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Redes neuronalesUn recorrido por su matematica, arquitectura y aprendizaje.
Eduardo Paluzo Hidalgo
Universidad de Sevilla
30 de enero de 2018
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Tabla de contenidos
IntroduccionInspiracion biologicaFuncionamientoDefinicion formal
Tipos y diseno
Algoritmos de aprendizajeDescenso del gradienteAlgoritmo de retropropagacion
Capacidad, sobreajuste e infraajuste
Regularizacion
Redes Neuronales ConvolucionalesOperaciones
¿Que puede mejorar la topologıa?
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¿Que es una red neuronal?
“Las redes neuronales son redes interconectadas masivamente enparalelo de elementos simples (usualmente adaptativas) y conorganizacion jerarquica, las cuales intentan interactuar con losobjetos del mundo real del mismo modo que lo hace el sistemanervioso biologico.” (Kohonen).
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Inspiracion
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Una Red Neuronal Artificial (RNA) se define como una 3-upla
N = (D, fi,A)
donde D es un digrafo contable, localmente finito, con arcosetiquetados, cuyos vertices corresponden a las neuronas, los arcos alas conexiones sinapticas y las etiquetas de los arcos llamadaspesos, corresponden a las intensidades de las conexiones sinapticasen los sistemas neuronales naturales. A es un conjunto llamado deactivacion. Contiene los elementos de “entrada” de las unidades.Posee una estructura de modulo sobre el anillo de pesos, W .fi : A→ Ai ∈ V es una coleccion de funciones llamadas deactivacion o salida.
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Vision matricial
El estado de activacion de la neurona j-esima de la capa l se puedeescribir
alj = f (∑i
w ljia
(l−1)i + blj ),
que en notacion matricial es
~al = f (~w~a(l−1) + ~bl)
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Tipos de redes
Segun las conexiones que se establecen entre las distintas neuronasque conforman la red:
I Deep Feedforward Networks (DFN), tambien llamadasperceptrones multicapa, tienen como objetivo aproximar unadeterminada funcion g . Tienen la caracterıstica de que lasconexiones son siempre hacia delante. Ejemplo: Las redesneuronales convolucionales.
I Recurrent Neural Networks (RNN), permiten conexioneshacia atras.
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Diseno
Es necesario tomar distintas decisiones a la hora de implementaruna red neuronal. Los elementos principales que se debenseleccionar son:
I Valores iniciales de pesos y bias.
I Conexiones entre las neuronas.I Funciones de activacion.
I En las capas ocultas.I En la capa de salida.
I Funcion C de coste.
I Sistema de entrenamiento.
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Hagamos dos ejemplo sencillos.
I Aprendizaje de la conjuncion.
I Aprendizaje de XOR.
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Algoritmos de aprendizaje
I Algoritmo del descenso del gradiente.
I Algoritmo de retropropagacion.
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Funcion de coste
La funcion de coste estima la consistencia entre el valor deseado yel obtenido.
C =1
n
n∑i=1
L(~y ,Ω),
donde Ω lo usaremos para denotar la configuracion de la redneuronal. Es decir, los valores de los pesos y las bias. n es eltamano del conjunto de entrenamiento. L es una funcion adeterminar. ~y representa los valores deseados.
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Algunos ejemplos
I C = 1n
∑x(~y(~x)− ~aL(~x))2 (ECM)
I C = 1n
∑x(log(~y(~x) +~1)− log(~aL(~x) +~1))2 (ELCM)
I C = 1n
∑x |~y(~x)− ~aL(~x)| (EMA)
I C = − 1n
∑x [~y(~x) · ln(~aL) + (~1− ~y(~x)) · ln(~1− ~a)] (EC)
I C = − 1n
∑x log(~aL(~x)) (NLL)
Notacion: L es la etiqueta de la ultima capa.
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Descenso del gradiente
Figura: Tomada de [6]
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Algoritmo del descenso del gradiente
Este algoritmo actualiza los valores de los pesos y las bias enfuncion de un parametro η que se llama factor de aprendizaje yde la variacion de la funcion de coste C .
wk → w ′k = wk − η ·∂C
∂wk,
bk → b′k = bk − η ·∂C
∂bk.
Problema: Poor conditioning.
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Backpropagation: Formulario
Error en la ultima capa:
δL = ∇aC f ′(zL)
Propagacion del error hacia atras (retropropagacion):
δl = ((w (l+1))tδl+1) f ′(z l)
Variacion de coste en funcion de la bia:
∂C
∂blj= δlj
Variacion de coste en funcion del peso:
∂C
∂w ljk
= a(l−1)k δlj
Notacion: z l = ~w l~a(l−1) + ~bl
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Backpropagation
Algoritmo de retropropagacion con descenso del gradiente:
1. Conjunto de entrenamiento.
2. Para cada ejemplo de entrenamiento:I ENTRADA: ~x −→ Se calcula ~a1.I HACIA DELANTE: Se calcula ~z l y ~al .I ERROR DE SALIDA: Se calcula δL = ∇aC f ′(zL).I RETROPROPAGACION DEL ERROR:∀l ∈ L− 1, L− 2, . . . , 2 (Se calcula~δl = ((w (l+1))tδl+1) f ′(z l)).
I DEVUELVE ∂C∂w l
jk
= a(l−1)k δlj y ∂C
∂blj
= δlj .
3. DESCENSO DEL GRADIENTE: Para cadal ∈ L− 1, L− 2, . . . , 2 se actualizan los pesos de acuerdocon:
w l → w l − η
m
∑x
δx ,l(ax ,l−1)t
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Capacidad, sobreajuste e infraajuste
I La capacidad de representacion de la red neuronal mide lafamilia de funciones que la red puede elegir variando losparametros.
I En general encontrar la mejor funcion es un problema deoptimizacion muy dificil. Ası, la capacidad efectiva suele sermenor que la capacidad representacional.
I El sobreajuste sucede cuando hay una diferencia muy grandeentre los errores en el entrenamiento y los tests.
I Se produce un infraajuste si la red no consigue un erroraceptablemente bajo respecto al conjunto de entrenamiento.
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Regularizacion
Problema: Debe comportarse bien en el conjunto deentrenamiento y en las nuevas entradas.Estrategia: Regularizacion con el objetivo de reducir el error en lostests (generalmente a expensas de un incremento del error en elconjunto de entrenamiento).
I Restricciones en los parametros del modelo.
I Adicion de terminos extra a la funcion de coste(Correspondiendo a una restriccion suave a los valores de losparametros).
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Adicion de penalizaciones a C
C = C0 + λΛ,
donde λ ∈ [0,+∞) hiperparametro para medir la contribucion deΛ que es la penalizacion.Algunos ejemplos son:
I L2 Λ = 12 || ~W ||
22 (Regularizacion de Tikhonov)
I L1 Λ = || ~W ||1
Figura: Tomada de [6]
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Figura: Tomada de [2]
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Aumento del conjunto de entrenamiento
Objetivo: Mejorar la generalizacion.Es especialmente practico para problemas de clasificacion, pues enestos problemas lo principal es encontrar invariantes en una ampliavariedad de ejemplos. Ha sido muy efectiva en reconocimiento deimagenes.Funcionamiento: Se aplican distintas transformaciones aelementos del conjunto de entrenamiento, generando nuevoselementos que se anaden a el. Las transformaciones pueden serrotaciones, distorsiones, desplazamientos, inyeccion de ruido ...
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Parada temprana
Para modelos con suficiente capacidad de representacion comopara pecar de sobreajuste.
Figura: Tomada de [6]
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Dropout
Figura: Tomada de [6]
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Otros algoritmos de regularizacion
I Sparse representations,
I Parameter tying y parameter sharing,
I Bagging,
I Entrenamiento con adversarial examples,
I Distancia tangente,
I Propagacion tangente,
I Clasificador tangente de variedades.
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Redes Neuronales Convolucionales (CNNs)
Son redes neuronales que usan convolucion en lugar demultiplicacion de matrices en, al menos, una de sus capas.
I Estan especializadas en el procesamiento de datos que tienenuna topologıa de malla conocida.
I Por ejemplo:I Time-series data (Ejemplos 1− D grid tomados en intervalos
de tiempo regulares ).I Imagenes (2− D grid de pıxeles).
I Han tenido gran exito en aplicaciones practicas.
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Figura: Tomada de [2]
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(Imagenes tomadas de aquı).
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Operaciones principales
I Convolucion.
I ReLU.
I Pooling o subsamplig.
I Clasificacion (Mediante una capa completamente conectada).
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Operacion de convolucion
Se denota por:s(t) = (I ∗ K )(t),
donde I es el argumento de entrada y K se denota kernel. Vienedada por las siguientes expresiones:
I Caso continuo: (x ∗ w)(t) =∫x(a)w(t − a)da
I Caso discreto: (x ∗ w)(t) =∑∞
a=−∞ x(a)w(t − a)
I Caso 2-dimensional:(I ∗ K )(i , j) =
∑m
∑n I (m, n)K (i −m, j − n)
Ademas, la convolucion es conmutativa,
(K ∗ I )(i , j) = (I ∗ K )(i , j),
y equivariante.
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Ejemplo de convolucion
Figura: Tomada de [6]
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Sparse connectivity
En las redes neuronales tradicionales cada valor de salida de unaneurona interactua con todas las neuronas de la siguiente capa. Lasredes convolucionales tienen generalmente sparse interactions.
Figura: Tomada de [6]
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ReLU
Relu(z) = max(0, z),
es una funcion no lineal.
Figura: Tomada de aquı.
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Subsampling
Figura: Tomada de aquı.
Introduce invariancia a pequenas traslaciones.
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Topologıa aplicada
La topologıa puede ser una herramienta muy potente para mejorarla eficacia de las redes neuronales. Sobre todo en el tratamiento deconjuntos de datos.
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Conjunto representativo
Motivacion: Las redes neuronales pueden llegar a tardar semanaso meses en ser entrenadas.Idea: Encontrar puntos que mantengan la forma del conjunto depuntos, reduciendo el tamano total del conjunto de entrenamiento.
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Grafo conexo de menor distancia
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Estudio de las comunidades
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Predicciones
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Bibliografıa I
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Bibliografıa II
J.R.H. Gonzalez and V.J.M. Hernando.Redes neuronales artificiales: fundamentos, modelos yaplicaciones.Serie Paradigma. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.
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S.S. Haykin.Neural Networks and Learning Machines.Number v. 10 in Neural networks and learning machines.Prentice Hall, 2009.
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Bibliografıa III
M. Nielsen.Neural Networks and Deep Learning.http:
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