Rectas en el plano cartesiano

Por Eugenio Skerrett

Gráfica

El plano cartesiano provee para más que marcar puntos aislados. Se pueden trazar conjuntos de puntos.

Gráfica: dibujo de los valores de la relación entre variables.

Gráfica

La relación de variables se presenta con una regla, fórmula o como se le conoce comúnmente, ecuación.

La línea recta

Ésta es la gráfica de una ecuación de primer grado. Por ésto, a las mencionadas ecuaciones se les dice “lineales”.

La línea rectaEjemplo: y = 2x – 5 Observa que y se relaciona con x de forma particular; es decir, según cambia x cambiará la y.

x es la variable independiente por que se le asignará cualquier valor.y es la variable dependiente por que tomará valores según indica la regla o ecuación.

Trazado de la recta: método de la tabla de valores

Para dibujar la recta basta con tener los pares ordenados para marcar en el plano. Éstos los obtendremos de la ecuación. Sustituyendo cualquier valor en x obtendremos su pareja y. Cuando lo hacemos así , estamos construyendo una “tabla de valores”.

Trazado de la recta: método de la tabla de valores

y = 2x – 5; basta con sustituir unos cuantos valores x en la ecuación para obtener los respectivos y; así obtenemos la tabla de valores: para x = – 1; y = 2(– 1) – 5y = – 2 – 5 = – 7 para x = 0y = 2(0) – 5 y = – 5 para x = 1 y = 2(1) – 5 y = 2 – 5 = – 3

Tabla de valores

x y

– 1

0

1

– 7 – 5

– 3

Coteja la tabla de valores a un lado y las sustituciones al otro.

Trazado de la recta: método de la tabla de valores

Aunque para este ejemplo utilizamos tres valores de x, en realidad con dos es suficiente. De acuerdo con la Geometría necesitamos solamente dos puntos para dibujar una recta. Así que con dos valores de x determinamos sus respectivos de y , de manera que tenemos las coordenadas de dos puntos.

Para nuestro ejemplo obtuvimos tres pares ordenados buenos para tres puntos. Entonces podemos dibujar la recta.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1-2

-3-4

-5-6

-7-8

21

4 3

65

87

x

y

Trazado de la recta: método de la tabla de valores

Recalcamos que solamente se necesitan dos puntos para dibujar una recta. Es lógico que los más indicados son los que sus valores de x son 0 y 1. Para nuestro ejemplo serían: (0, – 5) y (1, – 3). En otras palabras, en la tabla de valores solo escribimos 0 y 1 bajo la x y sustituimos en la ecuación para obtener los correspondientes valores de y.

Trazado de la recta: método de la tabla de valores

y = 2x – 5; basta con sustituir los valores 0 y 1 en la x de la ecuación para obtener los respectivos y; así obtenemos la tabla de valores:para x = 0y = 2(0) – 5 y = – 5 para x = 1 y = 2(1) – 5 y = 2 – 5 = – 3

Tabla de valores

x y

0 – 5

1 – 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1-2

-3-4

-5-6

-7-8

21

4 3

65

87

x

y

Trazado de la recta: la forma pendiente – intercepto Existe otra forma de dibujar una recta. Primero veamos algo.

En nuestro ejemplo tenemos una ecuación despejada para y: y = 2x – 5. Cuando una ecuación lineal se presenta de esta manera se dice que está en la forma pendiente – intercepto. En general:

y = mx + b

pendiente

intercepto

Trazado de la recta: la forma pendiente – intercepto La pendiente es la inclinación de la recta:

m = ∆y (desplazamiento vertical, “arriba” o “abajo”)

∆x (adelanto horizontal)

Si la pendiente en la ecuación es negativa, la recta será descendente (hacia abajo) y si es positiva en la ecuación, la recta será ascendente (hacia arriba). Hay que reconocer que la pendiente es una razón. Se refiere a desplazamientos arriba o abajo en y contra avance o adelanto en x.

Trazado de la recta: la forma pendiente – intercepto El intercepto es el punto en el eje de y donde la

recta lo interseca (cruza). En forma correcta se le debe llamar “intercepto en y”, por su significado.

En nuestro ejemplo y = 2x – 5. Entonces, m = 2

y b = – 5; es decir la pendiente es 2, el intercepto es – 5.

Trazado de la recta: la forma pendiente – intercepto Ahora podemos dibujar la recta así:

1. Marcar el intercepto – en nuestro ejemplo, éste es – 5. Marcamos – 5 en el eje de y.

2. Determinar la pendiente – en nuestro caso, es 2 es decir, 2/1. Por lo tanto, a partir del intercepto, – 5, “subimos” (es positiva) dos unidades y adelantamos una.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1-2

-3-4

-5-6

-7-8

21

4 3

65

87

x

y

Determinación de la ecuación de la recta

Por otro lado podemos determinar la ecuación de una recta. Para ésto, basta con observar la recta, además de recordar la forma pendiente – intercepto. Entonces, procedemos al inverso de lo que hemos hecho, para formar la ecuación.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-1-2

-3-4

-5-6

-7-8

21

4 3

65

87

x

y

y = – 2 + 5 x4

y = 5x – 2 4

Resumen

La gráfica de una ecuación de primer grado es una linea recta. Por ésto es que también se le llama ecuación lineal. La forma pendiente intercepto es muy útil para dibujar la recta, sea por tabla de valores o por inspección de la pendiente y el intercepto en el eje y, además de que permite determinar la ecuación dada una recta.