relaciones bimnarias ejercicios

8/18/2019 RELACIONES BIMNARIAS EJERCICIOS

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1Centro Preuniversitario de la S- Ingreso

NIVERSIDAD NACIONAL DEL

A TA

CEPUNSCICLO 2014 – III

ALGE!A

“RELACIONES BINARIAS”

Semana Nº

12

Relación binaria: par ordenado, productocartesiano de IR en IR. o!inio, ran"o derelaciones. Representación "r#$ica.Clases de relaciones: re$le%i&a, si!'trica,transiti&a, de e(ui&alencia ) de orden.

n ( A × B) = n ( A) · n (B)

*. Si A es un conjunto finito; el productocartesiano A x A se puede representar como:

A2

+AR ORENAO +RO-CO CARESIANO

/. +ar ordenado de n0!eros reales

Dos números reales x e y, donde “x” esidentificado como primer componente e “y”como segundo componente, se llamará par ordenado de números reales y se simboliarápor !x; y"

i" ( x; y ) ≠ ( y;

x)

ii" ( x; y ) = ( z ; w) ↔ x = z ∧ y =w

1. +roducto CartesianoSea # el conjunto de números reales, elproducto cartesiano $ue se denota por #% sedefine como sigue:

Rx R = R2

={(x;y)/ x ∈ R ∧y∈R}

!Se lee “A dos”"

2. &l producto cartesiano A x ' es un conjunto(ac)o; si al menos uno de los conjuntos A o

' es conjunto (ac)o; es decir: A x ∅ * ∅ ; ∅ x ' * ∅

3. &l producto cartesiano A x ' es un conjuntoinfinito; si al menos uno de los conjuntos A o 'es un conjunto infinito+

E4ercicios E%plicati&os/. raficar los siguientes pares de puntos:

a" { P ( x; y ) / x − y = 0, siendo x, y∈¥ }b"

{ P (

x; y )

/ x

2 = y2 , siendo x , y ∈ Z

}

c" { P ( x; y ) / ( x2 − 2 x −1 ; y + 1 ) = ( 2;1)}

1. Sean:

A * { x∈ R /1 ≤ x ≤ 8}

Y Eje de ordenadas

y P(x;y )

' * { x∈ R / 3 ≤- * { x∈ R / 2 ≤

x ≤ 5} x ≤ 7}

x X

eje dea!"sas

P#ano$ar%es"ano

raficar los siguientes productos cartesianos

a" A x ' b" - x Dc" !A . '" x - d" !A . -" x !A . D"

+RO+IEAES: /. Si A y ' son conjuntos diferentes:


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2Centro Preuniversitario de la S- Ingreso

/+ Sean: & * 01; %; /2, A * 01; %2 , ' * 0%; /2 A × B ≠ B × A

1. Siendo A y ' dos conjuntos finitos; tales $ueel cardinal de A !número de elementos de A"es n!A" y el cardinal de ' es n!'" se tiene $ue:

3 * CEx E (A x B) , * CEA-alcular: 3 ∩

x CE B)


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Lic" #os$ A%a&ero 'Lic" (alter )orres*Lic" Saul arron*Lic" Ale+ !,os"* Lic"!odol-o Carrillo* Lic #uan /lgeraE5INICI6NDado un conjunto A no (ac)o, una #&4A-567 #es a$uella correspondencia definida como

& ' A → A , tal $ue:

o(&) * 0x ∈ A8!x; y" ∈ #2

&an (&) * 0y ∈ A8 !x; y" ∈ #2

Además: o(&)

⊂ A ∧ &an(&)

⊂ A

Donde:

&*{( x;y) ∈ A× A

P(x, y) } E4e!plo

9ara las relaciones del ejemplo 1

#

1

* 0!; 1", !, %", !, /", !1, %", !1, %", !%; /"2P

(x, y)es la #&4A D& -##&S97D&7-5A

de la relaci * 0!1; 1"2# * 0!; "; !; 1"2

Donde un elemento !x; y" pertenece a #, sisatisface la regla de correspondencia, es decir:

#C * 0!; "; !1; "2#E * 0!; "; !1; 1"2

!x; y" ∈ # ↔ >x% By% * /C

#F * 0!; 1"; !1; "2#B * 0!; 1"; !1; 1"2

&ntonces, el dominio y rango de # serán:o(&) * 0x ∈ # 8 >x

% By

%* /C ∧ y ∈ #2

#1 * 0!1; "; !1; 1"2#11 * 0!; "; !; 1"; !1, "2 &an (&) * 0y ∈ # 8 >x

% By% * /C ∧ x ∈ #2

#1% * 0!; "; !; 1"; !1; 1"2#1/ * 0!; "; !1; "; !1, 1"2#1> * 0!; 1"; !1; "; !1, 1"2#1 * ∅#1C * 0!; "; !; 1"; !1, "; !1; 1"2

&n total: 2n 2 = 2 * 1C relaciones distintas entres)

O8INIO RAN9O E -NA RELACI6N

Dada la relacix%; como By% ≥ → /C H >x% ≥ → x% ≤ B → H/ ≤ x ≤ / → x ∈ ?H/; /@

4uego: o(&) * ?H/; /@

G >x% * /C H By%, tambiIn como: >x% ≥

define como el conjunto de las primeras → /C H By% ≥ → y% ≤ > → H% ≤ y ≤ %

componentes de los pares ordenados $ue

conforman la relaci


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E4e!plo 72Jallar el dominio y rango de la relacix H Cy * /2

Analiando la regla de correspondencia de larelacix H Cy * / se obtiene:

G -omo y ∈ #, entonces de dicKa regla, altomarla como una ecuacix H /" *

&

2

3

o(&) 5

-

A

De donde:

2

3

5 &an (&)

-

A

Se deben obtener ra)ces reales y para ello sudiscriminante debe ser no negati(o:

∆ ≥ ↔ !HC"% H >!1" !x% >x H /" ≥ ↔ /C H >!x% >x H /" ≥ ↔ x% >x H 1% ≤ ↔ !x C" !x H %" ≤

↔ HC

≤ x

≤ %

4uego: o(&) * ?HC, %@

G De forma análoga, como x ∈ #, entonces laecuacix !y% H Cy H /" * , obtenida de la reglade correspondencia, debe tener ra)ces reales,para lo cual

∆ ≥ ↔ >% H >!1" !y% H Cy H /" ≥ ↔ 1C H >!y%

H Cy H /" ≥ ↔ y% H Cy H E ≤ ↔ !y H E" !y 1" ≤ ↔ H1 ≤ y ≤ E

4uego: &an (&) * ?H1; E@

RE+RESENACI6N 9R5ICA E -NARELACI6N

# * 0!%; %", !%; /", !%, >", !/; %", !/, /"; !>, %"2

L además: o(&) * 0%; /; >2 * & an(&)

I+OS E RELACIONES-onsideramos una relaci",!/; >", !>; >", !>; 1"2Se obser(a $ue:

9ara 1 ∈ A : !1; 1" ∈ #9ara % ∈ A : !%; %" ∈ #9ara / ∈ A : !/; /" ∈ #

=na representaci; >" ∈ #

propiedades o caracter)sticas e incluso, para 9or lo tanto es #&34&M5NAciertas relaciones, se puede determinar a partir dedicKa gráfica el dominio y el rango+ 4as E4e!plo 71

representaciones gráficas descritas anteriormente G 4a relaci


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9ara !1; 1" ∧ !1; %" ∈ # : !1; %" ∈ #9ara !1; %" ∧ !%; 1" ∈ # : !1; 1" ∈ #

03. Se da el conjunto A = {1;2;3;} y las

9ara !1; %" ∧ !%; %" ∈ # : !1; %" ∈ #9ara !%; 1" ∧ !1; 1" ∈ # : !%; 1" ∈ #9ara !%; 1" ∧ !1; %" ∈ # : !%; %" ∈ #9ara !%; %" ∧ !%; 1" ∈ # : !%; 1" ∈ #

9or lo tanto, # es de &T=5NA4&7-5A

RELACI6N IN;ERSADado un conjunto no (ac)o A y la relaci d" e" /

Se define la relaci"2&ntonces:

suma de los elementos del rango de #+

a" %1 b" B c" 1 d" 1B e" 1

#G * 0!%; 1", !/; %", !>; /", !/; 1", !>; 1", !>; %"2 05. Si: A = {a∈ Z / 2 ≤ a


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a" B b" F c" C d" e" E


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07. Si:

A = {a ∈ Z / 0


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bisectri del tercer cuadrante+ Según esto, ba

es iguala a:Jallar: a b c d e indicar si # estransiti(a

a" ,% b" ,> c" ,C a" %F; S5 b" %>; S5 c" %>; 7d" ,F e" 1,% d" %F; 7 e" 1>; S5

71+ Dados los conjuntos:7>+ &n A * 01; %; /; >2 se considera la relaci2; ' * 01; %; ; C2 y - !a; b"definida por “a” no es menor $ue “b”, donde!a;b" ∈ A × '

U-uántos pares ordenados tiene la

correspondencia -V

7?+ Siendo # una relaci


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d" N33 e" NNN

//+ Sean las relaciones:#1 * 0!x; y" ∈ #

% 8 x O % ∨ H1 O y O %2#% * 0!x; y" ∈ #

% 8 x ∈ R 2#/ * 0!x; y" ∈ #% 8 H % ≤ y ≤ 12-on respecto a las proposiciones:5+ !H%; 1" ∈ #1 ∩ #% H #/55+ !>; H1" ∉ #% H #/

555+ !18%; 8%" ∈ #1 ∪ #% ∪ #/Son (erdaderas:a" S2 un conjunto cuyo número deelementos se expresa as): n!S" * /Si:#1 * 0!x; y" ∈ S

% 8 y >/ x2 #% * 0!x; y" ∈ S

% 8 y *x%2#/ * 0!x; y" ∈ S% 8 y H x * 12

Jallar: n (& 1 )n(& 2 ) + n(& 3 )

a" 1 b" 18% c" %d" >8/ e" /

/*+ &n R se define las siguientes relaciones:#1 * 0!x; y" 8 /x y * E2#% * 0!x; y" 8 x . >y * 1%2y S * 0!x; y" 8 ∃ !x; " ∈ #1 ∧ !; y" ∈ #%2&ntonces, S por comprensiy * %/2d" S * 0!x; y" 8 /x H Fy * 1B2e" S * 0!x; y" 8 >x H 1y * %/2

/2+ Se definen en R las siguientes relaciones:a # b ↔ a es di(isor de ba S b ↔ a b * >

a" # es reflexi(a y S es simItricab" # es transiti(a y Q es reflexi(ac" S es transiti(a y t es simItricad" S es reflexi(a y t es transiti(ae" # es transiti(a y S es simItrica

NI;EL INER8EIO

7/+ &n A * 01, %; /; >; 2 se define la relaci", !>; %", !; %", !; /"2Si:P * 0x ∈ A 8 !x; /" ∈ #2 ;7 * 0y ∈ A 8 !%; y" ∉ #29 * 0y ∈ A 8 !/; y" ∈ #2-alcular: n !!P ∪ 7" x 9"a" F b"B c" 1d" 1% e" 1

71+ -on respecto a la relaci


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y

x

73+ De las proposiciones:5+ 4a gráfica cartesiana de

# * 0!x; y" ∈ #%

8 WxyW * %2&s simItrica respecto a sus as)ntotas55+ 4a gráfica cartesiana de:

S * 0!x; y" ∈ #% 8 Wy 1W * Wx H 1W2&s simItrica respecto al origen decoordenadas

555+ 4a gráfica cartesiana de

d" !>, %" ∈ #e" !>; H%" ∈ #

/7+ &n A * 01; %; /;>; 2 se define la relaci", !; >",

!; %", !>; /", !/; "2Si:P * 0x ∈ A 8 !x; %" ∈ #27 * 0y ∈ A 8 !/; y" ∈ #29 * 0x ∈ A 8 !x; " ∉ #2a" 0%; 2 b" 0/; 2 c" 0/2d" 02 e" 01; %; >; 2

//+ Si: #1 * 0!x; y" ∈ #% 8 y H x * C2;

%

Q * 0!x; y" ∈ #% 8 Wx yW * %2 #% * 0!x; y" ∈ # 8 y x * F2

5N+ 4a gráfica cartesiana de= * 0!x; y" ∈ #% 8 xy * 2&stá formada por todos los puntos del

planoSon falsas:

los elementos de #1 ∩ #%a" / b" > c" d" C e" E

/1+ Dados los conjuntos: A * 0x ∈ # 8 x% * F H %x2a" Qodas b" Solo 5 c" S * 0!%; 1", !%; %", !%; /"2U-uántas son funciones definidas en AVa" 7inguna b" 1 c" %d" / e" >

7>+ Si: A * 0.1; ; 12 y # * 0!x; y" ∈ A% 8 y% * x%2,Jallar n!#"a" b" > c" /d" % e" 1

7?+ Dada la relaci e" 1%F

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