lb, el}

d. Si X = N, Y = N, R4 = {( x, y) I y = x + 5}

e. Si X= IR , Y= IR, R3 = {[x, y) I y = x2 - 1}

f. Si X = [R-I , Y = IR. R6 = {(x, y) I y2 = x + 3}

5. Evalu ar cada función para los valores que se indican.

a. f (x) = 3x2 + 1; pa ra f( -1), f(O), f(5)

b. f(x) = x ; 1, para f(1), f(~} f(b )

<z:s ...J ¡:: Z <\11

< ~

<

z· 5

@

48

-----

--

_____ ----'FU -" ONES-"'NCl"'-'..= UNIDAD 2

:s

Como x puede tomar cualquier valor, se dice que el dominio de { correspon­de al conjunto de los números reales. Dom { = IR.

y 3 - El rango de la función corresponde a todos los valores que puede tomar y al 2 - variar x en el dominio. Como y toma cualquier valor, se dice que el rango de

, 1 - ,¡ x { corresponde al conjunto de los números reales. Ran {= IR.

-3 - 2 -1 2; 3 -1 - Algebraicamente, el rango de una función se puede encontrar despejando x -2 - en la función. -3 ­

-4 · y =2x-5 Notación de función z ~ z ~ -7 ~ « :5 /- x= Como y puede tomar cualquier valor, se concluye que..... ...J ..... - 7 - 2 z ¡::: Ran {= IR (figura 5). z

'" ~

'" ~

@ Figura 5

49

1 . c. f(x) = -X2 + 5; para f(3). f(- 3). f(b + 1)

3

d. f(xl = 2x - ~ ; para f( -1). f(a), f ( ~ )

e. f(xl = 6X; 3; para f(-1). f(3m + 1). f( ~ )

f. f( xl = 5x2 - x; para f(2l. f(O). f(m2)

g. f(xl = 3x + 5; para f( - : ). f(a2 - a + 1)

6. Completar la tabla de va lores para cada fun ción. Lu e­go, realizar la gráfica.

a. f( xl = x + 6

b. f( xl = 2x + 1 3

c. f(xl = 4x2

x 1

3 O 4 -

5 1 8-

3 5

r(xl

x O -1 1 -

2 5 6 10

f(xl

x - 1 O 1

-2

1 3 -2

2

f(xl

d. f(xl = x3 + 1 x 1

3 -1 O 1

-

3 1 2

f(x)

7. Para cada par de conjuntos A y B plantear dos fun cio­nes f: A ---7 B.

a. A = {1, 2, 3}, 8 = {x / x ~ 10, x E N}

b. A = {2, 4, 6}, 8 = {2, 4, 6, 8, lO}

c. A = {x / x < 3, x E N}, 8 = {x / x ~ 5, x E

d. A = {x / x < 8, x E N }, 8 = {x / x ~ 4, x E N}

e. A = 8 = {x / xE N/x ~ lO}

8. Escribir el valor ele verdad de cad a afirma ción. Lueg o, justifi ca r la respuesta.

a. f(m + 1) en la función f( xl = 3ax + 2a es equiva­lente a a(3m + 51.

b. La fun ción f(xl 5x + 2 ti ene como imagen ~ cuando x = -.l. 4

2 c. Toda función es un a re lación.

d. Todas las ¡'el ac ionesse pueden representar en el pia­no ca rtesiano.

Dominio X ~ 1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCiÓN

x / Dada la (unción f: X ---7 Y, se define el dominio de f como el con­, junto de las primeras componentes de las parejas que están en f.

Se escribe Dom f. El rango de f es el conjunto de imágenes f(x) de los x EX.

Por ejemplo, el dominio de la función {(x) = 2x - 5 corresponde a todos los posibles valores que x puede tomar, para los cuales {(x) está definida .

Gráfica de la función 2 1f (x) = -x +­5 2

t y5 ­

04 í

J ~ - ~ ' /~

, , x -"- -, , 2 3 4 5 6

~~ 1

Figura 6

Las funciones polinómicas de la forma f(x) = anxn + ... + an tienen como dominio implícito al conjunto de los números reales IR.

Gráfica de la función g(x) = 3x2 + 1

y 6 ­

51

X .+-­1--.. I

-3 -2 -,

-' 1 -2 ­

Figura 7

Dom inio y rango de funciones sencillas

Siempre es posible calcular el dominio y el rango de cualquier función poli­nómica, al observar su ecuación o su representación gráfica.

Ejemplo

Calcular el dominio y el rango de las siguientes funciones. Trazar su gráfica. 2 1a. f(x) = -x + ­5 2

b. g(x) = 3x2 + 1

c. h(x) = 2.0 + 5x2 - 5

Solución

a. Como la función corresponde a una función lineal, x puede tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales. Luego,

Dom f= ~

Por otra parte, f(x) = l.x + .l Tabla de valores 5 2

2 1V = -x +­5 2

2 1-x = V- ­

x O 2 5

f(x) 1 -

2

13 -

10

5

2

5 2

x=2t-2. 2 4

de donde Vpuede tomar cualquier valor en el conjunto de los números reales, luego

Ran f = [R

La gráfica de fse muestra en la figura 6.

b. La función corresponde a una función cuadrática, x puede tomar cualquier valor en el conjunto [R. Luego,

Dom 9 = ~

El rango se puede hallar así:

g(x) = 3x2 + 1 Tabla de valores

V = 3x2 + 1

3x2 = V - 1

x2 = .t.=..J..

x O -1 1

g(x) 1 4 4

3

x= J~ 3

Gráficamente se puede observar que x puede tomar cualquier valor sobre el eje x, mientras que las imágenes de x están únicamente a partir del punto (O, 1). Así, oC(

z S <

Ran f = ['1, (0) ¡:: -' = z

oC( c.La gráfica de g(x) se muestra en la figura 7. '" @

50

______ FUNC~~ UNIDAD 2~~IONES

1c. h(xl = 2.0 + Sx2 - S

La función h es polinómica, por tanto

Dom h(xl = IR

Al trazar la gráfica de la función h(xl, se observa que recorre todo el eje y; luego, Ran h(xl = IR. La gráfica de h(xl = 2.0 + Sx2 - S es la siguiente

1

Tabla de valores

2 ­

1 ­

x· -2 -1 O 1 2

h(xl - 1 -2 -S 2 31

x ~

2 4 5

I - =----:::-----,

~mRl'RmIIVA • PROPOIlIIVA • ARGUMENIAllVA i ~ Práctica 2

3

Determ inar el domin io y el rango de cada una de las si ­presentadas en cada gráfica.

1. Determinar el domin io y el rango de las funciones re­gu ientes fu nciones.

a. f(xl = 3x + 1 1. f(xl = - 2x2 - 1 a. d.;1'

b. f (xl = 4x2 - 1 j. f( xl = 2x4 - 1

c. f(xl = 8x + S k, f( xl = sx3 - 4

d, f( xl = sx2 l. f(xl = 2x2 + 6\ '~7-4

e, f(xl = 7.0 + 8 m. f(xl = x + 6: ~ l x2 f. f( xl = ~x n. f(xl = ­

e.b. S 2 4

3­ g. f( xl = x + 8 o. f(xl = 3x3 2 5

x _, ~I~ 2x21 ' 3 4 - 3~237 h. f(xl = 3x + ~ p. f(xl = - + 5

-21 S 3 -3­ Indicar el error cometido al calcu lar el dominio y el ra n­-4

go de cada f unción. f. )'c. a. f( xl = 4x2 - 34 ­

3 ­ Ya que la f unción es cuadrática, Dom f = ,y

f( xl = 4x2 - 3 x ~---1--L L x« ---.--+ • y = 4x2 - 3Z « -3 -2 -1 -3 -2 - 1J I 1 2 3 4

:3 Z .... :3¡:: .... -2 ­ 4x2 = y - 3

¡::z z : ~ I -3 ­« « 4- -4·'" '" ­

x2 = ~ 4

x= JY ~ 3

@ @ el rango de la fu nción es Ran f = [3, cel

51

b. f( x) = 5x + 4

Ya que la función es lineal, Dom f = R y

((x) = 5x + 4

Y = 5x + 4

5x = y - 4

4x= y-­5

el rango de la función es Ran f= [-4, x )

4. Escribi r una función que tenga el dominio y rango que se indican a conti nuación.

a. Dom = IR, Ran = IR

b. Dom = IR, Ran = [-5, x )

c. Dom = IR+, Ra n = IR+

d. Dom = IR, Ran = [O, x )

e. Dom = IR- {O}, Ran = IR - {O} 04

f. 00111 = IR, Ra n = IR

g. Dom = [8, xl. Ran = nr h Dom = IR - , Ran = IR +

5. Una página cuyas dimensiones son 24 cm de ancho y 33 cm de largo tiene un margen de ancho x, que rodea el material impreso.

f- 24 cm ----1

O"~:::;.J....' :,.;:,;.. IjJII tII ""' ~ ,... 1'" ......~ 110'

~ ..,..~,,~.,J1"''''F' X _.~ , _

;SEtoj .· ­33 cm

~J a. Escribir una fórmula para el área A de la reg ión im­

presa en función del ancho x del ma rgen.

b. Encontrar el dominio y el rango de A

c. Hal lar el área de la pa rte impresa para anchos cuya margen sea

• 1 cm • 2 cm • 3 cm

d. Si las dimensiones de la página fueran (24 + y) cm y (33 + y) cm, ¿cuál seria la fórmula para el área A de la región impresa en función del ancho x del mar­gen?

f(x)=~

y3- :-Dominio_

1 2­Rango 1­

, xI . ----­3 4 5 6-2 -~ 1­

-2 ­

Figura 8

Dominio y rango de funciones con alguna restricción

Hasta ahora se han trabajado funciones en las cuales el dominio es el conjun­to de todos los números reales; pero es posible encontrar otras funciones cu­yo dominio depende de los valores de x para los cuales la expresión matemática dada está definida. Así, Dom (= [2,00)

Por ejemplo, para hallar el dominio de la función {(x) = ~ se debe te­ner en cuenta que las raíces pares de números negativos no existen en IR, es decir, el dominio de { estará fonnado por todos los valores para los cuales x - 2 es mayor o igual que cero. Así Dom (= [2,00)

El rango de { se halla despejando x en la expresión y = -Vx'=2. Luego, x = y2 + 2, por lo tanto,

Ran (= [0,00) (figura 8)

Es importante anotar que para hallar el rango de una función no siempre es posible despejar x en ténninos de y, pues puede suceder que dicho proceso requiera de otros conocimientos más avanzados que los vistos hasta ahora. En estos casos, se recurre a la gráfica de la función, la cual pennite visuali­zar los valores de y donde la función está definida.

Por ejemplo, g(x) = Yx2 - 6x - 8

52

<: z<: <:z -~

....1 ¡::: z

<:z <: '" ©

Gráfica de f(xl = _1_ x-2

x

Figura 9

La gráfica no corta la recta vertical que pasa por x = 2 ni el eje x.

G 'f' d (l 3x - 2ra Ica e g x = - ­x +3

) :¡ 71Y

: 41-----¡------~r------­

~:_ . 1 ¡ / x

-5 -4 -~ -2 -1~ ) -3 ­

-4 ­

~: I Figura 70

La gráfica no corta la recta vertical que pasa por x = -3 ni la recta horizontal que pasa por

« y = 3. « z z :3 ......:3 ¡::....J ¡::. z Z « « Vl '" © i\!>

_____--'F""..::::""= UNIDAD 2UNCIONES

Ejemp(o

Hallar el dominio y el rango de cada función. Luego, trazar la gráfica. 1 1 a. f(x) = -- c. h(x) = -'2~-

x-2 x-4

3x - 2b. g(x) =-- d. j(x) = vi=-x

x + 3 4-x

I Solución

a. La función f(x) = _1_ no está definida para x = 2 pues x - 2 = O cuando x-2

x = 2. Luego, Dom f(x) = IR - {2}.

Por otro lado como y = f(x) entonces 1 y=-- Sustituyendo

x-2

x-2=-.l Operando y

x=-.l+2 Despejando y

Luego, x E IR si y sólo si y -=1= O. Por consiguiente, Ran f(x) = IR - {O}.

La gráfica de f se muestra en la figura 9.

b. La función g(x) = 3x - 2 no está definida para x= -3; luego, Dom g(x) = IR - {-3}.x+3

El rango de g(x) se puede hallar despejando x. Como y = g(x) , entonces

3x - 2 y=~ Sustituyendo

y{x + 3) = 3x - 2 Operando

xy+ 3y= 3x- 2

xy - 3x = - 3Y - 2

x(y- 3) = -(3y+ 2)

(3y + 2) x= - Despejando

y - 3

Luego, x E IR si y sólo si y -=1= 3. Po r consiguiente, Ran g(x)

La gráfica de 9 se muestra en la figura 10.

c. La función h(x) = xl 1 es equivalente a la función h(x) - 4

luego, h(x) no está definida para x = -2 ó x = 2.

Por consiguiente, Dom h(x) = IR - {-2, 2}.

El rango se puede determinar a partir de la gráfica.

53

= IR - {3}.

= 1 ,(x + 2)(x - 2)

Para trazar la gráfica se debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

• La función no está definida para x = -2 Y para x = 2.

• La función nunca toma el valor O, lo que significa que no corta el eje x.

• La función corta el eje y cuando x = O; es decir, y = _.l. 4

• Otros valores se muestran en la siguiente tabla.

Tabla de valores Gráfica de la función

x h(x)l

-4 1

12

- 3 1

5

-1 1

3

1 1

3

3 1 -

5

4 1 -12

j y La gráfica muestra - 4

claramente el dominio de la función h(x) = IR - {-2, 2}.~: ' : . [: : El rango de la función

• l . :1 h(xl es IR - {O}.

-4 -3 r:?\' .-- x-~ ' ' '....¡~: _ _,' ~ 3 4

, ' : - -2 ;

- -3

- -4

d. La función j(x) = _~ está definida si y sólo si 4 - x > O, de donde: 4-x

Y3­2- ) , 4-x > 0<=>4 > x 1- : -~ ' , x <=>x < 4

-4 -3 -2 -, , 2 3 ~ . ­-,

Por consiguiente, Dom j(x) = (- 00,4).-2¡

El rango se puede determinar a partir de la gráfica de figura 11.Figura 77

Ran j(x) = (O, (0).

Es posible determinar el dominio y el rango de una función a partir de la grá­fica que la describe.

Ejemplo

Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyas gráficas se muestran a continuación.

a. y b. c. , y Y 5- 3- 3 ­

o 2~ h (x)

~ .~., ~x} ¿,' /32-· \ ((x) x -4 -3 -2 -, , 2 3 4 -4 -3- -'2 _', I ~ x ._, _ 2 3 4,- -, ­

x -2 -« z ,'!

-3 2 -, - ' - 2- 3- -2 ­1 -, - ¡ ~ "<

-' -2­ ~ «

VI

@

54

______..:.:FUN.:::::.:.:ES:.:.:CION.:::: UNIDAD '}

So lución

a. La función que corresponde a la gráfica está definida para todos los valores de x, luego

Dom f(x) = IR

Como la función no toma valores mayores que 4, se puede afirmar que el rango corresponde a todos los valores de y menores o iguales que 4; luego,

Rán f(x) = (- 00, 4].

b. La función que corresponde a la gráfica está definida para los valores de x mayores o iguales que -3; luego,

Dom g(x) = [-3, 00).

Como la función no toma valores por debajo del eje x, se puede afirmar que el rango son todos los valores de y mayores o iguales que cero. Luego,

Ran g(x) = [O, oc) o IR+ U {O}.

c. La función correspondiente a la gráfica está definida para los valores menores o iguales que 4. Luego, Dom h(x) = (- 00,4].

Como la función toma valores inferiores o iguales a 2, entonces Ran h(x) = (- CXJ, 2].

~ Práctica 3 1. Encontrar el dominio y el rango de las funcio nes que

corresponden a cada gráfi ca.

a. i].tYi d. 4 :. [Y'l13 · ¡ " : 3 :

. :·2 : 2 :­, , , : 1 : - ,- -- - - - -1· - - ~- -- - - - ;

-t - 1 --=:lT.-, . I 2 3 - 1· :-~ 2 -:'/2 ; . -2 - : , ,

: 3 : -3 :

: 4 - 4 ',

b. e. 4

á­

-'S;\'-2 .

-3 f -3 -2 - , , 2 3 x -4 -, i

c. IY f. 7 - 7 ·

6 - 6 ­

5 ­4l 4

<l: 3Z <l:

5 z ...J 5 ¡:::: -' ¡:::: xz <l: Z --3

-.---7h' -2 -, I 2 3 4 x -2 -, , 2 3Vl <l:

Vl@ -, ¡ -, @

e;1DlPREl~TrvA • PRoposnrvA • ARGUM¡NTAm'A

2. Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguien ­tes f unciones.

1 5 a. f(x)=- h. f (x) = xi­x-3 2 +1

b. f(x) = vX+2' 1. f(x)=~

c. f[x) = V2X+1 J. f[x) = V6=2x

2 1d. f(x) =- k. f(xl = vX

x

f(x) = 4x + 1 f(xl = x + 1e. l. x + 2 x-1

2 1f. f(xl =-2- m. f(xl = -2-­

x - 9 x + 1

1 1 g. f(xl=~ n. f(xl = x + ­9 - x x

3 . Determinar si el dominio y el rango dado para cada f un­ción es el correcto. Justificar la respuesta.

a. f(x) = _1_ b. g(x) = 'V'7+5 x + 1

Dom g[x) = {5, x } Dom f(x) = IR - {-1 } Ran g[xl = {O, ro} Ra n f(xl = IR - {O}

55

c. j¡ = \ X2 - 2x + 1 f. ¡(xl = -vx=2 '::::¡IT ,¡( x) = R Dom ¡(xl = IR - {2}

Rafl f7(x) = ~ Ran I(xl = ~

( ) . 2x ~ 1 4x o. I X=-- g. k(xl = ­x +S x + 6

Dom ¡(xl = IR Dom k(xl = IR - {6}

Ran ¡(xl = IR - {2} Ran k(xl = IR - {4}

1e. j(xl = _6_ h. k(xl = -2­x +3 . x + 1

Dom j(xl == IR - {3} Dom W(xl = IR

Ran J(xl = IR - {O} Ran w(xl = IR+

4 Realizar el bosquejo de la gráfica de una función con las co ndiciones que se indican en cada caso.

a. Dom f(xl = IR

Ran f(xl = IR - {1}

FUNCIONES BIYECTIVAS

b. Dom g(xl == (O, xl Ran g(x) = IR

c. Dom h(xl = IR - {s}

Ran h(x) = IR - {S}

d. Dom ¡(xl = IR Ran ¡(xl = IR+ .

e. Dom j(xl = (-2, SJ U [6, oc)

Ranj(xl = (- so, 3l

f. Dom k(xl = IR - {8}

Ran k(xl = [-2, 2J

g. Dom I(xl = IR ­ C} Ra n ¡(xl = IR - {~ }

Interpretación geométrica de una función ;nlJect;va

2 _ ' f I

1 - ./

I , /, ... __ x

-3 -2 -1' 2 3 , -1 ­

-2 ­

La función f es invectiva si al trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica a lo sumo en un punto.

\. 2.1 FUNCIONES INYECTIVAS O FUN CIONES UNO A UNO '--'

/ Una {unción f con dominio el conjunto X se llama (unción inyec­tiva o uno a uno si no existen dos elementos distintos de X con una misma ilnagen.

En símbolos, Si x¡ i= x2' entonces, f(x¡) i= f(x2) o

\fx¡, x2 E X, si f(x¡) = f(x2) => x¡ = x2.

En los siguientes diagramas se representan una función inyectiva y una fu n­ción no inyectiva.

Función inyectiva Función no inyectiva

A B C D 9

1· 1· ·2

2· · 7 2· ·4

3 · ·4 3· ·6

4· ·2 4·

En {se observa que elementos diferentes del dominio tienen imágenes di f~ ­rentes en el codominio. Cuando se verifica esta condición se dice que la fu n- s ción es inyectiva o uno a uno.

Por otro lado, la función g no es una función inyectiva, ya que elementos d.i- ~ ferentes del dominio tienen la misma imagen en el codomio.

56

______---'FU '-" ON~-"-'N CI'"'"'-'= UNIOAC L

-

, 0­

fe­o:('-LO- z ::5 .... ;:: zdi- o:( Vl

@

En la notación f:A~ B

A es el dominio y B es el codominio

o:( z ::5 .... ;:: z o:( Vl

@

Eiemp(o

Indicar si las siguientes funciones son invectivas o no. Luego, trazar su gráfica.

a. f(x) = 2x - 1

b. g(x) = x2 - 2

Solución

a. La función f(x) es invectiva, pues: .----~~---- x

,-, ­f(x ) = f(x ) ~ 2xl - 1 = 2x - 1l 2 2 -3 -2 2 3

~ 2xl = 2x2

~ xl = x2

Lo que muestra que la igualdad de imágenes implica igualdad de preimágenes.

b. La función g(x) no es invectiva, pues existen números diferentes en el dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo, -1 V 1.

- -'r-- -t---+-- x

Así, -1 * 1 sin embargo, f(-l) = f(1) = -1.

~2.2 FUNCIONES SOBREYECTlVAS

/ Una {unción fes sobreyectiva si el rango de f y el codo minio de f son el mismo conjunto.

Si todos los elementos del codominio de {son imágenes de por lo menos un elemento del dominio de f, se dice que

Ran { = Codominio {

En los siguientes diagramas se representan una función sobreyectiva y una función no sobreyectiva.

Función sobreyectiva Función no sobreyectiva e D

En h se observa que todos los elementos del codominio o conjunto de llega­da son imágenes de por lo menos un elemento del dominio. Cuando se veri­fica esta condición, se dice que la función es sobreyectiva.

Por otro lado, la función j no es una función sobreyectiva ya que existe un ele­mento en el codominio que no es imagen de ningún elemento del dominio.

57

Ejemp(o

Determinar cuáles de las siguientes fUllCU :'~ ! ::í. : ~ " ::..::... ~

a. f: ~ --1 :=~ .~ ~ 1...-:...

x --1 3x - 4

Solución

a. La funció n f(xl = 3x - 4 será soore-.t( ~ " := ~ ~ :: codominio, A.

y = 3Y - ::. _--s ::: ~ ~ :~ J-:O

y, 4 = 3x _ ... t-:¿ .... .]ü

y..,.. 4 _ 5t:~. ; r.:JV 't

3

se ~ ' ' _Como no existe ning una rcstr 'criór (So ,m: ~<: , mor era q Ué ....... t - e

el rango es el conjunto de los ,- _W e ';:;~ r:::o ':"S.

Luego, Ran f (xl = :=_ = codomr ') .: _Jqo - C"S soorevect iva.

b.La función g(xl = Xl - 1 (,O es sobre-yecti .'(j va q~. e su rango no cOincide con 1:=_. ,=-:0.'

y = g(xl ~ . = x'- - 1 Sustituyendo

~ Xl = y - 1 Despejando

~ x = ±.vy=--l Luego, x E IR; si Y sólo si y - 1 ? 0, de donde y? 1.

El rango de la función g(xl es [1, xl. Así, Ran 9 = [1, ool -=1= codominio g.

Luego, 9 no es sobreyectiva.

~ 2.3 FUNCIONES BIYECTlVAS

/ Una función f de X en Y es biyectiva, si y sólo si, f es illyectiva y f es sobreyectiva. f: X --1 Y no es biyectiva si y sólo si f no es il1yec­tiva o f no es sobreyectiva.

Ejemp(o

Determinar si la función f: R --1 IR; definida por f(xl = X3 - 1 es biyectiva. Trazar la Gráfica de f[xl = Xl - 1 gráfica.

v Sol ución - 4

• ¿La función f(xl = X3 - 1 es invectiva? - 3

- 2 f(x1l = f(x2l ~ x1 3 - 1 = x2

3 - 1

x 3 =x 3 - 1 / x

~ 1 2

-2 -1 ~ Vx}=~/ 1 1 2/ - 1

/ x1= - -2

x2 Luego, f(xl es invectiva.

- -3

• ¿La función f(xl = ,x3 - 1 es sobreyectiva?

si y = f(xl ~ y = X3 - 1

~X3=y+l

~ x= -\!~

Luego, Ra n f = : _ = ':: U'-IV¡",,",.u < 3. z « zLuego, f(xl es sobreyec .". < ::J :3

-'

< ~En conclusión, la función f(xl = X3 - 1 es biyectiva. La gráfica -se Ilhles:ra ero z z

Vl «Figura 1 figura 1. .;:

@

58

VI

~ Práctica 11 1. Indicar cuáles de las siguientes gráficas corresponden a

funciones invectivas.

a.

2....x

_\

b. y 7e 6 1

Ts, 4­

3­

2 ­

,­-3 -2 -,­ ,­

y 7 ­

6­

5 ­

4 ­

3 ­

2 ­

2 34

3

x 5

d. y 4 ­

3 ­

-4­

e. y 7­

6­

5­

4 ­

3­

x 2 3

f. y 6­

5­

y-­,/ .. 'j L , ;...f

-] -2 -1 1 2 3-,[ -2

1

2. Determinar si la función dada, es una función invectiva.

a. x 1 2 3 4 5 6

f(xl 1 4 9 16 25 36

la b. , x 2 3 4 5 6

f(xl 1,5 2,1 3,6 5,3 2,8 2,1

a? c.

x 1 2 3 4 5 6

f (xl 1 1 -2

1 -3

1 -2

1 -3

1

<1: <1: 3. Ind icar cuáles de las siguientes funciones son invectivas. z z:5 a. f(xl = 2x + 5 c. f(xl = x2 - 5-' :5 ¡:: -' ¡::z

Z 1<1: b. f(xl = 3x + 6 d. f(xl = -Vl <1: ©

Vl x©

FUNCIONES UNIDAD 2

~==~====~=-• INTERPRETAnVA PROPOS"IVA . ARGUMmAnlVA

e. f(xl = 0 + 6 h. f(xl = 1 - ;[>

f. f(xl = vX+2 i. f(xl = _4_ x+3

g. f(xl = v'1=X j. f(xl = 4x2 - 1

4. Identificar cuáles de las siguientes funciones son sobre­vectivas.

a. f(xl = .lx + 6 f. f(xl = x + 1 4 2x

b. f(xl = vX+2 g. f(xl = 15x + 4

c. f(xl = 5 + 3x h. f(xl = -vx-=-3 d. f(xl = x2 - .1. 1. f(xl = 2x + 5

3 4

e. f(xl =,0 + 4 J. f(xl = x2 + 5x + 6

5. Escribir V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Justificar la respuesta.

a. La función f(xl = 5x + 3 es una función invectiva, va que no existen dos elementos de x con una mis­ma imagen.

b. La función f(xl = x2 + 5 es una función sobrevec­tiva porque Ran f(xl = IR = codominio f(xl .

c. La función f(xl = VX+2 no es una función sobre­vectiva porque Ran f(xl *- codominio f(xl .

d. La función f(xl = x2 es una fllnción bivectiva, por­que es invectiva Vsobrevectiva.

e. La función f(xl = x + 4 es una función sobrevecti­va porque Ran f(xl = IR = codominio f(xl .

f. Las funciones cuadráticas son funciones sobreyec­tivas.

6. El gerente de ut) centro comercial sabe que si cobra x can tidad de pesos por un local, en tonces, el número de locales que puede arrendar está dado por la expresión f(xl = 200 - 4x.

a. Determinar si la función f(xl = 200 - 4x es una función invectiva.

b. Analizar si la función es sobrevectiva. Explicar el por qué.

c. Completar la tabla de valores de la función.

x 20 4010 30

f{xl

d. Graficar la función f(xl .

50

59

- -

FUNCIONES PARES, IMPARES, CRECIENTES, DECRECIENTES

Función par

J x

-2 ­

Figura 7

Función impar

y 3 ­

2 - )

1 ­

--+-I-~ --+--+ ,~ -3 -2 -1 1 1 2

¡-1

, ­

-2 ­

Figura 2

Función creciente

y

:('l;J---~¡ Ix,J- - - , :

, ' , '

Xl X2 x

Figura 3

Función decreciente

y .

I fIXl~---' flX)L 2 :-"1----­

1 : : ¡

Figura 4

Además del uso de la tabla de valores, otro medio que permite trazar la gráfi­ca aproximada de una función consiste en determinar si esta es par o impar.

~ 3.1 FUNCION ES PARES

/ Se dice que una función f es par, si f( -x) = f(x), 'Vx en su dominio.

Gráficamente, una función f es par si es simétrica respecto al eje Y, como se muestra en la figura 1.

~ 3.2 FUNCIONES IMPARES

/ Se dice que una función f es impar, si f( -x) = -f(x), 'Vx en su dominio.

Gráficamente, una función f es impar si es simétrica respecto al origen, co­mo se muestra en la figura 2.

Ejemplo

Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o no cumplen ninguna de las dos condiciones.

a. f(xl = X3 + x b. h(xl = x2 - x

Solución

a. En la función f{xl = X3 + x, f(-xl = (-xl 3 + (-xl = -X3 - x = -(X3 + xl = -f(xl. Luego, f(xl = X3 + x es una función impar.

b. En la función h(xl = x2 - x, h(-x) = (-x)2 - (-xl = x2 + x"* h(xl y x2 + x"* -h(xl. Luego h(x) no es ni par ni impar.

~3.3 FUNCIONES CRECIENTES Y FUNCIONES DECRECIENTES

/ Una función f es creciente en un intervalo J si 'VxI' x2 E J, XI < x2' implica f(xl) < f(x2)'

Una función f es decreciente en un intervalo J, si para todo Xl' x2 E J, Xl < x2' implica f(xl) > f(x2)'

La grafica de una función creciente y de una función decreciente se muestran en las figuras 3 y 4.

Función constante

/ Una función f es constante en un intervalo J, si 'Vx¡, x2 E J, f(x¡) = f(x2) '

La gráfica de una función constante es paralela al eje x.

60

<: « z z < ~ ...J

~ z Z <: « "' 11>

@

x

-1

______-..::FU~CIONE5N:2:~= UNIDAD 2

t Práctica 5 1. Determinar cuáles de las siguientes funciones son pa­· gráfi­

res, cuáles son impares y cuáles no cumplen ninguna de:mpar. las dos condiciones.

a. f[xl = x2 + 5 f. f[x) = ~ + 4

b. f[xl = ~ + x - 6 g. f[xl = 2x2 + 6

c. f[xl = xl + x + 1 h. f(xl = x - 1 no se

d. f(xl = [x + 3]2 1. f(xl = Vx - 1

e. f[xl = 2 J. f(xl = -3~ + 6 x 2

2. Observar las gráficas e indicar cuáles corresponden a funciones pares, cuáles corresponden a funciones impa­res y cuáles no cumplen ninguna de estas condiciones.

1, co­a. y d. y

5- 5­

3- 3 ­

1a

4-- ~

4

~ ~

-

/ , 'JI-3~'2 1 2 3 x

t x -3 -2 - 1-1- 1 2 3-1­

-2- -2 ­1?r " /

-3- -3 ­

b. y e. y 5- 5­

4 ­4-/ I-

x " 1__ -: -,¿r,¡-; '

2~

-3 -2 - 1_1 - 1 2 3~ ~ -2 - / ' -2 ­

-3- -3­

c. y f. y 5- 5 ­

4- 4­

3 ­

x ,~J~ -3 - 2 - 1_1 _ 1 2 3

-2 ­

-3­

< 3 a. Si P(4, 2l E fy fes una fu nción par, en rel ación con ~ . p, ¿cuáles son las coordenadas de otro punto Q, tal -' ~ que Q E f? ~

b. Si M(4, 2l E 9 Y9 es una función impar en relación con M. ¿cuáles son las coordenadas de otro punto N, ta I q u e N E g? ..

c. Si R(4, 2l E h Y h es una función que no es par ni impar. ¿Es posible que 5(5, 2) E h? ¿Por qué?

4. El dominio de la función que aparece en la gráfica es el intervalo [ -6,6].

y 10­

8 ­

;~ r\ /

~ ,~,-! -8 -6 -4 -2_2 _ 2 4 6 8

-4 ­

-6 ­

a. Completar la gráfica para fsi es ~na función par.

b. Completar la gráfica para fsi es una función impar.

5. Para cada una de las funciones, determinar los intervalos en que la función es creciente, decreciente y constante.

a. y c. y 5- 5­

4 ­

3- ;~ í\ ~ \

1­

-3 -2 -1_1_ -1 3 4 5 - 1­

-2- -2­

-3- -3­

b. y d. y 4- 3­

3- 2­

1­x

-3­

-4­

6. Una ventana tiene forma recta ngu lar. Si el perímetro de la ventana es de 90 cm.

a. Expresa r el área de la ventana en función del ancho x de ella.

b. ¿La función planteada es una función par? ¿Por qué?

@-------------------------------------------------------------------------­61

,

'\t~ .f CLASIFICACiÓN DE FUNCIONES ~

Una función lineal es afín, si su gráfica no pasa por el punto (O, O).

Las funciones reales se clasifican en: funciones polinómicas, funciones racio­nales, funciones radicales, funciones trascendentes y funciones especiales.

~4.1 FUNCIONES POLINÓMICAS

Función constante

/ Una función constante es aquella en la cual f(x) = k, k E IR.

El dominio de una función constante es IR y el rango es k.

Por ejemplo, f(x) = 3

¡:)t11 : I ~ I : I La gráfica de una función constante es paralela al eje x .

Función lineal

y - 4

;¡

- 2

- 1

__+-~~_I~~~X -3 -2 -1

--1

/ Una función lineal es aquella cuya gráfica describe una línea recta.

El dominio de una función lineal es IR y el rango es IR.

Por ejemplo,f(x) = 2x + 1

- 4xl-l 10 1213 1 y

13If(x)I-1 1 1 I 5 I 7 I

x I - I -/-I

-2 - ¡I 3 4 --1

Función cuadrática

/ Una función cuadrática es aquella de la fonna f(x) = ax2 + bx + c, con a =1= o.

Se pueden presentar tres tipos de funciones cuadráticas.

• Si b = c = O. Entonces f(x) = ax2 y la gráfica es una parábola con vértice .· en el origen.

• Si b = O, c =1= O. Entonces f(x) = ax2 + c y la gráfica es una parábola con vértice en el punto (O, c). ~ <

~ • Si b =1= O Y c =1= O. Entonces f(x) = ax2 + bx + c. Al completar el cuadrado ª

perfecto se puede obtener la ecuación f(x) = a(x - h)2 + k, con h, k E IR . ~ ~ VI ..

Luego, la gráfica es una parábola con vértice en (h, k). o

64

~cio­

les.

:ice

.:on ct Z

:5....:.do ¡::: z:::2. ct

@'"

f(x) = 32 + 24x + 50

6 7

5+

4­

3­

J 2 ­

/ y

1 ­x , , I

o-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 ­

Figura 1

También se puede determinar el vértice de una parábola de la forma f(x) = ax2 + bx + e, mediante la expresión

V(h, k) = (- 2ba' f(- 2

ba))

ct z :5.... ~ ct '" o

fUNCIONES UNIDAD 2 ------------~~=

Ejemp(o

Hallar el dominio de la función f(x) = 3x2 + 24x + 50. Luego, trazar la gráfica correspondiente.

.. Solución

f(x) = 3x2 + 24x + 50 => f(x) = 3(x2 + 8x) + 50 Factorizando

=> f(xl = 3(x2 + 8x + 16) + 50 - 48 Completando el cuadrado

=> f(x) = 3(x + 412 + 2

Luego a = 3, h = -4, k = 2.

En general,

• El dominio de una función cuadrática es el conjunto ~ y el rango es un intervalo de R

• Para trazar ,la gráfica de una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx + e, se transforma f(xl = a(x - h)2 + k. El punto (h, k) es el vértice de la parábola. Si a> O, la parábola abre hacia arriba y si a < O la parábola abre hacia abajo.

Otros valores se presentan en la siguiente tabla de valores:

-4 -2 -1x -6

14 14f(xl 2 29

ILa gráfica aproximada de la función se presenta en la figura 1.

/ En general, una función polinómica es aquella de la forma

f(x) = anxn + an -1 xn - ¡ + ... + a¡x + aO

con an =F O, n E Z+, Y aO' al' a2' ... , an constantes, llamadas coeficientes del polinomio.

El dominio de una función polinómica será el conjunto ~ y el rango será un intervalo de ~.

La gráfica de un ,polinomio es una curva suave y continua. La palabra suave significa que no tiene cambios bruscos.

Algunas gráficas de funciones polinómicas son:

Polinomio de grado par Polinomios de grado impar

y y y

;J x xI ,~

a > O an > O a < On n

65

x

,

~4.2 FUN.CIONES RACIONALES

/ Una función fes fimción racional si ~-

x ~ a: x tiende a a. = P(x)f( ) x ~ a-: x tiende a a x Q(x)

por la donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) *O izquierda.

f(x) ~ 00: f(x) aumenta El dominio de f está formado por todos los números reales excepto los ceros

sin límite o f(x) del polinomio que está en el denominador.tiende a

infinito. 8Por ejemplo, las funciones f(x) = _1_, g(x) = 2 3 4 Yh(x) = x~ - 9f(x) ~ -os: f(x) disminuye x-2 x - x +

..! ., ::.sin límite o f(x) son funciones racionales y sus dominios son Dom f IR - {2}; Dom g: IR - {-2, 2}tiende a menos YDom h = IR.infinito.

Los símbolos 00 (infinito) f-5El rango de una función racional puede determinarse al trazar su gráfica. y -00 (menos infinito) no representan números

Gráfica de una función racionalreales. sólo indican cierto tipo de comportamiento de Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta funciones y variables. los valores para los cuales la función no está definida.

• Asíntota vertical La recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función racional f, si f(x) --7 00 o si f(x) --7 - 00 cuando x tiende a a por la izquierda o por la derecha.

/ Luego, si a es un cero del denominador, entonces, la gráfica de l~ función f tiene una asíntota vertical en x = a, siempre y cuan­do el numerador y el denominador de la función racional no ten­gan un factor común.

• Asíntota horizontal

La recta y = c es una asíntota horizontal de la gráfica de una función ra­cional f, si f(x) --7 c cuando x --7 00 o cuando x --7 - 00 .

Dada la función racional f definida por n n - 1 +

fi _ anx + an - 1 x + ... + aIx ao P(x) I (x) - 1 m b m 1 b b

I~ + m - 1 x + ... + IX + O Q(x)

Se puede afirmar que: ~ :"

: 3- : ' ¡!~JY ' • Si 1'1 < m, entonces, la función f tiene una asíntota horizontal en la recta , : 21 ' : , , , , , y = O(eje x). , , x, '

• Si 1'1 = m, entonces la función f tiene una asíntota horizontal en la recta n

,

T,

(' . m

-+-' -1-1-a

\ 3.-¡ ' y= b' <1: «:, -2 t' :, z zI ~3 I',, , ,. • Si 1'1 > m, entonces, la función f no tiene asíntota horizontal. ~ :5

: . -4 - : ...J ¡:: =

x=-2 ¡ x=2 . z zPor ejemplo, la función f mostrada en la figura 2, tiene dos asíntotas vertica­ <1: « VIFigura 2 '" @I .Qles y una asíntota horizontal.

66

--

Principios de fjra(icación

l· Determinar los ceros reales del numerador y del denominador, es decir, f(x) = OY f(x) no está definida.

2:' Hallar la asíntota eros

verticale, si existe. 3' Hallar la intersección de

f con el eje y, es decir, f(O).

4' Hallar la asíntota ·2, 2} horizontal si existe.

5° Obtener otros valores si es necesario y trazar la:a. gráfica con los puntos obtenidos y las asíntotas.

lenta

. alf, ::chao

" ra-Las gráficas de las funciones racionales podrán ser más complejas a medida que aumentan los grados de los polinomios en el numerador y en el denominador.

recta

recta

'4: 4: z z 4: .... :5 .... .... ¡:: ¡::

-: ica- z 4:

z 4:

'" '" @ @

______-'FU .:.:; 0N UNIDAD 2.=.;NC1:.:c=ES

E;emplo

Trazar la gráfica de las siguientes funciones racionales. Luego, hallar dominio y rango.x-2 x-4

a. f(xl = xl b. g(xl = . ? - X - 6 x- --c< 6x + 8

Solución

a. Aplicando los principios anotados al lado izquierdo, se puede trazar la gráfica de la función f

x-2 x-2 1°. f(xl =') ~ f(x) = ( )( ); de donde :

x--x-6 x+2 x-3

f(x) = Osi x = 2. f(x) no está definida si x = -2 y x = 3.

2°. Luego, las asíntotas verticales son las rectas x = -2 Yx = 3. x - 2 0-2 -2 2 1

3°. Como f(x) = xl ' entonces, f(O) = 02 O 6 = - = - = -, . - x - 6 - -,- -6 6 3 1

luego, f(O) = -. 3

4°. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, n < m, el eje x es asíntota horizontal.

5°. Otros valores y la gráfica se muestran a continuación.

x f(x)

-3 5 - ­6

-1 3 -4

1 1

-

6

4 1 -3

, y

4 x :- =------.:l

Gráfica de la función

f(x) = x - 2 x2 -x-6

Dom f= IR - {-2, 3}

Ran f = IR

b. Aplicando los principios anotados anteriormente, se puede trazar la gráfica de la función g.

x-4 x-4 1 . 1°. g(x) =:J ~ g(x) = ( )( ) ~ g(x) = -- SI X "* 4.

x- - 6x + 8 x - 4 x - 2 x - 2 Se concluye que la función no toma el valor cero y que en el punto de abscisa x = 4 hay un agujero.

2°. Asíntota vertical : la recta x = 2.

3°. Intersección con el eje y: grO) = _1- = -~. Luego grO) = -~. 0-2 2 2

4°. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, n < m, el eje x es asíntota horizontal.

5°. Otros valores y la gráfica se muestran a continuación

x g(x)

-1 1

3 1 -1

3 1

y4­

3 · En x = 4 hay un agujero. El valor

2· ,.. \~ correspondiente se calcula en ~ , I , _ ,2

, ~ 3 4 5 g(4) =~=~ . 4 2~~ I Dom 9 = IR - {2}; Ran 9 = IR - {O}

67

,

Funciones radicales

/ Una función radical es una función que contiene raíces de va­riables.

Por ejemplo, las funciones f, g y h, representadas por: Vx+l (x - 1)1/4

f(x) = \IX; g(x) = . _ ;h(x) =

son funciones radicales.

El dominio de una función radical depende del índice de la raíz.

Si el índice es par, la función no está definida para valores de x para los cua­les el radicando es negativo.

Si el índice es impar, la función está definida para todos los números reales.

El rango de una función radical puede determinarse al trazar su gráfica.

Si la función posee un polinomio en el denominador, para graficarla se utili­za el tratamiento descrito para las funciones racionales.

Ejemplo

, Trazar la gráfica de cada función radical teniendo en cuenta los principios

Imlestitjar Apartir de la gráfica de y = x1/2, y = x1/4, y = x1/6, en el mismo sistema de ejes coordenados, ¿qué se puede concluir acerca de la forma en que n afecta la gráfica de y = x1/n, para n par?

de graficación anotados en la página anterior. ~¡;;--;

a. f(x) = v 2x - 1 b. g(x) = Vx-=3

Solución

a. ((x) = \I2X=1 1°. f(x) = \I2X=1 no está definida si 2x ­

I 'f ' , d 1a gra Ica empieza a partir e x = 2'

¡¡=2c. h(x) = V~

1 < O; es decir, si x < l. Luego, 2

2°. No existen asíntotas verticales, ya que no es una función racional.

3°. No tiene intersección con el eje y, ya que f(x) no está definido para x = O.

4°, No tiene asíntota horizontal, ya que no es una función racional.

5°. Otros valores y la gráfica de la función son los siguientes:

x f(xl 1 1

2 v'3 5 3

Y4- Gráfica de la función ((x) = \I2X=1 2- Dom f =3-~ [t, 00)

,- ,. , x -', i 2 3 4 5-,- Ran f= [0,(0)

-2 ­

l b. g(x)=~ 1°. g(x) = ~ está definida en todo IR. Luego, g(x) = Osi x = 3.

2°, No existen asíntotas verticales.

3°, Intersección con el eje y: g(O) = ~ = ~ = -1,44

4°. No tiene asíntota horizontal.

5°. Otros valores y la gráfica de la función se muestran a continuación:

68

< <z z <~

~ z< <'" @ "" Q

-1

ua­

.es.

lili­

<1: z :3 .... ¡::: z <1: '" @

_____----'FU.=.;.N=CI=ON=ES UNIDAD 2

Tabla de valores y

x g{x)

-2 f-5 = -1,7

1 \Y-2 = -1,2

4 1

11 2

3­

2- ~ 1­

.. X-1- ,- - ' - 1 I! t ---<

-2 -1 1 2 / 3 4 5 6 7 8 9 10 11

~ -2 -

Dom 9 = IR Ran 9 = IR

Jc. h(xl = x - 2 x + 1

1°. h(xl = Jx - 2 :=} h(xl =O si x = 2. Además, h(xl no está definida si -1 ~ x < 2.x+l

2°. Asíntota vertical: 1;3 recta x = -1 .

3°. No tiene intersección con el eje y, pues la función no está definida para x = O.

4°. Como el grado del numerador es igual al grado del denominador, es decir,

n = m, hay una asíntota horizontal en y = 1, es decir, y = 1. 1

So. Otros valores y la gráfica de la función se muestran a continuación:

Tabla de valores

x h(xl

-3 1% = 1,S8

-2 2

3 1 -2

4 A=0,63

, 3­

J i y

2­

--: -~- -- -¡- -l-=-~------~ . -3 -2 -:1 1 2 3 4 5 6

: -1­

: -2­

Dom h = [-00, -ll U [2, ool Ran h = [O, ool - {1}

le ItmRPRETAllVA PROPOSIllVA e ARGUMENTAIlVi]~ Práctica 6 1. Clasificar cada una de las funciones como función k. f[xl=~ m. f(xl = sx2 + x

constante, función afín, función cua drática, función ra­ x x cional o función radical.

l. f(xl = sx1 + 1 f( ) = 4x1 + 82x2 + 1 n. x x1 + 23x - 1a. f[xl = Sx + 4 f. f(xl =

3 2. Clasificar las funciones como constante, afín, líneal, cua­

b. f[xl = 3x2 + 8 g. f(xl = V2X+1 drática, racional o radical de acuerdo con su gráfica.

c. f(xl = 9x + S h. f(xl = 2x + 1 a. y b. y 3·

d. f(xl = -S

1. f[xl = 8 3 : z" ~2<1: z 1 l·f[xl = 4x + 6:3 e. J. f(xl = -x + 6 .... x ~' I I~2¡::: -2 -j{o 1 2 3 4 xZ

<1: / -2'" @

69

c. e.

~ r \ , I ~

~r:~ :1 2 34 x - 1

-3 -2 - ', r ' 2 3 x-1

-2 ­~~ f f. IV

d. ji W Il ~]:'~ -'1 I 1 ~ 3 x b, , , , -2 -1 1 2 3 4 x

I -2· -1 ­I , , : -3 - : -2'tr\' I , ¡

3. Hallar el vértice de cada parábola, dada la función cuadrática .

a. f(xl = x2 + 3 f. f(xl = - 3x2

b. f(xl = 5; - 2x g. f(xl = lOx2 + 4

c. f(xl = 4; h. f(xl = 3x2 - 9x + 6

d. f(xl = 6; + 12x + 1 1. f(xl = 2x2 - 3

e. f(xl = 2x2 + 4x J. f(xl = 6x2 - 4

4. Determinar si la gráfica presentada para cada función es la correcta. Justificar la respuesta .

; - 9 a. f(xl =-­

. x - 3

b. f1xl = x + 1 x-l

1 c. f(xl = x - 3

70

12345 6X

y , 3· ' \

2l i \

-~' ~ -4-3-2 -1 _ ~1 2 3 x

-2 :

-3· :

y 3 ­

5 x

5. Graficar las siguientes funciones racionales. x+3 x-2

a. f(xl = 2 c. f(xl = -2­x + X - 4

1 x+3 b. f(xl = - d. f(xl = 2 5 6

x-2 x+x+

6. Graficar las siguientes funciones.

a. f(xl = V3X f. f(xl = VX+5

b. f(xl = \I5X+1 g. f(xl = vx=2 c. f(xl=~ h. f(xl = V3X+1

Jd. f(xl = x + 1 l. f(x) = x-3

e. f(x) =Jx: 1 J. f(x) = J x; 6

7. Escribir V, verdadero, o F, falso, en cada una de las si­guientes afirmaciones. Luego, justificar la respuesta.

·· f(l x + 1. ,a. La funclon x = tiene una aSlntota x - 2

horizontal en x = 1.

b. El intercepto con el eje y de la función

f(x) = Vx+2 es en x = v'2. .. +f) X + 1 , d f' 'dc. La funclon IlX = -2-- no esta e Inl a para x = 1.

x + 1

d. La función f(xl = V2X+3 no tiene asíntotas ver­ticales.

e. La función t1xl = v:x+4 tiene una asíntota hori­zontal en x = -4.

8. Escribir una función para cada una de las siguientes condiciones.

a. La gráfica empieza a partir de x = l. 3

b. La gráfica tiene dos asíntotas verticales.

c. La gráfica no tiene asíntotas.

d. La gráfica tiene una asíntota vertical.

e. Su dominio es [ '1, (0).

f. Su intersección con el eje yes en y = 4.

g. Su gráfica es una parábola.

h. La gráfica tiene una asíntota horizontal .

1. La función tiene un agujero en x = 3.

flx)=h­

-+-+- ­-3

Las p" funcir la fu r

« « zz

:3 :3 ....1....1

¡:: ¡:: Z Z «« VIVI

@@

:1'6 7­

x

-3 -2 -1 1 2 3 . -1 ­

-2¡ Figura 3

:: si­

:ota

= 1.

Im/estitJarer-Las propiedades de la función exponencial y de

JTI - la función logarítmica.

tes

Y2 . I y = sen x 1~ /Ji

I Y f (x) = cos x

<z :5 .... ¡:: z H:<

-VI

@

______-'-AJ=N=CIO=N=ES UNIDAD 2

~4.3 FUNCIONES TRASCENDENTES

Las funciones consideradas en las páginas anteriores son también llamadas funciones algebraicas. Las funciones que no son algebraicas se llaman tras­cendentes. •

Función exponencial

Es aquella de la forma f(x) = bX, para todo x E IR, donde b > OY b =1= 1.

Domf = IR YRanf = IR+ .

Si O< b < 1, entonces, al aumentar x, la gráfica de f decrece y tiende al eje x. Esta variación se llama decrecimiento exponencial.

Si b > 1, entonces, al aumentar x, la gráfica de f crece rápidamente. Al dismi­nuir x, la gráfica de f tiende al eje x. Esta variación se llama crecimiento ex­ponencial.

Por ejemplo, las funciones f(x) = (~)x y g(x) = 2X comprueban lo anterior (fi­gura 3).

Función logarítmica

Es aquella de la forma f(x) = Logb x, donde b > O Y b =1= 1.

Domf= IR+ y Ranf= IR.

Si O < b < 1, entonces, al aumentar x, la gráfica decrece. Al disminuir x, la gráfica de f tiende al eje y, hacia oo.

Si b > 1, entonces, al aumentar x, la gráfica de f crece. Al disminuir x, la grá­fica de f tiende al eje y, hacia - oo.

Por ejemplo, las funciones f(x) = Log 1 x'y g(x) = Log3 x

Y = Log1. x ~ x = (~ y 2 Y = Log3 x ~ x = 3Y 2

y y 3 ­ 3 ­

x --+--+~~-I-I ~ 1"

5 6 4 5 6

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son:

• f(x) = senx; Domf= IR; Ranf= [-1, 1]. Es periódica con período 21T; es decir, sen x = sen (x + 21Tk).

Es una función impar, pues es simétrica con respecto al origen.

• f(x) = cosx; Domf= IR; Ranf= [-1, 1].

Es periódica con período 21T; es decir, cos x = cos (x + 21Tk).

71

f(x}¡ir tan x,;:

o 1!i TI 3";( '." x

2: ~

-1­

1- ,Yt.~ ,: f(x} = c¿tx, , , ,, , , J. : :

, , x 0 - - :rr--r- m­

"2 : "2 : , , , ,

-1: \ : ¡:, ,

y. . I I

1) : ' f(x} se~

, ~=

,. , , ,

- O ~ - TI -~ i 1T

2: : 2 ~ , ,

X

-1 , ir \! Yv f(x}.= cs~ x 1- . .

, , x o 1T-n! j;,.-h

2' ' 2' '

, , ,, ,

- 1 ,

',(\'1 ~

~ , Práctica 7

"­

Es una función par, pues es simétrica con respecto al eje y.

Intersecciones con los ejes: x == ; + nTI; y == 1.

• {(x) == tan x; Dom {== [R - {; + nTI}, n E 2:'; Ran {== [R.

Es periódica con período TI. Es una función impar.

Asíntotas verticales: ; + nTI, n E 2:'.

Intersecciones con los ejes: x: nTI; y == O.

• {(x) == cot x; Dom {== IR - {nTI}, n E 2:'; Ran {== IR.

Es periódica con período TI. Es una función impar.

Asíntotas verticales: nTI, n E 2:'.

Intersecciones con los ejes: x == ; + nTI; y: no tiene.

TI• {(x) == sec x; Dom {== [R - {2 + nTI}, n E 2:'; Ran {== (-00, -1] U [1, (0).

Es periódica con período 2TI. Es una función par.

Asíntotas verticales: ; + nTI, n E 2:'.

Intersecciones con los ejes: x == no tiene; y == 1.

• {(x) == csc x; Dom {== IR - {nTI}, n E 2:'; Ran {== (-00, -1] U [1, (0).

Es periódica con período 2TI. Es una función impar.

Asíntotas verticales: nTI, n E 2:'.

Intersecciones con los ejes: x == no tiene; y == no tiene.

,e ,mERPRETATNA PROPOSITIVA e ARG"M,,"AnVA I

1. :::onstruir las gráficas que corresponden a la tabla de la Función que se ind ica. Luego, comparar la gráfica delli­teral a con la aráfica del li tera l b v escribir una con clu ­sión con respecto a ellas. Hacer una comparación similar con las gráficas de 105 litera les c y d.

a. x ¡ 2 4 8 16 32

f(xl == L092 x, 1 2 3 4 5

x 1 -

8

1 -4

1 -

2 1. 2

f(x} = log 1\2x 3 2 1 O - 1

b.

x 1 2 I 3 4 5

f(xl == Log x ---~

O 0,301 0,5 0,60 0,70

c.

d. x 1 2 3 4 5

f(x} == In x O 0,70 1,1 1,4 1,6

2. Elaborar la gráfica correspond iente a cada situación.

a. La cantidad de bacterias [B) presentes en un cultivo varía con respecto al tiempo [t) [en horas). Esta va­riación se representa mediante la función

B[ t) == 1.000 eO,Ol t.

b. El número de vati os (l!\.1 producidos por la batería de un satélíte espacial en un período de d di 9s se da mediante la fórmula

W( d) == 50 e- O,004 d. oC( ~ z :<3. Indicar si la gráfica corresponde a una función logarít- ~

mica, a una función exponencial o a una función trigo- ~ nométrica. Luego, hallar su dominio y rango. ~ .,

72

5

_____---'Fc.=;"" ONESUNO:=..:= UNIDAD 2

a. d. 4. Graficar las sigu ientes func iones.

L a. f(xl = sen 2x h. f(xJ = Log s x4

3 . 1 xb. f(xl = cos -x l. f(xl = cot ­2 ­

2 36

,1 . f c. f(xl = Log s x j. f(xl = sec x - 3 -2 - 1 1 2 3 4

-1 ­ = 3x = 4e2x d. f(xl k. f(xl-2 ­

x e. f[xl = tan - l. f(xl = sen 2 !..

b. e. 2 . 2 "f. f[xl.=' 4x m. f[xl = cos2 x~ tu¡, g. f(xl = sec 2x n. f(xl = Log 3 x

, x 5. Escribir V si la afirmación es verdadera, o Fsi es falsa.,

a. Ninguna de las funciones trigonométricas tiene ;~rl ~ 3

asíntotas., '/\., ,) b. La función f(xl = sec x tiene una asíntota cuanEJo

f. x = 2TI.

3- c. La función exponencial tiene dos asín totas, una 2-

vertical y una horizontal . x..-----X d. El punto (TI, 11 pertenece a la gráfica de la función

-3 -2 - 1 2 3 41-, f[xl = csc x. -2

e. La función f(xl = Log x, tiene al punto (1, ol.-3

f. El período de la función f(xl = sen x es de 2TI.

c. y 4

3

- 2 -1­, -2

-3

~ vo .a­

- de ( da

< <z z -ít- :3 :3

-' -' ¡:: ¡::;0- z z < <111 111 @ @

~4.4 FUNCIONES ESPECIALES

funciones segmentadas o funciones a trozos

Otro tipo de funciones, donde no sólo una fónnula describe su comportamien­to, se llaman segmentadas o definidas por intervalos. Así,

fl (x), si x E 11

f(x) = ~2(X), s~.x E 12

fn(x), si x E InI Para las cuales, 11 n 12 n ... n In = <1>; la gráfica de la función equivale a la unión de las gráficas de cada parte. El dominio de la función es la unión de los dominios de cada parte y el rango de la función es la unión de los rangos de cada parte.

Por ejemplo, en la función definida por:

-1 si x < -2

si -2 ,;;; x < 2{(xl ~ ~ (

si x;;?: 2

es una función definida por intervalos.

Domf= Domf1 U Domf2 U Domf3 = (-00, -2) U [-2,2) U [2, (0) = (- 00, (0)

73

~ r ­1 ~ ./

-3 -2 -1 L... ­~1 1234 X

1 Figura 4

3r 2-,­

1. -· x ~-

-1 1 2 3 -1

- -2

Figura 5

x

~

- -2

Figura 6

Ranf= Ranf¡ U Ranf2 U Ranf3 = {-1} U [-1,1) U {3} = [-1,1) U {3}

La gráfica de fes la unión de cada una de las gráficas de f l , f2 y f3' Esta gráfica se muestra en la figura 4.

Función valor absoluto

Es aquella función que se define como

.{(x) = Ixl = {x s~ x ;:; O j' , -x SI X < O

El dominio de la función es el conjunto de los números reales; Dom f = IR.

El rango de la función es el conjunto de los números teales positivos y el ce­ro; Ran f = IR+ U {O} = [O, (0).

, y

La tabla de valores y la gráfica 3i se muestran a continuación. r·

. 1J~ . x -2 -1 O 1 2

f(x) 2 1 O 1 2 - --~

~2 27-3 -1 1 -1 ".

-2 ­

Función parte entera o mayor entero

Es aquella función f IR --¿ 7L definida mediante f(x) = l:xldonde [xi es el mayor entero menor o igual que x, es decir,

f(x) = [x ] = n q n ~ x < n + 1, n E 7L

El dominio de la función es el conjunto de los números reales; Dom f = IR.

El rango de la función es el conjunto de los números enteros, Ran f = 7L.

La tabla de valores se muestra a continuación.

x ... -2"':x < -1 -l ",: x<O O"':x < l 1",: x<2 2",:x < 3 3"':x < 4 ...

f(x) ~-'----

... -2 '---­ - ­

-1 O - - - ­

1 - - ­

2 "-----­

3 '---- ­ -- ­

... -

La ¡¡;ráfica de la función se representa en la figura 5.

Ejemplo

Trazar la gráfica de la función f[x) = Ixl - 11. .

So lución

I La función f(x) = Ix2 - 11 se puede escribir en forma equivalente como:

f x = {x2 - 1 si (x - l)(x + 1) ;:; O . [ ) - (x2 - 1) si [x - 1) (x + 1) < O

Para el caso (x - l)(x + 1);:; Ola solución de la inecuación determina que entre . [-00, -1] Y(1, (0) Id g~áfica corresponde a la curva de la parábola x2 - 1. « ~

Para el caso [x - l)[x + 1) <. 0 la solución de la inecuación determina que en ~ z

[x2 ...J ¡::el interva lo [1, 1] la gráfica corresponde a la cu rva de la parábola - - 1). Z «

La gráfica de la función f(xl = Ix2 - 11 se muestra en la figura 6. VI

©

74

ce­

<t Z <t ::::l ¡:: Z <t '" @

(G Práctica 8 1. Realizar la gráfica de cada una de las siguientes funcio­

nes. Luego, hallar su dominio y rango.

si x > 3a. (1f(xl = ~ si x :s: 3

b. si x :S: 1 f(x) ~ (;' si 1 ::; x < 2

Xl- 4 si x ~ 2

c. {X + 2 si x > 3 f(xl = x - 2 si x :s: 3

d. si x < O f(x) si x = O~ V

xl - 1 si x > O

e. (2X - 3 si x = 1 f(xl = 3x + 4 si x < 1

5x + 4 si x> 1

si x < -1 f. ¡Xx+1 si -1 :s: x :s: 3

f(xl = x + 2 si 3 < x < 5 . x+3 si x ~ 5

2. Determinar si la gráfica corresponde a la función dada. Justificar la respuesta.

a. f(xl = Ix + 11 c. f(xl = [x - 11

, y " 5­

xI !

-2 -1 2 3 4! 1-1 -2 ­

b. f(xl = [x + 11 d. f(xl = I + 1

5 ~ Y {} Y

·~4-

i 31 5-

_ ,.' '.~~V,1 ­

~ ~ x

~ -'2 -1 _11 2 3 -¡- 1 ~ ~ - -2 - -'2 -1 J 1 2 4

'"

______--.:FU..::;Nc..::""=::CIONES UNIDAD 2

2 si x < 1 y.

e. f(xl = { -x + 3 si x ~"1 4 ­

~ 1 ~J .. _ <f" • .:.

-2 -1 1 2 3 4 -1 .

-2 ·

-3 1

4x+ 9 six < -2 f. f(xl = - 2 si - 2 < x < -1

. 1xl si x ~ -1

-2

-3 ­

3. a. Graficar las siguientes funciones f(xl = x + 2 Y g(xl = I ~ + 2 ¿Qué relación tiene la gráfica de f(xl con la gráfica de g(x)?

b. Graficar las funciones h(xl = cos xy J1xl = cos I~ ¿Qué relación tiene la gráf!ca cle h(xl con la gráfica de j(xl?

4. FíSICA. En el estudio de los circuitos eléctricos se utiliza la función de Heaviside (Hl, para representar la onda re­pentina de corriente eléctrica o de voltaje cuando un interruptor es cerrad o instantáneamente.

La función Heaviside Hse define así:

si t < O H(tl = {~ si t~ O

a. Graficar la función Heaviside. b. Determinar el dominio y el ~ango de esta función.

5. Escribir una función a trozos para cada condición.

a. La función tiene dominio e(l todos los reales y el rango es el intervalo [-5,5].

b. LUa

funcióndno efstá d~finidda f~ara x = 2 Y x = ~,1. c. e a na parte l unclon se e Ine como una funclon

cuadrática. d. La función está definida para x > Ocomo una fun­

ción trigonométrica, y su dominio son todos los nú­meros reales.

@------------------------------------------------------------------------­75

'\~~ ­5 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

En el dominio de 1 es necesario excluir 9 los puntos donde g(x) = o.

Lasfuntiones pueden combinarse a través de las operaciones aritméticas de adición, sustracción, ~ultiplicación y división para producir nuevas funciones.

Para dos funciones {y g, se definen la suma { + g; la diferencia { - g; el pro­

ducto { . g; y el co~iente f, tomo sigue:. g

Suma: (f + g)(x) = ((x) + g(x). Dom (f + g) = Dom {n Dom g

Diferencia: (f - g)(x) = ((x) -g(x). Dom (f - g) = Dom {n Dom g

Producto: (f. g)(x) = ((x) • g(x). Dom (f. g) = Dom {n Dom g

Cociente: (f)(X) =;~:~.Dom (f) ={x E (Dom (n Dom g) / g(x) =/:: O}

Ejemplos

1. Si f(x) = 3x - 2 Y g(x) = Xl, calcular (f + g)(2), (f - g)(2) , (f· g)(2) y (~}2). Solución

Como f(2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 Y g(2) = (2)2 = 4; entonces

(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 4 + 4 = 8

(f - g)(2) = f(2) - g(2) = 4 - 4= ° (f· g)(2) = f(2) . g(2) = 4 X 4 = 16

l)(2) = f(2) = i = 1 ( 9 g(2) 4

Se pueden hallar las funciones suma, diferencia, producto y cociente para cualquier valor de x, x E Dom f 1\ x E Dom g.

2. Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de fy g. Escribir el dominio de cada operación.

f(x) = 2x - 1; g(x) = Vx

Solución

Se halla primero el dominio de f y de g:

Dom f = [~; Dom 9 = [O, (0); luego, Dom f n Dom 9 = [O, (0).

Ahora, las funciones pedidas y sus dominios serán:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x - 1 + Vx Dom (f + g) = [O, (0)

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x - 1 - Vx Dom (f - g) = [O, (0)

(f· g)(x) = f(x)' g(x) .= (2x - l)Vx = 2xVx - Vx Dom (f· g) = [O, (0)

l)(x) = f(x) = 2x - 1 Dom (;) = (O, (0)( 9 g(x) Vx « z ~ -'

Si g(x) = e es una función constante y ((x) una función cualquiera, c{(x) de- ~ nota~á el producto y se define c(f(x)) = c{(x) para todo x en el dominio de f ~

76

______..:..:::.:,:CIO N:::: UNIDAD 2FU N;:::.:::.:,:ES

- de f: X --c? Y

nes. g: y --c? Z ro-

Figura 1

2).

(g o f)(x) = 9(f(x)) significa 'aplicar primera f y después g.

(f o g)(x) = f(g(x)) significa aplicar primero 9 y después f.

Im/estilJar ¿(f o g)(x) = (g o f)(x)? ¿Por qué?

ct z ::5 ...J

de- ~ ct

ief ~

~5.1 COMPOSICiÓN DE FUNCIONES

Existe otra forma de combinar funciones para obtener una nueva función:

Si X, Y Y Z son conjuntos de números reales, fes una función de X en Y y g otra función de Yen Z, de tal manera que f envía X a Yy g envía Ya Z (figura 1), se puede definir una función que envía X a Z, esta función se llama función com­puesta.

/ La función compuesta g o E, llamada también la composición de g y E, es la función de X en Z dada por

(g o f)(x) = g(f(x))

para todo x E X.

Este proceso se denomina composición debido a que la nueva función está compuesta por las dos funciones dadas f y g.

En general, dadas dos funciones arbitrarias f y g, si se toma un número x en el dominio de f, se obtiene su imagenf(x). Si este número f(x) pertenece al do­minio de g, entonces, se puede calcular el valor de g(f(x)).

El resultado g(f(x)) es una nueva función.

El dominio de g o f es el conjunto de todos los valores x del dominio de f, tal que f(x) está en el dominio de g.

Gráficamente, se puede observar la composición de funciones.

9 o f

x

Dominio de f

Dominio deg Rango def

Rango deg

Se observa que para x en el dominio de f, primero se encuentra f(x) (que de­be estar en el dominio de g) y luego, se halla g(f(x)).

Eiemp(o

Dadas f(x) = 5,01 - 3x + 2 Y g(x) = 4x + 3, hallar (g o f)(2) y (f og)(2).

ISolución

(g o f)(2) = g(f(2)) = g(16) = 4(16) + 3 = 67

(fog)(2) = f{g(2)) = f(11) = 5(11)2 - 3(11) + 2 = 574

No es necesario que el dominio de g sea todo el conjunto Y, sino que Y con­tenga al rango de f En algunos casos es necesario restringir x a algún subcon­junto de X de manera que f(x) esté en el dominio de g.

77

Ejemplo

Sean f(x) = 3x - 2 Y g(x) = 2x + \IX, hallar:

a. (g o f)(x) b. Dominio de (g o f) c. (f o g)(x) d. Dominio de (f og)

Solución

I a. (g o f)(x) = g(f(x)) definición de (g o f)

= g(3x - 2) aplicando f

= 2(3x - 2) + V3X=2 aplicando 9

= 6x - 4 + V3X=2 operando

b. El dominio de fes el conjunto de los números reales, sin embargo, la expresión

(g o f)(x) está definida si x ;=: 2; por lo tanto, el dominio de (g o f)(x) obliga

restringir los valores de x al in~ervalo [~, 00).

c. (f o g)(x) = f(g(x)) definición de (f o g)

= f(2x + '\IX) aplicando 9

= 3(2x + \IX) - 2 aplicando f

= 6x + 3\IX - 2 operando

d. En este caso, el dominio de 9 corresponde al intervalo [O, 00)Yel dominio de la expresión (fo g)(x) también.

En el ejemplo anterior (g o f)(x) i= (j o g)(x), el siguiente ejemplo muestra un caso particular para el cual (g o f)(x ) = (j o g)(x).

Ejemplo x+3

Sean f(x) = 2x - 3 Y g(x) = --o Hallar: 2

a. (f o g)(-2)

b. (g o f)( - 2)

c. (f o gHx)

d. (g o f)(x)

Solución

a. (f o g)(-2) = f(g(-2)) = ~;) = 2(;) - 3= 1~ 3= -2 -7 + 3 4

b. (g o fH-2) = g(f(-2)) = g(-7) = = -- = -2 2 2

z(f o g)(x) = f(g(x)) = JX+3) = (X+3) - 3 = x + 3 - 3c. '\-2- 2 -2- = x « :3 .... ¡::: z

(g o fHx) = g(f(x)) = g(2x _ 3) = 2x - 3 + 3 2x = x « VI'1 d. 2 @

78

---------------------------------------------------------------------

i un

<1: Z

:5 ..... ¡::: Z <1: VI

@

~ Práctica 9 1. Sean f (xl = x2 + 1, g(x) = x + 3, h(xl = 0. Cal cu lar:

a. (f + g)(31 h. (f · g)(31

b. (g + h)(3) i. (g ' h)(3)

c. (f + h)(31 J. (f · h)(31

d. (f - g)(3) k. (f +h)( - 31

e. (g - 11)(31 1. (f - g)( -3)

f. (f - h)(3) m. (g ' h)( -3)

g. ( ~ )(3 ) n. ( ; ) (31

2. Ha llar la función suma de ca da par de funciones. Lue­go, determ inar su dominio.

a. f(x) = 3x; g(x) = x2 + 5

1b. f(xl = -; g(x) = x + 4

x c. . f(x) = vX+2; g(x) = -vx=--1 d. f(x) = 5x - 2; g(xl = _2_

x-3

e. f(xl = x2 + 6x; g(xl = I~

. f. f (xl = lx2 + 6; g(xl = v4X=3 . 3

x + 3 2 g. f(x) = - ; g(x) =­

x - 1 x

3. Responder las siguientes preguntas, si

f(xl = x + 3; g(xl = x2 - 4; h(xl = l .

a. ¿El dominio de (f - g)(x)es el mismo ~ominio de ~)rxl ? ¿Porqué? 9

b. ¿Es el dominio de (f - g)(xl igual al dominio de (f + g)(x)? ¿Por qué?

c. ¿Esel dominio de l1(xl igual al dominio de (f + g)(x)? ¿Por qué?

d. ¿Es el dominio de 4g(xl igual al dominio de g(xl? ¿Por qué?

e. Es el dO~linio de ( ~)(x) igual al dominio de ( ~ )rxl? ¿Por que?

4. Sean f(x) = 5; + 4; g(xl = 80 + 1 Yh(x) = Vx. Hallar:

a. f o g(3) e. f o g(2) i. f o g(- 31

~ . b. 9 o he) f. 9 o f ( ~ ) j . 9 o h(2)

~ c. g o f(l) g. h og(4) k. f o g(1) <1: ~ d. h o f(31 h. h o f(11 l. h o f(21

_____.c..::NCION=ESFU= = UNIDAD 2

le rIlll RPR[lArrvA • PROPOsrrrVA e ~

5. Hallar f o 9 y 9 o fpara ca d ~ par de funciones. .

a. f (xl = 4x + 1; g(x) = 3x

b. f(xl = -vx=--1; g(xl = Ix 5

c. f (x) = 3x + Vx; g[x) = x2 + 1

d. f (x) = 5Vx; g(xl = 4x - 3 1

e. f(x) = 8x + 4; g(x) = ­x

3x - 2 f. f(xl = . 5 ; g(x) = 0

6. Hallar el dominio de f o 9 y 9 o f, según corresponda.

a. f (xl = Vx; g(x) = 1 x

b. f (x) = 3 + 2x2; g(xl = 2Vx

c. f(x) = 4x + 5; g(xl = x2 + 6x - 1

d. f (x) = 13x; g(x) = -vx=--1 1 .

e. f (x) = --' g(xl = x - 1 . x + 2'

x+2 f. f(xl = 3x - 1; g(x) = -3­

g. f(x) = I~ ; g(xl = 5x - 3

h. f(x) = xJ; g(x) = x + 6

i. f (xl = sen x; g(x) = 1 + x

7. Escribir las funciones f (x) y g(x) que componen la fu n­ción h(xl = f(g(xl) dada.

a. h(xl = VCOSX f. l1(x) = cot (1Txl

b. h(xl = (x - 1)2 g. h(xl = sen2 x

h(x) = y '-V-X-+-l c. h(x) = cos (Vx) h.

2 h(xl = (1 - 2x1 2

d. h(x) =- 1. x+5 2

0 1 e. h(x)=~ j . h(xl=­

+1 sen x

8. Utilizar la siguiente tabla para encontrar, si es posible, el valor de cada expresión.

x 1 2 3 4 5 6 ((x) 3 1 4 2 2 5 g(x) 6 3 2 1 2 3

a. f(g(1)) d. f(g(6)) g. f(g(O)l J. g(f(311

b. g(g('l]) e. g(f(4)) h. f(f(4)) k. g(f(6))

c. g(f(l)) f. f(g(2)) l. f(f(3)) 1. g(g(2))

79

Dom r 1 = Ran f Ran r 1 = Dom f

Lista de simb%s

Con frecuencia se representa la inversa de una función f mediante f- 1, esta notación no debe confundirse con un exponente. Es decir, f- 1 [xl =/; [f(xlr 1 pues

[f[xlr 1 = f(~)

Si f(x) no es biyectiva, ¿f - 1 (x) es función?

Gráfica de f y r 1

y • f (xl.= 3x - 4 4­

~ _2-,. .. _1'Y¡_1 2345. 6 x

-2

-3 1 -4

La gráfica de f- 1 es simétrica a la gráfica de f respecto a la recta y = x.

Figura 2

~ 5.2 FUNCIONES INVERSAS

Sea {una función biyectiva con dominio X y rango Y. Se define su función in­versa T 1 con dominio Y y rango X de la siguiente manera:

(-l (y) = x ~ {(x) = y 'Vy E Y

Para hallar la función inversa de una función, se procede así:

1°. Se escribe y = {(x).

2°. Se comprueba si la función dada es biyectiva.

3°. Se despeja x de la ecuación y = ((x) en términos de y, para obtener una ecuación de la forma x = T 1 (y).

4°. Se intercambia x por y puesto que no importa el símbolo que se use para la variable.

5°. Se comprueban las condiciones:

a) {-l (((x)) = x para todo x E X.

b) {({-l (x)) = x para todo x E Y.

Ejemplo

Hallar la inversa de cada función. Luego, trazar la gráfica de f(x) V r 1 (x).

a. f(x) = 3x - 4 b. f(x) = x2 - 3 para x ~ O

Solución

a. Paso 10: y = 3x - 4

Paso 20: se comprueba si fes bivectiva.

f(x1) = f(x2) => 3x1 - 4 = 3x2 - 4 Definición

=> 3x1 = 3x2 Operando

=> Xl = x2 Operando

luego, f es invectiva.

y= 3x - 4 => x = y; 4 Despejando x

luego, Ran f = IR, entonces, fes sobrevectiva.

Luego, la función fes bivectiva.

Y+4 y+4Paso 30: y = 3x - 4 => x = -- => r 1 [y) = - ­

3 3 Y+4 x+4

Paso 40: r 1 [y) = -- => r 1 (xl = - ­

3 3 Paso 50: se comprueban las condiciones

3x - 4 + 4 3xal r 1 (f(x)) = r 1 (3x - 4l = = - = x

3 3

j x+ 4) (x + 4)bl f(r 1 (x)) = 1\-3- = 3 -3- - 4 = x + 4 - 4 = x < <z• ~

Luego, r 1 (xl = x + 4 es la función inversa de f(xl = 3x - 4. :3 -' ~3 z z < ?Las gráficas de f(xl = 3x - 4 V r 1 (xl = x + 4 se muestran en la figura 2. 11\

<!})3

80

U NC::.:: UNIDAD 2______---'F~c:..: I O=NES

in-

una

ara

ct z :3 ..J ¡:: Z ct '" @

b. Paso 1°: y = x2 - 3

Paso 2°: se com prueba si fes bivectiva.

f(x,) = f(x2) ~ x/ - 3 = x/ - 3 .. ~ x,2 = x/ ~ x, = x2 pues x ;:. O

Luego, la fu nción es invectiva.

y=x2-3~x2=y+3

~ x = ::!:: yY"+3' Como x ;:. O, se descarta el valor negativo. Luego

x = yY"+3' Vel rango de f = [-3,00) luego fes sobrevectiva.Gráficas de fy r'

En conclusión la función es bivectiva.

Paso 3°: y = x2 - 3 ~ x = yY"+3' ~ r' (y) = yY"+3' Paso 4°: r' (y) = yY"+3' ~ r' (x) = v'X+3 Paso 5°: se comprueban las condiciones.

a) r 1 (f(x)) = r 1 (xl - 3) = Vx2 - 3 + 3 = W = x para x;:. O

b) f(r' (x)) = f(v'X+3) = [v'X+3)2 - 3 = x + 3 - 3 = x para x;:. -3

Luego r 1 [x) = v'X+3 para x;:. -3 es la función inversa de f(x) = x2 - 3.

Las gráficas de fV r' se muestran en la figura 3.

- 4 ­

Figura 3

~ Práctica 10 1. Graficar la función inversa de cada una de las siguien­ e. V f.

tes funciones. 4 ­

3 ­

a. y c. y 2 ­4 4

1 - 1 · 3 - x

T 2 - 1 2 -', f23 1 ­

- J-

~~ I-2 ­x ~ X -r--i, r-------r--'"~.

-3 - -3­-3 -2 -1 1 2 -3 -2 -1 ] 2 3 1­

-2 ~ 2. Dada la gráfica de la función f(x).-3 ­

V 4 ­

b. d. 3 · 2 · Y

_v I

]3 ­ -?-,1 x >--r--r2-'3'-¡ ­2 ­

- l · 1 1 ­ -2. x

l . I -3 ­--3 -2 -1 I i 2 -3 - 2 - 1 -1- -1­

) a. Hallar el valor de ([2). -3- -3 - b. Determinar si f(x) es una función invectiva. -2 ­

ct z :3 c. Estimar el valor para r' (2). ..J ¡:: d. Determinar el dominio de f - 1 (xl . ct Z

e. Trazar la gráfica de r 1 (xl.'" @

81

3. Encontrar, si es posible, la función inversa para cada fUllción. a. f(x) = x + 2 f. f(x) = x - 2

b. f(x) = 4x + 1 g. f (xl = \.I'X+2 c. f( x) = vX=5 h. f (x) = 3; - 1

d. f(x) = x2 + 3 1. f(x) = XJ X + 5 (x + 1)3

e. f (x)=- J. f (xl = 4 2

4. La tempera tura eelc ius, e, se expresa en func ión de la tem peratura Fa renhe it, °F, med iante la expresión.

e(oF) = i (F - 32) donde °F ?! - 459,67 . 9

a. Ha llar la función inversa de C(OFl Vescrib ir una in­terpretación de ell a.

b. Determinar el dom inio de la fun ción C- 1 ¡oF).

5. Responder las sigu ientes preguntas.

a. Si f es una func ión invectiva con f(4) = 8, ¿cuál es el valor de r 1 (8)?

b. Si f(x) = 2 + x2 + sen (1T;). con - 1 < x < 1, ha­

llar el valor de r 1 (3).

c. Si f(x) = 2 + x + COS 7TX , con O< x < 4, encont rar r 1 (4).

6. Responde r.

Si f(x) es una función biyectiva y la gráfi ca de f(xl hasi­do desplazada e uni dades hac ia la izqu ierda, es decir, f(x + ej, ¿qué le sucede a la reflexión de f(x + ej con res­pecto a la recta y = x? Hallar una expresión para la in­versa de la función h(xl = f(x + ej.

7 Dada la gráfica de una func ión f(x).

Trazat· la gráfica de la función y = r 1 (x + 4l.

8. Determinar cuáles de las siguientes gráficas corres­pon den a la función f (xl ya su inversa.

a. b.

4 - y= ¡ -' {x)

X / X

..

c. d.

. 5 3 )' = f{x)

21I\llJ r

x 1 -::-S:~X)x -,-,-G',,,,-~

-4 -3 -2- 1 1 2 3 4

Y - 1 ­

·~! I = f -'(xl - 2

- 3 ­

9. Las funciones logarítmica Vexponencial son funciones inversas entre sí, ya que la fu nción y = Lag x es la re­flexión respecto de la recta y = x de la grá f ica de la func ión exponencial y = aX

• En pa rticula r, si la fun­ción logarítmica t iene como base al número e, enton­ces, y = In x es func ión inversa de la función y = eX.

Escr ibir la fun ci ón inversa de cad a una de las siguien­tes funciones.

a. y = Log s x f. y = Log4 X

b. Y = 3x g. y = 2x + 1

C. y = In (x + 11 h. Y = lOx

d. y = 5(x + 2) i. Y = Log s x

e. y = Log2 x J. y = 6x

IO.Hacer una tab la de valo res pa raencontrar f(xl y r 1 (xl. Luego, graf icar.

a. y = Log4 X f. y=eX

b. Y = Log4 (1 - xl g. y=lnx

c. y= Log 3 (x- 1l h. Y = e2x

d. Y = Lag x 1. y = In 2x

e. y = In-x

J. y = Log -x

2 5

1l. Determinar cuáles de las si guientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Escribi r una justificaci ón en cada caso.

a. Si r 1 (xl = ~,entonces f(xl = XJ - 1.

b. Si f(xl = 3sen 2 x + 2, entonces r 1 (f(x)) = x, para todo x E [O, 217]

C. No es posible determinar que f(f- 1(x)) = x para f(xl = 3XJ + 2x2 + x + 1. ~ r

1 V x «d. Si f(xl = -2' entonces r 1 (xl = ± o-- z x x ~::5

¡:::e. La gráfica de g(xl y g-1 (xl son simétricas respecto a -'

z c;« 1" ­VIla recta y = x.

@ '

82