ANA CRISTINA CAMPIÑO RUIZ

Licenciada en Matemáticas

Universidad del Quindío

CALCULO DIFERENCIAL

REGLA DE LA CADENA

*Es uno de los teoremas más importantes del cálculo, se aplica para derivar funciones compuestas.

*Con las fórmulas de derivación dadas hasta ahora, se pueden calcular derivadas de funciones t para las cuales t(x) es una suma finita de productos o cocientes de constantes multiplicadas por sen x, cos x, y x' (r racional). Sin embargo, hasta ahora no se ha tratado de funciones tales como t(x) = sen (), cuyas derivadas se calculan a partir de la misma definición. En esta Sección presentaremos un teorema, llamado regla de la cadena, que nos permitirá derivar funciones tales como t(x) = sen (de este modo aumentará considerablemente el número de funciones que podremos derivar.

*Recordemos que si u y v son dos funciones tales que el dominio de u incluye el recorrido de v, podemos definir la función compuesta t = u o v mediante la igualdad

f(x) = u[v(x)] .

 

La regla de la cadena nos dice cómo se expresa la derivada de f en función de las

derivadas u' y v'.

 

*EJEMPLO

Se puede obtener (x) al aplicar la regla del producto como sigue:

*Así:

(x) =

Observe que F es la función compuesta f o g donde f(x)= y g(x)=esto es,

F(x)=f(g(x))

=

=

* TEOREMA. REGLA DE LA CADENA. Sea f la función compuesta de dos funciones u y v, f = u o v. Si existen las derivadas v'(x) y u'(y) donde y = v(x),la derivada f'(x) también existe y está dada por la fórmula:

f'(x) = u'(y) . v'(x)

Expresada como igualdad entre funciones más que entre números, la regla de

la cadena toma la forma siguiente:

(u o v)' = (u' o v) . v'.

En la notación u( v ), si se escribe u( v)' para indicar la derivada de la función compuesta u(v) y u'(v) para la composición u' o v, entonces la última fórmula se escribe

u(v)' = u'(v) . v'.

*Demostración del teorema. Se trata aquí de demostrar

f'(x) = u'(y) . v'(x) (1)

 

Se supone que v tiene derivada en x y u tiene derivada en v(x) y se trata de demostrar que f tiene derivada en x dada por el producto u'[v(x)] . v'(x). El cociente de diferencias para f es:

* (2)

*Ahora es conveniente introducir la siguiente notación: Sean y = v(x) y sea

k = v(x + h) - v(x). (Es importante poner de manifiesto que k depende de h.)

Entonces se tiene v(x + h) = y + k y (2) se transforma en:

(3)

(3)

El segundo miembro de (3) sería el cociente de diferencias cuyo límite define

u'(y), si en el denominador en vez de h apareciera k. Si k ≠ O se completa

fácilmente la demostración multiplicando el numerador y el denominador por k

y el segundo miembro de (3) toma la forma:

  

= (4)

Cuando h 0 el último cociente del segundo miembro tiende a v'(x). Puesto que k = v(x + h) - v(x) y v es continua en x, al tender h 0 también k 0;por tanto, el primer cociente del segundo miembro de (4) tiende a u'(y) cuando h , de donde se deduce inmediatamente (1).Aunque el razonamiento precedente parece el camino más natural para la demostración, sin embargo no es completamente general. Como k = v(x + h) - v(x), puede ocurrir que k = 0 para infinitos valores de h cuando h 0, en cuyo caso, el paso de (3) a (4) no es válido. Para soslayar esta dificultad es necesario modificar ligeramente la demostración.

*Volviendo a la ecuación (3) se expresa el cociente del segundo miembro

*de manera que no aparezca k en el denominador, para lo cual se introduce la

*diferencia entre la derivada u'(y) y el cociente de diferencias cuyo límite es u'(y).

*Es decir, se define una nueva función g como sigue:

*  

* g(t)= - u'(y) si t ≠0 (5)

Esta ecuación define g(t) sólo si t ≠0. Multiplicando por t y transponiendo términos, se puede escribir (5) en la forma:

u(y + t) - u(y) = t[g(t) + u'(y)] . (6)

 Aunque (6) se había deducido en la hipótesis de ser t ≠0, es válida también para t = 0 mientras se asigne algún valor definido a g(0). El valor que se asigne a g(0) no tiene importancia para esta demostración, pero ya que g(t) 0 cuando t 0 parece natural definir g(0) igual a 0. Si ahora se sustituye t en (6) por k,donde k = v(x + h) - v(x) y se sustituye el segundo miembro de (6) en

(3) se obtiene:

* [g(k) + u'(y)] (7)

Fórmula que es válida aun cuando k = 0. Si h el cociente k/h v'(x) y

g(k) 0; por tanto el segundo miembro de (7) tiende al límite u'(y)' v'(x).

Queda pues completada la demostración de la regla de la cadena.

*EJEMPLO

Derivar

F(x)=Sen 2x

SOLUCION:

Sea:

u=2x

U’=2

y=sen u

y’=cos u

Entonces tenemos:

f’(x)=

Reemplazando se tiene:

f’(x)=(cos u).(2)

f’(x)=2cos 2x

BIBLIOGRAFIA

• Leithold,l.(1998).El cálculo (7ª .ed.).México: Oxford university Press-Harla.

•Apostol,T.(1984).Calculus(2ª.ed).España:Reverté,S.A.