CÁLCULO I

REGLA DE LA CADENA, RECTA TANGENTE Y NORMAL

CASO 01: COSTO DE PRODUCCIÓNEl costo de producción de “x” unidades de cierto producto es

dólares, y el nivel de la producción durante “t” horas en una línea de producción particular es

unidades. ¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de cuatro horas?

2( ) 4 53C x x x

2( ) 0, 2 0,03x t t t

Según el análisis cinemático del Movimiento Armónico Simple (M.A.S.), la ecuación de la elongación es

La amplitud del movimiento es de 100 m y el periodo de 3

a) Obtener las funciones velocidad y aceleración para el M.A.S.b) Calcular velocidad y aceleración si t=2s.

( ) cosx t A t

CASO 02: MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

• Funciones.• Límites.• Continuidad.• Derivación

Recordar

LOGROS DE LA SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante, resuelve ejercicios

en los que calcula la derivada de funciones compuestas; la recta

tangente y normal a una curva, haciendo uso del cálculo de

derivadas de las funciones que son representadas por las curvas

en estudio.

12. Regla de la Cadena3. 3. Recta tangente y normal

Temario

• Con la reglas de derivación estudiadas hasta el momento son limitadas a expresiones sencillas.

• ¿Qué hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente

y = (x2 − 4)53/3?, resulta que es prácticamente imposible derivarla.

• Surge la regla de la cadena que ayuda a derivar funciones compuestas

DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS

REGLA DE LA CADENA

Teorema. La Regla de la Cadena

TEOREMA.

• Si y = f(u) es una función derivable de u

• Y u = g(x) es una función derivable de x

Entonces:

y = f(g(x) es una función derivable de x y

O su equivalente:.dy dy du

dx du dx

'( ( )) '( )d f g x f g x g xdx

Ejemplo: Encontrar dy/dx para y = (x2 + 1)3

u = x2 + 1u’=2xy = u3

2

2 2

2 2

.

3 .(2 )

3( 1) (2 )

6 ( 1)

dy dy dudx du dxdy u xdxdy x xdxdy x xdx

Teorema. La Regla General de las Potencias

TEOREMA.

Si y = [u(x)] n donde “u” es una función derivable de “x” y “n” es un número racional entonces

o su equivalente

1( ) ndy dun u xdx dx

1[ ] 'n nd u nu udx

Ejemplo: Encontrar la derivada de g(t) = -7 / (2t – 3)2

g(t) = -7(2t – 3)-2

u = 2t – 3 u’ = 2

1

3

3

3

'( ) 7 ( )( )( ')

' 7 ( 2)( ) (2)

'( ) 28(2 3)28'( )

(2 3)

ng t n u u

g t u

g t t

g tt

Funciones Trigonométricas y la Regla de la Cadena

2

cos '

tan sec '

sec sec tan '

d sen u u udxd u u udxd u u u udx

2

cos '

cot csc '

csc csc tan '

d u sen u udxd u u udxd u u u udx

Sea u=u(x) una función diferenciable, entonces:

Ejemplos:

3( ) 4f t sen t

3( ) ( 4 )f t sen t

2'( ) 3( 4 ) 4df t sen t sen tdt

2'( ) 3( 4 ) (cos 4 ) 4df t sen t t tdt

2'( ) 3( 4 ) cos 4 4f t sen t t

2'( ) 12 4 cos 4f t sen t t

Recta tangente y normal

Sea f : R →R una función derivable en x=a, considerando la interpretación geométrica de f´(a) se dan las siguientes definiciones:

Recta tangente:

))(´()( axafafy

Recta Normal:

1( ) ( )´( )

y f a x af a

Recta tangenteRecta normal

Ejemplo: Dada la función: f(x)= x² - 2x + 3, obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de f en el punto P (2,3).Solución: La pendiente de la recta tangente: m= f´(x)=2x-2 → m=f´(2)=2(2)-2 = 2Recta tangente: y-3=2(x-2) ↔ y-2x+1=0

Recta normal: y-3=-(1/2)(x-2) ↔ x+2y-8=0

a

f(a)y= f(x)

¿Podrías ahora resolver el caso 01?

CASO 01: COSTO DE PRODUCCIÓNEl costo de producción de “x” unidades de cierto producto es

dólares, y el nivel de la producción durante “t” horas en una línea de producción particular es

unidades. ¿A qué razón está cambiando el costo con respecto al tiempo después de cuatro horas?

2( ) 4 53C x x x

2( ) 0, 2 0,03x t t t

EVALUACIÓNEncuentre la derivada de las siguientes funciones:

a.

b.

c.

21y x x

3sin 2cos5

x xy

))((cos2 xsenseny

EVALUACIÓNDada la función:

a) Señala en que punto de esta función la tangente es

paralela al eje .

b) Señala en que punto de esta función la tangente es

paralela a la recta

c) Determina las respectivas pendientes de las rectas

normales en el punto por donde pasa la ecuación de la

tangente de a) y b) respectivamente.

Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de Cálculo 1 , semestre 2014 – 2. Universidad Privada del Norte.