Los arquitectos son unos grandes conocedores de la geometría en el espacio. Una obra emblemática en la que se pueden observar perfectamente las rectas y los planos es la casa de la Cascada o casa Kaufmann. Diseñada entre 1934 y 1935 y construida durante 1936 y 1937, se considera la obra cumbre de Frank Lloyd Wrigt (1876-1959).

Proyectada como casa de campo para Edgar Kaufmann, hoy en día esun monumento nacional en Estados Unidos.

Wright comentó sobre su obra: «Está diseñada para la música de la cascada, para aquel a quien le gusta oírla». Hoy en día el sonido de la cascada se percibe desde cualquier lugar de la casa.

102

1. Discute el siguiente sistema según el valor del parámetro a:

�ax � 4y � z � 1

y � az � ax � 14y � 2az � 8

2.

3. Dado el plano 2x � y � 3z � 4,determina si son o no paralelos:

a) La recta �1

�

�

2

x� � �

y

�

�

1

1� � �

2

3�.

b) El plano �x � 3y � 2z � 0.

Dada la recta �x �

5

4� � �

2

y� � z � 1,

averigua si el punto P(6, 2, 2) estácontenido en la recta paralela a la anterior que pasa por el origende coordenadas.

Rectas y planos en el espacio

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Rectas en el espacio

Una recta en el espacio queda determinada por un punto A y por unadirección definida por un vector no nulo, v�, denominado vector director dela recta; r(A, v�) es la determinación lineal de la recta.

La determinación lineal de la recta no es única, ya que se puede tomar cualquiera de sus puntos; además, dada una recta, existen infinitos vectores directores (todos paralelos entre sí y con la misma dirección de la recta).

Puede determinarse una recta en el espacio conociendo dos de sus puntos. En efecto, conocidos dos puntos de una recta, A y B, se puede determinar el vector A�B� y este será un vector director de la recta, puesto que tiene sumisma dirección. La determinación de la recta será r(A, A�B�).

1.1. Ecuación vectorial de la recta

Sea A(a1, a2, a3) un punto de la recta y sea v� un vector director; en lafigura 5.1 se observa que, para un punto cualquiera, P(x, y, z), de la recta sepuede escribir:

O�P�� O�A�� A�P�

y dado que A�P� tiene la misma dirección que v�:

O�P�� O�A�� �v� � � �

que es la ecuación vectorial de la recta en el espacio.

1.2. Ecuaciones paramétricas de la recta

Teniendo en cuenta que las coordenadas del punto A son (a1, a2, a3), las del punto P, (x, y, z) y las componentes del vector v� son (v1, v2, v3), la ecuación vectorial se puede escribir:

(x, y, z) � (a1, a2, a3) � �(v1, v2, v3)Igualando las componentes se obtiene:

Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio:

x � a1 � �v1

y � a2 � �v2 � � ��z � a3 � �v3

Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), las ecuacionesparamétricas de la recta se convierten en:

x � a1 � �(a1 � b1)y � a2 � �(a2 � b2) � � �� z � a3 � �(a3 � b3)

103 5. Rectas y planos en el espacio

1

RecuerdaUna recta en el plano queda

determinada por un punto A ypor un vector no nulo, v�, deno-minado vector director de larecta.

ObservaConocidos dos puntos de la

recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3),un vector director es:

v�� (a1� b1, a2 � b2, a3 � b3)

Z

O Y

XFIGURA 5.1.

�v�AP

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E j e m p l o s

1. Dada la recta (x, y, z) � (�3, 1, 5) � �(2, �1, 0), averiguar si los puntosA(�5, 2, 5), B(1, �2, 5) y C(�1, 0, 6) pertenecen a ella.

Sustituyendo en la ecuación de la recta los puntos dados:(�5, 2, 5)�(�3, 1, 5)��(2,�1, 0) ⇒ (�2, 1, 0)��(2,�1, 0) ⇒ ���1(1,�2, 5)�(�3, 1, 5)��(2,�1, 0) ⇒ (4,�3, 0)��(2,�1, 0) ⇒ ∃/ �

(�1, 0, 6)�(�3, 1, 5)��(2,�1, 0) ⇒ (2,�1, 1)��(2,�1, 0) ⇒ ∃/ �

Solo el punto A pertenece a la recta.

2. Dados los puntos A(0, 3, 2) y B(�1, 0, 5), escribir las ecuaciones paramé-tricas de la recta que pasa por dichos puntos.

Un vector director de la recta será el vector A�B� � (�1, �3, 3).La recta que pasa por el punto A y que tiene por vector director A�B� es lade ecuaciones:

� x � ��y � 3 � 3� � � �

z � 2 � 3�

1.3. Ecuaciones en forma continua de la recta

Despejando en cada una de las ecuaciones paramétricas el parámetro �, seobtiene:

Ecuaciones en forma continua de la recta en el espacio:

�x �

v1

a1� � �

y �

v2

a2� � �

z �

v3

a3�

Conocidos dos puntos de la recta, A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3), su ecuacióncontinua se convierte en:

�bx

1

�

�

aa1

1

� � �by

2

�

�

aa2

2

�� �bz

3

�

�

aa3

3

�

En general, las ecuaciones de las rectas son:

Si los puntos P1, P2, …, Pn están alineados, es decir, pertenecen a una

misma recta, los vectores P1P2� , P1P3

� , …, P1Pn� deberán ser paralelos.

Si los vectores P1P2� , P1P3

� , …, P1Pn� son paralelos, son linealmente depen-

dientes dos a dos, luego el rango de este conjunto de vectores deberá ser 1:

rango (P1P2� , P1P3

� , …, P1Pn� ) � 1

104 Geometría

Ecuación en forma generalde la recta

De las ecuaciones en forma continua de la recta pueden obtenerse tres ecuaciones:

�x �

v1

a1� � �

y �

v2

a2� ⇒

⇒ xv2 � yv1 � a2v1 � a1v2 � 0

�x �

v1

a1� � �

z �

v3

a3� ⇒

⇒ xv3 � zv1 � a3v1 � a1v3 � 0

�y �

v2

a2� � �

z �

v3

a3� ⇒

⇒ yv3 � zv2 � a3v2 � a2v3 � 0

De estas, solo son necesarias dos cua-lesquiera de ellas; luego se obtiene unsistema de dos ecuaciones con tresincógnitas, cuya solución presenta ungrado de libertad y, por tanto, son lospuntos de la recta. Este sistema recibeel nombre de ecuación general de larecta y se tratará con más detalle en epígrafes siguientes.

[…

Formas Ecuaciones

Ecuación vectorial O�P� � O�A�� �v� � � �(x, y, z) � (a1, a2, a3) � �(v1, v2, v3)

Ecuaciones paramétricas

x � a1 � �v1

y � a2 � �v2 � � ��z � a3 � �v3

Ecuación continua �x �

v1

a1� � �

y �

v2

a2� � �

z �

v3

a3�

ECUACIONES DE LA RECTA

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E j e m p l o s

3. Determinar si los puntos A(1, 1, �1), B(0, 3, 1) y C(2, �2, 0) están o noalineados.

Calculamos los vectores:

� A�B�� (�1, 2, 2)

� A�C�� (1, �3, 1)

Si los vectores A�B� y A�C� son proporcionales, los puntos A, B y C, estaránalineados:

��

11� � �

�

23� � �

21

�

Por tanto, los puntos A, B y C no están alineados.

4. Calcular la ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto A(1, �1, 2) y que tiene dirección perpendicular a los vectores u�� (0, 1, 3) y v�� (1, 1, 1).Un vector director perpendicular al mismo tiempo a los vectores u� y v� es elsiguiente:

u�� v�� � �2i� � 3j� � k�

La ecuación de la recta pedida será:

�x�

�

21

� � �y �

31

� � �z�

�

12

�

ctividades

Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el puntoP(7, �5, 2) y tiene la dirección del vector k�.

Solución:

�x � 7

y � �5 � � �

z � 2 � �

Halla la ecuación continua de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por el punto medio del segmento de extremos A(2, �1, 5) y B(7, 3, 1).

Solución: �x �

9

9/2� � �

y �

2

1� � �

z �

6

3�

¿Existe algún valor de m para el cual A(1, m, 0), B(m, 2, 1) y C( �3, 8, �1)estén alineados?

Solución: m � 5

¿Están los puntos A(3, 4, 2), B(2, �1, 0) y C(1, �6, �2) alineados? Si es así,calcula la ecuación continua de la recta que los contiene.

Solución: A, B y C están alineados. x � 2 � �y �

5

1� � �

2

z�

Calcula la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen de coorde-nadas y es paralela a la siguiente recta:

s: �x �

2

1� � �

3

y� � �

z

�

�

1

2�

Solución: (x, y, z) � �(2, 3, �1)

5

4

3

2

1

i� �j kk�0 1 31 1 1

105 5. Rectas y planos en el espacio

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El plano

Un plano en el espacio queda determinado por un punto A y dos vecto-res, u� y v�, no nulos y no paralelos, que se denominan vectores directores delplano. La expresión �(A, u�, v�) se denomina determinación lineal del plano.

La determinación lineal del plano no es única, ya que puede tomarse unocualquiera de los puntos de este, y los vectores directores del plano tampocoson únicos (figura 5.2).

Puede determinarse un plano conociendo tres de sus puntos, A, B y C,con la condición de que no estén alineados, ya que con estos tres puntos sepueden obtener dos vectores del plano que serán linealmente independientes y que, por tanto, serán vectores directores suyos: �(A, A�B�, A�C�).

2.1. Ecuación vectorial del plano

Si un punto P(x, y, z) pertenece al plano �(A, u�, v�), el vector A�P� deberáser combinación lineal de u� y v�: A�P� � �u�� v�.

Observando la figura 5.3 se puede escribir: O�P�� O�A�� A�P�.

Ecuación vectorial del plano:

O�P�� O�A�� �u� � v� �, � �

2.2. Ecuaciones paramétricas del plano

Si las coordenadas de A son (a1, a2, a3) y las de P son (x, y, z), entonces O�A�� (a1, a2, a3) y O�P�� (x, y, z). Si, además, las componentes de los vec-tores u� y v� son, respectivamente, (u1, u2, u3) y (v1, v2, v3), sustituyendo enla ecuación vectorial se obtiene:

(x, y, z) � (a1, a2, a3) � �(u1, u2, u3) � (v1, v2, v3)Igualando las componentes resulta:

Ecuaciones paramétricas del plano:

x � a1 � �u1 � v1

y � a2 � �u2 � v2 �, � ��z � a3 � �u3 � v3

2.3. Ecuación general del plano

Dados un plano �(A, u�, v�) y un punto P(x, y, z) que pertenezca al plano,los vectores A�P�, u� y v� deben ser linealmente dependientes:

rango (A�P�, u�, v�) � 2Luego:

� 0

Desarrollando el determinante anterior se obtiene una expresión del tipo:

Ecuación general o implícita del plano:

Ax � By � Cz � D � 0 A, B, C, D � �

x � a1 u1 v1

y � a2 u2 v2

z � a3 u3 v3

106 Geometría

2

ObservaLos vectores directores del

plano deben ser linealmente independientes, es decir, no paralelos.

FIGURA 5.2.

FIGURA 5.3.

v�

u�

A

A’v’�

�

�

u’�

O

O�P�O�A�

A�P�

P(x, y, z)A(a1, a2, a3)

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Si varios puntos, P1, P2, …, Pn, son coplanarios, es decir, pertenecen a unmismo plano, los vectores P1P2

� , P1P3� , …, P1Pn

� deberán ser tales que única-mente sean linealmente independientes dos a dos, ya que cualquiera de ellosse puede expresar como combinación lineal de otros dos. Si ocurre esto, elrango de este conjunto de vectores deberá ser 2:

rango (P1P2� , P1P3

� , …, P1Pn� ) � 2

E j e m p l o s

5. Dados el punto A(1/2, 3, 2) y la recta (x, y, z) � (2 � �, ��, 5 � 2�), con� � �, averiguar la ecuación general del plano que contiene a ambos.

La recta dada pasa por el punto P(2, 0, 5) y tiene la dirección del vectorv�� (1, �1, 2). Este puede ser uno de los dos vectores directores del plano.Para determinar el otro calculamos un vector que una el punto A(1/2, 3, 2)y el punto de la recta P(2, 0, 5), u�� (3/2, �3, 3). La ecuación general delplano será:

La ecuación del plano es 6x � 3z � 3 � 0 ⇒ 2x � z � 1 � 0.

6. Averiguar si los puntos O(0, 0, 0), A(1, �1, 3), B(5, 2, �2) yC(�3, �4, 8) son coplanarios.

Si el rango del conjunto de vectores O�A�� (1, �1, 3), O�B�� (5, 2, �2) yO�C�� (�3, �4, 8) es menor que 3, los puntos serán coplanarios.

Como el siguiente determinante:

∆ � es nulo, el rango del conjunto de vectores O�A�, O�B� y O�C� es menor que 3 y,por tanto, los puntos O, A, B y C son coplanarios.

7. Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ.

Escogemos un punto de este plano, por ejemplo, el origen de coordenadasO(0, 0, 0), y dos vectores directores:

i� � (1, 0, 0)

k�� (0, 0, 1)

La ecuación del plano será:

� 0

Desarrollando el determinante anterior por la tercera columna, se obtieneque 0 � y � 0. La ecuación del plano OXZ es y � 0.

Todos los puntos del plano OXZ cumplen la misma condición: son de laforma (x, 0, z) (figura 5.4).

x 1 0y 0 0z 0 1

1 5 �3�1 2 �4

3 �2 8

� 3x � �32

� z � �32

� � 0x � 1/2 1 3/2y � 3 �1 �3z � 2 2 3

107 5. Rectas y planos en el espacio

ObservaSi cuatro puntos del espacio

no son coplanarios, forman untetraedro.

Z

O Y

X

FIGURA 5.4.

P(x, 0, z)

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