la regla de la cadena - … · para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene...
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La Regla de la Cadena
Tomado de UNIMET Prof. Antonio Syers
Introducción
Recordemos que la regla de la cadena para una función y = f(x) ; y x = g(t,), ambas funciones derivable, entonces y es una función derivable con respecto a t y se cumple:
dt
dx
dx
dy
dt
dy
Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones
Caso 1
Supongamos que z = f(x,y) es una función diferenciable de x y de y, donde x=g(t) y y=h(t) son funciones derivables de t ; entonces z es una función derivable de t y se cumple que:
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz
Veamos esta fórmula de manera
esquemática
Caso 1
Z =f (x,y)
x y
t t
x
y
dt
d
dt
d x
f
dt
dz
dt
dx
y
f
+
dt
dy
Ejemplo
Si representa la temperatura en el punto (x,y) y
son las ecuaciones paramétricas de una curva C , calcule la razón de cambio de la temperatura T a lo largo de la curva cuando t=0
42 xy3yx)y,x(T
senty;ex t
T
x
y
t
t
x
T
dt
dT
dt
dx
y
T
+
dt
dy
y
T
x
T
dt
dx
dt
dy
Si queremos saber cual es la razón de cambio de T cuando t = 0,
entonces
0 ( (0), (0)) 0 0( (0), (0))t x y t tx y
dT f dx f dy
dt x dt y dt
0
0
0 1cos0 1t
dTe
dt
Caso 1 ( General)
Suponga que z es una función derivable de las n variables x1 , x2 , x3 ,…, xn , en donde cada xj es una función de t. Por consiguiente z es una función derivable de t y se cumple:
dt
dx
x
z...
dt
dx
x
z
dt
dx
x
z
dt
dx
x
z
dt
dz n
n
3
3
2
2
1
1
Caso 2
Supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y =h(s,t) y las derivadas parciales de g y h existen . Entonces:
s
y
y
f
s
x
x
f
s
z
t
y
y
f
t
x
x
f
t
z
Caso 2
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s
s
z
x
f
s
x
+
y
f
s
y
t
z
x
f
t
x
+
y
f
t
y
Z =f (x,y)
Supongamos que w = f(x,y,z) es una función derivable de x, y de z, donde x = g(s,t),
y =h(s,t), z =k(s,t) y las derivadas parciales de g, h, k existen . Entonces
s
z
z
f
s
y
y
f
s
x
x
f
s
w
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f
t
w
x y
t t
x
y
t
t
s s
s
s
z
t
t
s
s
z
w=f (x,y,z)
s
z
z
f
s
y
y
f
s
x
x
f
s
w
t
z
z
f
t
y
y
f
t
x
x
f
t
w
Ejemplo
Demuestre que
rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
222
2
2
y
f
x
fz
r
1
r
z
x y
x
y
r r
r
r
Z =f (x,y)
ejemplo…
r
y
y
f
r
x
x
f
r
z
sen
y
fcos
x
f
y
y
fx
x
fz
cosr
y
frsen
x
f
ejemplo…
222
cosx
f
r
z
2
2
2 seny
fsencos
y
f
x
f
2222
cosry
fz
22
222 senr
x
fsencosr
y
f
x
f
ejemplo…
222
2
1cos
x
fz
r
2
2
2 seny
fsencos
y
f
x
f
Por lo tanto
22222
2
21
sencosy
f
x
fz
rr
z
22
y
f
x
f
Segunda derivada
La segunda derivada de una función es análoga a la primera, es decir, depende de las mismas variables que depende la función original.
Por ejemplo, supongamos que z = f(x,y) es una función derivable de x y de y, donde x = g(s,t), y=h(s,t). Entonces la función derivada fx(x,y) también depende de x y de y, y además x,y dependen de s y t ( esto también se cumple para fy(x,y)).
Veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo…
Muestre que cualquier función de la forma
)atx(g)atx(fz
Donde a es una constante, cumple con la ecuación:
2
22
2
2
x
za
t
z
Solución: Sea u = x + at, v = x – at, ;entonces
)v(g)u(fz
x
v)v(g
x
u)u(f
x
)v(g
x
)u(f
x
z
)v(g)u(f
)v(g)u(fxx
z
2
2
x
v
dv
)v(gd
x
u
du
)u(fd
)v(g)u(f
Calculemos ahora 2
2
t
z
t
v)v(g
t
u)u(f
t
)v(g
t
)u(f
t
z
)v(g)u(faa)v(ga)u(f
)v(g)u(ft
at
z
2
2
t
v
dv
)v(gd
t
u
du
)u(fda
)v(g)u(faa)v(ga)u(fa 2
2
222
2
2
x
za)v(g)u(fa
t
z
Ejemplo
rseny ,rcos xdonde y),f(x,z Si
Demuestre que: 22
2
2
22
2
y
f
x
f
r
z
r
1z
r
1
r
z
sen
y
fcos
x
f
r
z
Del ejemplo anterior, tenemos que
cosr
y
frsen
x
fz
ejemplo…
sen
y
fcos
x
f
rr
z2
2
sen
r
fcos
r
f yx
cossen
y
fcos
x
f xx
sensen
y
fcos
x
f yy
ejemplo…
yy2
xyxx2 fsenfsencos2fcos
cosr
y
frsen
x
fz2
2
Por otra parte,
x
frsen
x
fcosr
y
fcosr
y
frsen
ejemplo…
x
fcosr
cosrfrsenfrsen xyxx
x
f
y
frsen
rsenfcosrfcosr yxyy
y
f
ejemplo…
Simplificando resulta,
xx22
yx2
2
fsenrfrsenfcosrz
yy22
yx fcosrfsencosr2
Así,
22
2
2
22
2
y
f
x
f
r
z
r
1z
r
1
r
z
COMPRUEBELO!!
Ecuación de Laplace
Definición:Sea f una función, f:IRnIR, diferenciable, se define el Laplaciano de f
Y se denomina la ecuación de Laplace a:
2
2
2
22
y
f
x
ff
0y
f
x
f0f
2
2
2
22
Ejemplo
Supongamos f(x,y) satisface la ecuación de laplace, esto es,
0y
f
x
f2
2
2
2
Demuestre que la función z= f(x – 2y, 2x + y), también satisface la ecuación de laplace.
Demostración: Lo que queremos probar es que:
0y
z
x
z2
2
2
2
Sea u = x- 2y, v = 2x + y, entonces
u v
y y
u
v
y
y
x x
x
x
Z =f (u,v)
v
f2
u
f
x
v
v
f
x
u
u
f
x
z
x
v
uv
f
x
u
u
f
x
z 2
2
2
2
2
x
v
v
f
x
u
vu
f2
2
22
2
22
2
2
2
2
v
f4
vu
f4
u
f
x
z
v
f
u
f2
y
v
v
f
y
u
u
f
y
z
y
v
uv
f
y
u
u
f2
y
z 2
2
2
2
2
y
v
v
f
y
u
vu
f2
22
2
22
2
2
2
2
v
f
vu
f4
u
f4
y
z
Entonces,
2
2
2
2
2
2
2
2
v
f5
u
f5
y
z
x
z
0v
f
u
f5
2
2
2
2
Ecuación de Laplace para f
Derivación Implícita
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y) = 0 define a y de manera implícita como una función de x, esto es y = f(x), para todo x en el dominio de f(x). Si F es diferenciable podemos calcular dy/dx. En efecto:
Tenemos la ecuación
0)y,x(F
dx
)0(d
dx
)y,x(dF
Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y, entonces si F es diferenciable podemos calcular z/ x, z/ y
0dx
dy
y
F
x
F0
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
0)F( F
F
y
Fx
F
dx
dyy
y
x
Supongamos que queremos calcular z/ x
0)z,y,x(F
x
)0(
x
)z,y,x(F
0
dx
dz
z
F
dx
dy
y
F
dx
dx
x
F
0dx
dz
z
F
x
F
0)F( F
F
z
Fx
F
x
zz
z
x
Ejercicio: Supongamos que una ecuación de la forma F(x,y,z) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y. Demuestre que:
0)F( F
F
z
F
y
F
y
zz
z
y
Ejemplo
Supongamos que una ecuación de la forma F(xy,z/y) = 0 define a z de manera implícita como una función de x y de y.Calcular z/ x.
Solución:
Sea u=xy, v = z/y
0yx
z
v
Fy
u
F0
dx
dv
v
F
x
u
u
F
)0v
F (
v
Fu
Fy
v
Fu
Fy
x
z22