Relaciones y Funciones

Hay casos en que no todos lospares ordenados de un productocartesiano de dos conjuntosresponden a una condición dada.

Se llama relación entre losconjuntos A y B a un subconjuntodel producto cartesiano A x B.Este puede estar formado por unsolo par ordenado, varios o todoslos que forman parte de A x B. Siestablecemos una relación entrelos elementos de un mismoconjunto, existen trespropiedades fundamentales quepueden cumplirse en esa relación:propiedad reflexiva, simétrica ytransitiva.

Tipos de Relacióna). Reflexiva.- Se da con los elementos de un mismo conjunto . Una Relación de A en A es reflexiva cuando x εA (x,x) εA

Ejemplo: A = {1,5,6} y la relación en A

R = {(1,1), (5,1), (5,5), (6,6)}

Es Reflexiva por que todos los pares ordenados pertenecen a los números Reales y cada elemento de la Relación pertenece al conjunto A.

b). Simétrica.- x.y. (xRy yRx) Ejemplo: en la relación R = {(1,5), (2,3), (5,1), (3,2)} es simétrica por que:

(1,5) εA ^ (5,1) ε R también (2,3) ε A ^ (3,2) ε R

d). Antisimétrica

x.y. [(xRy yRx) x=y]

e). Transitiva

x.y. (xRy yRz xRz)Ejemplo la relación de inclusión es antisimétrica, pues si. A c B ^ B c A A = B

Relaciones

Def. Si una relación R, es reflexiva, simétrica y transitiva, decimos que es una relación de equivalencia.

Una relación de equivalencia es importante pues divide al dominio en clases de equivalencia.

TEMA 10 FUNCIONES

Definición: Sean X e Y dos conjuntos no vacíos. Una función de X en Y es una regla que asigna a cada

elemento x ∈ X una única y ∈ Y .

El conjunto X para el cual f asigna una única y ∈ Y se denomina el dominio de la función f: ( D f ). El

conjunto de valores correspondientes y ∈ Y se conoce como el rango de la función ( R f ). Si una función f asigna un valor y en el rango a cierta x en el dominio, escribimos:

y = f ( x)

Leemos f ( x) como “ f de x ”; se denomina el valor de f en x.

El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemática. Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por otra.

Si una función se expresa por una relación del tipo y = f ( x) , entonces x se denomina la variable

independiente o argumento de f y y se conoce como la variable dependiente.

Notación de una función:

f = {( x, y) ∈ AxB / y = f ( x)}

A B A B

Donde:

A: Conjunto de partida B: Conjunto de llegada

D f : Dominio de la función; conjunto de todas las preimágenes.

R f : Rango de la función; conjunto de todas las imágenes.

y = f ( x) : Regla de correspondencia

x : preimágenes; variable independiente. y

: imágenes; variable dependiente.

FUNCIÓN LINEAL

Una función es lineal o de primer grado, si su regla de correspondencia es:

y = mx + b

donde: m y b son constantes, con m ≠ 0 Grafica:

La Función Identidad: Con pendiente m<0 La Función Constante:

FUNCIÓN CUADRÁTICA Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma:

f ( x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c son constantes y a ≠ 0

La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reale s.

Si a > 0 , se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba.

Si a < 0 , la parábola es negativa y abre hacia abajo.

Observación:

Notemos que la función

f ( x) = ax2 + bx + c .

f ( x) = 1 x 2

no es cuadrática porque no se puede expresar de la forma

Si igualamos a cero f ( x) = 0 , tenemos:

Fórmula de Carnot