recopilacion_certamenes_preliminar

7/25/2019 Recopilacion_Certamenes_Preliminar

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Analisis Numerico - Mat-270 INDICE

Indice

1. Introduccion 2

2. Teora de Errores 3

3. Ecuaciones y Sistemas No Lineales 5

4. Sistema de Ecuaciones Lineales 9

5. Interpolacion y Aproximacion Polinomial 15

6. Integracion numerica 22

7. E.D.O. 30

Version Preliminar RECOPILACION 1


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Analisis Numerico - Mat-270 1 INTRODUCCION

1. Introduccion

Topicos del Curso

Teora de Errores: aritmetica de punto flotante; problemas bien condicionados; algoritmos y propagacion del

error; estabilidad numerica de algoritmos.

Ecuaciones y Sistemas No Lineales: algoritmos y convergencia; algoritmos de orden superior para problemascon singularidades; metodos especiales para polinomios.

Sistemas de Ecuaciones Lineales: metodos directos; metodos iterativos; buen condicionamiento; aproximacionde autovalores de una matriz; aplicaciones a la resolucion de E.D.P.

Interpolacion y Aproximacion Polinomial: interpolacion local continua y diferenciable, interpolacion globalmediante splines; splines 2splines con tension; aproximacion discreta por mnimos cuadrados; teorema de lamejor aproximacion; resultados de convergencia; interpolacion en varias variables.

Integracion numerica: integracion numerica basada en interpolacion; formulas abiertas y cerradas de Newton-

Cotes; cuadratura gaussiana; integracion multiple.

Solucion numerica de ecuaciones diferenciales: metodos de Runge-Kutta; metodos de multipasos; metodos

predictor-corrector de Adams; convergencia y cota de error, sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias;

resolucion de Ecuaciones Diferenciales Parciales por diferencias finitas y elementos finitos.

Introduccion al metodo de diferencias finitas y metodo de elementos finitos.



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Analisis Numerico - Mat-270 2 TEORIA DE ERRORES

2. Teora de Errores

1. Suponga que la tierra es una esfera de radior = 6370km.

a) Usando aritmetica de punto flotante de cuatro dgitos, calcule el area de la tierra.

b) Usando la misma formula y precision, calcule la diferencia en el area si el valor del radio es aumentadoen 1km.

c) Justifique adecuadamente las diferencias encontradas.

2. Considere el problema deY = (J J2) sin() y el algoritmo:1)u= 1 J 2)v= Ju , 3)w= sin() , 4)y= v w

a) Escriba factores de condicionamiento. Que variable debe ser ingresada con mas precision?

b) Establezca si el algoritmo es numericamente estable.

3. Considere la clasicaecuacion de cambiodebido a Irving Fisher:

M(V V0) = P Y.En que M es la oferta de dinero, V la velocidad de circulacion, V0 velocidad inicial constante, P el nivelgeneral de precios e Yel PIB o ingreso.

a) Decida cual variable debe ser evaluada con mayor precision para calcular el ingreso.

b) Para corregir cualquier desequilibrio, y garantizar el cumplimiento de la igualdad, la tasa del precio Pes la que se ajusta, usualmente para ello se reescribe esta ecuacion en terminos de tasas, suponiendo quela tasa de crecimiento de la Velocidad( dVV) tiende cero, se tiene:

dP

P =

dM

M d Y

Y .

Decida cual variable debe ser evaluada con mayor precision en este caso.

4. Considere la expresiony = x(x+ 1 x), en aritmetica de 6 dgitos, muestre que si x = 100000 el valor dey tiene un error del 37 %, explique a que se debe y de un procedimiento alternativo para obtener una mejoraproximacion.

5. Se debe resolver un sistema de ecuaciones cuya matriz tiene numero de condicion 10 y el segundo miembrose determina mediante mediciones sujetas a errores inferiores al 1 % . Indique cual de las siguientes es laafirmacion correcta mas precisa:

a) el error en la solucion sera inferior al 10 % ;

b) el error en la solucion sera inferior al 0.1% ;

c) el error en la solucion sera inferior al 1 % ;

d) ninguna de las anteriores es correcta.

6. El calculo de

5 se puede hacer resolviendo una ecuacion del tipo x2 = 5. Usando esto, el numero de dgitossignificativosde la aproximacion 2.236147 es (NO use el resultado de su calculadora!):

a) Tres.

b) Cuatro.

c) Cinco.

d) No se puede determinar.



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Analisis Numerico - Mat-270 2 TEORIA DE ERRORES

7. Considere el problema deY = (J J2) sin() y el algoritmo: 1)u= 1 J; 2)v= Ju;3)w= sin(); 4)y= v w.a) Escriba factores de condicionamiento. Que variable debe ser ingresada con mas precision?


8. Considere la formula de intensidad de corriente electrica

I= VR2 +L2w2

, w= 1,

dondeR es la resistencia, L la inductancia y V el voltaje, con el algoritmo:

u1 = L2, u2 = R

2 u3 = u1+u2 u4 =

u3 u5 = V

u4

Plantear las condiciones que permitan establecer:

a) si el problema esta bien condicionado

b) si el algoritmo es numericamente estable.

9. SeaAuna matriz con Se resuelve un sistema de ecuacionesAx= b, en el que el segundo miembro b se obtienemediante mediciones y esta sujeto a errores inferiores al 0,1 %. Si los restantes errores son despreciables, indiquecual de las siguientes afirmaciones es correcta:

a) la solucion calculada tendra errores de menos del 0,1 %;

b) la solucion calculada tendra errores de menos del 5 %;

c) la solucion calculada tendra errores de mas del 10 %;

d) ninguna de los anteriores.



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Analisis Numerico - Mat-270 3 ECUACIONES Y SISTEMAS NO LINEALES

3. Ecuaciones y Sistemas No Lineales

1. Demostrar que los siguientes esquemas iterativos, si convergen, lo hacen a la raz de la ecuacionx + ln x= 0:

xn+1 =

ln xn, xn+1 = exn , xn+1 =

1

2(xn+e

xn).

Indicar cuales de los tres esquemas podranusarse para resolver la ecuacionx + ln x= 0 y cual de ellosdeberausarse.

2. Indique cual de los siguientes esquemas iterativos, si converge localmente, lo hacen a la raz de la ecuacionx + ln x= 0:

a) xn+1 = ln xnb) xn+1 = e

xn

c) xn+1 = (xn+exn)d) ninguno de los anteriores.

3. Dado el sistema de ecuaciones no lineales ex +xy= 1sen xy+x +y= 1

se pide calcular una solucion del mismo por el metodo deNewton-Raphson, realizando para ello tres iteracionesa partir del dato inicial (x(0), y(0)) = (0,1, 0,5) y efectuando los calculos con cinco cifras decimales.

4. Demostrar que los siguientes esquemas iterativos, si convergen, lo hacen a la raz de la ecuacionx + ln x= 0

xn+1 = ln xn, xn+1 = exn , xn+1 = 12

(xn+exn).

Indicar cuales de los tres esquemas podran usarse para resolver la ecuacion x + ln x= 0 y cual de ellosdeberan usarse.

Hallar un esquema mejor que todos los anteriores.

5. Se desea prolongar una muralla de 10 metros de altura, para hacer un acueducto sobre ella . Con el fin deno salpicar, se plantea realizar una cada que tenga suficiente suavidad y que el punto de contactoP con elterreno sea variable.

a) Establecer una funcion que describa la parte superior del muro.

b) Decida la distanciaPpara que la inclinacion, en el punto medio, no supere los 30 (desde la horizontal).

c) Cual es el costo de la contruccion, si se estima en 3[uc] el metro cuadrado?

6. Se sabe que la ecuacion f(x) = 0 tiene una sola raz en el intervalo [0, 1]. Indicar en cual de los siguientescasosno puede utilizarse el metodo de biseccion para calcularla:

a) si f(0) = 5 y f(1) =

3;

b) si f(0) = 5 y f(1) = 3;

c) si f(0) =5 y f(1) = 3;d) en los tres casos anteriores puede utilizarse el metodo.

7. Considere el problema No lineal:

x y 3 = 02x +y 6sen(y) 6 = 0



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a) Escriba el Algoritmo para resolver este sistema usando Newton SIN calcular una matriz inversa.

b) Decida cual o cuales de los puntos

1,00911,9990

12

1,00342,0944

puede ser usado como inicial.

c) Calcule la primera iteracion con el punto que encontro.

8. Si una cantidadaes un prestamo sujeto a una tasa de interesr parananos, entonces el total a ser reembolsadoesta dado por a(1 +r)n. Los pagos anuales de p, cada uno, reducen esta cantidad por

n1i=0

p(1 +r)i =p(1 +r)n 1

r .

El prestamo sera reembolsado cuando estas dos cantidades sean iguales.

Se desea saber la tasa de interes r que sera necesaria para que un prestamo de a =$100.000 sea cancelado en20 annos, con pagos anuales de p =$10.000.

a) Escribir la ecuacion que permita resolver el problema. Justifique que tiene solucion.

b) Escriba explcitamente el algoritmo de newton adaptado a este problema y con una aproximacion inicialde r0 = 0,1

c) Indique el grado de precision de su aproximacion.

9. Se sabe que la ecuacion f(x) = 0 tiene una sola raz en el intervalo [0, 1]. Indicar en cual de los siguientescasosno puede utilizarse el metodo de biseccion para calcularla:

a) si f(0) = 5 y f(1) =3;b) si f(0) = 5 y f(1) = 3;

c) si f(0) =5 y f(1) = 3;d) en los tres casos anteriores puede utilizarse el metodo.

10. Sea x la solucion de una ecuacion f(x) = 0. Para resolverla se aplican cuatro pasos del metodo de Newton-Raphson a partir de una aproximacion inicial x0 y se obtienen las aproximaciones de la razx1, x2, x3 y x4.Si se sabe que|f(x)| < 2 y que f(x) > 1, indicar cual de las siguientes proposiciones es necesariamenteverdadera:

a)|x4 x|>|x3 x|;b)|x4 x| 12|x3 x|;c)|x4 x| |x3 x|2;d) ninguna de las anteriores.

11. Un algoritmo de punto fijo de orden tres para resolver ecuaciones del tipo f(x) = 0 es xn+1 = g(xn) en que

g(x) = h(x)

f(h(x))

f(x)

dondeh(x) es la funcion de iteracion de Newton de f, esto es, h(x) = x f(x)f(x)Una solucion de la ecuacion f(x) = 0 en que f(x) = x3 7 es a = 37 . Pruebe que a es punto fijo deg(x).

Se sabe que a1,9. Utilice este valor para calcular la segunda iteracion en precision simple.En el hecho este algoritmo es de tercer orden. Intente probar que al menos es de orden 2 en el caso dex= a.



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12. Dado el sistema de ecuaciones no lineales ex +xy= 1sen xy+x +y= 1

se pide calcular una solucion del mismo por el metodo deNewton-Raphson, realizando para ello tres iteracionesa partir del dato inicial (x(0), y(0)) = (0,1, 0,5) y efectuando los calculos con cinco cifras decimales.

Indicacion:Se recuerda la formula de un paso del metodo de Newton-Raphson para resolver un sistema de ecuacionesno lineales de la forma F(X) = 0:

JF(X(n))

X(n) = F(X(n)),

X(n+1) = X(n) + X(n),

donde JF(X) denota la matriz jacobiana de F(X).

13. En el estudio de vibraciones de cuerdas con extremos fijos aparecen funciones del tipo: u = cos(n(x t)), enque 0< x < y n es un numero natural.

Considere la extension de la funcion para n >0 cualquier numero real y determine:

a) Los factores de condicionamiento en x,t, n.b) La estabilidad numerica de un algoritmo para calcular u.

14. Consideremos la ecuacion cuadraticax2 1000x 1 = 0.a) Calcular de manera standard las dos races de esa ecuacion reteniendo en todos los calculos solamente 4dgitos significativos. Verificar las soluciones halladas.

b) Explicar por que una de las races antes halladas esta mal calculada. Encontrar otro procedimiento quepermita calcular con buena precision esa raz aunque solo se retengan 4 dgitos significativos

(Sugerencia: usar que el producto de las dos races es igual a1.)15. Si una cantidadaes un prestamo sujeto a una tasa de interesr parananos, entonces el total a ser reembolsado

esta dado por a(1 +r)n. Los pagos anuales de p, cada uno, reducen esta cantidad por

n1i=0

p(1 +r)i =p(1 +r)n 1

r .

El prestamo sera reembolsado cuando estas dos cantidades sean iguales. Se desea saber la tasa de interes rque sera necesaria para que un prestamo de a =$100.000 sea cancelado en 20 anos, con pagos anuales de

p=$10.000.

a) Escribir la ecuacion que permita resolver el problema. Justifique que tiene solucion.

b) Escriba explcitamente el algoritmo de newton adaptado a este problema y con una aproximacion inicialde r0 = 0,1

c) Indique el grado de precision de su aproximacion.

16. El problema de busqueda de soluciones de la ecuacion no lineal x 12sinx2

= 0 se transforma en un

problema de busqueda de punto fijo del tipo x = g(x)

a) Mostrar que el problema tiene solucion y defina una adecuada funciong(x).

b) Comprobar que la iteracion de punto fijo converge para cualquier punto inicial contenido en el intervalo[0;2].

c) Obtener por dicho metodo la (unica) solucion contenida en ese intervalo, comenzando la iteracion enx0 = 0, considerando = 10

2 como criterio de parada y trabajando con 6 dgitos significativos.



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17. Una de las ventajas del metodo de la secante respecto del metodo de Newton-Raphson cuando resolvemosuna ecuacion no-lineal f(x) = 0 es que :

a) Si f no es diferenciable, el metodo de la secante converge siempre, en cambio el metodo de Newton-Raphson, no.

b) El metodo de la secante conviene aplicarlo cuando la derivada de f es muy complicada de evaluarnumericamente, o bien cuando se desconoce.

c) Si fes dos veces diferenciable, el metodo de la secante tiene un orden de convergencia superior.

d) Ninguna de las anteriores.

18. Considere el problema No lineal:

x y 3 = 02x +y 6sen(y) 6 = 0

a) Escriba el Algoritmo para resolver este sistema usando Newton SIN calcular una matriz inversa.

b) Decida cual o cuales de los puntos

1,00911,9990

12

1,00342,0944

puede ser usado como inicial.

c) Calcule la primera iteracion con el punto que encontro.

19. La ecuacion f(x) =

|x| = 0 tiene por unica solucion x = 0. Sin embargo al aplicar Newton-Raphsonpartiendo de x0 = a, con a= 0 :

x0 = a

xn+1 = xn f(x)f(x)se obtienex1 = a, x2 =a, x3 = a, x4 =a, etc...Podemos afirmar que :

a) El metodo de Newton Raphson no converge para ningun punto de partida, y la razon principal por la

que no se pueda aplicar el teorema de convergencia es que la funcionfno es derivable en x = 0.b) Existe un punto de partida mas cercano a la solucion para el cual Newton-Raphson converge de todas

maneras, para esta ecuacion.

c) Entre la solucion x = 0 y el punto de partida x0 = a hay un cambio de crecimiento de la funcion f, yesa es la razon principal de por que el metodo no converge.




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Analisis Numerico - Mat-270 4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

4. Sistema de Ecuaciones Lineales

1. Resolver por eliminacion gaussiana con pivoteo parcial el siguiente sistema de ecuaciones:

0 1 21 2 32 3 2

xyz

= 2

45

.

Escribir explcitamente los factores L y U que se obtienen y la matriz de permutacion P. Verificar que sesatisfacePA= LU.

2. Considere una constante positivas menor que 1, 0< s < 1, y la matriz

A=

3s 6s 1 2 + 9ss 3s 2 s

1 2 3

Usando pivoteo parcial, encuentre la factorizacionLUde la matriz A.

Resuelva el sistemaLx = b para el vector b = (0, 1, s).3. Considere una constante positivas menor que 1, 0< s < 1, y la matriz

A=

3s 6s 1 2 + 9ss 3s 2 s

1 2 3

a) Usando pivoteo parcial, encuentre la factorizacionLUde la matriz A.

b) Resuelva el sistemaLx = b para el vector b = (0, 1, s).

4. Considere una constante positivas menor que 1, 0< s < 1, y la matriz

A= 3s 6s 1 2 + 9ss 3s 2 s

1 2 3

a) Usando pivoteo parcial, encuentre la factorizacionLUde la matriz A.

b) Resuelva el sistemaLx = b para el vector b = (0, 1, s).

5. Sea P la matriz de permutacion en la factorizacion LU, por pivoteo parcial, de una matriz A. Para resolverel sistemade ecuaciones Ax = b se procede de la siguiente manera:

a) ResolverP Lz = b y ResolverU x= z.

b) ResolverP Lz = P by ResolverU x= z.

c) ResolverLz = P b y ResolverU x= z.

d) ResolverLz = b y Resolver U x= P z.6. Se quiere resolver mediante el metodo de Jacobi el sistema de ecuaciones siguiente:

10 x2 + x3 = 1

10 x1 1 x2 + 3 x3 = 2 x1 + 1 x2 + 5 x3 = 3

a) Escribir el algoritmo correspondiente para este problema particular e identifique la Matriz de Iteraciondel metodo.



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b) Justifique que el metodo es convergente y, a partir de x(0) := (0, 0, 0), calcular dos pasos de este algoritmo:x(1) y x(2).

c) A partir de la relacion

x(k)

x

Mk

1 Mx(1)

x(0)

,

determinar el numero k de iteraciones mnimo para que el error absoluto de la aproximacion que seobtiene sea inferior a 103.

7. Suponga que la matriz

A=

9

... . . .

es simetrica y definido positiva. Entonces la matriz L que se obtiene al usar el metodo de Cholesky es:

a) L=

9 0

... . . .

b) L= 3 0

... . . .

c) L=

1 0

... . . .

d) No se puede determinar.

8. Considere el sistema de ecuaciones lineales:

y+ 3z = 14x+y+ 2z = 33x+ 5y+z = 1

a) Escribir, de manera adecuada, los algoritmos de Jacobi y Gauss-Siedel para resolver este problema.

b) Calcule dos pasos del metodo de Gauss-Seidel para un vector inicial (0, 0, 0). Justifique la convergenciadel metodo.

9. Resolver por eliminacion gaussiana con pivoteo parcial el siguiente sistema de ecuaciones: 0 1 21 2 3

2 3 2

xy

z

=

24

5

.




10. Sea A una matriz 3 3 no singular. Se desea calcular su inversa A1.SeanB y C matrices tales que AB = C, donde

Bj :=

b1jb2j

b3j

y Cj :=

c1jc2j

c3j

son las j -esimas columnas de B y de C, respectivamente. Se observa que Cj = ABj(*).

En particular, si C = I necesariamente B = A1.



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a) Para calcularA1, (*) se reduce a plantear 3 sistemas de ecuaciones lineales, planteelos.

b) Usando (a) y la siguiente factorizacion

A:= 4 1 2

1 2 32 1 2

= 1 0 0

1/4 1 01/2 2/7 1 4 1 2

0 7/4 5/20 0 2/7

.

Calcule la columna que falta en

A1 :=

1/2 b12 1/22 b22 5

3/2 b32 7/2

11. Considere el sistema de ecuaciones lineales:

y+ 3z = 14x+y+ 2z = 33x+ 5y+z = 1

a) Escribir, de manera adecuada, los algoritmos de Jacobi y Gauss-Siedel para resolver este problema.

b) Calcule dos pasos del metodo de Gauss-Seidel para un vector inicial (0, 0, 0). Justifique la convergenciadel metodo.

12. Se quiere resolver mediante el metodo de Jacobi el sistema de ecuaciones siguiente:

10 x1 + 3 x2 + x3 = 142 x1 10 x2 + 3 x3 = 5

x1 + 3 x2 + 10 x3 = 14

a) Escribir el algoritmo correspondiente para este problema particular.

b) Elegirx(0) := (0, 0, 0) y calcular mediante dos pasos de este algoritmo x(1) y x(2).

c) Cual es la matriz de iteracion del metodo para este problema es

M:=

10 0 00 10 0

0 0 10

1 0 3 12 0 3

1 3 0

=

0 0,3 0,10,2 0 0,3

0,1 0,3 0

.

Indicar si el metodo converge o no y justificar la respuesta.

d) A partir de la relacion

x(k) x Mk

1 Mx(1) x(0),


13. Se quiere resolver mediante el metodo de Gauss-Seidel el sistema de ecuaciones siguiente:

10 x1 + 3 x2 + x3 = 142 x1 10 x2 + 3 x3 = 5

x1 + 3 x2 + 10 x3 = 14

a) Escribir el algoritmo correspondiente para este problema particular.

b) Elegirx(0) := (0, 0, 0) y calcular mediante dos pasos de este algoritmo x(1) y x(2).



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c) La matriz de iteracion del metodo para este problema es

M:=

10 0 02 10 01 3 10

1

0 3 10 0 30 0 0

=

0 0,300 0,1000 0,060 0,2800 0,048

0,074

.

Indicar si el metodo converge o no y justificar la respuesta.

d) A partir de la relacion

x(k) x Mk

1 Mx(1) x(0),


14. En ciertos problemas se presentan matrices que son simetricas pero no necesariamente definido positivasutilizandose en tales casos una factorizacion de la forma A = LDLt en la que L es una matriz triangularinferior con elementos unitarios en la diagonal principal y D es una matriz diagonal.

a) Deducir las formulas que permiten calcular los elementos de las matrices L y D a partir de los elementos

de A, paran = 3.b)Dado el sistema de ecuaciones lineales

4x1+ 3x2+x3 = 6

3x1 4x2+ 3x3 = 9x1+ 3x2+ 4x3 = 9

resolverlo por el metodo descrito, utilizando para ello tres sistemas de ecuaciones lineales equialentes al sistemadado.

15. Resolver por eliminacion gaussiana con pivoteo parcial el siguiente sistema de ecuaciones:

0 1 21 2 32 3 2

xyz

= 2

45

.




16. Segun estudios realizados en las costas de la V regi on, el crecimiento poblecional del plancton, que es controladocon ozono, se rige por la siguiente ley:

P(t) = 400

1 +aect

dondea y c son parametros a determinar, segun la ubicacion, y t

0 es el tiempo. Dada la tabla siguiente,

obtenida frente a las costas de isla negra,

t(das) 0 1 2 3 4P 5 50 200 350 380

a) Determinar los parametrosa y c por el metodo de mnimos cuadrados.

b) Predecir, si es que es posible, el tamano de la poblacion el da 6.



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17. Considerar la siguiente tabla de la funcionf(x) = 11+x2 :

x 0 1 2 3f(x) 1.0 0.5 0.2 0.1

a) Calcular el polinomio que interpola esa funcion en los puntos dados en la tabla mediante la f ormula deLagrange.

b)Calcular ese mismo polinomio mediante la formula de Newton.

c)Verificar que las expresiones obtenidas en (a) y en (b)corresponden al mismo polinomio.

d)La formula regresiva de Newton:

pn(x) := f[xn] +f[xn, xn1](x xn) + +f[xn, . . . , x0](x xn) (x x1)

se obtiene al tomar los puntos a interpolar en orden inverso. Notar que las diferencias divididas que hacenfalta para esta formula ya aparecen en la tabla usual de diferencias divididas de la funcion. Calcular la formularegresiva de Newton del polinomio de interpolacion anterior y verificar que el polinomio obtenido tambiencoincide con el calculado en (a)y en (b).

18. El siguiente sistema de ecuaciones aparece al interpolar una funcion periodica mediante splines cubicos:

A:=

4 1 0 0 11 4 1 0 00

. . . . . .

. . . . . .

......

. . . . . .

. . . . . . 0

0 0 1 4 11 0 0 1 4

x1

...

...

xN

=

b1

...

...

bN

.

a) Escribir algoritmos para los metodos de Jacobi y de Gauss-Seidel adaptados a la estructura particular deesta matriz.

b)Demostrar que, para este sistema de ecuaciones, ambos metodos convergen.

c)Hacer dos pasos de cada uno de los metodos, Jacobi y Gauss-Seidel, paraN= 5 y b:= (1,2, 0,1, 2,0, 3,7, 2,5).d)A partir de la relacion

x(k) x Mk

1 Mx(1) x(0),

determinar el numerok de iteraciones mnimo para que el error absoluto de la aproximacion que se obtienesea inferior a 104, donde es alguna norma matricial compatible.

19. Se quiere resolver un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas de la siguiente forma:

2 0 0 11 2 0 00

. . . . . .

. . . ...

... . . . 1 2 0

0 0 1 2

x1x2......

xn

=

10......

0

a) Escribir el algoritmo del metodo de Gauss-Seidel adaptado a un sistema de ecuaciones de esta forma.

b) Aplicar dos pasos de este metodo para n = 4, a partir de x(0) := (0, 0, 0, 0), y as calcular x(2).



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20. Se quiere resolver mediante el metodo de Jacobi el sistema de ecuaciones lineales

4 0 0 10 4 1 00

1 4 0

1 0 0 4

x1x2x3

x4

=

1,0

1,02,0

1,0

partiendo de un vector inicial x(0) :=

x(0)1 , x

(0)2 , x

(0)3 , x

(0)4

.

a) Escribir las formulas correspondientes a la iteracion (k+ 1)-esima del metodo de Jacobi aplicado a estesistema.

b) Sixes la solucion exacta del sistema y x(k+1) la aproximacion que se obtiene en la iteracion (k +1)-esima,demostrar que el errorx(k+1) x satisface

x(k+1) x 14x(k) x.

c) Indicar si el metodo converge o no y justificar la respuesta.

d) Hacer dos pasos de iteracion del metodo a partir del vector inicial x(0) := (0, 0, 0, 0).



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Analisis Numerico - Mat-270 5 INTERPOLACION Y APROXIMACION POLINOMIAL

5. Interpolacion y Aproximacion Polinomial

1. Considerar la siguiente tabla de la funcion sen x:

x 0 /6 /4 /3 /2sen x 0.000 0.500 0.707 0.866 1.000

a)Calcular el polinomio de grado 4 que interpola esa tabla.

b)Acotar el error que se comete al aproximar el sen x para cualquier valor de x[0, /2].c)Evaluar el polinomio obtenido en (a)en x = 1,0 y x = 0,4 y comparar los errores de interpolacion en esospuntos con las respectivas cotas obtenidas en (b).

2. Considerar la siguiente tabla de la funcionf(x) = 11+x2 :

x 0 1 2 3f(x) 1.0 0.5 0.2 0.1

a) Calcular el polinomio que interpola esa funcion en los puntos dados en la tabla mediante la f ormula deLagrange.

b)Calcular ese mismo polinomio mediante la formula de Newton.

c)Verificar que las expresiones obtenidas en (a) y en (b)corresponden al mismo polinomio.

d)La formula regresiva de Newton:

pn(x) := f[xn] +f[xn, xn1](x xn) + +f[xn, . . . , x0](x xn) (x x1)

se obtiene al tomar los puntos a interpolar en orden inverso. Notar que las diferencias divididas que hacenfalta para esta formula ya aparecen en la tabla usual de diferencias divididas de la funcion. Calcular la formula

regresiva de Newton del polinomio de interpolacion anterior y verificar que el polinomio obtenido tambiencoincide con el calculado en (a)y en (b).

3. Las densidades del sodio para tres temperaturas estan dadas por

T emperatura(T i) 94oC 205oC 371o

Densidad(di) 929kg/m3 902kg/m3 860kg/m3

a) Determinar el polinomio interpolante, segun las formas progresivas y regresivas, de diferencias divididas,utilizando los datos de la tabla.

b) Determinar la densidad para una temperatura de 251o C. Justifique cual de los polinomios utilizo.

4. Para ajustar los parametrosA y Kdel modelo

y= Asenx

a los valores de una tabla, conviene realizar una transformaci on z = f(y) de los datos, a fin de obtener unproblema lineal de cuadrados mnimos. Indique cual de las siguientes transformaciones usar:

a) z = lny ;

b) z = arcseny;

c) z = ln(arcseny);



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d) ninguna de las anteriores.

5. Proponga, detalladamente, la forma de obtener la aproximacion cubica por mnimos cuadrados de la funcionf(s) =

s

0g(t)dt para s[1, 5].

6. Calcule una aproximacion polinomial de segundo orden de la funcion g(t) =|t5|, para t [4, 6] usandopolinomios ortogales.

7. La depreciacion de cierto producto sigue un regimen que se resume en la siguiente tabla

tk 0 1 2 3dk 3,99 2,17 1,35 0,81

en quetk corresponde al ano y dk los niveles de depreciacion. Se quiere estimar la depreciacion al cuarto anode uso del producto. Suponiendo que la depreciacion se modela como una curva de decrecimiento exponencialde la forma d = AeBt 2, encontrar por mnimos cuadrados esta estimacion.

8. Usando el Teorema de Gershgorin, encuentre el menor conjunto que contiene los valores propios de la matriz

A= 4 0 12 1 0

2 0 1

9. Indique cuantos polinomios de grado 4 interpolan la siguiente tabla:

x 1 2 3 4 5y 7 2 0 3 0

a) ninguno;

b) uno y solo uno;

c) a lo mas 4;

d) ninguna de las respuestas anteriores.

10. Considere la funcion

f(y) := ln

1 + cos

2y

, y[0, ].

a) Exprese la aproximacion cubica de mnimos cuadrados, usando los polinomios de Legendre.

b) Aproxime el coeficiente correspondiente al grado 2, usando la regla de 3/8.

Indicacion:Regla de Simpson 3/8: x3x0

=3h

8 [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)] 3h

5

80f(4)(),

dondex0 < < x3.

11. Considere la matriz:

A=

4 3 23 4 0

2 0 4

a) Con un vector y0= (1, 0, 0) determine, mediante el metodo de Krylov, el polinomio caracterztico de A.



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b) Verifique que el Teorema de Gerschgoring no permite afirmar que la matrizA es definida positiva.

c) Sin encontrar las ceros del polinomio obtenido ena), concluya, a partir de este, queAes definida positiva.Justifique su respuesta.

d) Tridiagonalizar la matriz por medio de Givens.

12. La temperatura de una solucion en la que se produce una reacci on qumica crece inicialmente de maneraexponencial para luego decaer tambien exponencialmente. Bajo ciertas condiciones esto puede modelarsemediante

U(t) = C10atbt2

,

dondeU(t) es la temperatura en el instante t y C, a y b son constantes desconocidas.

Se dispone de la siguiente tabla de valores medidos de U:

t(min) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0U (oC) 36.21 47.98 46.50 32.97 17.11 6.49

y se quiere saber la temperatura maxima alcanzada por la solucion. Para ello pueden determinarse los valoresde las constantes C, a y b de manera que la curva anterior ajuste esa tabla en el sentido de los mnimoscuadrados.

a) Transformar el problema anterior en un problema lineal de mnimos cuadrados.

b) Escribir el sistema de ecuaciones normales correspondientes.

c) Podra aplicarse el metodo de Cholesky para resolver este sistema? Justifique la respuesta.

d) Al resolver el sistema anterior se obtienen los siguientes valores de las constantes:

C= 19,992, a= 1,501, b= 0,625.

Usar esos valores para estimar la maxima temperatura alcanzada.

e) Como resolvera usted el problema si la constante b es conocida, digamos b = b0? (Esboze los pasos aseguir)

13. El nivel de materias primas en una produccion ha sido observados a contar de un mes fijo. Los datos han sidoalmacendos en la siguiente tabla

t 2 6 10 18 24N 24 12.5 8.5 7.6 6.3

De manera emprica se conoce que estos datos pueden ser ajustados por una funcion de la forma:

N(t) =5

t

Con el fin de tomar medidas que ayuden a subsanar esta situacion se desea estimar la tasa o velocidad de

cada y lo que ocurrira al cabo de tres anos de produccion.14. Para los datos de la tabla

x0 x1 x2 x3 x4 x5y0 y1 y2 y3 y4 y5

El valor de la expresion3l3(x2) 4l1(x1) + 2l0(x5) 2l3(x3)

l5(x3) 2l2(x2) + 2l4(x3)a) -3



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b) -6

c) 6

d) No existe

15. Indique cual es el polinomio de interpolacion de la siguiente tabla :

x 1 2 3 4 5y 1 0 0 0 -1

a) (x 2)(x 3)(x 4)(x 5)

(1 2)(1 3)(1 4)(1 5)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

(5 1)(5 2)(5 3)(5 4)b)

(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(1 2)(1 3)(1 4)(1 5) +

(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(5 1)(5 2)(5 3)(5 4)

c) 1

120(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)

d) Ninguno de los anteriores.

16. La mejor aproximacion, en el sentido de los mnimos cuadrados, por polinomios de la forma a+ bx2 delconjunto de puntos

xi -1.0 0.0 1.0yi 2.0 -1.0 3.0

esta dada por:

a)1 72

x2

b) 7

2 x2

c)

1 +

7

2

x2


17. Se dispone de la siguiente tabla de valores de temperatura de una solucion, queriendose encontrar la maxima:

t(min) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0T (oC) 36.21 47.98 46.50 32.97 17.11 6.49

Bajo ciertas condiciones esto puede modelarse mediante

T(t) = Aebt+ct2

,

dondeT(t) es la temperatura en el instante t y A, b y c son constantes desconocidas.

a) Transformar el problema anterior en un problema que se resuelva usando mnimos cuadrados.

b) Escribir el sistema de ecuaciones normales correspondientes.(No lo resuelva!)



A= 19,992, b= 1,501, c=0,625.Usar esos valores para estimar la maxima temperatura alcanzada.



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e) Como resolvera usted el problema si la constantec es conocida, digamos c = 5? (Esboze los pasos aseguir)

f) Como resolvera usted el problema si buscamos el polinomiop(t) = 0+1t++2t2 usando factorizacion

QR. (sea claro y preciso en su respuesta!).

18. Para ajustar los parametrosa y b del modelo

y= 1a +bx2

a los valores dados en una tabla, conviene realizar una transformaci on de los datos del tipo z = f(y) a fin deobtener un problema de mnimos cuadrados lineal. La transformacion que cumple este fin esta dada por

a) z = y2 .

b) z = 1/y2 .

c) z = y .


19. Dada la siguiente tabla de datos:

x -2 -1 1 4y -0.5000 -1.0000 1.0000 0.2500

el polinomio de interpolacion de Lagrange esta dado por

a) p(x) = 1

x.

b) p(x) =18

x3 +1

4x2 +

9

8x 1

4.

c) p(x) =

1

10x3 +

3

10x2 +

11

10x

3

10.


20. La depreciacion de cierto producto sigue un regimen que se resume en la siguiente tabla

tk 0 1 2 3dk 3,99 2,17 1,35 0,81

en quetk corresponde al ano y dk los niveles de depreciacion. Se quiere estimar la depreciacion al cuarto anode uso del producto. Suponiendo que la depreciacion se modela como una curva de decrecimiento exponencialde la forma d = AeBt 2, encontrar por mnimos cuadrados esta estimacion.

21. Usando el Teorema de Gershgorin, encuentre el menor conjunto que contiene los valores propios de la matriz

A=

4 0 12 1 02 0 1

22. Se dispone de la siguiente tabla de valores de la funcion ex:

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0ex 1.000000 1.221403 1.491825 1.822119 2.225541 2.718282



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a) Completar los dos valores A y B que faltan en la tabla de diferencias divididas correspondiente (con elmismo numero de cifras decimales del resto de la tabla):

x ex

0.0 1.000000 1.1070150.2 1.221403 0.612734

A 0.2261130.4 1.491825 0.748402 0.062562

1.651470 B 0.0138660.6 1.822119 0.914100 0.076428

2.017110 0.3373060.8 2.225541 1.116484

2.4637041.0 2.718282

b) Escribir la formula de Newton del polinomio de interpolacion de grado mnimo que interpola toda la tabla

original.

c) Indicar como podra utilizarse ese polinomio para calcular

e.

d) Si se lo hace correctamente se obtiene el valor aproximado

e1,648722. Acotar el error de esta aproxi-macion mediante la formula del error de interpolacion:

x[x0, xn], f(x) pn(x) = f(n+1)() (x x0) . . . (x xn)(n+ 1)!

, para algun (x0, xn).

23. Indique cual es el polinomio de interpolacion de la siguiente tabla:

x 0 1 2 3y 0 1 0 0

i. (x 1)(x 2)(x 3)

(0 1)(0 2)(0 3); ii. (x 0)(x 2)(x 3)

(1 0)(1 2)(1 3);

iii. (x 0)(x 1)(x 3)

(2 0)(2 1)(2 3); iv. (x 0)(x 1)(x 2)

(3 0)(3 1)(3 2).

24. Proponga, detalladamente, la forma de obtener(todos los pasos!) la aproximacion cubica por mnimos cuadra-dos de la funcion f(s) =

s0

g(t)dt paras[1, 5].25. Las densidades del sodio para tres temperaturas estan dadas por

T emperatura(T i) 94oC 205oC 371o

Densidad(di) 929kg/m3 902kg/m3 860kg/m3

a) Determinar el polinomio interpolante, segun las formas progresivas y regresivas, de diferencias divididas,utilizando los datos de la tabla.

b) Determinar la densidad para una temperatura de 251o C. Justifique cual de los polinomios utilizo.

26. La temperatura de una solucion en la que se produce una reacci on qumica crece inicialmente de maneraexponencial para luego decaer tambien exponencialmente. Bajo ciertas condiciones esto puede modelarsemediante

U(t) = C eatbt2

,



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dondeU(t) es la temperatura en el instante t y C, a y b son constantes desconocidas.

Se dispone de la siguiente tabla de valores medidos de U:

t(min) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

U (oC) 36.21 47.98 46.50 32.97 17.11 6.49

y se quiere saber la temperatura maxima alcanzada por la solucion. Para ello pueden determinarse los valoresde las constantes C, a y b de manera que la curva anterior ajuste esa tabla en el sentido de los mnimoscuadrados.

a) Transformar el problema anterior en un problema lineal de mnimos cuadrados.

b) Escribir el sistema de ecuaciones normales correspondientes.



C= 19,992, a= 1,501, b= 0,625.

Usar esos valores para estimar la maxima temperatura alcanzada.

e) Como resolvera usted el problema si la constanteb es conocida, digamos b = b0? (Esboze los pasos aseguir)

27. Considere la matriz:

A=

3 2 12 3 0

1 0 3

a) Con un vector y0= (1, 0, 0) determine, mediante el metodo de Krylov, el polinomio caracterztico de A.b) Verifique que el Teorema de Gerschgoring no permite afirmar que la matrizA es definida positiva.

c) Sin encontrar las ceros del polinomio obtenido ena), concluya, a partir de este, queAes definida positiva.Justifique su respuesta.

28. El polinomio de interpolacion de Lagrange de la tabla

x 1 2 3y 3 7 9

esta dado por:

a) 3(x + 2)(x + 3)

(1 2)(1 3) + 7(x+ 1)(x + 3)

(2 1)(2 3) + 9(x+ 1)(x+ 2)

(3 1)(3 2).

b) 3(x 2)(x 3)(1 2)(1 3)

+ 7(x 1)(x 3)(2 1)(2 3)

+ 9(x 1)(x 2)(3 1)(3 2)

.

c) 3(x 2)(x 3)(3 7)(3 9) + 7

(x 1)(x 3)(7 3)(7 9) + 9

(x 1)(x 2)(9 3)(9 7).




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Analisis Numerico - Mat-270 6 INTEGRACION NUMERICA

6. Integracion numerica

1. Considere las formula de cuadratura para calcular I(f) =10

xf(x)dx, dada por

Ic(f) = af(0) +

f(b)

2 +cf(1)

a) Encuentre los valores de a,b, c de tal forma que la intgral resulte exacta para polinomios del m as altogrado posible.

b) Encuentre el valor aproximado deI(4x2),I(3x2 2), diga si estos valores son exactos.

2. Determine las constantesa, b, c y d, que producen una formula de cuadratura del tipo 11

f(x)dx= af(1) +bf(1) +cf(1) +df(1)

. De que grado es esta formula?.

3. Justifique adecuadamente su respuesta. Para la integral 100

cos x dx

sen x+ 1,

la forma que permite calcular su valor usando cuadraturas gaussianas es:

a) 5

11

11 t2

cos(5t+ 5) dt

sen(5t+ 5) + 1

b) 1

5

11

cos(5t+ 5) dt

sen(5t+ 5) + 1

c)

11

cos(5t+ 5) dt

sen(5t+ 5) + 1

d) Ninguna de las anteriores

4. Se dispone de un metodo numerico para aproximar

ba

f(x)dx. Si para f C4([a, b]), el error de la aproxi-macion esta acotado por:

|E| h7

5 maxx[a,b]

|f(4)(x)|,

se puede afirmar que el metodo integra exactamente polinomios de grado:

a) menor o igual a siete;

b) menor o igual a tres;

c) menor o igual a cuatro;


5. Considere un metodo para resolver la integral I(f) =10

f(x)dx que separa el intervalo de integracion en dospartes y utiliza un metodo de orden h3 en el primer intervalo y orden h2 en el segundo intervalo. Deduzca elorden del metodo compuesto.

6. Considere la integral

I=

2

yeydy



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a) Pruebe que la formula de Gauss-Legendre es exacta con n=2.

b) Calcule el valor de la integral.

7. Calcular con el metodo de Laguerre con 2 y 3 puntos la integral

1

y2eydy,

Compare los resultados. Concluya.

8. Considere el problema de aproximar la integral:

C(1 t2)e t2

2 dt.

dondeC= 23

14

= 0,8673.

a) Establezca dos formas distintas de escribir esta integral de manera que sea explcito el peso de Hermite;

esto es e

x2f(x)dx, identificandof(x).

b) De cual de las dos maneras la aproximacion resultara ser mas efectiva, en terminos del numero de nodos?Justifique su respuesta.

c) Obtener una aproximacion usandon = 2.

9. Se desea calcular la integral ba

f(x)dx

de una funcionf(x) de la que solo se conoce una tabla de sus valores, yi := f(xi), en los puntos no equiespa-ciadosa = x0 < x1 < .. . < xN=b.

a)Deducir y escribir explcitamente la expresion aproximada de la integral que se obtiene al utilizar la formuladel trapecioen cada subintervalo [xi, xi+1].

(Sugerencia:Recordar que la formula del trapecioproviene de integrar la funcion lineal que interpola a f(x)

en los puntos xi y xi+1. Cuidado, los puntos no son equiespaciados!)b)Calcular mediante el metodo anterior la integral 1

0

f(x)dx

a partir de los valores de f(x) de la siguiente tabla:

xi yi0.00 0.0000.04 0.0390.16 0.1480.36 0.307

0.64 0.4951.00 0.693

10. Sean p(x) un polinomio de grado 2 y q(y) un polinomio de grado 1. Para encontrar el valor exacto de ba

dc

p(x)q(y)dy

dx

se puede usar las reglas de:



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a) Simpson respecto de x y trapecios respecto de y ;

b) trapecios respecto dex y Simpson respecto de y ;

c) trapecios respecto dex y trapecios respecto de y ;


11. a) Sea f(x) una funcion dos veces continuamente diferenciable en [0, 1] y w(x) = 1x

una funcion peso.

Demuestre que los coeficientes a = 4/3 y b = 2/3 en la formula de integracion

10

w(x)f(x)dxa f(0) +b f(1)

hacen que esta resulte exacta cuando fes un polinomio de grado 1.

b) Si el error R de esa formula esta acotado por

|R| 215

max01

|f()|.

Aproxime la integral, usando la formula anterior 10

exx

dx

y muestre que el error cometido al aproximar as esa integral es menos del 10 %.

c) Para pequeno, la integral puede ser aproximada por

10

exx

dx 1

exx

dx.

En tal caso, una formula clasica puede ser utilizada. La cuarta derivada del integrando esta acotada por0,2105 106, si = 0,1 y 0,657 1010 si = 0,01. Establezca el numero de intervalos necesarios paraaproximar con un error menor que 10 %, usando la regla de Simpson.

12. a) Demostrar que sip es un polinomio cuadratico entonces

11

p(t)dt=1

3

p(1) + 4p(0) +p(1)

.

b) Consideremos una particion uniforme de un intervalo [a, b] en un numero par (2n) de subintervalos delongitudh := ba2n :

a= x0 < x1


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d) Teniendo en cuenta que al calcular una integral por el metodo de Simpson, el error esta dado por

R:=

ba

f(x)dx h3

f(a) +f(b) + 2

n1i=1

f(x2i) + 4n

i=1

f(x2i1)

=(b a)h

4fIV ()

180 ,

con[a, b], indicar que error se comete si se usa este metodo para calcular la integral de un polinomiocubico.

13. Determine los valores de y para que la formula siguiente tenga el grado de precision maxima.

ba

f(x) dxf(a) +f

a +b

2

14. Considere la siguiente integral:

I=

11

1

1 +x2dx

Indique cual de los siguientes metodos de integracion calcula el valor exacto de I:

a) el metodo de Gauss con 2 puntos;

b) el metodo de Simpson (compuesto) con un paso h = 0.1;

c) el metodo del Punto Medio (compuesto) con un paso h = 0.01;

d) ninguno de los anteriores.

15. Cual o cuales de las siguientes integrales se pueden resolver de forma exacta, usando integracion gaussiana.

A.

11

1 x2dx B.

4

et/2(3t+ 2)dt C.

11

(3 + 5x5 2x5/2)dx

a) Solo I.

b) I y II

c) Solo IId) I, II y III

16. Indique cual de los siguientes programas Matlab calcula la integral

ba

f(x) dx mediante la regla del

punto medio:

(a)

function int=PtoMed(f,a,b,N)

h=(b-a)/N;

x=a+h*(0:N);

int=h*(sum(feval(f,x)));

(b)


h=(b-a)/N;

x=a+h*(1:N-1);


(c)

function

h=(b-a)/N

x=a+h*((1

int=h*(su

(d) ninguno de los anteriores.

17. Diga cual de los metodos no da el valor exacto de cualquier integral de la forma: 11

a +bx +cx2 +x3

dx a, b, c R

(a) Gauss con dos puntos; (b) Simpson con pasoh = 1,0;

(c) Trapecios con paso h = 0,1; (d) los tres metodos dan el valor exacto.



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18. Se desea calcular una integral de la forma

42

f(x)dx, por un metodo de Gauss. Para ello se hace un cambio

de variable que lleva la integral al intervalo [1, 1]. Indicar que integral se obtiene:

(a) 1

1f(t) dt; (b)

1

1f(3t+ 1) dt;

(c) 3

11

f(3t+ 1) dt; (d) ninguna de las anteriores.

19. Indicar el numero de puntos que se debe usar para calcular

5

et(t4 2t+ 1)dt de forma exacta.

a) 2

b) 5

c) 7

d) Nunca es Exacta

20. Se desea calcular una integral de la forma 42 f(x) dx, por un metodo de Gauss. Para ello se hace un cambio

de variable que lleva la integral al intervalo [1, 1]. Indicar que integral se obtiene:

(a)

11

f(t) dt; (b)

11

f(3t+ 1) dt;

(c) 3

11

f(3t+ 1) dt; (d) ninguna de las anteriores.

21. Diga cual de los metodos no da el valor exacto de cualquier integral de la forma:

11

a +bx +cx2 +x3

dx a, b, c R

(a) Gauss con dos puntos; (b) Simpson con pasoh = 1,0;

(c) Trapecios con paso h = 0,1; (d) los tres metodos dan el valor exacto.

22. Indicar el numero de puntos que se debe usar para calcular

5

et(t4 2t+ 1)dt de forma exacta.

(a) 2 (b)5 (c)7 (d) Nunca es exacta.

23. Sean x1 =0,774596669241483,x2 = 0,0 y x3 = 0,774596669241483 los puntos de la regla de Gaussde trespuntos, y w1 =

5

9, w2 =

8

9 y w3 =

5

9 los pesos respectivos. Se utiliza esta regla para calcular la integral

cos t2dt.

Indique cual de las siguientes expresiones es la del valor calculado de la integral que se obtiene:

a)

w1cos

x21

+w2cos

x22

+w3cos

x23

;

b)

w1cos x21+w2cos x

22+w3cos x

23

;

c) w1cos x21+w2cos x

22+w3cos x

23;




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24. Sean p(x) un polinomio de grado 2 y q(y) un polinomio de grado 3. Para encontrar el valor exacto de

ba

dc

p(x)q(y)dy

dx

se puede usar las reglas de:

a) Simpson respecto de x y trapecios respecto de y ;

b) trapecios respecto dex y Simpson respecto de y ;

c) trapecios respecto dex y trapecios respecto de y ;


25. Se desea calcular una integral de la forma

24

f(x) dx por un metodo de Gauss. Para ello se hace un

cambio de variable que lleva la integral al intervalo [1, 1]. Indique que integral se obtiene:

a) 1

1

f(t) dt;

b)

11

f(3t 1) dt;

c) 3

11

f(3t+ 1) dt;


26. Encuentre los escalaresa, b, c tales que la formula

In(f) = af(0) +f(1) +bf(2) +cf(3)

aproxime de manera exacta la integral

4

0 f(t)dt. cuando fes un polinomio. Cual es el mayor grado posible

paraf?.

27. Dada una funcion f(x) con derivadas cuartas continuas en el intervalo [0, 1], se calcula la integral

10

f(x)dx

mediante la regla de los trapecios con pasos h = 1

10 y

h

2 =

1

20. As se obtienen dos aproximaciones de la

integral Th yTh/2, respectivamente. Indique cual de las siguientes expresiones da una estimacion del error dela aproximacion de la integral Th/2:

a)

Th Th/23

;

b)

Th Th/215

;

c) ThTh/2;


28. Sean x1 =0,774596669241483,x2 = 0,0 y x3 = 0,774596669241483 los puntos de la regla de Gaussde trespuntos, y w1 =

5

9, w2 =

8

9 y w3 =

5

9 los pesos respectivos. Se utiliza esta regla para calcular la integral

cos t2dt.

Indique cual de las siguientes expresiones es la del valor calculado de la integral que se obtiene:



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a)

w1cos x21+w2cos x

22+w3cos x

23

;

b)

w1cos

x21

+w2cos

x22

+w3cos

x23

;

c) w1cos x21+w2cos x

22+w3cos x

23;


29. Considere la integral

I=

2

yeydy

a) Pruebe que la formula de Gauss-Legendre es exacta con n=2.

b) Calcule el valor de la integral.

30. Determine las constantesa, b, c y d, que producen una formula de cuadratura del tipo 11

f(x)dx= af(1) +bf(1) +cf(1) +df(1)

De que grado es esta formula?.31. a) Sea f(x) una funcion dos veces continuamente diferenciable en [0,1] y w(x) = 1

x una funcion peso.

Determine los coeficientes a y b en la formula de integracion 10

w(x)f(x)dxa f(0) +b f(1)

de manera que esta resulte exacta cuandofes un polinomio de grado 1.

b) Demuestre que el error R de esa formula esta acotado por

|R| 215

max01

|f()|.

Nota: recordar que si l(x) es el polinomio lineal que interpola a f(x) en x0 y x1, entonces se tiene lasiguiente expresion para el error de interpolacion:

f(x) l(x) = f()2

(x x0)(x x1).

c) Aproxime mediante la formula de integracion anterior

10

exx

dx

y muestre que el error cometido al aproximar as esa integral es menos del 10 %.

d) Para pequeno, la integral puede ser aproximada por

10

exx

dx 1

exx

dx.

En tal caso, una formula clasica puede ser utilizada. La segunda derivada del integrando esta acotada por246.076, si = 0,1 y 75253.7 si = 0,01. Establezca el numero de intervalos necesarios para aproximarcon un error menor que 10 %, usando la regla del Trapecio.



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32. Indique cual de los siguientes programas Matlab calcula la integral

ba

f(x) dx mediante la regla del

punto medio:

(a)function int=PtoMed(f,a,b,N)h=(b-a)/N;

x=a+h*(0:N);


(b)function int=PtoMed(f,a,b,N)h=(b-a)/N;

x=a+h*(1:N-1);


(c)


h=(b-a)/N;

x=a+h*((1:N)-1/2);


(d) ninguno de los anteriores.

33. Pruebe que al aplicar el metodo de Laguerre con n2 a la integral3

y2eydy

se obtiene el valor exacto.



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Analisis Numerico - Mat-270 7 E.D.O.

7. E.D.O.

1. La velocidadv de un cuerpo de masam, sumergido en un medio viscoso, que cae verticalmente bajo la accionde la gravedad, satisface la ecuacion:

mv(t) = mg

bv(t),

dondeg es la aceleracion de la gravedad y b la constante de friccion del medio viscoso.

Calcular la velocidad que alcanza, al cabo de 3 segundos de cada vertical, un ob jeto de masa m = 1kg queparte inicialmente del reposo, suponiendo g = 10m/s2 y b = 1 kg/s. Utilizar para ello el metodo de Eulermodificado con paso h = 1s.

Sugerencia: Se recuerda el algoritmo del metodo de Euler modificado para resolver el problema de valoresiniciales

y = f(x, y), x0xxN,y(x0) = y0,

con paso de integracion constante h := (xN x0)/N:x0, y0: datos

i:= 0, . . . , N 1xi+1 := xi+h

k1 := hf(xi, yi)

k2 := hf(xi+1, yi+k1)

yi+1 := yi+ 12(k1+k2)

2. Considere el P.V.I. z(x) = 4x(z+ 1),z(0) =z (0) = 1.

Considere el metodo predictor-corrector basado en los metodos de Euler explcito e implcito para resolvery = f(x, y)

yi+1 =yi+hf(xi, yi),yi+1 =yi+hf(xi+1,yi+1).

a) Escriba el problema como un sistema de primer orden.

b) Escriba el metodo anterior aplicado a este caso.

c) Considereh = 0,5 y calcule dos pasos del metodo.

3. Considere el P.V.I. y(x) = 4x(y+ 1),y(0) = 1.

Considere el metodo predictor-corrector basado en los metodos de Euler explcito e implcito:

yi+1 =yi+hf(xi, yi),yi+1 =yi+hf(xi+1,yi+1).

Al utilizar este esquema con paso h = 0,5, el valor que falta en la siguiente tabla es:

xi 0.0 0.5 1.0yi 1.0 3.0

a) 10.0;

b) 19.0;



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c) 7.0;


4. Indicar cual de los siguientes sistemas es equivalente al P.V.I. y+y y= ex,y(0) = 0, y(0) = 1,

a)

y1 = y2, y1(0) = 0,y2 = e

x +y1 y2, y2(0) = 1;

b)

y1 = y2, y1(0) = 1,y2 = e

x +y1 y2, y2(0) = 0;

c)

y1 = y1, y1(0) = 0,y2 = e

x +y2, y2(0) = 1;


5. Clasifique el algoritmo de Euler-Cauchy y calcule tres pasos en la siguiente ecuacion, parah = 1,:

y+y = sin(y)

y(0) = 0

y(0) = 1

Indicacion: La formula de este metodo para el paso (i+ 1)-esimo de integracion de una ecuacion diferencialordinariay = f(t, y):

yi+1 := yi+hf(ti, yi)

yi+1 := yi+h

2[f(ti, yi) +f(ti+1,yi+1)]

6. Considere el PVI:y+ 2y+ 2y= e0,1t, y(0) = 4, y(0) = 1

y los metodos siguientes:

I) wi+1 = wi+hf(ti, wi) +O(h2)

II) wi+1 = wi+ h2 [3f(ti, wi) f(ti1, wi1)] + O(h3)

III) wi+1 = wi+ h2 [f(ti, wi) +f(ti+1, wi+1)] + O(h

3)

a) Escriba el PVI dado como un sistema de primer orden equivalente.

b) Clasifique cada uno de los metodos.

c) De los esquemas anteriores proponga el mejor metodo predictor-corrector para encontrar una aproxi-

macion de y (h). Obtengala.

7. Diga cuales de las siguientes formulas corresponden a un metodo predictor-corrector:

(a)

yi+1 = yi+hf(xi+1, yi+1),yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1);

(b)

yi+1 = yi+hf(xi, yi),yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1);

(c)

yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1),yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1);

(d) ninguna de las anteriores.



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8. Considere el PVI:y+ 2y+ 2y= e0,1t, y(0) = 4, y(0) = 1

y los metodos siguientes:

I) wi+1 = wi+hf(ti, wi) +O(h2

)II) wi+1 = wi+

h2 [3f(ti, wi) f(ti1, wi1)] + O(h3)

III) wi+1 = wi+ h2 [f(ti, wi) +f(ti+1, wi+1)] + O(h

3)

a) Escriba el PVI dado como un sistema de primer orden equivalente.

b) Clasifique cada uno de los metodos.

c) De los esquemas anteriores proponga el mejor metodo predictor-corrector para encontrar una aproxi-macion de y (h). Obtengala.

9. Diga cuales de las siguientes formulas corresponden a un metodo predictor-corrector:

a) yi+1 = yi+hf(xi+1, yi+1),yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1);

b)

yi+1 = yi+hf(xi, yi),yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1);

c)

yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1),yi+1 = yi+hf(xi+1,yi+1);


10. Considere la siguiente ecuacion diferencial con condiciones mixtas:

u(x) = 20 u1 +u

(1)

u(0) = 1

u(1) = 2

Una solucion aproximada de esta ecuacion puede ser encontrada usando el metodo de diferencias finitas 1-D:Considere una particion del intervalo en n+ 1 subintervalos con n+ 2 puntos denotados por x0 = 0 , x1 =h , . . . , xi = ih, . . . , xn+1 = 1 donde h (n + 1) = 1 yui= u(xi). El esquema de diferencias finitas es dado por

du

dx(xj)uj+1 uj1

2h

d2u

dx2(xj)uj+1 2uj+uj1

h2

a) Obtener el sistema de Ecuaciones No lineales paran = 2.b) Escribir el algoritmo de Newton aplicado a este sistema y una condicion ne cesaria para que el metodo

funcione.

c) Haga una iteracion a partir de un punto dado.

Considere la EDO:

y(x) = f(x, y(x))

y(0) = y0



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a) Muestre que

y(xk+1) = y(xk1) + xk+1xk1

f(t, y(t))dt

b) Interpole linealmente la funcion, entrexk y xk1 y deduzca el siguiente metodo para resolver la EDO:

Yk+1 = Yk1+h[f(xk1, y(xk1)) +f(xk, y(xk))]

c) Sean f(x, y) = x cos(y) e y0 = 0, utilizando previamente el metodo de Euler, obtener el valor de y(2)para un paso h = 1.

11. Transforme la Ecuacion Diferencial Ordinaria:

y = y

y2, y(2) = 2, y(2) = 0,5

en un sistema de primer orden.

12. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

dxdt

=0,5x,dy

dt = 4 0,3y 0,1x,

con las condiciones inicialesx(0) = 4, y(0) = 6.

a) Escriba explcitamente el algoritmo de Euler-Cauchy para calcular la solucion de este sistema en elpunto t = 1 con un paso de integracionh = 1N, paraNun entero positivo cualquiera.

Indicacion:La formula de este metodo para el paso (i+1)-esimo de integracion de una ecuacion diferencialordinariay = f(t, y):

yi+1 := yi+hf(ti, yi)yi+1 := yi+

h

2[f(ti, yi) +f(ti+1,yi+1)]

b) Calcule los valores x(1) e y(1) por este algoritmo con paso h = 12 realizando los calculos con tres cifrasdecimales.

13. La ecuacion diferencial que regula el escurrimiento de agua en un estanque cilndrico con un pequeno orificiocircular en el fondo es:

dh

dt =d

2

D2

2gh,

dondeh(t) es la altura de agua en el estanque en el instante t, d:= 0,01 m y D := 1,00 m son los diametrosdel orificio y de la base del tanque, respectivamente, y g := 9,8 m/seg2 es la aceleracion de la gravedad.

Si la altura total del estanque es de 2 m y este se encuentra inicialmente lleno, calcular la altura del agua alos 10 seg mediante el metodo de Euler-Cauchycon paso t:= 5 seg.

Sugerencia:se recuerda la formula de este metodo para el paso (i+ 1)-esimo de integracion de una ecuacion

diferencial ordinaria dy

dt =f(t, y):

yi1 := yi+hf(ti, yi)

yi+1 := yi+h

2[f(ti, yi) +f(ti+h, yi1)]



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14. Considere la ecuacon diferencial

y =y

y2; y(2) = 2; ; y(2) = 0,5

cuya solucion exacta esy(x) =

2x. Use el metodo de Euler para aproximar el valor de la solucion enx = 0,3

usandoh = 0,1.

15. Se desea resolver el siguiente sistema: u = u+v, u(0) = 0,v = u v, v(0) = 1.

Las ecuaciones para un paso del metodo de Euler aplicado a este problema son:

a)

uk+1 = vk+h(uk+vk),vk+1 = uk+h(uk vk);

b)

uk+1 = vk+h(uk+vk),vk+1 = uk+h(uk+vk);

c) uk+1 = vk+h(ukvk),

vk+1 = uk+h(uk+vk);d) ninguna de las anteriores.

16. Considere la ecuacion:

y = y

y2, y(2) = 2, y(2) = 0,5

a) Escriba la ecuacion como un sistema de primer orden.

b) Escriba explcitamente el algoritmo de Euler-Cauchy para calcular la solucion de este sistema en elpunto t = 1 con un paso de integracionh = 1N, paraNun entero positivo cualquiera.

Indicacion:La formula de este metodo para el paso (i+1)-esimo de integracion de una ecuacion diferencialordinariay = f(t, y):

yi+1 := yi+hf(ti, yi)

yi+1 := yi+h

2[f(ti, yi) +f(ti+1,yi+1)]

c) Calcule los valores x(1) e y(1) por este algoritmo con paso h = 12 realizando los calculos con tres cifrasdecimales.

17. Considere la ecuacion:

y = y

y2, y(2) = 2, y(2) = 0,5

a) Escriba la ecuacion como un sistema de primer orden.

b) Escriba explcitamente el algoritmo de Euler-Cauchy para calcular la solucion de este sistema en elpunto t = 3 con un paso de integracionh = 1

N, paraNun entero positivo cualquiera.

Indicacion:La formula de este metodo para el paso (i+1)-esimo de integracion de una ecuacion diferencialordinariaz = f(t, z):

zi+1 := zi+hf(ti, zi)

zi+1 := zi+h

2[f(ti, zi) +f(ti+1,zi+1)]

c) Calcule los valoresy(3) e y (3) por este algoritmo con paso h = 12 realizando los calculos con tres cifrasdecimales.

recopilacion_certamenes_preliminar

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