rectes en el plabajísima calidad). este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un...
TRANSCRIPT
TRIGONOMETRIA
Llibre de text
Gerard Romo Garrido
Toomates Cool·lección Los documentos de Toomates son materiales digitales y gratuitos. Son digitales porque están pensados para ser consultados mediante un ordenador, tablet o móvil. Son gratuitos porque se ofrecen a la comunidad educativa sin coste alguno. Los libros de
texto pueden ser digitales o en papel, gratuitos o en venta, y ninguna de estas opciones es necesariamente mejor o peor que las otras.
Es más: Suele suceder que los mejores docentes son los que piden a sus alumnos la compra de un libro de texto en papel, esto es un hecho.
Lo que no es aceptable, por inmoral y mezquino, es el modelo de las llamadas "licencias digitales" con las que las editoriales
pretenden cobrar a los estudiantes, una y otra vez, por acceder a los mismos contenidos (unos contenidos que, además, son de una bajísima calidad). Este modelo de negocio es miserable, pues impide el compartir un mismo libro, incluso entre dos hermanos,
pretende convertir a los estudiantes en un mercado cautivo, exige a los estudiantes y a las escuelas costosísimas líneas de Internet, pretende pervertir el conocimiento, que es algo social, público, convirtiéndolo en un producto de propiedad privada, accesible solo a
aquellos que se lo puedan permitir, y solo de una manera encapsulada, fragmentada, impidiendo el derecho del alumno de poseer
todo el libro, de acceder a todo el libro, de moverse libremente por todo el libro. Nadie puede pretender ser neutral ante esto: Mirar para otro lado y aceptar el modelo de licencias digitales es admitir un mundo más
injusto, es participar en la denegación del acceso al conocimiento a aquellos que no disponen de medios económicos, en un mundo
en el que las modernas tecnologías actuales permiten, por primera vez en la historia de la Humanidad, poder compartir el conocimiento sin coste alguno, con algo tan simple como es un archivo "pdf".
El conocimiento no es una mercancía.
El proyecto Toomates tiene como objetivo la promoción y difusión entre el profesorado y el colectivo de estudiantes de unos
materiales didácticos libres, gratuitos y de calidad, que fuerce a las editoriales a competir ofreciendo alternativas de pago atractivas
aumentando la calidad de unos libros de texto que actualmente son muy mediocres, y no mediante retorcidas técnicas comerciales.
Este documento se comparte bajo una licencia “Creative Commons”: Se permite, se promueve y se fomenta cualquier uso,
reproducción y edición de todos estos materiales siempre que sea sin ánimo de lucro y se cite su procedencia. Todos los documentos se ofrecen en dos versiones: En formato “pdf” para una cómoda lectura y en el formato “doc” de MSWord para permitir y facilitar
su edición y generar versiones parcial o totalmente modificadas. Se agradecerá cualquier observación, comentario o colaboración a
Actualmente, Toomates Cool·lección consta de los siguientes libros:
Geometría axiomática:
GA Geometría Axiomática pdf 1 2 ... 23 portada
PG Problemas de Geometría pdf 1 2 3 4 5 6 7
Problem-solving:
AR Teoría de números pdf 1 2
PT Trigonometría pdf doc
DE Desigualdades pdf doc
PC Números complejos pdf doc
PA Álgebra (en preparación)
pdf doc
PC Combinatoria (en preparación)
pdf doc
PR Probabilidad (en preparación)
pdf doc
Libros de texto (En catalán)
AG Àlgebra pdf 1 2
GN Geometria analítica pdf doc
TR Trigonometria
pdf doc
CO Nombres complexos pdf doc
AL Àlgebra Lineal 2n batxillerat
pdf doc
GL Geometria Lineal 2n batxillerat
pdf doc
CI Càlcul Infinitesimal 2n batxillerat
pdf 1 2
PL Programació Lineal 2n batxillerat
pdf doc
Recopilaciones de problemas
ST Compendium PAU TEC 1998-2019
SC Compendium PAU CCSS 1998-2019
PM Problemas de Matemáticas pdf doc
Versión de este documento: 26/02/2020
www.toomates.net
Índex
1 Trigonometria amb triangles rectangles. →
1.1 Teorema de Pitàgores.
1.2 Mesura d'angles: Graus i radians.
1.3 Raons trigonomètriques amb angles aguts.
1.4 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan.
1.5 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º.
1.6 Descomposició de figures en triangles rectangles.
1.7 Determinació de distàncies inaccessibles.
1.8 Notes d'històrica dels termes trigonomètrics.
2 Trigonometria amb triangles en general. →
2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º.
2.2 El Teorema del sinus.
2.3 El Teorema del cosinus.
2.4 Àrea mitjançant trigonometria. Fórmula de Heron.
3 Les funcions trigonomètriques. →
3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius.
3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º.
3.3 Coordenades polars.
4 Equacions trigonomètriques. →
4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals.
4.2 Equacions trigonomètriques senzilles.
4.3 Equacions trigonomètriques per canvi de variable.
4.4 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus.
4.5 Repàs d'equacions trigonomètriques.
5 Les identitats trigonomètriques. →
5.1 Les identitats trigonomètriques.
5.2 Demostració de les fórmules trigonomètriques de la suma d'angles.
5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats.
5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus.
Solucions. →
Aquest llibre té la seva continuïtat natural en "Problemas de Trigonometría":
http://www.toomates.net/biblioteca/ProblemasTrigonometria.pdf
1 Trigonometria amb triangles rectangles.
1.1 Teorema de Pitàgores.
Un triangle rectangle és un triangle en el què un dels seus angles és recte, és a dir,
mesura 90º. El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa, i la denotem amb c .
Els altre dos costats s'anomenen catets, i els denotem amb a i b.
222 bac
Determina la longitud del costat x :
Apliquem Pitàgores. El costat de longitud 9 és la hipotenusa, per tant,
327979 222222 xx
La incògnita x és positiva perquè les distàncies són sempre positives. Per tant:
66.52432 x
1.1.1 Determina els costats indicats:
a)
b)
c)
d)
1.1.2 Determina el costat assenyalat:
a)
b)
c)
d)
e)
1.1.3 Calcula el perímetre dels següents trapezis rectangles:
a)
b)
1.1.4 Calcula l'altura AC de la
següent cometa:
1.1.5 Determina la longitud del cable BA+AC:
1.1.6 Determina l'àrea i el perímetre del següent trapezi:
Resol l'equació en x:
Apliquem Pitàgores: El costat que fa 13 és la hipotenusa, per tant:
122/24
52/10
12
177
12
)60(14776070
1201420
169491420
49142169
71413
)7(13
22
2
2
2
2222
222
xxx
xx
xx
xx
xxx
xx
Estem treballant amb distàncies, les solucions no poden ser negatives.
L'única solució acceptable és 5x .
1.1.7 Resol les següents equacions:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1.2 Mesura d'angles: Graus i radians.
Anomenem grau a la 360/1 part de la circumferència: 1º360 circumferència
Anomenem radian a l'amplitud de l'angle central d'una circumferència d'arc igual al
radi: 12 rad circumferència
La proporcionalitat entre graus i radians és: º3602 rad
Converteix 18º a radians.
És una simple regla de tres:
radxradx
rad
10360
182
º18
º3602
Converteix rad9
a graus.
Plantegem la regla de tres:
º202
9/360
º9/
º3602
x
xrad
rad
1.2.1 Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de
.
a) 180º b) 60º c) 45º d) 90º
1.2.2 Converteix els següents angles a radians. Arrodoneix els resultats a les centèsimes.
a) 24º b) 78º
1.2.3 Converteix a graus. Arrodoneix els resultats a les dècimes.
a) 6
rad b) 0.73 rad
1.2.4 Converteix els següents angles a radians. Expressa els resultats com fraccions de
.
a) 45º b) 75º c) 20º d) 140º e) 25º
1.2.5 Converteix a graus:
a) 7
3 b)
18
c)
3
2 d) 4.0
1.3 Raons trigonomètriques amb angles aguts.
Un triangle rectangle és un triangle en el què l'angle d'un vèrtex és recte, és a dir,
mesura 90º.
Fixem un altre angle, al que anomenem .
El costat oposat a l'angle recte s'anomena hipotenusa, i l'anomenarem hip. Els altre dos
costats s'anomenen catets.
El catet que no toca l'angle s'anomena costat oposat, i l'anomenarem opo.
El catet que toca l'angle s'anomena costat adjacent, i l'anomenarem adj.
hip
opo)sin(
hip
adj)cos(
adj
opo)tan(
Les identitats fonamentals de la trigonometria.
1)(cos)(sin 22 )cos(
)sin()tan(
En efecte:
1)(cos)(sin2
2
2
22
2
2
2
222
22
AP
AP
AP
AQPQ
AP
AQ
AP
PQ
AP
AQ
AP
PQ
)cos(
)sin(
/
/)tan(
hipadj
hipopo
adj
opo
on estem suposant que en tot triangle rectangle 0hip .
Raons trigonomètriques recíproques.
Definim la secant, la cosecant i la cotangent d'un angle de la següent forma:
secant: cosecant: cotangent:
adj
hip
)cos(
1)sec(
opo
hip
)sin(
1)csc(
opo
adj
)tan(
1)cot(
1.3.1 Determina les raons trigonomètriques associades al següent angle :
)sin(
)cos(
)tan(
Determina la longitud dels costats:
Etiquetem vèrtexs, angles i costats:
i apliquem les raons trigonomètriques:
5.2)º30sin(55
)º30sin( aa
33.4)º30cos(55
)º30cos( bb
Determina el costat assenyalat:
Etiquetem vèrtexs, angles i costats:
El costat que mesura 3 no toca l'angle de 60º, per tant és el costat oposat a .
El costat que volem determinar toca l'angle de 60º, per tant és el costat adjacent b .
La raó trigonomètrica adequada per aquest problema és, doncs, la que lliga costats
adjacent i oposat, és a dir, la tangent:
73.1)º60tan(
33)º60tan( b
bb
a
1.3.2 Calcula les longituds dels costats indicats:
1.3.3 Determina la longitud del costat assenyalat:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
1.3.4 Una escala de 2m de llarg està recolzada en una paret formant un angle de 60º.
Determina l'altura del punt de contacte entre aquesta escala i la paret.
1.3.5 Calcula la distància d :
1.3.6 Calcula l'altura de l'arbre:
1.3.7 Calcula la distància AB entre el vaixell i el far.
1.3.8 Quina serà l’altura d’un arbre que forma un angle de 37º des de una distància de
15 m?
1.3.9 Quina serà l’altura d’un edifici si veiem el seu extrem superior amb un angle de
17º des d’una distància de 54 m?
1.3.10 Calcula la profunditat del pou de la figura:
1.3.11 Quina és la longitud d’una escala quan l’extrem que recolza en la paret arriba a
una altura de 4,6 m i forma un angle de 71º?
1.3.12 Un cotxe puja per una rampa amb un pendent de 32º. Quants metres pujarà
verticalment si ha recorregut 510 m. de la rampa?
Calcula l'altura AB de l'edifici de l'esquerra. Presenta el resultat exacte com a fracció
simplificada.
Un cop hem tret els elements decoratius, tenim el següent esquema:
Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle de la dreta:
mBCBC 3
50
)º60tan(
5050)º60tan(
Aplicant ara raons trigonomètriques al triangle rectangle de l'esquerra:
mABABAB
BC
AB
3
50
33
50
50
3
3/503
1)º30tan(
Calcula l'altura de la torre de la dreta:
Representem esquemàticament la situació:
mBCBC
03.25)º40tan(
2121)º40tan(
mBCAD 07.20
mDEDE
AD
DE53.17
)º55tan(
03.25
03.25)º55tan(
mDECDCE 53.3853.1721
1.3.13 Determina la distància AB entre les dues persones:
Triangles encadenats.
1.3.14 Calcula els costats x i y assenyalats:
1.3.15 Calcula el costat DG:
1.3.16 Calcula la longitud y :
1.4 Les funcions trigonomètriques inverses: arcsin, arccos i arctan.
La funció 1,0º90,0:)sin( x té associada una funció inversa anomenada )arcsin(x :
º302
1arcsin
perquè
2
1)º30sin(
º7.270.465arcsin perquè 465.0)º7.27sin( ....
De la mateixa manera, disposem de funcions inverses per al cosinus: )arccos(x
i per a la tangent: )arctan(x
Les funcions trigonomètriques inverses ens permeten determinar angles coneguts els
costats.
Determina l'angle assenyalat:
Etiquetem vèrtexs, angles i costats:
i veiem que la relació trigonomètrica que hem d'aplicar és el sinus:
º57.235
2arcsin
5
2)sin(
c
a
Sempre xx )(sin(arcsin , però no sempre xxarc )sin(sin
L'equació kx sin té dos solucions en º3600 x , i la funció arcsin dóna
sempre la solució més propera a 0º.
Per exemple: º302
1arcsinº30sinarcsin
Però º602
3arcsinº120sinarcsin
Perquè dels dos angles que tenen sinus igual a 2
3, que són 60º i 120º, la funció
arcsin dóna el més proper a 0º, que és 60º.
El mateix passa amb el cosinus i la tangent.
Trigonometria amb calculadora científica (CASIO fx82 i similars)
Fins a l’aparició de les calculadores científiques, hi havia taules trigonomètriques que
permetien trobar les raons trigonomètriques de qualsevol angle; de la mateixa manera,
també hi havia taules que permetien trobar un angle a partir d’una de les seves raons
trigonomètriques. En l’actualitat, aquestes taules no s’utilitzen, perquè qualsevol
calculadora fa aquestes funcions de manera més eficient i senzilla.
)arcsin(x La tenim a la calculadora científica com
Per exemple, per a calcular
2
1arcsin :
)arccos(x La tenim a la calculadora científica com
Per exemple, per a calcular
2
1arccos :
)arctan(x La tenim a la calculadora científica com
Comprova que la unitat angular de la teva calculadora és la correcta!
Si treballes amb graus sexagesimals (com en aquest llibre), comprova que la teva
calculadora apareix una D a la part superior de la pantalla:
El mode més friki de la calculadora: El mode G fa referència als "gradians", que es
defineixen com la 400/1 part de la circumferència. Així doncs, grad100º90 . Fora
d'àmbits molt especialitzats (artilleria militar per exemple) aquest mode no es fa servir
mai.
1.4.1 Determina amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb 4 decimals
exactes:
a) º72sin b) º33tan c) º9.3cos d) º9.13sin e) º7.24tan
f) º45cos
1.4.2 Determina els següents angles amb la calculadora científica. Escriu el resultat amb
1 decimal exacte:
a) 7.0sin b) 4.0cos c) 14tan d) 6.0cos e) 9.0sin
f) 1.0tan
1.4.3 Determina l'angle assenyalat:
a)
b)
c)
d)
1.4.4 Calcula l'angle :
1.5 Raons trigonomètriques dels angles 30º, 45º i 60º.
Del triangle “cartabó” podem deduir les raons trigonomètriques de l’angle 45º
11
1)º45tan(
2
2
2
1)º45cos(
2
2
2
1)º45sin(
Construïm un triangle equilàter de costat 1, determinem la seva altura per Pitàgores:
2
3
4
3
4
11
2
11
2
22
aa
i obtenim un triangle “escaire”, d’angles 30º, 90º i 60º i de costats 2
1
, 1 i 2
3
d’on podem deduir fàcilment que
3
1
2/3
2/1)º30tan(
2
3
1
2/3)º30cos(
2
1
1
2/1)º30sin(
32/1
2/3)º60tan(
2
1
1
2/1)º60cos(
2
3
1
2/3)º60sin(
1.6 Descomposició de figures en triangles rectangles.
Determina la longitud del costat assenyalat:
Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè no és
rectangle. Però si que podem traçar l'altura h per descomposar-lo en dos triangles
rectangles:
Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de l'esquerra:
55.22)º70sin(2424
)º70sin( hh
Aplicant les raons trigonomètriques sobre el triangle rectangle de la dreta:
06.33)º43sin(
55.2255.22)º43sin( x
xx
h
Determina l'angle assenyalat:
Sobre aquest triangle no podem aplicar directament les raons trigonomètriques perquè no és
rectangle. El que sí podem fer és traçar l'altura per dividir-lo en dos triangles rectangles:
Aplicant raons trigonomètriques al triangle de l'esquerra:
28.25)º50sin(3333
)º50sin( hh
Aplicant raons trigonomètriques al triangle de la dreta:
º44.6927
28.25arcsin
27
28.25
27)sin(
h
Determina la longitud del costat assenyalat:
Per poder aplicar les raons trigonomètriques tracem l'altura i dividim el triangle en dos
triangles rectangles:
Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de l'esquerra:
)º70cos(2828
)º70cos( xx
Apliquem raons trigonomètriques sobre el triangle de la dreta:
)º50cos(3535
)º50cos( yy
La distància buscada es la suma 07.32)º50cos(35)º70cos(28 yx
Nota: Aquest problema es pot resoldre també amb el "Teorema del Sinus", que estudiarem
més endavant.
1.6.1 Una bola negra queda penjada del sostre per dues cordes tenses:
Calcula l'angle entre les dues cordes.
1.6.2 Determina la longitud de la base del següent triangle isòsceles:
1.6.3 Calcula els angles i de la següent cometa:
1.7 Determinació de distàncies inaccessibles.
Determina el costat assenyalat:
Etiquetem vèrtexs, angles i longituds:
Observem que, encara que no ens la demanen, etiquetem la longitud xBD perquè la
necessitarem per completar triangles rectangles.
Apliquem trigonometria al triangle rectangle DBC : x
h)º42tan(
Apliquem trigonometria al triangle rectangle ABC : x
h
11)º30tan(
(No podem aplicar raons trigonomètriques al triangle ADC perquè no és rectangle)
Obtenim un sistema de dues equacions i dues incògnites que resoldrem pel mètode
d'igualació en h :
)11)(º30tan()º42tan(
)11)(º30tan(11
)º30tan(
)º42tan()º42tan(
xx
xhx
h
xhx
h
55.20)º30tan()º42tan(
)º30tan(11
)º30tan(11)º30tan()º42tan(
)º30tan(11)º30tan()º42tan(
)º30tan()º30tan(11)º42tan(
)11)(º30tan()º42tan(
x
x
xx
xx
xx
50.18)º42tan(55.20)º42tan( xh
1.7.1 Calcula l'altura de l'arbre:
1.7.2 Determina l'altura h de la torre:
1.7.3 Determina la longitud del segment BC:
1.7.4 Determina la distància x:
1.7.5 Determina la longitud x:
1.7.6 Determina l'altura de l'arbre:
1.7.7 Calcula l'amplada d'aquest congost amb les dades següents:
1.8 Notes d'històrica dels els termes trigonomètrics.
La trigonometria és una part de la matemàtica que, genèricament, estudia la relació entre la
mesura dels angles i els costats d’un triangle. De fet, la mateixa paraula trigonometria té
l’origen en aquest fet: tri– significa "tres", gono–, significa "angle" i –metria significa
"mesura”, és a dir, trigonometria significa una "mesura de (figures) amb tres angles".
El terme trigonometria el trobem per primera vegada en l’obra del matemàtic alemany
Bartholomaeus Pitiscus, Blatnometria sive de dimensione triangulorum, publicada el 1595,
encara que molts resultats de la trigonometria ja eren coneguts a l’antiguitat (teorema de
Pitàgores, teorema de Tales...). Els primers usos de la trigonometria (encara que no tingués
aquest nom) van ser la cartografia, l’astronomia i la navegació, i només recentment el seu ús
s’ha estès a molts altres camps. L’astronomia és, potser, el camp que des d’antic va estar més
unit a la trigonometria i, de fet, la major part d’estudis trigonomètrics es presentaven en treballs
astronòmics. Fins al segle XIII no es va produir la primera presentació de la trigonometria com
a ciència independent de l’astronomia: va ser el matemàtic persa Sharaf al–Din al–Tusi.
De l’obra Problematum variorum geodaeticum de B. Pitiscus.
Els termes sinus, cosinus i tangent tenen una història curiosa. Una antiga obra hindú sobre
astronomia, Surya Siddhanta, dóna una taula de mitjanes–cordes (en un altre tema s’estudiarà
el significat de la corda), que coincideixen amb la idea del sinus d’un angle, molt útils per a
calcular els moviments de les estrelles. Posteriorment, l’obra Aryabhatiya d’Aryabhata, que
també era hindú (cap al 500 dC) fa un estudi més profund de les mitjanes–cordes, que
denomina jiva (en sànscrit, llengua en què està escrita aquesta obra). Els àrabs la van traduir i el
terme jiva va ser transformat en l’aràbic jiba, però escrit jb (atès que l’àrab clàssic no té
vocals). Més endavant, els traductors al llatí d’aquesta obra, van traduir jb per sinus, ja que van
pensar que es referia a jaib (i no a jiba), i jaib significa pit o sina (tot i que en català utilitzem la
paraula sinus). Així, del significat original, mitjana–corda, es va passar, per una traducció
errònia, a sinus.
A banda de l’anècdota, aquest relat il·lustra el recorregut dels estudis trigonomètrics al llarg de
la història: primer, a l’Índia, posteriorment, en àrab, des de Bagdad fins a l’Al–Andalus; des
d’aquí es va introduir a Europa amb les traduccions llatines, fins a les llengües modernes.
Les altres dues raons trigonomètriques tenen una història més recent. El cosinus va sorgir de la
necessitat de calcular el sinus de l’angle complementari. Així, originàriament, Edmund Gunter
el 1620 va escriure co.sinus precisament per a indicar "sinus de l’angle complementari" (que
com sabem, és igual al cosinus de l’angle); una mica més tard, John Newton (no Isaac Newton)
va estandarditzar el terme cosinus, del qual prové el nostre cosinus.
Finalment, la paraula tangent deriva de la paraula llatina tangere, que significa tocar (molt
relacionat amb la idea geomètrica de la tangent), i va ser introduïda per Dane Thomas Fincke el
1583.
Font: Document "Iniciació a les Matemàtiques per a l’enginyeria".
2 Trigonometria amb triangles en general.
2.1 Raons trigonomètriques d'angles > 90º.
Donades dues semirectes AB i AC , determinant un angle obtús, per a qualsevol punt
ACP , sigui Q la seva projecció perpendicular en la recta AB .
Com que és obtús, el punt Q pertany a la semirecta oposada de AB .
Definim:
AP
PQ)sin(
AP
AQ)cos(
AQ
PQ)tan(
)º180sin()sin( , )º180cos()cos(
I per tant: )tan()cos(
)sin(
)180cos(
)180sin()180tan(
Coneixent 2/1)º30sin( i 2/3)º30cos( , calcula les raons trigonomètriques
associades a l'angle º150
3
3
3
1
2/3
2/1
)º150cos(
)º150sin()º150tan(
2
3)º30cos()º30º180cos()º150cos(
2
1)º30sin()º30º180sin()º150sin(
2.2 El Teorema del sinus.
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles rectangles:
ADC y BDC :
En el triangle rectangle ADC : Abhb
hA sinsin
En el triangle rectangle BDC : Baha
hB sinsin
Per tant: A
a
B
bBaAb
sinsinsinsin , tal i com volíem demostrar.
Repetint aquest mateix procés amb les altres dues altures, obtenim les altres igualtats.
Determina la longitud dels costats:
Etiquetem vèrtexs, angles i costats:
i veiem que el costat de la dreta s'adapta perfectament al Teorema del sinus:
928.3)º50sin(
)º37sin(5
)º37sin()º50sin(
5
sinsin a
a
A
a
B
b
Per poder calcular el costat inferior necessitem determinar l'angle C del vèrtex superior:
º93º50º37º180º180º180 BACCBA
I apliquem, de nou, el Teorema del Sinus:
518.6)º50sin(
)º93sin(5
)º93sin()º50sin(
5
sinsin c
c
C
c
B
b
2.2.1 Determina la longitud assenyalada:
2.2.2 Determina la longitud i l'angle assenyalats:
2.2.3 Determina la longitud del costat assenyalat:
Determina l'angle assenyalat:
Etiquetem vèrtexs, angles i costats:
Apliquem el Teorema del Sinus:
º49.4232
º70sin23arcsin675.0
32
º70sin23sin
sin32º70sin23º70sin
32
sin
23
sinsin
BB
BBC
c
B
b
2.2.4 El "Triangle de les Bermudes" se situa entre Miami, Bermuda i la illa de San Juan.
Observa l'esquema i determina la distància entre Miami i San Juan:
2.3 El Teorema del cosinus.
Abccba cos2222
Demostració. Tracem l'altura h que passa pel vèrtex C. Així, obtenim dos triangles rectangles:
ADC y BDC . Sigui m la distància AD , per tant, mcDB :
Apliquem Pitàgores a tots dos triangles:
En el triangle rectangle ADC : 222222 mbhmhb
En el triangle rectangle BDC : 222222 )()( mcahmcha
Per tant: 2222222222 2)2()( mmccammccamcamb
Eliminem 2m a dreta i esquerra: mccab 2222
Aïllem 2a : mccba 2222
Apliquem trigonometria al triangle ADC : Abmb
mA coscos
Finalment, substituïm m a l'expressió anterior: Abccba cos2222
Problema Proposat: PG/6.23a
Determina la longitud del costat assenyalat:
Etiquetem vèrtexs, angles i costats:
i veiem que aquest problema s'adapta perfectament al Teorema del Cosinus:
0049.29)º50cos(704925)º50cos(75275cos2 22222 Abccba
386.50049.29 a
2.3.1 Determina la longitud del costat assenyalat:
2.3.2 Determina el costat assenyalat:
Determina la longitud dels costats del següent paral·lelogram:
La part de la dreta de la figura és un triangle al qual podem aplicar el Teorema del
Cosinus per a obtenir la distància AD:
ADaaa 567.4852.20852.20)º48cos(65265 2222
La part superior de la figura també és un triangle amb un angle COD que és el
suplementari de AOD , per tant º132º48º180 COD
057.10148.101148.101)º132cos(65265 2222 aaa
Nota: En aquest problema estem tenint en compte que les diagonals d'un triangle tallen
pel punt mig.
Determina la distància CD del quadrilàter següent:
En primer lloc, amb el triangle ABC obtenim la longitud a:
51.19)50sin()101sin(
25
)50sin()101sin(
25
º1015029180
º502723
aa
C
B
Amb el triangle ABD obtenim la longitud b:
27.10)23sin()108sin(
25
)23sin()108sin(
25
º1082349180
º492029
bb
D
A
i, finalment, amb el triangle BCD i el teorema del cosinus determinem el costat CD:
465.10)20cos(51.1927.10251.1927.10)20cos(2 2222 ababCD
El Teorema del Cosinus ens permet determinar els angles en funció dels costats:
bc
acbA
2cos
222 ,
ac
bcaB
2cos
222 ,
ab
cbaC
2cos
222
Determina els angles del següent triangle:
Etiquetem vèrtexs, angles i longituds:
Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle A :
º96.351472
1192arccos
1472
1192)cos(
)cos(14721192
)cos(14721024529361
)cos(14721024529361
)cos(32232322319)cos(2 222222
AA
A
A
A
AAbccba
Apliquem el Teorema del Cosinus per a determinar l'angle B :
º26.451216
856arccos
1216
856)cos(
)cos(1216856
)cos(12161024361529
)cos(12161024361529
)cos(32192321923)cos(2 222222
BB
B
B
B
BBaccab
L'angle C el podem deduir directament:
º78.98º26.45º96.35º180º180º180 BACCBA
2.4 Àrea mitjançant trigonometria. La fórmula de Heron.
Àrea coneixent dos costats i l'angle que determinen.
AcbÀrea sin2
1
Demostració. Tracem l'altura h i apliquem les raons trigonomètriques al triangle rectangle de
l'esquerra:
Abhb
hA sinsin
AcbAcbchalturabaseÀrea sin2
1sin
2
1
2
1
2
1
Calcula l'àrea del triangle:
53.9º33sin752
1)sin(
2
1 AcbÀrea
2.4.1 Determina l'àrea del següent triangle:
2.4.2 Si l'àrea del triangle és 21m2, determina la x.
Determina l'àrea de la següent figura:
L'àrea del triangle ABD es pot calcular directament amb la fórmula anterior:
2m7244.44 )75(1201252
1)75(
2
1 SinSinADABABD
Per calcular l'àrea del triangle BCD , hem de determinar la longitud DB amb el
Teorema del Cosinus sobre el triangle ABD :
mBDCos
ACosADABADABBD
2.1494.222604.22260)75(1201252120125
)(2
22
222
I ara podem aplicar la fórmula de l’àrea:
2m3357 )35(902.1492
1)30(
2
1 SinSinCDBDBCD
Finalment, l'àrea de la figura serà la suma de les dues àrees parcials:
2m10601.4 3357 44.7244 BCDABDABCD
2.4.3 Find:
a) the length of BD
b) the total area of quadrilateral ABCD.
2.4.4 Triangle ABC has acute angle θ at vertex A. Find θ correct to 1 decimal place if the area
of triangle ABC is 33.4 cm2.
2.4.5 The area of triangle ABD is 33.6 m2. Find the length of CD.
Problema.
L'hexàgon ABCDEF es divideix en cinc rombes: P, Q, R, S i T, tal i com s'indica en la figura:
Els rombes P, Q, R i S són congruents, i tenen àrea 2600 . Sigui K l'àrea del rombe T.
Suposant que K és un enter positiu, trobeu el nombre de valors possibles de K.
2006 AIME I #8
Solució: PG/6.24
Àrea d'un triangle coneixent els tres angles i un costat.
B
CAbABC
sin2
sinsin2
Demostració. Partim de la fórmula anterior: AcbÀrea sin2
1
i apliquem el Teorema del Sinus: B
Cbc
B
b
C
c
sin
sin
sinsin
B
ACbA
B
CbbAcbABC
sin2
sinsinsin
sin
sin
2
1sin
2
1 2
Àrea d'un triangle coneixent els tres costats ("La fórmula d'Heron").
))()(( csbsassABC
on 2
cbas
s'anomena
semiperímetre del triangle.
Demostració. Partim de la fórmula
AAAAcb
Àrea
AcbÀreaAcbÀreaAcbÀrea
cos1cos1cos1sin4
sin4
1sin
4
1sin
2
1
22
22
2
22222222
Ara apliquem el Teorema del Cosinus:
bc
acb
bc
cbaAAbccba
22coscos2
222222222
I per tant
bc
cba
bc
acbbc
bc
acbbc
bc
acbA
2
)(
2
2
2
2
21cos1
22222222222
bc
acb
bc
acbbc
bc
acbbc
bc
acbA
2
)(
2
2
2
2
21cos1
22222222222
Arribem a:
(**))()(
)()(16
4
)()(
2
)(
2
)(4
22222
22
22222222
22
2
acbacbcbacba
acbcbaÀrea
cb
acbcba
bc
acb
bc
cba
cb
Àrea
Tenint en compte que:
asacbaacb
sacb
bsbcbabcacba
csccbacbacba
222
2
222)(
222)(
Llavors:
)())((16)(22)(2)(22222222(**) assbscsassbscsassbscs
I, Finalment:
)())((
)())(()())((1616 22
assbscsÀrea
assbscsÀreaassbscsÀrea
Calcula l'àrea del triangle:
82
16
2
754
2
cbas
8.964961438)78)(48)(58(8 ABC
3 Les funcions trigonomètriques.
3.1 Raons trigonomètriques amb angles negatius.
Fixada una semirecta AB de referència, direm que un angle és positiu quan gira en el sentit
contrari de les agulles del rellotge, i és negatiu quan gira en el sentit de les agulles del rellotge.
Per a angles negatius el sinus i la tangent canvien de signe i passen a negatiu. El cosinus queda
igual:
)sin()sin(
)cos()cos(
)tan()tan(
Per tant, estenem les funcions sinus i tangent com a funcions senars i la funció cosinus
com a funció parell:
1,1º180,º180:sin
1,1º180,º180:cos
,º180,º180:tan
Propietats immediates de les raons trigonomètriques.
1) En tot triangle rectangle, la hipotenusa és sempre major que els catets, per tant,
sempre es compleix
1)sin(1 , 1)cos(1
2) Les tres funcions trigonomètriques estan relacionades entre sí:
)cos(
)sin()tan(
En efecte, per a qualsevol punt ),( yxP amb argument ,
)cos(
)sin(
/
/)tan(
mx
my
x
y
3) Es compleix la Identitat Fonamental de les raons trigonomètriques:
1)(cos)(sin 22
En efecte, en tot moment s'aplica el Teorema de Pitàgores: 222 yxm , per tant
)(cos)(sin1 22
22
2
2
2
2
2
22
2
2222
m
x
m
y
m
x
m
y
m
xy
m
mxym
3.2 Raons trigonomètriques amb angles > 360º.
Estenem les funcions trigonomètriques mòdul 360º:
1,1,:sin
1,1,:cos
,180º90,:tan k
Veiem que la funció tangent no està definida per als valors
kx 180º90...º450,º270,º90,...,º450,º270,º90
3.3 Coordenades polars.
Tot punt ),( ba de IR
2 es pot expressar en forma polar, és a dir, de la forma
mòdul+argument:
);(sin,cos),( mmba
Per evitar confusions, en polars separarem les dues coordenades amb un punt i coma. Per exemple, el
punt )1,1( en cartesianes és º45;2 en polars.
De cartesianes a polars:
b
a
bam
tan
22
(tenint en compte el quadrant del punt)
De polars a cartesianes:
sin
cos
mb
ma
Determina les coordenades polars del punt )3,6(
º57.206º57.26180
º57.26
6
3)tan(
El punt )3,6( està clarament al primer quadrant, per tant º57.26
71.663 22 m º57.26;71.6)3,6(
Determina les coordenades cartesianes del punt º30;2
1,3º30;2
12
12º30sin2
32
32º30cos2
y
x
Determina les coordenades polars del punt )4,3(
º13.233º13.53º180
º13.53
3
4)tan( .
El punt )4,3( està al tercer quadrant, per tant º13.233
5)4()3( 22 m
)º13.233;5()4,3(
4 Equacions trigonomètriques.
Les equacions trigonomètriques són equacions en les quals apareixen raons
trigonomètriques i la incògnita és un angle.
4.1 Equacions trigonomètriques fonamentals.
Equacions trigonomètriques fonamentals amb el sinus: sin(x)=a
Domini de definició de l'equació: 11 a
Una equació de la forma ax )sin( té com a solucions:
ka
kaxax
º360)arcsin(º180
º360)arcsin()sin(
Resol l'equació 8.0)sin( x
º86.126º360)8.0arcsin(º180
º13.53º360)8.0arcsin(8.0)sin(
k
kxx
Resol l'equació 4.1)sin( x
Com que 14.1 , aquest valor està fora del domini de definició de l'equació, i per tant
aquesta equació no té cap solució.
Resol l'equació 1)sin( x
º90º360)1arcsin(º180
º90º360)1arcsin(1)sin(
k
kxx
Per tant, aquesta equació només té una solució: º90x
Equacions trigonomètriques fonamentals amb el cosinus: cos(x)=a
Domini de definició de l'equació: 11 a
Una equació de la forma ax )cos( té com a solucions:
ka
kaxax
º360)arccos(º360
º360)arccos()cos(
Resol l'equació 7.0)cos( x
314.43ºº360)7.0arccos(º360
º57.45º360)7.0arccos(7.0)cos(
k
kxx
Resol l'equació 1)(cos2 x
11)cos(1)(cos2 xx
Si
0ºkº603)1arccos(º360
º0º360)1arccos(1)cos(
kxx
Si
180º-180ºº360)1arccos(º360
º180º360)1arccos(1)cos(
k
kxx
Per tant, les solucions són º0 i º180 .
Resol l'equació 2
3)º303cos(
x
k
kk
kk
xx
º360º210
º360º150º360º3602
3arccosº360
º360º150º3602
3arccos
3032
3)º303cos(
º300,º180,º60º120º60
3
º360
3
º180
º360º1803
º360º30º1503
º360º150º303
xkx
kx
kx
kx
kx
º320,º200,º80º120º80
3
º360
3
º240
º360º2403
º360º30º2103
º360º210º303
xkx
kx
kx
kx
kx
Les solucions són º320,º300,º200,º180,º80,º60x
Equacions trigonomètriques fonamentals amb la tangent: tan(x)=a
Domini de definició de l'equació: , (no hi ha cap restricció)
Una equació de la forma ax )tan( té com a solucions:
ka
kaxax
º360)arctan(º180
º360)arctan()tan(
Resol l'equació 2.1)tan( x
kk
kkxx
º360º19.230º360)2.1arctan(º180
º360º19.50º360)2.1arctan(2.1)tan(
Resol l'equació 34tan x
...,º330,º285,º240,º195,º105,º60,º15
...,º330,º240,º60º90º604
º360º240º360º2404
...,º285,º195,º105,º15º90º154
º360º60º360º604
º360º240º3603arctanº180
º360º60º3603arctan434tan
kk
xkx
kk
xkx
kk
kkxx
4.1.1 Resol les següents equacions:
a) 2
1cos
x b)
2
2sin x c)
2
1
2
1sin
x
d) 2
32sin x e)
2
13cos x f) 1
3
1sin x
g) 03
1cos x h) 1
3
2cos x i) 1
3
1tan x
4.1.2 Resol les següents equacions:
a) 32tan3 x b) 012sin2 x c) 1)3º180tan( x
4.1.3 Resol les següents equacions:
a) 1sin2 2 x b) 3cos4 2 x c) 3tan2 x
4.1.4 Resol les següents equacions:
a) 03)º20sin(2 x b) 1)º202tan(3 x
c) 01)º452cos(2 x
4.1.5 Resol les següents equacions trigonomètriques:
a) 3
1)sin( x b) 1)sin(2 x c) 75.01)cos( x
d) 4.12
3)cos(
x e) 5)tan( x f) 31)sin(2 x
g) 15
2)tan(3
x
4.2 Equacions trigonomètriques senzilles.
Equacions trigonomètriques per factorització.
Resol l'equació: xxx cos4cossin2
0cos4cossin
cos4cossin
2
2
xxx
xxx
0)4(sincos 2 xx Aquí apliquem la identitat "suma per diferència":
02sin
02sin
0cos
0)2)(sin2(sincos
x
x
x
xxx
k
kxx
º360º270
º360º900cos
2sin02sin xx Aquesta equació no té solució.
2sin02sin xx Aquesta equació no té solució.
Per tant, les solucions són kº360º90 , kº360º270 .
4.2.1 Resol l'equació
0cossin2sin3 xxx , amb º3600 x
4.2.2 Resol l'equació
02sinsin2 xx , amb º3600 x
4.2.3 Resol les següents equacions:
a) 0cos2cossin xxx b) 0cossincos2 xxx
c) 1sinsin2 2 xx d) 0cossincos2 xxx
Resol l'equació xx sin3cos1
22 )sin3()cos1( xx Elevem al quadrat
xxx 22 sin3coscos21 Apliquem Teorema Pitàgores
)cos1(3coscos21 22 xxx
xxx 22 cos33coscos21
0cos33coscos21 22 xxx
0cos4cos22 2 xx
0)cos2cos1(2 2 xx Factoritzem: )1)(12(12 2 aaaa
01cos
01cos20)1)(cos1cos2(2
x
xxx
kk
kk
xxx
º360º240º3602
1arccosº360
º360º120º3602
1arccos
2
1cos01cos2
º01cos01cos xxx
Es molt important comprovar les possibles solucions. No sempre són vàlides!
º0x sí és solució de l'equació:
003º0sin3
011º0cos1
º120x sí és solució de l'equació:
2/303º120sin3
2/311º120cos1
Però el valor º240x no és solució de l'equació:
2/3º240sin3
2/3º240cos1
Les úniques solucions vàlides són kº360º120 i kº360º0
4.3 Equacions trigonomètriques per canvi de variable.
Convertim una equació trigonomètrica en una equació polinòmica de segon grau.
Resol l'equació 5.2)sin(3)(sin5 2 xx
Fent el canvi de variable )sin(xz obtenim una equació polinòmica de segon grau:
5.235)sin(
5.2)sin(3)(sin5 2
2
zz
xz
xx
Resolem l'equació de segon grau que hem obtingut:
068.1
468.0
52
681.73
52
593
52
)5.2(543305.235
5.235
2
2
2
zzz
zz
Desfem el canvi de variable:
º10.152)468.0arcsin(180
º90.27)468.0arcsin()sin(468.0 xxz
)sin(068.1 xz
Aquí veiem que -1.068 està fora del domini de definició de l'equació, per tant
aquesta segona equació no té solució.
Les solucions són: º10.152,º90.27 (i tots els seus múltiples de 360º)
4.3.1 Resol la següent equació:
01cos4cos2 xx
Resol l'equació 5cos9cos2 2 xx
05cos9cos2
5cos9cos2
2
2
xx
xx
Volem factoritzar 592 2 xz .
Sempre es millor factoritzar que "tirar de fórmula". I sempre es millor
factoritzar de cap, intentant completar quadrats o completar productes. Les
fórmules són per als losers.
Especulem amb què serà de la forma ))(2( BzAz
ABzABzABAzBzzBzAz )2(222))(2( 22
Per tant volem dos nombres, A i B, de forma que 92 AB i 5AB .
Pensant pensant arribem a 5B i 1A .
Efectivament, 5925102)5)(12( 22 zzzzzzz
Ara tornem a l'equació trigonomètrica:
impossiblexx
x
xxx
xx
xx
xx
5cos05cos
º240º120º360
º120
2
1cos01cos2
0)5)(cos1cos2(
05cos9cos2
5cos9cos2
2
2
Resol l'equació 01sin2sin2 2 xx
Acabem de dir que hem d'intentar factoritzar, que les fórmules són per als losers. Però,
per molt que ho intentem, no hi ha manera de factoritzar aquesta expressió. Així doncs,
fem servir la fórmula:
366.1
366.0
2
31
4
322
4
122
22
)1(2422sin
01sin2sin2
2
2
x
xx
El valor 366.1 està fora del rang de l'equació, per tant, l'únic valor acceptable és
º529.158º471.21º180
º471.21366.0arcsin366.0sin xx
4.4 Equacions trigonomètriques amb quadrats de sinus i cosinus.
Aplicarem la Propietat fonamental de la trigonometria: 1)(cos)(sin 22 xx i després
apliquem un canvi de variable.
Resol l'equació 2.21)sin()(cos2 xx
Prenem la Propietat fonamental de la trigonometria...
)(sin1)(cos1)(sin)(cos 2222 xxxx
...i l'apliquem a la nostra equació:
02.0)sin()(sin
02.0)sin()(sin
02.211)sin()(sin
2.21)sin()(sin1
2.21)sin()(sin1
2.21)sin()(cos
2
2
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Fem un canvi de variable )sin(xz i resolem l'equació de segon grau resultant:
724.0
277.0
2
447.01
12
2.01
12
2.01411
12
2.014)1(1
02.002.0)sin()(sin
22
22
z
zzxx
Desfem el canvi de variable:
º92.163)277.0arcsin(º180
º081.16)277.0arcsin(277.0)sin(277.0 xxz
º614.133)724.0arcsin(º180
º386.46)724.0arcsin(724.0)sin(724.0 xxz
Les solucions són:
º614.133,º386.46,º92.163,º081.16 (i tots els seus múltiples de 360º)
4.5 Repàs d'equacions trigonomètriques.
4.5.1 Resol les següents equacions.
a) 2
1)3sin( x b) 01)sin(2 x c) 01)(tan3 2 x
d) )º60cos()2sin( x e) )sin(2)sin( xx f) )cos()(cos 2 xx
g) 01)sin()(sin2 2 xx h) 03)cos(3)(sin2 2 xx
i) 2
1)(cos)(sin 22 xx j) 0)(sin3)(cos 22 xx
k) 3)(cos)sin(3 2 xx
5 Les identitats trigonomètriques.
5.1 Les identitats trigonomètriques.
Suposem l'existència de dues funcions reals, a les que anomenarem sinus i cosinus, que
satisfan les següents tres propietats:
(a) Domini de definició: Les funcions sinus i cosinus estan definides a tota la recta real.
(b) Valors especials: 1)90sin()0cos( , 1)180cos(
(c) Cosinus de la diferència: yxyxyx sinsincoscoscos
Llavors aquestes funcions compliran les següents propietats:
(d) La identitat pitagòrica: 1)(cos)(sin 22 xx
(e) Nous valors especials: 0)180sin()90cos()0sin(
(f) El cosinus és una funció parell: )cos()cos( xx .
(g) )sin()90cos( xx
(h) El sinus és una funció senar: )sin()sin( xx
(i) )cos()90sin( xx , )sin()90cos( xx
(j) Periodicitat: )sin()360sin( xx , )cos()360cos( xx
(k) Fórmules de la suma i diferència d'angles:
yxyxyx
yxyxyx
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
yxyxyx
yxyxyx
sinsincoscoscos
sincoscossin)sin(
yx
yxyx
tantan1
tantan)tan(
yx
yxyx
tantan1
tantan)tan(
(l) Identitats "Suma-A-Producte" i "Resta-A-Producte":
2cos
2cos2coscos
2cos
2sin2sinsin
yxyxyx
yxyxyx
2sin
2sin2coscos
2sin
2cos2sinsin
yxyxyx
yxyxyx
(m) Fórmules per a l'angle doble:
x
xx
xxxxx
xxx
2
2222
tan1
tan22tan
sin211cos2sincos2cos
cossin22sin
(n) Fórmules per a l'angle meitat:
2
)cos(12/sin
2
1)cos(2/cos
2
2
xx
xx
)cos(1
)sin(
)sin(
)cos(12/tan
)cos(1
)cos(12/tan2
x
x
x
xx
x
xx
(o) Identitats "Producte-A-Suma":
)sin()sin(cossin2
)cos()cos(sinsin2
)cos()cos(coscos2
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyx
(p) Fórmules per a l'angle triple:
xxx
xxx
3
3
cos4cos33cos
sin4sin33sin
(q) Fórmules per a l'angle quàdruple:
1cos8cos84cos
sincos4sincos84sin
24
3
xxx
xxxxx
(r) Tangent de la semisuma i de la semidiferència:
yx
yxyx
yx
yxyx
coscos
sinsin
2tan
coscos
sinsin
2tan
(s) Les "fórmules T":
Si
2tan
t , llavors:
21
2sin
t
t
,
2
2
1
1cos
t
t
,
21
2tan
t
t
Demostració.
d) Prenem xy en (c):
xxxxxxxx 22 sincossinsincoscoscos)0cos(1
e) Prenem 0x en l'apartat anterior:
0)0sin(0)0(sin1)0(sin)0(cos)0(sin1 22222
Prenem 90x en l'apartat anterior:
0)90cos(0)90(cos)90(cos1)90(cos)90(sin1 22222
Prenem 180x en l'apartat anterior:
0)180sin(0)180(sin)1()180(sin)180(cos)180(sin1 22222
f) Prenem 0x en (c):
yyyyyyy cossin0cos1sin)0sin(cos)0cos(0cos)cos(
g) Apliquem (c):
)sin()sin(1)cos(0)sin()90sin()cos()90cos()90cos( xxxxxx
h) Apliquem la propietat anterior:
)sin()90cos()90sin(0)90cos()1(
)90sin()180sin()90cos()180cos(
))90(180cos()90cos())(90cos()sin(
xxxx
xx
xxxx
i) )cos()cos())90(90cos()90sin( xxxx
)sin()sin())(90cos()90cos( xxxx
j) )90180cos()270cos()90)270sin(()360sin( xxxx
)sin())sin(()90cos()9090sin()180sin( xxxxx
i l'altra identitat es demostra de forma similar.
k) Apliquem (c) i tenim en compte la paritat de les funcions:
yxyxyxyx
yxyxyxyx
sinsincoscos)sin(sincoscos
)sin(sin)cos(cos)(coscos
yxyxyxyx
yxyxyxyx
cossinsincossincoscossin
sin)90sin(cos)90cos()90cos()sin(
l) Tenim:
yxyxyx sincoscossin)sin(
yxyxyxyxyxyx sincoscossin)sin(cos)cos(sin)(sin()sin(
Per tant, restant les identitats anteriors:
yxyxyx sincos2)sin()sin(
Prenent 2
bax
i
2
bay
, la igualtat anterior és equivalent a:
2sin
2cos2sinsin
2sin
2cos2
2
2sin
2
2sin
2sin
2cos2
22sin
22sin
bababa
bababa
babababababa
Fent el mateix amb la funció cosinus arribem al segon resultat.
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yxyx
tantan1
tantan
coscos
sinsin
coscos
coscos
coscos
sincos
coscos
cossin
sinsincoscos
sincoscossin
)cos(
)sin()tan(
m) Es dedueixen directament de (k):
xxxxxxxxx cossin2sincoscossin)sin()2sin(
xxx
xxx
xxxxxxxxx
222
222
22
cos21)cos1(cos
sin21sin)sin1(
sincossinsincoscos)cos()2cos(
x
x
xx
xxxxx
2tan1
tan2
tantan1
tantan)tan()2tan(
p)
3sin
= 2sin
= sin2coscos2sin
= sinsin21coscossin2 2
= 32 sin2sincossin2
= 32 sin2sinsin1sin2
= 33 sin2sinsin2sin2
= 3sin4sin3
3cos = 2cos
= sin2sincos2cos
= sincossin2cos1cos2 2
= cossin2coscos2 23
= coscos12coscos2 23
= 32 cos2cos2coscos2
= cos3cos4 3
3tan = 2tan
=
tan2tan1
tan2tan
=
2
2
tan1
tantan2
tan1
tan2
1
tan
=
2
22
2
3
tan1
tan2tan1
tan1
tantantan2
=
2
3
tan31
tantan3
(r) Aplicant les identitats "Producte-A-Suma"
xyyxyxyxyxyxyx
sinsin22
sin22
sin2
cos2
sin2
yxyxyxyxyxyxyx
coscos22
cos22
cos2
cos2
cos2
per tant:
yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yxyx
coscos
sinsin
2/)(cos2/)(cos2
2/)(cos2/)(sin2
2/)(cos
2/)(sin
2tan
yx
xyyxyxyxyxyxyx
sinsin
sinsin22
sin22
sin2
sin2
cos2
Per tant:
yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yxyx
coscos
sinsin
2/)(cos2/)(cos2
2/)(cos2/)(sin2
2/)(cos
2/)(sin
2tan
(s)
sin = 22
cossin2 = 2
2
2
2
22
sincos
cossin2
=
2
2
2
2
2
2
2
2
22
cos
sincos
cos
cossin2
=
2
2
2
tan1
tan2
= 21
2
t
t
cos = 2
2
2
2 sincos =2
2
2
2
2
2
2
2
sincos
sincos
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
sincos
cos
sincos
=2
2
2
2
tan1
tan1
=
2
2
1
1
t
t
tan =
cos
sin =
2
2
2
1
1
1
2
t
t
t
t
= 21
2
t
t
Al 1822, el matemàtic francès Joseph Fourier va descobrir que
qualsevol funció d'ona, com per exemple el so, es pot modelar
com a combinació lineal de funcions sinusoïdals. La disciplina
que determina la combinació lineal de funcions sinusoïdals
associada a qualsevol funció d'ona s'anomena Anàlisi de
Fourier.
5.2 Demostració visual de les fórmules trigonomètriques de la suma
d'angles.
a) cossincossinsin
b) sinsincoscoscos
c)
tantan1
tantantan
Demostració. Siguin y dos angles tals que 90,, aa . Construïm un
rectangle ABCD amb un punt E en AB i un punt F en BC tals que
ADE , EDF , º90DEF y 1DF .
Aquest rectangle el podem construir de la següent forma: Donat el triangle rectangle
DEF amb EDF i 1DF , tracem una recta r exterior amb angle , i una
recta perpendicular a r per D. Tracem ara la perpendicular a r per E, que tallarà amb r al
punt A, i la perpendicular a s per F, que tallarà amb s en C. El punt B serà la intersecció
entre aquestes dues perpendiculars.
DEDF
DE
EFDF
EF
cos
sin
En el triangle EBF :
BEFBEF
BEFDEFAED
DEF
AEDAED
1809090
180
90
9018090
cossincos
sinsinsin
BEEF
BE
BFEF
BF
En el triangle DAE :
ADADDEDE
AD
AEAEDEDE
AE
coscoscoscos
sincossinsin
En el triangle CFD :
Com que CDAB // tenim que DFC .
sinsincoscoscos
cossinsincossin
BFADBFBCCFDF
CF
BEAECDDF
CD
I amb això arribem a les fórmules de la suma d'angles:
sinsincoscoscos
cossinsincossin
De les que podem deduir la fórmula de la tangent de la suma:
tantan1
tantan
coscos
sinsin1
cos
sin
cos
sin
coscos/sinsincoscos
coscos/cossinsincos
sinsincoscos
cossinsincos
cos
sintan
Donats angles A i B tals que 5
4sin A ,
5
3cos A ,
13
12sin B i
13
5cos B ,
determina els valors exactes de )sin( BA , )cos( BA i )tan( BA
65
56
13
12
5
3
13
5
5
4sincoscossin)sin( BABABA
65
33
13
12
5
4
13
5
5
3sinsincoscos)cos( BABABA
33
56
65/33
65/56
)cos(
)sin()tan(
BA
BABA
Determina el valor exacte de º5.7cosº5.52sin
4
23º45sinº60sin
2
1
)º5,7º5.52sin()º5.7º5.52sin(2
1º5.7cosº5.52sin
5.3 Equacions trigonomètriques aplicant les identitats.
Resol l'equació xx sin412cos
Apliquem la identitat xx 2sin212cos
xxxx sin41sin21sin412cos 2
impossiblexx
xxxx
xx
xx
xx
xx
2sin02sin
º180,º00sin02sinsin
0sin2sin
sin2sin
sin4sin2
sin41sin21
2
2
2
2
Les solucions són 0º, 180º (i tots els seus múltiples de 360º)
Resol 0sin)2sin( tt
0sin)2sin( tt Apliquem la identitat xxx cossin2)2sin(
0sincossin2 ttt Factoritzem traient factor comú tsin
01cos2
0sin01cos2sin
t
ttt
k
ktt
º360º180
º360º00sin
kk
kttt
º360º240º360º120º360
º360º1202
1arccos
2
1cos01cos2
Per tant, les solucions són kº360º0 , kº360º180 , kº360º120 , kº360º240
Resol l'equació 2
sincosx
x
Apliquem la identitat de l'angle meitat:
01coscos2
cos1cos2
2
cos1cos
2
cos1
2sincos
2
2
2
xx
xx
xx
xxx
Factoritzem aquesta equació: )1)(12(12 2 aaaa
01cos
01cos201cos1cos2
01coscos2 2
x
xxx
xx
kk
kkxxx
º360º300º360)2/1arccos(º360
º360º60º360)2/1arccos(
2
1cos01cos2
kxxx º360º1801cos01cos
Les solucions són kº360º60 , kº360º300 , kº360º180
Resol 2
32coscos2sinsin xxxx
Apliquem la identitat de la diferència d'angles:
)cos()2cos(2coscos2sinsin2
3xxxxxxx
Amb el què la hem convertit en fonamental:
kkk
kk
xx
º360º330º360º30º360º3602
3arccosº360
º360º30º3602
3arccos
)cos(2
3
Les solucions són: kº360º30 , kº360º330 .
5.3.1 Resol les següents equacions:
a) 2
1sin2coscos2sin xxxx b)
2
3sin2sincos2cos xxxx
Resol l'equació 2sincos3 xx
º75º45º180º60
º345º15º45º60)º45sin()º60sin(
2
2sinº60coscosº60sin
2
2sin
2
1cos
2
3
2
2
2
sincos3
2sincos3
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
5.4 Combinacions lineals de sinus i cosinus.
Tota combinació lineal de cosinus i sinus:
xBxA sincos
es pot expressar com un sinus pur:
)sin( bxa
prenent 222 BAa , BAb /tan
Demostració. Apliquem la identitat trigonomètrica Suma-A-Producte:
xbabxaxbbxabxa cossincossinsincoscossin)sin(
Per tant:
baB
baAxbabxaxBxA
cos
sincossincossinsincos
B
A
aB
aA
b
bb
/
/
cos
sintan
222222222222 cossincossincossin abbababababaBA
Resol l'equació 1sincos xx
Apliquem les fórmules anteriors per expressar xx sincos en forma d'un sinus pur:
En el nostre cas 1A , 1B i per tant
)4/3sin(2sincos4/31
1
1tan
2)1(1 22222
xxxb
B
Ab
aBAa
Amb el què hem convertit una equació difícil en una equació més senzilla:
kxkk
kkxk
x
x
x
xx
2024
32
4
22
24
3
42
4
4
3
2
1)4/3sin(
1)4/3sin(2
1sincos
Les solucions són: kx
22
i kx 20
Solucions
1.1.1 a) 16.1 cm b) 20.2 cm c) 19.4 cm d) 13.2 cm
1.1.2 a) 10 b) 26 c) 209 d) 57 e) 149
1.1.3 a) 83.253420 b) 12.411737
1.1.6 29.46 cmA , cmp 5.34
1.1.7 a) 5 b) 23 c) 4 d) 3 e) 1 f) 4
1.2.1 a) b) 3
c)
4
d)
2
1.2.2 a) 0.42 b) 1.36
1.2.3 a) 30º b) 41.8º
1.2.4 a) 4
b)
12
5 c)
20
d)
9
7 e)
36
5
1.2.5 a) 77.14º b) 10º c) 120º d) 72º
1.3.1 a) 5
3)sin( b)
5
4)cos( c)
4
3)tan(
1.3.2 a) cmx 8.38 , cmy 7.20 b) cma 6.6 , cmb 4.12
c) cmh 0.13 d) cma 5.35
1.3.3 a) 37.31 b) 8.91 c) 10.90 d) 21.65 e) 41.04 f) 12.52
g) 29.46 h) 10
1.3.4 m73.13
1.3.5 86.92 m.
1.3.6 ≈11,30 m.
1.3.7 203.6 m
1.3.8 11.31 m
1.3.9 ≈16,51 m.
1.3.10 ≈7.18 m.
1.3.11 ≈4,87 m.
1.3.12 ≈270,26 m.
1.3.13
1.3.14 4.67 m
1.3.15 12.41 cm
1.3.16 4.4
1.4.1 a) 0.9511 b) 0.6494 c) 0.9980 d) 0.2402 e) 0.4599 f) 0.7071
1.4.2 a) 44.4º b) 66.4º c) 85.9º d) 53.1º e) 64.2º f) 5.7º
1.1.5 139.03m
1.6.2 6.76 cm
1.6.3 º7.116 , º2.49
1.7.1 28.95 m
1.7.3 110
1.7.5 42x
1.7.6 45 m. aprox.
2.2.1 88.1m
2.2.2 r=26.5 , º77.43
2.3.1 3.337
2.3.2 x=28.38
2.4.1 a) 88.3 km2.
4.1.1 a) 120º, 240º b) 225º, 315º c) 60º , 300º
d) 30º,60º,210º,240º e) 20º,100º,140º,220º,260º,340º f) 270º g) 270º
h) 270º i) 135º
4.1.2 a) 15º, 105º, 195º, 285º b) 105º,165º,285º,345º
c) 15º, 75º,135º,195º, 255º, 315º
4.1.3 a) 45º, 135º, 225º, 315º b) 30º, 150º, 210º, 330º
c) 60º, 120º, 240º, 300º
4.1.4 a) 220º, 280º b) 25º, 115º, 205º, 295º
c) 90º, 135º, 270º, 315º
4.1.5
a)
k
kx
360º53.160
360º47.19 b)
k
kx
360º150
360º30 c)
k
kx
360º52.75
360º52.75
d)
k
kx
360º54.101
360º54.101 e)
k
kx
360º69.258
360º69.78 f) kx 360º90
g)
k
kx
360º5.246
360º5.66
4.2.1 0º, 30º,180º, 330º
4.2.2 90º
4.3.1 74.45º
4.5.1 a) 30º, 150º b) 10º, 50º c) 30º, 210º, 330º d) 15º, 75º
e) 315º, 225º f) 0º, 90º, 270º g) 90º, 150º, 330º h) 300º, 60º, 0º
i) 60º, 140º, 120º, 300º j) 150º, 210º, 30º, 330º
k) 270º
5.3.1 a) 30º, 90º b) 60º, 180º