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Relación de problemas de modelado de programación 1/49

RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE MODELADO DE PROGRAMACIÓN PROBLEMA: PRODUCCIÓN DE TRES PRODUCTOS (PRODUCTION OF THREE

PRODUCTS) Una compañía fabrica una gama de tres productos, A, B y C, en seis

diferentes factorías. Los costes unitarios de fabricación de cada producto y las capacidades de las seis plantas están dados en la tabla adjunta.

Producto F1 F2 F3 F4 F5 F6 A 25 30 26 34 32 30 B 30 32 34 35 38 40 C 40 46 42 37 40 50 Capacidad 550 700 1100 350 400 450

Los tres productos pueden venderse en cualquier cantidad, pero el

departamento de ventas tiene ya firmados contratos por los que hay comprometidas 700 unidades de A, 500 de B y 600 de C.

Los precios unitarios de venta para A, B y C son respectivamente de 60, 82.5 y 108 €.

Proponer un modelo de programación lineal que planifique la producción de manera que se maximice el beneficio


PROBLEMA: FLOTA AÉREA (CHARTER FLIGHTS) Una compañía aérea tiene una flota de 15 aeronaves: 5 de cada uno de tres

tipos A, B y C, cuyas respectivas capacidades para el transporte de viajeros son de 80, 68 y 55 personas.

A B CA B CA B C

Una agencia de viajes le solicita presupuesto para trasladar a 372 personas. La compañía analiza sus costes, que dependen del número de aviones de cada tipo que quiera utilizar para transportar a esas personas, datos que se dan en la siguiente tabla en miles de euros.

Tipo 1 2 3 4 5 A 11 20 30 40 50 B 9 17 24 34 45 C 8 15 21 26 31

Además la compañía aérea incurre en un coste fijo adicional de 6 k€ por

cada tipo de aviones que utilice. Proponer un modelo de programación lineal entera cuyo objetivo sea

determinar la composición óptima de la flotilla de aviones que va a realizar el transporte para minimizar los costes de la operación.


PROBLEMA: MAGDALENAS (MUFFINS) Una empresa de panadería especializada en la elaboración de magdalenas

artesanas, ofrece tres variedades de magdalenas: de huevo, de vainilla y de chocolate. Cada variedad debe procesarse con dos tipos de máquinas: la amasadora y el horno.

En la tabla siguiente se muestra el tiempo, en decenas de minutos, que se tarda en procesar cada docena de magdalenas con cada máquina, así como el beneficio obtenido con cada docena de magdalenas y la disponibilidad de tiempo en decenas de minutos por semana laboral

Tipo de máquina Magdalenas de

huevo Magdalenas de

vainilla Magdalenas de

chocolate Disponibilidad

Amasadora 2 5 4 70 Horno 3 4 6 86 Beneficio (c€) 80 70 95

Se pide: a) Formular el problema de programación lineal que proporcione el mayor

beneficio para la empresa. b) Suponga que la empresa se plantea aumentar la disponibilidad semanal de

cada máquina según la tabla 2 pero sólo puede realizar a lo sumo un tipo de incremento para cada máquina. En total se dispone de un capital de 340 € por semana para estas inversiones. Formular el problema de programación que determine las decisiones a considerar para obtener mayor beneficio.

Tipo de máquina Amasadora Horno Incremento en disp. (x10 min) 10 15 8 12 Coste inversión semanal 160 170 170 175

c) Sólo se invierte en un aumento de disponibilidad del horno en el caso de que se haya invertido en la amasadora, ¿cómo se formula esta condición?

d) Se invierte en un aumento de disponibilidad del horno si y sólo si se ha invertido en la amasadora, ¿cómo se formula esta condición?


PROBLEMA: TALLER (JOB SHOP) Un taller produce dos tipos de equipos, XXX e YYY. El equipo XXX admite

dos formas distintas de ensamblaje: F1: 3 componentes tipo A, 4 componentes tipo B y 5 componentes de tipo C F2: 4 componentes tipo A, 5 componentes tipo B y 3 componentes de tipo C

mientras que el ensamblaje de una unidad de YYY requiere 4 componentes de cada tipo.

Se dispone de 4000 componentes de tipo A, 5000 componentes B y 4500 componentes C.

Si el dispositivo XXX es ensamblado según el proceso F1 proporciona un beneficio unitario de 18 € y de 16 € si lo es por el proceso F2. El dispositivo XXX sólo puede ensamblarse de una única forma. Una unidad de YYY genera un beneficio de 15 €. Las componentes no utilizadas son saldadas con una pérdida unitaria de 1 €.

Hay contratos firmados que exigen fabricar al menos 400 unidades de cada equipo.

Elaborar un modelo integrado de programación lineal que determine que proceso debe utilizarse para fabricar XXX y cuántas unidades de cada equipo conviene fabricar para obtener el máximo beneficio.


PROBLEMA: CORTE DE BOBINAS (PAPER ROLL CUT) Una empresa fabrica bobinas madre de papel de longitud fija 3 metros.

Posteriormente las corta transversalmente según las medidas de los pedidos de clientes. En la figura siguiente se muestra el corte de la bobina madre en cuatro bobinas, una de las cuales constituye desperdicio de la bobina ya que no corresponde con pedido alguno.

3 m

Corte 1 Corte 2 Corte 3

Desperdicio3 m

Corte 1 Corte 2 Corte 3

Desperdicio

A continuación se muestran los pedidos de los clientes de una semana con

sus cantidades y longitudes.

Tipo de pedido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bobinas 20 30 15 25 40 25 50 15 10 5 Longitud [m] 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75

Se ha de tener en cuenta que técnicamente no es posible realizar más de

cuatro cortes en una misma bobina. La asignación de los cortes a las bobinas madre puede dar lugar a desperdicios de bobina. Estos desperdicios sólo se pueden reutilizar introduciéndolos al comienzo del proceso de fabricación del papel.

Mediante un modelo de programación lineal entera establecer la planificación semanal de fabricación de bobinas y corte de las mismas.

a) Establecer índices, parámetros y variables del modelo b) Establecer genéricamente la función objetivo de la planificación c) Establecer genéricamente las restricciones del modelo d) Modelar que técnicamente en las bobinas madre con algún pedido de tipo 1

se ha de incluir algún pedido de tipo 5 o tipo 9


PROBLEMA: ALQUILER DE COCHES (CAR RENTING) Un turista aventurero desea hacer un viaje por Europa, visitando España,

Francia, Alemania, Austria, Suiza e Italia, por este orden, para regresar a España por avión. Puede, en cada uno de los seis países, alquilar uno de tres tipos de turismos que, de acuerdo con sus características, precios de los combustibles y recorridos a realizar en cada país, gastarán en combustible los euros indicados en la tabla.

El turista es libre, al llegar a un nuevo país, de cambiar o no de vehículo, pero cada vez que cambia de vehículo tiene que pagar 25 € por gastos de documentación en el alquiler del nuevo vehículo

Turismo España Francia Alemania Austria Suiza Italia A 160 210 180 110 85 170 B 120 240 165 135 100 160 C 150 200 175 140 115 135

Diseñar un modelo de programación lineal que permita determinar que

vehículo debe ser utilizado en cada país con el fin de minimizar el coste del transporte.


PROBLEMA: PISCINAS (SWIMMING POOLS) El pueblo palentino de “Venta de Baños” se caracteriza por tener las

piscinas mejores de la zona, una familiar P1 y otra olímpica P2. Este verano próximo se avecina escaso de agua y por ello el Ayuntamiento se está planteando la posibilidad de clausurar las dos piscinas, una de ellas o ninguna con el fin de satisfacer en lo posible otros consumos. El abastecimiento de agua proviene de dos tomas, la toma izquierda T1 y la toma derecha T2 con 400 m3

diarios cada una que abastecen a tres depósitos de capacidad ilimitada dentro del casco urbano, D1, D2 y D3, de los cuales se extrae el agua para los consumos en m3 que se indican en la tabla siguiente. Se ha de tener en cuenta que si no se abastece completamente el consumo mínimo diario de cada piscina, la calidad del agua se deterioraría y por tanto no sería apta para el baño.

Consumo doméstico Consumo agrícola Piscina

D1 150 100 50

D2 100 50

D3 400 0 25

El Concejal de Servicios Públicos ha estimado que la carencia diaria de agua

para consumo doméstico implica un coste social de 3 €/m3 y para consumo agrícola de 1 €/m3. El cierre de la piscina familiar implicaría una pérdida diaria de imagen valorada en 100 € y el cierre de la olímpica en 50 €. El cierre de las dos piscinas implicaría una pérdida diaria de imagen de 200 €.

Cada tubería que conecta los pozos, depósitos y piscinas tiene un coste asociado de transporte expresado en c€/m3 indicado en la figura y que representa el coste de bombeo de agua entre nodos del sistema.

Se pide formular un problema de programación matemática que permita decidir sobre el cierre de las piscinas e indique la cantidad de agua suministrada y no suministrada por tipo de consumo en cada depósito.

Establecer el modelo de programación con su función objetivo y sus restricciones, indicando las restricciones asociadas a cada uno de los depósitos y las que modelan el cierre simultáneo de las piscinas.


PROBLEMA: CONEXIÓN DE DOS OLEODUCTOS (CONNECTING TWO PIPELINES)

Una empresa petrolífera posee siete refinerías {A,B,C,D,E,F,G} que están comunicadas mediante una red de oleoductos con capacidades denominadas ijc

l/s en el flujo de petróleo que netamente se transporta entre cualesquiera refinerías i y j . A continuación se muestra el diseño de la red de oleoductos.

La necesidad de abastecimiento de petróleo de las distintas refinerías se

define como ib l/s. Se está estudiando la conexión de esta red con dos oleoductos, uno de capacidad 1c l/s y el otro de capacidad 2c l/s para abastecer todas las refinerías.

Se impone la condición de que las dos conexiones no pueden estar en refinerías adyacentes. La falta de capacidad de abastecimiento de petróleo se penaliza en cada refinería i con ip €/l/s.

Establecer un modelo de programación matemática que determine la localización óptima de las dos conexiones de los oleoductos con la red.


PROBLEMA: SECUENCIA DE CINCO TRABAJOS (SEQUENCING FIVE TASKS) Cinco trabajos deben ser procesados sobre dos máquinas 1M y 2M en ese

orden, es decir, el primer proceso lo experimentan en la máquina 1M y el segundo en la máquina 2M . Los tiempos de proceso y tiempos de entrega, medidos en horas, se dan en la siguiente tabla.

Máquina 1 Máquina 2 Tiempo de entrega

Trabajo 1 9 12 40

Trabajo 2 6 8 25 Trabajo 3 10 7 33

Trabajo 4 8 10 45

Trabajo 5 7 9 45

a) Elaborar un modelo de programación lineal que minimice el tiempo total de

ejecución de los cinco trabajos. b) Se supone ahora que el trabajo 3 debe ser procesado antes que el número 2. c) Elaborar un segundo modelo de programación lineal que proporcione el

orden en el que deben ser procesados los trabajos para que la suma de las demoras respecto a los tiempos de entrega sea mínima.


PROBLEMA: EXÁMENES (EXAMS) Un estudiante cuenta con siete días para preparar cuatro asignaturas e

intentar aprobar el mayor número posible de ellas. Los exámenes son de corta duración y se hacen de forma seguida sin poderse preparar entre un examen y otro. El estudiante quiere dedicar por lo menos un día para cada asignatura y cada día quiere concentrarse sólo en una asignatura. Como máximo puede dedicar cuatro días a la preparación de una asignatura.

En la tabla siguiente se muestran los puntos que se esperan obtener dependiendo del número de días dedicados a cada asignatura.

Días A B C D

1 3 5 2 6

2 5 5 4 7

3 6 6 7 9

4 7 9 8 9

El aprobado de cada asignatura se obtiene si se obtiene una puntuación igual

o superior a un 5. Se pide resolver el problema de maximizar el número de asignaturas aprobadas mediante un modelo de programación lineal entera. Valorar mediante un modelo en GAMS la solución óptima a este problema comprobando si cumple las restricciones del problema de maximización.


PROBLEMA: BASES DE DATOS (DATA BASE)

La información contenida en los campos A, B, C, D, E, F y G ha de ser distribuida en tres ficheros 1, 2 y 3 de tal forma que las consultas realizadas a la base de datos que incorpora estos ficheros se realicen en el menor tiempo posible. Cada campo no puede estar en más de un fichero.

En la tabla siguiente se indica la probabilidad en % de realizar consultas a la base de datos solicitando determinados campos.

Consulta Consulta Consulta Consulta

A-D C-E-F B-D-G A-B-G

35 25 20 20

a) Se quiere establecer el modelo de programación lineal que permita

determinar la separación de los campos entre los tres ficheros teniendo en cuenta:

Los ficheros no pueden albergar más de cuatro campos El fichero que contenga el campo A no puede contener el campo F Si en un mismo fichero están contenidos los campos A y B, los campos D

y E han de estar contenidos en el mismo fichero Las consultas que buscan en dos ficheros tardan un 25 % más de tiempo

que las consultas que tienen todos sus campos en un solo fichero Las consultas que han de buscar en tres ficheros tardan un 50 % más b) ¿La formulación planteada podría considerar la existencia de consultas

con más de tres campos? En caso negativo, plantear una formulación que pueda contemplarlo. En caso afirmativo, desarrolla las restricciones asociadas a una consulta (A-B-C-D-E-F-G) que supusiese un 10 % de las consultas totales (en tal caso la probabilidad de la consulta se reduciría al 10 %)


PROBLEMA: COMIDA DE NAVIDAD Abilio, Bibiana, Calimero, Dionisio, Eustaquia, Filomena, Gilberto, Honorio,

Ismael, Jasmina, Kevin y Luciana son doce compañeros de trabajo. La empresa les invita a la comida de Navidad si y sólo si todos participan en ella. Por cada comensal que no asista sin una excusa suficientemente creible, la empresa deja de pagar 50 € del importe total de la comida.

El restaurante dispone de dos mesas de seis asientos que podría juntarlas para tales eventos, pero tal y como están las relaciones entre ellos mejor no hacerlo. Abilio se encarga de ver la posibilidad de que los comensales entre las dos mesas estén a gusto y no empiecen a buscar excusas para no venir.

Abilio está casado con Bibiana, a pesar de lo cual quieren estar en la misma mesa y decidir conjuntamente si finalmente ir o no a la comida. En la mesa donde se siente Calimero es mejor que no estén Eustaquia ni Filomena ya que de lo contrario la riña está garantizada. Kevin, una persona timidísima, sólo ha puesto como condición que se sienten en su mesa Gilberto o Jasmina ya que son los únicos que hablan inglés y los demás le hablan por señas.

Abilio tiene en cuenta que Honorio e Ismael son forofos del equipo líder de la Liga profesional de fútbol, y le toman el pelo a Dionisio, hincha de un equipo local, aunque esté en una mesa distinta a la de los forofos. Por ello se decide que si Honorio e Ismael están la misma mesa, Dionisio querría sentarse con Luciana con la cual está iniciando una amistad que le inhibe de cualquier comentario futbolero.

Bibiana, Jasmina y Luciana son muy amigas en el trabajo y las que vengan finalmente quieren estar juntas en la mesa de la derecha. Abilio, marido de Bibiana, si no quiere dormir en la bañera, más vale que tenga en mente los gustos de su mujer y sus amigas.

Para tomar una decisión Abilio plantea un modelo de programación lineal y va a la farmacia a pedir una aspirina por el dolor de cabeza.


RELACIÓN DE PROBLEMAS ADICIONALES DE MODELADO DE PROGRAMACIÓN

PROBLEMA. LA SEQUÍA Ciudad Rodrigo es una población agrícola que se abastece de agua superficial

proveniente de los embalses, Agueda y Alagón, y de aguas subterráneas provenientes del “pozo de los Humos”. La Concejal de Infraestructuras y Urbanismo está evaluando distintas posibilidades de restringir este verano el consumo de agua que se distribuye a partir de los tres depósitos situados en las proximidades o en el propio casco urbano, el Huerto, el Jardín y la Plaza. Para ello ha dividido el consumo diario en consumo doméstico y agrícola, y ha penalizado con un coste distinto la carencia de agua en ambos tipos de consumo.

Doméstico [m3]

Agrícola [m3]

Coste carencia doméstica [€/m3]

Coste carencia agrícola [€/m3]

El Huerto 1500 3000 1 0.3

El Jardín 1000 2000 1.1 0.5

La Plaza 4000 0 1.2 -

Las tuberías que conectan embalses, pozos y la población tienen distinto caudal máximo diario y un porcentaje de pérdidas indicados entre paréntesis en la figura. También se indica el volumen disponible diario de embalses y pozos. En la parte derecha se muestra el pozo “El Valle” cuya puesta en marcha implicaría que este verano el Ayuntamiento cobraría adicionalmente 1000 € por día. Formular el modelo de programación que indique la cantidad de agua suministrada y no suministrada por tipo y depósito, así como los caudales requeridos y si la puesta en marcha del pozo adicional es conveniente.

El Huerto

El Jardín

La Plaza

Agueda Alagón

Los HumosEl Valle

(1000, 1%)

(5000, 2%)

(3000, 3%)

(5000, 3%)

4000 m3 4000 m3

2000 m3

2000 m3

(3000, 3%)

(6000, 2%)

(300

0, 2%

)

El Huerto

El Jardín

La Plaza

Agueda Alagón

Los HumosEl Valle

(1000, 1%)

(5000, 2%)

(3000, 3%)

(5000, 3%)

4000 m3 4000 m3

2000 m3

2000 m3

(3000, 3%)

(6000, 2%)

(300

0, 2%

)


¿Qué cambios serían necesarios para contemplar que antes de suministrar al depósito de “La Plaza” es necesario suministrar completamente los depósitos de “El Huerto” y “El Jardín”?


PROBLEMA. SAN PEDRO

San Pedro está sofisticando el sistema de acceso al Cielo y para ello ha decidido clasificar las buenas acciones en 3 categorías: Sacrificios, Penitencias y acciones Voluntariosas y los pecados en 3 categorías: Pecados Mortales, Graves y Pecadillos.

Los pecados Mortales sin ser perdonados mediante Sacrificios implican que el alma va directa al Infierno. Un pecado Mortal queda perdonado si el pecador realiza tres Sacrificios. Para el resto de acciones el criterio seguido es valorar con “gracias” positivas las buenas acciones y los pecados con “gracias” negativas. El nivel mínimo para que el alma pase directo al Cielo es de 100 gracias, en caso de tener entre 50 (inclusive) y 100 gracias el alma pasa una temporada en el Purgatorio y luego va al Cielo, y en caso de tener menos de 50 el alma va al Infierno salvo intervención Divina. A continuación se indica la valoración de San Pedro por las buenas acciones y los pecados no mortales expresada en “gracias”.

Buenas acciones Pecados

Penitencias Voluntariosas Graves Pecadillos

4 gracias 2 gracias -10 gracias -3 gracias

Lucifer (“el demonio”), dadas sus malas artes, ha conocido esta tabla de valoración de San Pedro. Se ha puesto en contacto con ciertos humanos de lo peorcito de la Sociedad ya que disfrutan haciendo malas acciones. Lucifer les ha ofrecido conocer el sistema de evaluación quitándoles 50 gracias a lo cual ellos acceden encantados.

Con la autoridad Divina, San Pedro asigna a todo hombre al nacer 50 gracias y si está bautizado le otorga otras 50 gracias, en total 100 gracias, de las cuales se ha de descontar la cantidad pactada con Lucifer.

Estos humanos malvados suelen realizar en término medio 200 acciones que puntúan a lo largo de su vida (entre buenas acciones y pecados). Desde el punto de vista de los malvados la valoración de las acciones cambia completamente


con respecto a la de San Pedro tal y como se indica en la tabla siguiente expresada en “malévolos”.

Buenas acciones Pecados

Sacrificios Penitencias Voluntariosas Mortales Graves Pecadillos

-30 malévolos

-10 malévolos

-5 malévolos

60 malévolos

30 malévolos

10 malévolos

Se pide: a) Establecer un modelo matemático que permita a uno de estos malvados

bautizados tomar decisiones sobre qué número y tipo de buenas acciones y pecados realizar en su paso por la Tierra maximizando los “malévolos” obtenidos pero permitiendo que vaya directo al Cielo.

b) ¿Qué modificarías para que este malvado considerase la posibilidad de ir al Purgatorio si ello supusiera para ellos perder 25 “malévolos”?


SOLUCIÓN. PRODUCCIÓN DE TRES PRODUCTOS

Índices i : Índice de los productos {A, B, C} j : Índice de las fábricas {F1, F2, F3, F4, F5} Parámetros

ip : precio del producto i

ijc : coste de fabricación del producto i en la fábrica j

ib : cantidad contratada del producto i

jf : capacidad de la fábrica j

Variables

ijX : Cantidad de producto i producido en la fábrica j

Función objetivo

Maximizar el beneficio restando del precio de venta el coste de fabricación

( )max i ij iji j

p c X-åå

Restricciones

Capacidad de la fábrica j

ij ji

X f j£ "å

Contrato del producto i

ij ij

X b i³ "å

(Se considera que las cantidades a producir pueden superar las cantidades contratadas) Variables no negativas

0ijX ij³ "


SOLUCIÓN. FLOTA AÉREA (CHARTER FLIGHTS) Índices i : Tipo de avión { }, ,A B C j : Número de aviones utilizados { }1,..., 5 Parámetros

ijc : Coste de utilizar j aviones de tipo i (tabla del enunciado)

f : Coste fijo por utilizar un tipo de avión d : Demanda de transporte (372 pasajeros)

ip : Capacidad de transporte de 1 avión de tipo i

Variables

ijX : Indicador de utilización de j aviones de tipo i {0/1}

id : Indicador de si se utiliza el tipo de avión i {0/1}

Función objetivo

Se minimiza el coste total multiplicando el coste del número de aviones utilizados de cada tipo incluyendo en dicho coste el coste fijo adicional de 6 k€ por el indicador de utilizar un número de aviones de un determinado tipo.

,

minij ij i

i j i

c X f d+ ⋅å å

Restricciones

Se ha de garantizar el traslado del número de pasajeros

,i ij

i j

p j X d⋅ ⋅ ³å

En cada tipo de avión solamente se puede elegir un número de aviones.

Además también se establece la lógica entre el uso de un tipo de avión y el número de aviones utilizado de cada tipo

ij ij

X id£ "å

Las variables de decisión son binaria

{ }, 0,1ij i

X d Î


SOLUCIÓN: MAGDALENAS (MUFFINS) a) Formular el problema de programación lineal que proporcione el mayor

beneficio para la empresa.

Índices i : Índice de tipos de magdalenas fabricadas {huevo, vainilla, chocolate} j : Índice de máquinas {Amasadora ,Horno }

Parámetros

ijt : Tiempo invertido en fabricar magdalenas del tipo i en el tipo de máquina j

jc : Tiempo disponible en el tipo de máquina j

ib : Beneficio obtenido por cada docena de magdalenas del tipo i

Variables

iX : Número de docenas de magdalenas del tipo i fabricadas Función objetivo

max i ii

b Xå

Restricciones

Limitación del tiempo disponible por tipo de máquina

ij i ji

t X c£å

0iX ³

b) Suponga que la empresa se plantea aumentar la disponibilidad de cada

máquina según la tabla 2 pero sólo puede realizar a lo sumo un tipo de incremento para cada máquina. En total se dispone de un capital de 3400 €

para realizar las inversiones. Formule el problema de programación lineal que proporcione los elementos a considerar para obtener un mayor

beneficio.

Tipo de máquina La amasadora El horno Incremento en disponibilidad (10 min) 10 15 8 12 Coste inversión (10 €) 160 170 170 175

Nuevo índice


k : Índice de tipo de inversión {1,2} Nuevos parámetros

jkg : Inversión en la máquina j del tipo k

jkh : Incremento de la disponibilidad de la máquina j tras la inversión de tipo k

p : Inversión máxima disponible Nuevas variables

jkY : Variable de decisión de invertir en la disponibilidad de la máquina j

usando el tipo k

Nueva función objetivo

max i i jk jki k j

b X g Y-å åå

Nuevas restricciones

Limitación de disponibilidad con inversiones:

ij i j jk jki k

t X c h Y j£ + "å å

Limitación de presupuesto

,jk jk

j k

g Y p£å

Limitación lógica de inversiones

1jkk

Y j£ "å

{ }0, 0,1i jk

X Y³ Î

c) Si sólo se invierte en un aumento de disponibilidad del horno en el caso de que se invierta en la amasadora, ¿cómo se formula esta condición?

,1 ,2 ,1 ,2Horno Horno Amasadora AmasadoraY Y Y Y+ £ +

d) Si se invierte en un aumento de disponibilidad del horno si y sólo si se

invierte en la amasadora, ¿cómo se formula esta condición?

,1 ,2 ,1 ,2Horno Horno Amasadora AmasadoraY Y Y Y+ = +


SOLUCIÓN. TALLER (JOB SHOP)

Índices i : Proceso de ensamblaje utilizado para el equipo XXX {F1,F2} j : Componentes de ensamblado {A,B,C} Parámetros

ibx : Beneficio unitario del equipo XXX ensamblado con el proceso i by : Beneficio unitario del equipo YYY

jm : Cantidad de componentes j disponibles

ijnx : Cantidad de componentes j necesarios para ensamblar equipos XXX según

el proceso i

jny : Cantidad de componentes j necesarios para ensamblar equipos YYY

q : Pérdida unitaria por componente no utilizada rx : Cantidad mínima de equipos XXX que ha de ser fabricada ry : Cantidad mínima de equipos YYY que ha de ser fabricada s : Cota superior de equipos XXX ensamblados Variables

iX : Cantidad de equipos XXX ensamblados con el proceso i Y : Cantidad de equipos YYY ensamblados

jZ : Cantidad de componentes j no utilizadas

W : Indicador del proceso de ensamblaje utilizado para el equipo XXX (binaria) Función objetivo

Se maximiza la suma del beneficio de los equipos vendidos restando las pérdidas de los componentes no utilizados

max i i ji j

bx X byY q Z+ -å å

Restricciones

Se limita el número de componentes utilizados según las existencias disponibles

ij i j j ji

nx X ny Y Z m j+ + = "å

Se obliga a fabricar al menos una cantidad de equipos XXX


ii

X rx³å

Se obliga a fabricar al menos una cantidad de equipos YYY

Y ry³

Se elige uno de los dos procesos de ensamblaje de los equipos XXX

1FX sW£ ( )2 1FX s W£ -

Todas las variables del modelo deben ser mayores o iguales a cero y W debe

ser binaria

{ }, , 0

0,1i j

X Y Z

W

+ +Î Î ³

Î


SOLUCIÓN: CORTE DE BOBINAS (PAPER ROLL CUT)

a) Establecer índices, parámetros y variables del modelo Índices i : Tipos de bobinas del cliente {1,...,10} j : Bobinas madre utilizadas {1,....,nº máximo semanal} Parámetros h : Longitud de la bobina madre [m]

il : Longitud de la bobina de tipo i [m]

in : Número de bobinas semanales de tipo i requeridas Variables

,i jX : Número de bobinas de tipo i asignadas a la bobina j

jY : Utilización de la bobina madre j {0/1}

jD : Desperdicio de la bobina madre j [m]

b) Establecer genéricamente la función objetivo de la planificación

Opción 1: Se minimiza el número de bobinas madre utilizadas en la planificación semanal

min jj

Yå

Opción 2: Se minimiza el desperdicio de las bobinas

min jj

Då

Ambas opciones son equivalentes para la función objetivo c) Establecer genéricamente las restricciones del modelo

Realización de pedidos de tipo i de los clientes La cantidad de pedidos de tipo i han de ser realizados y para ello se suman

los pedidos de tipo i realizados en cada bobina j

ij ij

X n i= "å

Limitación del número de pedidos por bobina Para ser asignado un pedido a una bobina, dicha bobina ha de estar indicada

como utilizada. Adicionalmente el número máximo de cortes por bobina es de cuatro por lo que el número máximo de pedidos asignados a una bobina es de cinco

5ij ji

X Y j£ "å


Limitación de longitud de la bobina madre La suma de longitudes de las bobinas cortadas ha de ser menor o igual a la

longitud de la bobina madre

i ij j ji

l X D h Y j+ = ⋅ "å

d) Modelar que técnicamente en las bobinas madre con pedidos de tipo 1 se ha

de incluir pedidos de tipo 5 o tipo 9 En el caso de que se realice una o más bobinas de tipo 1 en la bobina madre

se han de realizar al menos una o más bobinas de tipo 5 ó 9

( )1 5 9 5 9 10 0 ó 0 5j j j j j jX X X X X X¹ ¹ ¹ + ³


SOLUCIÓN: ALQUILER DE COCHES (CAR RENTING) Índices i : Tipo de turismo { }, ,A B C j : Relación de países por los que se pasa { }, , , , ,E F Al Au S I k : Relación de países donde se puede cambiar de turismo { }, , , ,F Al Au S I

Parámetros p : Coste de cambio de turismo

ijc : Coste del uso del turismo i en el país j

Variables

ijX : Indicador de si el tipo de turismo i se utiliza en el país j (binaria)

kZ : Indicador de si se cambia de turismo en el país k (binaria) Función objetivo

Se minimiza el coste de uso y cambio de turismo a lo largo de los paises visitados

minC I I

ij ij ki A j E k F

c X p Z= = =

+åå å

Restricciones

En cada país se ha de usar un vehículo y sólo uno

1C

iji A

X j=

= "å

El indicador de cambio de turismo en cada país donde se puede realizar el

cambio se obliga a valer 1 cuando se utiliza distinto tipo de turismo en dos países consecutivos en la visita.

1 ,ik ik kX X Z i k-- £ "


SOLUCIÓN: PISCINAS (SWIMMING POOLS)

a) Establecer el modelo de programación genérico

Índices

,i j : Nudos cualesquiera de la red { }1, 2, 1, 2, 3, 1, 2T T D D D P P

k : Nudos de la red con tomas {T1, T2} l : Nudos de la red con depósito {D1, D2, D3} m : Nudos de la red con piscina {P1, P2} Parámetros

lcd : Consumo diario doméstico en el depósito l [m3]

lca : Consumo diario agrícola en el depósito l [m3]

mcp : Consumo diario en la piscina m [m3]

ijc : Coste de transporte entre el nudo i y j [c€/m3]

pd : Penalización diaria por carencia de agua de uso doméstico [€/m3] pa : Penalización diaria por carencia de agua de uso agrícola [€/m3]

mpp : Penalización diaria por clausura de la piscina m [€] q : Penalización diaria adicional por la clausura de las dos piscinas [€]

kv : Volumen diario disponible de agua en la toma k [m3]

Variables

ijX : Caudal diario desde el nudo i al nudo j [m3]

lD : Carencia de agua de uso doméstico en el depósito l [m3]

lA : Carencia de agua de uso agrícola en el depósito l [m3]

mY : Decisión binaria sobre la clausura de la piscina m {0 - se cierra} Z : Decisión binaria sobre la clausura de las dos piscinas {0 - cierran ambas}

Función objetivo

En la función objetivo se minimiza el coste de transporte de los caudales, el coste de carencia de suministro de agua de uso doméstico y agrícola y el coste de clausura posible de piscinas.

( ) ( )min 1 1ij ij l l m mij l l m

c X pd D pa A pp Y q Z+ + + - + -å å å å

Su expresión numérica se indica a continuación:


( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 3 3 3

3 3

3 3

€ € € €1 1 2 3 1 1 3 2

€ €1 3 3 1 1 2

€ €1 2 3 1 2

1 2

0.08 0.07 0.05 0.05

0.04 0.02min

3 1

100€ 1 50€ 1 50€ 1

T D T D D P D Pm m m m

D D D D D Dm m

D D D D Dm m

P P

X X X X

X X X

D D D A A

Y Y Z

ì ü+ + +ï ïï ïï ïï ïï ï+ + +ï ïï ïï ïí ýï ï+ + + + +ï ïï ïï ïï ï+ ⋅ - + ⋅ - + ⋅ -ï ïï ïï ïî þ

Restricciones y cotas relacionadas con cada uno de los depósitos

Depósito D1

1 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 2

1 1 1

150 100

50T D D D D D D P D D D D

D P P

X X D A X X X

X Y

+ + + = + + + +=

31

31

31 1

0 150

0 100

0 400

D

D

T D

D m

A m

X m

£ £

£ £

£ £

Depósito D2

1 2 2 2100 50

D D D DX D A+ + = +

32

32

0 100

0 50

D

D

D m

A m

£ £

£ £

Depósito D3

2 3 1 3 3 3 2 3 1

3 2 2

400

25T D D D D D P D D

D P P

X X D X X

X Y

+ + = + +=

33

32 3

0 400

0 400

D

T D

D m

X m

£ £

£ £

Restricción que modela el cierre o no de las piscinas

1 2

1 2 2

P P

P P

Y Y Z

Y Y Z

+ ³

+ £


SOLUCIÓN. CONEXIÓN DE DOS OLEODUCTOS A continuación se definen los elementos del problema de programación

matemática:

Índices , ,i j k : índices de refinerias {A,…,G}

Parámetros

ip : penalización por desabastecimiento de la refinería i [€/l/s]

ib : necesidad de abastecimiento de la refinería i [l/s]

1c : capacidad de abastecimiento de la conexión 1 del oleoducto [[l/s]

2c : capacidad de abastecimiento de la conexión 2 del oleoducto [l/s]

ijc : capacidad de transporte del oleoducto entre refinería i y j [l/s]

Variables

ijX : Flujo de petróleo transportado desde la refinería i a la refinería j [l/s]

iD : Falta de abastecimiento en la refinería i [l/s]

iE : Exceso de abastecimiento de los oleoductos en la refinería i [l/s] 1iS : Indicador de conexión del oleoducto 1 en la refinería i {0/1} 2iS : Indicador de conexión del oleoducto 2 en la refinería i {0/1}

Función objetivo

Minimizar las penalizaciones por falta de abastecimiento de las distintas refinerías

min i ii

p Då

Restricciones

Abastecimiento de las distintas refinerías i

1 2

1 2i i ki ij i i iki j

c S c S X X D E b+ + - + - =å å

Capacidad de transporte de los oleoductos establecidos entre las refinerías i

y j

,

,

ij ji ij

ij ji ij

X X c i j

X X c i j

- £ "

- ³- "

Localización de las dos conexiones con los oleoductos externos


1

2

0

0

G

G

S

S

=

=

Nota 2: Se evita que la conexión se realice en la refinería G ya que es adyacente a todas las refinerías restantes

1

2

1

1

ii G

ii G

S

S

¹

¹

=

=

å

å

Nota 3: Se obliga a que las dos conexiones se practiquen. En el caso de que no se obligase simplemente habría que sustituir el igual por un menor o igual

Anulación de localizaciones adyacentes de las conexiones

Con el siguiente conjunto de restricciones se evita que se localicen los dos oleoductos en la misma refinería y además no se permite que se coloquen en la refinería adyacente

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1

1

1

1

1

1

A A B B

B B C C

C C D D

D D E E

E E F F

F F A A

S S S S

S S S S

S S S S

S S S S

S S S S

S S S S

+ + + £

+ + + £

+ + + £

+ + + £

+ + + £

+ + + £


SOLUCIÓN. SECUENCIA DE CINCO TRABAJOS (SEQUENCING FIVE TASKS)

a) Elaborar un modelo de programación lineal que minimice el tiempo total de ejecución de los cinco trabajos.

Índices i , j : Índices de trabajos { }T T T T T1, 2, 3, 4, 5

Parámetros 1is , 2

is : Tiempos de proceso del trabajo i en las máquinas 1 y 2

ie : Fecha de entrega del trabajo i M : Constante lógica de duración máxima de la secuenciación [h] Variables

1 2,i iT T : Tiempo de inicio de proceso del trabajo i en máquinas 1 y 2 [h] 1ijX , 2

ijX : Indicadores de que el trabajo i va delante del trabajo j en la máquina

1 y en la máquina 2 respectivamente {0/1} Z : Tiempo total de cumplimentación de todos los trabajos [h] Función objetivo

Puede tener dos formulaciones, la primera considera que lo que se quiere minimizar es la suma de los tiempos de cumplimentación de todos los trabajos. La segunda formulación considera que lo que se quiere minimizar es el tiempo de cumplimentación del trabajo que acaba en último lugar.

La primera formulación se indica a continuación:

( )5

1

2 2minT

i ii T

T s=

+å

La segunda formulación considera una nueva variable que toma el valor del tiempo de cumplimentación del último trabajo y que se denomina Z

2 2

min

i i

Z

Z T s i³ + "

Restricciones

La primera restricción indica que para que se realice el trabajo i en la

máquina 2 primero ha de haberse completado dicho trabajo en la máquina 1

1 1 2i i iT s T i+ £ "


La segunda restricción indica que no se pueden realizar dos trabajos

simultáneamente en la misma máquina, tanto para la máquina 1 como para la máquina 2

1 1 1 1

2 2 2 2

(1 )

(1 )

i i j ij

i i j ij

T s T X M i j

T s T X M i j

+ - £ - " ¹

+ - £ - " ¹

La tercera restricción es una restricción lógica que indica que un trabajo va

delante de otro o al contrario en cada una de las dos máquinas

ij jiX X i j1 1 1+ = " ¹

ij jiX X i j2 2 1+ = " ¹

Las variables de tiempos de inicio y tiempo total de cumplimentación han de

ser positivas, y las variables de preferencia de trabajo en cada máquina binarias:

{ }1 2 1 2, , 0, , 0,1j j ij ij

T T Z X X³ Î

b) Si se supone que el trabajo 3 debe ser procesado antes que el número 2.

Se añade la restricción siguiente al modelo anterior:

2 2 2

3 3 2T s T+ £

c) Elaborar un segundo modelo de programación lineal que proporcione el

orden en el que deben ser procesados los trabajos para que la demora máxima respecto a los tiempos de entrega sea mínima

Nuevas variables

iD : Demora en la entrega del trabajo i [h]

iA : Adelanto en la entrega del trabajo i [h]

La función objetivo consistirá en la minimización de las demoras

5

1

minT

ii T

D=å

Se añaden las restricciones que permiten determinar el retraso y adelanto de las entregas. Ambas son variables positivas

2 2i i i i iT s e D A i+ - = - "


SOLUCIÓN: EXÁMENES (EXAMS)

Índices i : Asignaturas {A, B, C, D} j : Número de días de estudio dedicadas a una asignatura {1, 2, 3, 4} Parámetros

ijp : Número de puntos obtenidos en la asignatura i al dedicar j días de estudio

d : Número total de días de estudio {7} a : Nota para aprobar una asignatura {5} Variables

ijX : Indicador de haber dedicado j días de estudio a la asignatura i {0/1}

iY : Indicador de haber aprobado la asignatura i {0/1}

Función objetivo

max i A B C Di

Y Y Y Y Y= + + +å

Restricciones Se ha de establecer un número de días dedicado a cada asignatura (al menos un día)

1ijj

X i= "å

Numéricamente:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1

1

1

1

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D

X X X X

X X X X

X X X X

X X X X

+ + + =

+ + + =

+ + + =

+ + + =

El número máximo de días dedicados al estudio son 7

j ijij

ord X d£å

Numéricamente:

( )

( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2

3 3 3 3 4 4 4 4

2

3 4 7

A B C D A B C D

A B C D A B C D

X X X X X X X X

X X X X X X X X

+ + + + + + + +

+ + + + + + + £


La condición de aprobado es que se obtenga 5 puntos o más

ij ij ij

p X aY i³ "å

Numéricamente:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 5 6 7 5

5 5 6 9 5

2 4 7 8 5

6 7 9 9 5

A A A A A

B B B B B

C C C C C

D D D D D

X X X X Y

X X X X Y

X X X X Y

X X X X Y

+ + + ³

+ + + ³

+ + + ³

+ + + ³

Valorar mediante GAMS la solución óptima a este problema comprobando si

cumple las restricciones del problema La solución óptima del problema, tal y como se puede comprobar ejecutando el modelo de GAMS que se incluye a continuación, es:

2

1

3

1

1

1

1

1

A

B

C

D

X

X

X

X

=

=

=

=

Se comprueba como hay una variable binaria no nula por asignatura. También se comprueba que no se sobrepasan los siete días disponibles para prepararse las asignaturas.

1 1 1 32 3 7B D A CX X X X+ + + £

Se comprueba que las cuatro asignaturas se aprueban con esta solución.

2

1

3

1

5 5 1

5 5 1

7 5 1

6 5 1

A

B

C

D

X

X

X

X

³ ⋅

³ ⋅

³ ⋅

³ ⋅


SOLUCIÓN. BASES DE DATOS (DATA BASE)

a) Se quiere establecer el modelo de programación lineal que permita determinar la separación de los campos

Índices i : índice de campos /A,B,C,D,E,F,G/ j : índice de ficheros /1,2,3/ k : índice de consulta / , , ,a b l m/

kL : relación de campos asociados a la consulta k

Parámetros

km : número de campos contenidos en la consulta k :kp probabilidad de realizar la consulta k

t : tiempo de realización de una consulta (si sólo se utiliza un fichero)

ikl : indicador que dice si el campo i es de la consulta k

Variables

ijX : indicador de asignación del campo i al fichero j

jkY : indicador de uso del fichero j en la consulta k

kZ : indicador de uso de dos ficheros en la consulta k

kW : indicador de uso de tres ficheros en la consulta k

jd : indicador de simultaneidad de los campos A y B en el fichero j

Función objetivo

( )min 1 0.25 0.5k k kk

p t Z W+ +å

Restricciones

Asignación de todos los campos

1ijj

X i= "å

Capacidad de los ficheros

4iji

X j£ "å

Incompatibilidad entre campo A y F

1Aj FjX X j+ £ "

Simultaneidad entre A y B con D y E


Opción 1:

( )2 2Dj Ej Aj BjX X X X j+ ³ + - "

Opción 2:

2

1

Dj Ej j

Aj Bj j

X X j

X X j

d

d

+ ³ "

+ £ + "

Uso de diversos ficheros en una misma consulta

1 2k

ij k jki L

jk k kj

X m Y jk

Y Z W kÎ

£ "

£ + + "

åå

Alternativamente se puede poner esta restricción

1 2ij ik k k

ij

X Z W kl £ + + "å

La solución numérica consiste en incluir en un fichero los campos C, E y F, en un segundo fichero los campos A, D y G y en un tercer fichero el campo B.

b) ¿La formulación planteada podría considerar la existencia de consultas con más de tres campos? En caso negativo, plantear una formulación que pueda

contemplarlo. En caso afirmativo, desarrolla las restricciones asociadas a una

consulta (A-B-C-D-E-F-G) que supusiese un 10 % de las consultas totales (en tal caso la probabilidad de la consulta se reduciría al 10 %)

La formulación genérica planteada valdría para analizar consultas de con

cualquier cuantía de campos.


SOLUCIÓN. COMIDA DE NAVIDAD

Índices i : Compañeros de trabajo { }, , , , , , , , , , ,A B C D E F G H I J K L j : Mesa { }1,2

Parámetros

p : Pérdida por ausencia de un compañero a la comida { }50 €

Variables

iX : Asistencia del compañero i a la comida (binaria)

ijY : Asignación del compañero i a la mesa j (binaria)

d : Indicador lógico de condición entre D, L, H e I (binaria) Función objetivo

Se minimiza la pérdida monetaria por ausencia de compañeros a la comida

( )min 1 ii

p X-å

También se puede entender que lo que se desea es maximizar el número de asistentes

max ii

Xå

Restricciones En cada mesa se sientan como mucho seis personas:

6iji

Y j£ "å

Si un compañero está asignado a alguna de las dos mesas, dicho compañero

viene a la comida:

ij ij

Y X i= "å

Abilio está casado con Bibiana y han de estar en la misma mesa:

Aj BjY Y j= "

Si está Calimero en una mesa, Eustaquia y Filomena no deben estar en dicha mesa:

1 0Cj Ej FjY Y Y= + =


2 2Ej Fj CjY Y Y j+ £ - "

(Alternativamente se pueden formular con las dos restricciones siguientes. Obsérvese que la suma de ellas es la restricción anterior.)

1

1

Ej Cj

Fj Cj

Y Y j

Y Y j

£ - "

£ - "

En la mesa que esté Kevin debe estar Gilberto o Jasmina o los dos:

1 1Kj Gj JjY Y Y= + ³

Gj Jj KjY Y Y j+ ³ "

Si Honorio e Ismael están la misma mesa, Dionisio querría sentarse con

Luciana:

21

Hj Ij

Hj Ij

Y Yj Honorioe Ismael nose sientan juntos

Y Y

dd

d

ü+ £ - ïï" = ýï+ ³ ïþ

2 0 Si Honorio e Ismael se sientan juntos y

Dionisio viene,Luciana se sienta con él

Lj Dj H IY Y X X jd d³ - + + - " =

Bibiana, Jasmina y Luciana se sientan juntas si vienen a la comida. Se

considera que si vienen se sientan en la mesa de la derecha (mesa 1 por

ejemplo).

1 1 1B J L B J LY Y Y X X X+ + ³ + +


SOLUCIÓN. LA SEQUÍA

Índices i , j : nudos de la red de canalización de agua Parámetros

ijcm : Caudal máximo diario entre el nudo i y j [m3]

icd : Coste diario de carencia de agua de uso doméstico en el depósito i [€/m3]

ica : Coste diario de carencia de agua de uso agrícola en el depósito i [€/m3]

iv : Volumen disponible diario de agua en el embalse o pozo i [m3] g : Coste diario de la puesta en marcha del pozo “El Valle” [€]

Variables

ijC : Caudal diario desde el nudo i al nudo j [m3]

iD : Carencia de agua de uso doméstico en el nudo i [m3]

iA : Carencia de agua de uso agrícola en el nudo i [m3]

iE : Exceso de agua en el nudo i [m3] Y : Decisión binaria sobre la puesta en marcha del pozo “El Valle” F : Indicador de falta de suministro en “El Jardín”, “El Huerto” o en ambos Función objetivo

3 3 3

3 3

€ € €

€ €

1 1.1 1.2min

0.3 0.5 1000€

Huerto Jardín Plazam m m

Huerto Jardínm m

D D D

A A Y

ì ü+ +ï ïï ïï ïí ýï ï+ + +ï ïï ïî þ

Restricciones del “Huerto”

, ,

, , ,

1500 30000.98 0.97 0.98

Huerto Jardín Huerto Alagón

Huerto HuertoJardín Huerto Alagón Huerto Valle Huerto

C CD A

C C C

ü+ ïïï = - - - -ýï- ⋅ - ⋅ - ⋅ ïïþ

3,

3,

3,

3,

3,

3

3

5000

3000

5000

3000

2000

1500

3000

Huerto Jardín

Alagón Huerto

Jardín Huerto

Huerto Alagón

Valle Huerto

Huerto

Huerto

C m

C m

C m

C m

C Y m

D m

A m

£

£

£

£

£ ⋅

£

£


Es probable que alguna de las variables de caudal sean nulas dados los sentidos habituales de flujo de agua y los valores de caudal máximo por las tuberías.

Restricciones del “Agueda”

, , , ,

3,

3,

3,

3,

3

0.99 0.97 4000

1000

5000

1000

5000

4000

Agueda Alagón Agueda Jardín Alagón Agueda Jardín Agueda Agueda

Agueda Alagón

Agueda Jardín

Alagón Agueda

Jardín Agueda

Agueda

C C C C E

C m

C m

C m

C m

E m

+ - - = -

£

£

£

£

£

¿Qué cambios serían necesarios para contemplar que antes de suministrar al

depósito de “La Plaza” es necesario suministrar completamente los depósitos de

“El Huerto” y “El Jardín”?

( )

( ), 1 6000

Huerto Jardín Huerto Jardín Huerto Jardín Huerto Jardín

Jardín Plaza

D D A A cd cd ca ca F

C F

+ + + £ + + +

£ -


SOLUCIÓN. SAN PEDRO

a) Establecer un modelo matemático que permita a uno de estos malvados

bautizados tomar decisiones sobre qué número y tipo de buenas acciones

y pecados realizar en su paso por la Tierra maximizando los “malévolos” obtenidos pero permitiendo que vaya directo al Cielo.

Índices i : Índice de buenas acciones y pecados {Sacrificios, Penitencias, Voluntariosas, Mortales, Graves, Pecadillos}

Parámetros c : Número mínimo de gracias necesarias para ir directo al Cielo [ 100 gracias] p : Número mínimo de gracias necesarias para ir al Purgatorio [50 gracias] n : Número inicial de gracias de malvado que pacta con Lucifer [50 gracias] d : Descuento de la valoración de los malvados por ir al Purgatorio [25 malévolos]

ig : Valoración de las acciones según San Pedro [gracias/acción]

im : Valoración de las acciones según los malvados [malévolos/acción] a : Número total de acciones en la tierra [100 acciones]

Variables

iX : Número de acciones i realizadas en la tierra por el malvado [acciones] Y : Indicador de que el malvado va al Purgatorio [binaria]

Función objetivo En la función objetivo se maximizan la cantidad de malévolos obtenidos según las

acciones realizadas en la Tierra

i ii

Max m X´å

Restricciones Condición de perdón de pecados mortales

Por cada pecado mortal se han de realizar tres sacrificios para no ir al Infierno

3 Mortal SacrificiosX X£

Condición de ir directo al Cielo El malvado ha de obtener 100 o más gracias considerando las gracias iniciales

teniendo en cuenta que ha pactado con Lucifer

i ii

n g X c+ ³å

Limitación de las acciones realizadas en la Tierra


El número de acciones realizadas en la Tierra ha de ser inferior a 200

ii

X a=å

b) ¿Qué modificarías para que este malvado considerase la posibilidad de ir al Purgatorio si ello supondría para ellos perder 25 “malévolos”?

Se ha de modificar la función objetivo descontando la cantidad de malévolos indicada en caso de que el malvado vaya al Purgatorio

max i ii

m X dY-å

La restricción de ir directo al Cielo debe cambiarse ya que existe la posibilidad de ir al Purgatorio y por lo tanto la suma de gracias ha de ser al menos la cantidad mínima que permite al menos ir al Purgatorio

i ii

n g X p+ ³å

La variable que indica que el malvado va al Purgatorio, Y, ha de tomar el valor 1 si las gracias obtenidas no superan el valor mínimo para ir directo al Cielo.

1 1i ii

n g X c Y+ £ - =å

Aplicando las equivalencias lógicas se obtiene que esta implicación se modela como:

( )1i ii

n g X c m Y+ ³ + -å

El valor de m es una cota inferior de la cantidad de gracias obtenidas con el conjunto de acciones en la Tierra. Si todas las acciones fueran pecados Graves obtendría una puntuación de 200 x (-10) = -2000 sin considerar las gracias iniciales del malvado. Por lo tanto la expresión quedaría numéricamente:

100 2001i ii

n g X Y+ ³ -å

Resolución computacional del problema: La solución obtenida para el problema para el apartado a) es la siguiente:

140 malévolos obtenidos realizando las siguientes acciones: 3 pecados graves, 100 pecadillos y 95 penitencias


Para el apartado b) se obtiene lo siguiente: 260 malévolos obtenidos yendo al Purgatorio y realizando las siguientes acciones: 7 pecados graves, 100 pecadillos, 92 penitencias y 1 acción voluntariosa


RELACIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE MODELADO DE DECISIÓN MULTICRITERIO PROBLEMA 1: FÁBRICA DE COMPONENTES ELECTRÓNICOS (FACTORY OF

ELECTRONIC PARTS) Una empresa fabrica tres tipos de componentes electrónicos, A, B y C, con

un beneficio por unidad de 15, 12 y 10 €/ud respectivamente. Los componentes se fabrican cada uno en una línea de producción conocida, con una capacidad de 200 ud/semana para el componente A, 300 ud/semana para el componente B, y 400 ud/semana para el componente C. La empresa está estudiando alquilar dos robots para incrementar la capacidad de producción. Estos robots se instalarían cada uno en una línea de producción (no se pueden instalar los dos en la misma). El primero de ellos costaría 1000 €/semana, e incrementaría la capacidad en 100 ud/semana para la línea correspondiente. El segundo costaría 1400 €/semana, y aumentaría la capacidad en 150 ud/semana.

Si la empresa ha establecido como metas a alcanzar que sus beneficios sean mayores o iguales a 1000 €/semana, y su producción total mayor o igual a 500 unidades, formular el modelo de programación lineal que le indique si debe alquilar los robots, cómo debe asignarlos a cada línea de producción, y cuántas unidades de cada tipo debe fabricar.

El problema debe formularse de la manera más general posible, sin simplificaciones previas.


PROBLEMA 2: SELECCIÓN DE PERSONAL (STAFF SELECTION) Una empresa está realizando un proceso de selección de personal para cubrir

una o dos plazas (todavía no lo tienen claro) de ingeniero informático. El objetivo de la empresa es seleccionar al candidato o pareja de candidatos que mejor compromiso aporte a la empresa entre su expediente académico y su capacidad de trabajo en equipo. Por otra parte, y dadas las condiciones del mercado laboral, sólo puede ofrecerles contratos por horas, con lo que también debe decidir el número de horas por el que contratarles (con un máximo de 1800 horas al año).

Hasta el momento tiene 6 candidatos, para los que conoce el expediente académico exp, la capacidad de trabajo en equipo cap, y la demanda de remuneración por hora de cada uno de ellos rem. El expediente académico total y la capacidad de trabajo total no dependen de las horas trabajadas.

Además, el candidato 5 ha dicho que sólo aceptaría el puesto si se le contrata por al menos 1300 horas. Y por otra parte, resulta que los candidatos 2 y 4 mantuvieron un enfrentamiento en su anterior empresa y por tanto nunca podrían trabajar juntos. a) Formular el problema de programación lineal general que proporcione a la

empresa la mejor solución compromiso entre el expediente académico y la capacidad de trabajo.

b) Suponiendo que se fijan los pesos de capacidad de trabajo y expediente académico a 0.25 y 0.75 respectivamente, determinar de entre todas las soluciones posibles que proporcionan el mejor compromiso con estos pesos aquélla que minimiza el exceso de presupuesto con respecto a la limitación de presupuesto. La empresa cuenta con una limitación de presupuesto de 50.000 € anuales, aunque estaría dispuesta a subir algo si el candidato o candidatos lo merecen.


SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CLASE DE MODELADO DE DECISIÓN MULTICRITERIO SOLUCIÓN. FÁBRICA DE COMPONENTES ELECTRÓNICOS (FACTORY OF ELECTRONIC

PARTS)

Índices i : índice de los productos {A, B, C} k : índice de robot {R1, R2} l : índice de atributos {beneficio, unidades producidas} Parámetros

ib : beneficio unitario del producto i

icap : capacidad de producción de cualquier línea de producción para fabricar el

producto i

kicap : incremento de capacidad asociado al robot k

kc : coste del robot k

lm : metas a alcanzar en cada atributo l

beneficiosl : factor de ponderación de desviación en beneficios

unidades producidasl : factor de ponderación de desviación en unidades producidas

Variables

iX : cantidad de producto i a fabricar

kiY : asigno o no el robot k a la línea de producción donde se realiza el producto

i {0,1} ,

l lP N : desviación positiva y negativa de la meta l

Función objetivo Penalización ponderada de la desviación de beneficios netos por debajo de 1000 €/semana y de número de unidades producidas

minbeneficios beneficios unidades producidas unidades producidas

N Nl l+

Restricciones Beneficios netos por semana

i i k ki beneficios beneficios beneficiosi ki

b X c Y N P m- + - =å å

Producción total por semana


i unidades producidas unidades producidas unidades producidasi

X N P m+ - =å

Producción total por tipo de producto y línea de producción

icap

i k kik

X icap Y i£ + "å

En un línea de producción sólo se puede instalar un robot

1ki

k

Y i£ "å

Variables no negativas y binarias

{ }

, 0

0

0,1

l l

i

ki

P N

X ij

Y kj

³³ "

Î "


SOLUCIÓN. SELECCIÓN DE PERSONAL (STAFF SELECTION)

Índices i : Candidatos {A, B, C, D, E, F} Parámetros exp

i: expediente académico del candidato i

icap : capacidad de trabajo en equipo del candidato i

irem : remuneración del candidato i por hora

cap /cap : mejor/peor capacidad total de trabajo contratada si no se considerara

el expediente

exp /exp : mejor/peor expediente académico total contratado si no se considera

la capacidad de trabajo Variables

iX : contratación o no del candidato i {0,1}

iY : horas a contratar al candidato i

Función objetivo Compromiso entre la capacidad de trabajo total y el expediente académico total

1/

expmin

exp exp

i i i ii i

cap exp

cap cap X exp Xw w

cap cap

pp pé ùæ ö æ öê ú- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç÷ ÷ê úç ç+÷ ÷ç ç÷ ÷ê úç ç÷ ÷- -ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç çè ø è øê úë û

å å

Suponiendo el exponente de cada término p . Restricciones Se ha de contratar al menos a un candidato y como mucho se pueden

contratar a 2 candidatos

1

2

ii

ii

X

X

³

£

åå

Horas trabajadas en función de su contratación

1800i i

Y X i£ "


Para asegurar que si el número de horas trabajadas de un candidato es cero entonces dicho candidato no se contrata, hace falta incluir la siguiente restricción:

i iX Y i£ "

Si se contrata al candidato 5 entonces ha de trabajar más de 1300 h

5 5

5 5

5

5 5

1 1300

1300 (1 )

1300 1300

1300

X Y

Y m X

m Y

Y X

= ³³ + -

- = £ -³

Si se contrata al candidato 2 no se puede contratar al candidato 4

2 41X X+ £

Variables no negativas y binarias

{ }0,1

0i

i

X i

Y i

Î "³ "

b) Suponiendo que se fijan los pesos de capacidad de trabajo y expediente

académico a 0.25 y 0.75 respectivamente, determinar de entre todas las soluciones posibles que proporcionan el mejor compromiso con estos pesos

aquélla que minimiza el exceso de presupuesto con respecto a la limitación

de presupuesto. La empresa cuenta con una limitación de presupuesto de 50.000 € anuales, aunque estaría dispuesta a subir algo si el candidato o

candidatos lo merecen.

Función objetivo Minimizar el exceso de presupuesto con respecto al límite de 50.000 € anuales

min p

Las restricciones de la anterior formulación se incluyen en esta formulación y también se añaden las dos restricciones siguientes:

Coste de la contratación

50000i i

i

remY n p+ - =å

La solución debe pertenecer al conjunto de soluciones óptimas del problema anterior para dichos coeficientes de la f.o.


1/

*

exp0.25 0.75

exp exp

i i i ii i

cap cap X exp Xfo

cap cap

pp pæ öæ ö æ ö ÷ç - -÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç ç+ =ç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ ÷- -ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ÷ç ç ÷ç è ø è ø ÷çè ø

å å

Siendo *fo el valor óptimo de la f.o. del problema del apartado anterior con los pesos 0.25 y 0.75 respectivamente. Obsérvese que esta última restricción no sería lineal para ≠1 por lo que en esta situación deberían aplicarse las técnicas de resolución del tema de optimización no lineal.

relación de problemas de modelado problemas optimización … · una compañía fabrica una gama...

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