Revista Mexicana de Ffsica 32 No. 4 (1986) 663-683 663

RECONOCIMIENTO DE UN TRENALEATORIO DE PULSOS IDENTICOSSUMERGIDO EN RUIDO BLANCO

GAUSSIANO

Román Castañeda

Departamento de FísicaUniversidad Nacional de Colombia

Seccional de MedellTnA.A. 3840-Mede11Tn

(recibido agosto 23, 1985; aceptado marzo ID, 1986)

REStMEN

Actualmente, el reconocimiento de patrones débiles sumergidos en ruidode estadística conocida es de importancia fundamental en diferentes campos deaplicación del procesamiento de señales ( V.g~., radares, comunicaciones, filtración 6ptica, instrumentaci6n electr6nica). En este trabajo se estudiara-el proceso de reconocimiento de un patrón aleatorio de pulsos idénticos sumergido en ruido blanco gaussiano, mediante la técnica de filtración adaptada -(~hed 6£LteAingl.

ABSrRACf

Nowadays, the recognition if weak patterns tmmersed in noise with knownstatistics is of great importance in the different application realms ofsignal processing (radars, comrnunieation, optieal filtering, electronicalinstrumentation). In this artiele the process of recognition of a randompattern of identical pulses imrnersed in Gaussian White noise will be studied,using the matehed filter1ng teehnique.

664

lNfROIJUCCION

Usualmente se define señal COJOO tma cantidad que, de alguna manera, conlleva infonnación sobre el estado de tm sistema físico bajo observación (1). -En consecuencia, las señales son el resultado de la composición de dos enti-dades fUndamentales: una estructura, denondnada patrón, en la que se ha codi-ficaoo dicha infamación, y el resto de la señal, denominado ruido J el cual enlugar de portar infannación adicional, distorsiona el patrono Ambasentidades(patrón y ruido) pueden ser determinísticas o aleatorias y su composición, li-neal o no-lineal. En muchos casos de interés(2) (v.9~., radares, filtraci6nóptica, tratamiento de speckIes, procesamiento de señales médicas) las señalesson el resultado de la adición de un patr6n aleatorio a ruido aleatorio, estoes,

f(t) • s(t) + n(t) (1)

donde f(t), s(t), n(t) son funciones aleatorias de cuadrado integrable(l) querepresentan la sefial, el patron y el ruido respectivamente. La recuperaci6nde la infonnaci6n codificada en el patron se realiza empleando técnicas de filtraci6n(3) acordes con cada problema específico (V.9~. reconocimiento de pat~.nes -pattern recognition, rnatched filtering-, suavización -smoothing filtering-,restauraci6n -inverse filtering-). El reconocimiento de patrones por filtra-ci6n adaptada(4) (matched filtering), técnica que se emplearA en el presenteartículo, penni te la identificaci6n de tDl patron específico en tDla sefial dada,es decir, la detenninación de su presencia o ausencia en dicha sefiaI. Por 10tanto, la aplicación de esta técnica requiere del conocimiento previo del pa-trón y de la estadistica del ruido al que este se ha adicionado; y su resulta-do es la síntesis del dispositivo lineal 6ptinD para la ejecuci6n del reconoci-miento, esto es, la determinaci6n de la funci6n de respuesta al impulso(S)(FR1) que caracteriza el comportamiento de tal dispositivo, sujeta al cumpli-miento de tDl criterio de identificación previamente definido.

La FRl de un sistema lineal (apéndice B.4) es una funci6n de cuadradointegrable, h(t), tal que si f(t) es la excitaci6n a la entrada del sistema,la

665

respuesta a la salida será la función de cuadrado integrable (Fig.l)

y(t) = h(t)*f(t) = [" f(t) h(t-t)dt-~

(2)

dende * representa la función de convolución (4). Reerrq>lazando (1) en (2) obteneros

y(t) = h(t)*s(t) + h(t)*n(t) = So(t) + no(t) (3)

hit) jlt)

Fig. l. Representación de caja negra para un sistema lineal.

En el proceso de reconocirndento de patrones por filtración adaptada,el criterio de identificación pertinente es el de la razón-señal-ruide ópti-ma (optimal signal-to-noise-ratio) en la respuesta del dispositivo. Esta C"!J.tidad, designada corro SNR, está definida coro la raz6n entre las potenciasmáximas de so(t) y no(t), esto es

SNR =

2Iso(t)1 MA.X2ino(t)i MA.X

(4)

Los dispositivos que se sintetizan con base en este criterio de iden-

666

tificación se denominan filtros adaptados (m<Ltc.hed ~). Cuando la se-ñal de excitación del filtro consta de un patrón adicionado a ruido blanco~aussiano estacionario (cuya estadística será revisada en el próximo apartado), la SNR estará dada por(6) -

15 (t)¡2SNR= ~o __<lno(t)IZ> (5)

donde <Ino(t) 12> es la potencia promedio del ruido de salida del filtro, cuya FRI, para este caso, se definirá como

h(t) = s"(-t) (6)

donde s"(-t) es el complejo conjugado con conteo reverso del patrón s(t).Reemplazando (6) en (3) obtenemos la respuesta del filtro:

y(t) = 5"(-,)"5(,) + s"(-,)"n(,) fss(t) + no(t) (7)

donde f ss(t) es la función de autocorre1aci6n(4) del patrón (apéndice B.2),cuyo valor central es la norma cuadrada del patr6n(l) y constituye un máxi-mo conocido como pico central de la autocorrelación, esto es,

fSS(O) = Is(t)12

Se concluye entonces que, si la potencia del pico central de autoc~rrelación del patrón es significativanente mayorque la potencia promediodel ruido de salida del filtro, la respuesta y(t) presentará un destelloque contrastará con un fondo ruidoso(2) (Fig.2), el cual indicará la prese~cía del patrón en la señal de excitaci6n.

Esta técnica logra identificaciones sorprendentes cuando el patr6nconsta de un tren o secuencia de pulsos débiles sunergido en ruido. Enes-te caso, la potencia del pico central de autocorrelaci6n del patrón depen~

rá de la longitud del tren, es decir, del nÚlOOrode pulsos que 10 conforma.

667

ta

Ylt)

tb

~Fig_ 2. RespuestA típica de un filtro adaptado en un proceso de reconocimie~

te de patrones:8. Ilustración de los términos de la Ec: (7)b. Ilustraci6n de la respuesta, y(t). Nótese que el pico central de

la autocorr~lación del patrón sobresale de las fluctuaciones delruido.

tíM

6@ ~Ul@f@, Imf l@ t6fit@, e@l~ulAf lA longitud n@~@A@fIA PAf@ minlmi~@f @lfl@AllO do @frof por tA1A@ A1AI'IIIII(HlIl\llfYM do 133 tluetY3eI@fi@A dol NIl10~_ Al fiHlrü @l pl~@ elllltf31do @ut@~@ff@13~len dol pMffln) y/@ dot@e~lenfAllld3 (tQm3r @l pl~ ~llIltfAl110 l@ @ut@~off@IAelón 1101 p@tr6n ~- Al tu~ffiuna 110 lAA nuetWl~lon@A 1101 Nido) (tí), -

Iln @l Pf@Al!flt@ tfAb@jo A@ l1llAurolh, l1ll1llllft@fA£01'1IIII1,@1 pfOe@gOd@ f@~oelm1@nto 00 un p@trón eonAtltuldo por un tNft @1@@torlo do pulAOAl~tl~A d@bll@g Aumorgldo @fi ruido blüfieo g@YGAlüfi@ @AtA~lon3rlo, 3Plle~do lA t~enleA do £lltf3elÓfi 3dBpt3do 3fit@A OOgerltA, ~At@ OOgAffOll0 eOffl"pNftdo, @fi priffl@r3 in3t3fieiA, un3 diAeY5i6n gobf@ 13 @!it3dl.tíe3 d@l Nidobl3fieo gAY5.iüfi@ @sU£!on3fio y, @n .@llYfldo insUn£!A, un @studio 001 <Df1Jll!tw@iltO 001 filtro 3dBptíldo y 00 13 lllflgHud 001 n@n fllttlll!fiOOsP3f3 3.@"gIIf3f un fIj~llOeiml@nto @xitoso.

IilllOO bl.ANOO cwm~IOOM'fACItlNAlUO

DI ruloo bl3fieo g3Y!isiüllO @st3£lonAfio (3p~ndi£@ U) @s un proe@so@1@AtOfi@ ellYA @ffl\llltud,n(t), tlY£tQ3 @!itf@£n3mllllt@31f@dooof 00 un v310fp~dlO tljo, n, 00 IIlllftüf3~Ill!AYG v310r@!i In3t3fitln@os Aon @!it3dlstle3m@nt@ Ind@p@fidlllllt@!iy !i@ di!itfl~ 00 3£lll!rdo~n l@ funcldn 00 d@fisld3d(PIg,3)

p(n) • -!- !!XI' r. ~~~ L 20 J ••••n""

doM@ l@ eon!iunu o' @!i 13 vüfillnlA d@ tAl dí.níIAA:16n. 1'@nitmdo@n ~ntA qlll!1 • (n.ft)2 @!i lA pclt@llOiA InAt3fitlnoA 00 lA3 tluetYücl0fi@3, lAflmlón 00 d@fi3ld3d PAfA ul pot@l1013 A@fA, @fitllfle@3,

.(1) • 2ffo(n)'o(n) • ~ MXP [- ~Ju(l) (A)

dünoo \1(1) @s la fuileiÓfi@gealÓft unitafio (ap@ndie@ ~) y @1 £aEtor 2ff @g ~qlll!rioopclf la IlOrmalüaEiÓfi. 111 Víllof ll_ilio y la vari3fi!a llafa @gtíl fu!!

b

~Ulud Sllft@8~IU@81Ift8 @@~1@18ft&fiBIl. M@Pf@@@ft~l@i~ft@ft@l á@ffllftlB~@~BfllS. ~Pf@@@ft~l@i~ft @ft@l B8ffiift18á@ ll@ I~ll~ud@@ 1@~lft. á@ ~u.@I.

al YI18f ftd@ @@~I Bi8~fisij@1~ft@8ff@@P8Há@ I lo ~li~uá pfBffi@á18á.l fuiá8 @ftl. f@Pf@@@ft~O@l~ft~@ffiP8fol¥ SU d@.Yi.@i~ft @@~AHálf••~A f@1.Ei8HOá. E8ftl. ~ll~uá de l.s tIU@~U.Ei8ft@Sá@l fuiá8 @H.1 á8ffl!fti8~@ffiP8F.I.

670

ción de densidad son, respectivamente, 1= 02 Y £.2

fluctuación relativa será e = €!f := 1.Un aspecto de especial interés por su aplicación en el reconocimiento

de trenes de pulsos, es el de la estadística correspondiente a la superposi-ción incoherente de N muestras de ruido blanco gaussiano estacionario esta-dísticamente idénticas. La ftulción de densidad para la potencia del ruido

resultante será (apéndice D.3)

p¡;(I)I

(o2)N

IN-l(:<-!)! EX!' [- :2] u(l) (9)

y en consecuencia, su potencia promedio, varianza y fluctuación relativa son,. - - 2 2 -respectIvamente, IN = NI. EN = N€ , ~ = €N/lN :: l/¡N. Estos resultados iodí

can que, at.mque la potencia proJredio del ruido resultante es mayor que la de

cualquiera de las muestras individuales, las fluctuaciones de aquél son másestrechas que las de éstas. es decir, la superposición incoherente tiene elefecto de homogeneizar el ruido contenido en las muestras.

RECONOCIMIEN1D DE UN TREN ALEATORIO DE PULSOS IDENTICOS

Un tren de N pulsos idénticos. cada uno con perfil s(t) y duraci6n T,distribuidos de acuerdo con la secuencia temporal aleatoria {tnl l~n~N.Itn+l - tnl>T},se define como (Fig.4)

:<s(t)' ¿ 6(t-tn)n=1

(lO)

donde o (t) es

ye que la FRI

trón es

la función delta de Dirac (apéndice A). De la Ec. (6) se concludel filtro adaptado adecuado para el reconocimiento de este p~

h(t) ~( -t) s'(-t)'N¿ 6(t-t )n"'l n

(U)

Reemplazando (10) Y (U) en (7) y apiicando las propiedades algebraicas de la

671

nlt)

b

t

t

Fig. 4. Tren aleatorio de pulsos idénticos sumergidos en ruido blancogaussiano estacionario:a. Ilustración separada del tren y del ruido. Se ha elegido por siro

plicidad, un perfil rectangular para los pulsos.b. Ilustración ampliada de las muestras de ruido blanco gaussiano t£

madas por los pulsos del tren.

cenyullJ<'j~n(ftpilndi~e ftl, tendr_~ 1ft re~Jllll'Hft oo! filtre lillllllOOe! tren ftlj"t4 .umerAide @n@! fIJ!de n(tl, @! lillft! t~f¡ijfjj~ Ii_ b!lIIIlie A.~.l~ @.t."clunftriu:

(U,bl

.iende "u(tl !•• Iltueerf@!ft~l~ de! tren y n!j(tl @! fIlloo 00 .ft!idft oo! ti!"tre, l,ft liulllllturlft Q\I@ftP.f@~@en (U,ft) fl\l@OO@!j~ribir.e 00 1ft .iAlliellte 11III"ftl!rft!

(Ul

~ @.t@ @xpro.i6n .@ c@ncl~@ qu@ l@ @ut@corroloeidn ~l tren ~., @ .u VO',

un@ .~eYQnei@ ~ pul.@. e@d@ uno ~ leA eY@I~A tl~n~ un p~rtll r.A(t), Yn@dur@cldn 2T (@pdndlc@ H.2) y Yn. ~jlltYd que dgp@n~ ~ lo @le.terled3d ~I@ Aecuencl. ~ dicho tren, eAte, e., ~l nQmore de @ut@c@rrol@clen@A Indl-vldY31@A que contribuyen @ l@ @utocerrol@cI6n ~l tren pero c@d3 Wle de leAv@loro. de m y n. Por le tonto @l plce centr@l de @ut@eerrel@eldn, ~tlnl-de I'erel primer t6rmlM de le De. (U), eAtA t@llMde por N eontrlbuelene.,mlentr@A qlJQe@M YIlllde lo. pYleo. del tonde, ~tlnlde. por le. t~rmlne.de lo .Ym3terh de l@ mI.1M @eYlleidn, e.t@rA termede por \lIInQmore de con-tribueien@. mener qu@ N. Un @t@ete, l@ pet@nei@ mAxilM del piee eentr@l@A .Innitie@tivement@ meygr que l@ petenei. de eY31qui@r@ de le. pul.o. In-divldY.l@A del tonoo, ~ ft@eho,mI@ntroe l. pot@neh mAxilM de dieho pieoeentr@l e.

Un een.eeuench, el contrMte piee-tenoo poro lA @uteeerrolecidn ~I tren .~rA

le cuol Implico que cYOnde N))l entonce. Col, e. decir, lo petencl. conc@n-trodA en @l pico eerA llU.l A l. petenclo dlAtrlbuldA en @l tondo. ~. l~leLtonclo de @.te reeultAde conel.t@ en Indlc.r qu@ p.rA ••@~r@r un reconocl-ml@nte exlto.e, bAeto con tener @n cuentA @I pico centr.l ~ Autecorrol@cl6ndel tren, pYIle, el tonde qlJQdnA .lIfólrRldo@n @l ruido (PIR'5),

DA lA ~c. (13,b) .@ concluya, @ .u VOl, que ng(t) @. @l re.ult.de delA .\4l@~.lcI6n ~ lI'IlI{l.tr•• tCllMOO .obro @l ruido ~ ~ntndll, n(t), por lu;

674

110ft)

S,,(t)

,a

Y(tl= S.lt).n.lt)

t

b

Fig. 5. Reconocimiento de un tren aleatorio de pulsos rectangulares idénticos:a. Ilustración separada de las ecuaciones (13,a) y (13,b) para el caso

en que el perfil de los pulsos es rectangular.b. Ilustración de la Ec. (12) para el misJOC) caso.

675

pulsos del patrón (Fig.~). De ahí que la estadística de las muestras indivi-duales y de su superposici6n dependa de oCt), s(t) y la secl1cncia temporal{tnl. Cuando nCt) es ruido blanco gaussiano estacionario y set) es un perfilsuave con duración significativarrente mayor que las f1uctuaciones de nCt),

las muestras tomadas por el patrón serán también ruido blanco Gaussiano esta-cionario y, además, serán estadísticamente idénticas e incoherentes. Por consiguiente, "oCt) describe la superposición incoherente de dichas muestras, deacuerdo con la estadística descrita en el apartado anterior. Reemplazando(14) en (12) tendremos la respuesta del filtro que ejecuta el reconocimientodel tren (Fig. S)

y(t) = Nr (t) + E r (t+t -t ) + n (t)55 nlm ss TI m o (15)

Es claro que el éxito del reconocimiento depende de que pueda llevar-se a cabo la identificación del pico central de la autocorrelación del trenentre el ruido de salida del filtro, esto es, que dicho pico central sobresalga de entre las fluctuaciones del ruido de manera suficiente para minimizarlos riesgos de falsa alarma y detección fallida. La garantía del éxito, por10 tanto, esta asegurada por la satisfacci6n de la siguiente relaci6n:

(16)

El mieroro izquierdo de (16) es una medida del contraste entre el pi-co de autocorrelación del patrón y el ruido de salida, y el miembro derechoes la fluctuaci6n relativa de dicho ruido de salida. Empleando los resulta-dos antes obtenidos, podemos reescribir (16) así

(17)

~) --lN'-- = l~-T ~ (U)

d@nd@rªª(O) Qª lB pgtQnelB IndivloYBI QQYn pYlª@ QQI t~ QT Qª lB pgtQn-eh pffiffllldlg d@1 I'Illd@ d@QntfBdB, d@ I!lIlIlQfBq\ll! (U) PQmltQ d@Umln«f lBIgn~ltyg q\ll! dQbQ tQMQf QI t~, Qªtg Qg, QI nQmQrg do pYlggª nQeQgftflg PBfBq\ll! OU pfQoQMelB Qn lB oQñftl oQB IdQMtlfle.oft Qxlt@oftmQntQ. ObvlftmQntQ, al-eh¡¡ dounnlMel6n Qxl~Q YnB Q8UlMei~n dol ~xlt@ dol fQeQooeimiQnt@, l. eu.1PYl!QQfQBliufªQ B PUUf do 1ft t\IIei6n do dlUflbuel~n dQ pffibBbllidBdoo p._fB 1ft IntQM8ldBd QQI ruido QQ 881ldB (ftp~ndleQ C,2),

(lP)

1,. prg~oIlbllj¡lfto QQ qYQ QI 1'1I100 do 8ftlidB tQM•• f1uetUftel@nu qYQ @eYltQn QIpieg do .utgegffQhel6n dol tfQn 8QfA(7)

N~U~@ qll@ eYllIlooN*"" 1'f~••(hlpl*O, @lj e@fl!l@eY@neh, mi@ljtfA~ mAl; IAfS@ ~@A@l tNn Illl!OOflI@fA lA Pf@DADiUdlld 00 qll@ lIY ple@ 00 lIYt@e@fNlAeioo lI@A @eYltAOO P@f lAo tlyetYAei@n@lI 001 rYioo 00 lIAlidA y, P@f l@ tllllt@,lA PNDADlll'dAd 00 ~lllt@ @n @l Nwooeimi@nt@ lI@rA IMY@f, P@OOOOll, @ntooe@lI, ootinif @••tA pND.DilidAg 00 ~lllt@ _

ftn @l pN~@nt@ tfADAj@ lI@ h. @.tyglllOO, 00 iMft@f@ t@rmol, @l pNe@~@00 NWMeimi@nt@ 00 Yft tf@lj lI!@At@fi@ 00 pYlo@o IdOOHw~, ~YIlll!fSioo@n rYi'00 Dllllle@S.YOoIOM @.tAei@n@fi@, ffl@gillllt@l. t~enieA 00 tiltf@eioo @\lApt.1loÓfllIteh@gtilt@fins), L@o NoYlt.ooo @bt@niooo (@lljlNoi@n@lI (18) y (ZO)) P@f'mit@n, Nop@etivl\llll!ftt@,oot@rm!n.f l. l@nsitYd .ooey@\lA p.f. qY@ l. idootlti.e.eidn 001 tNn o@. @llit@lI.Y @~tÍll\@f@l ~llit@ Il@ gieh@ jlNe@.@ Il@ idootitleleloo,

678

APENDlCES

A.

A.l Definición:

para y

A. 2 Simetrías:

[

t +fdt = o 6(t - t ) dt = 1o

t -fo

con 00

6(t) = 2~r EXP(+iwt)dt, por 10 tanto, 6(t) 6*(t) y

6(t) 6(-t)

A.3 Tamización o muestreo (shifting):

f(,)*6(,) = r fe,) 6(t-,) d, f(t)_00

B.l Definición:

f(t)*g(t) = r f(t)g(,-t)dt

679

B.2 Relación con la correlación:

f(t)* g*(-t) = fOO f(t)g*(t-T)dt-00

si f(t) g(t), tendremos

y

de estas expresiones se concluye fácilmente que, si f(t) es un pulsode duración T, su autocorrelación tendrá una duraci6n de ZT.

B.3 Transformada de Fourier: simbolizando la transfonnada de Fourier conla letra F, tenemos que si F(w) = F[f(t)l Y G(w) = F~t)1 entonces

F[ f(t)*g (t)] = F(w) G(w)

B.4 Aplicación a sistemas lineales (Fig.l): un sistema lineal es un dis-positivo caracterizado por una función h(t) y tal que, ante una exci-tación (función de entrada) f(t) entrega una respuesta

y(t) = h(t)*f(t)

La función h(t) se denomina función de respuesta al impulso (FRI) PO.!:.que, de acuerdo con A.3, si la excitación es la funci6n impulso o delta de Dirac, la respuesta será precisamente h(t).

C.1 Definición:

t>t ot<t o

c.~ I'(t) "(t'to) dt = Ibf(t)dt~ to

D, R¡¡{í/ª IlldHM ªlllIU{dHª lY tdlUªlldM'ª 11, j, 1I

~(fl)= ~ liXJl ro (fl'~~ , ""'11""I;;mt L ~ªJ~d@ ft @. la ~lit"d p~aio y ª~@. la variafl!a,

o,~ Oi.tribu€i~fld@ pot@lI€iait@lIi@lI~@fI€Y@flt@l@ ifl~@fl~€i@ @.t@dt.tjEa d@ lo. v@lor@. d@ l@ ~litYd, t@fld~.

~(I) = ~ff~(II)~(fl)• ~!OOl [,~]) O~t","

~(I) ., l!Xl' [,~l"(1)~1Id@ 1 • (11• ii)~

@, NOIlMHmi6nJ o(l)dl • ~ (DXI'[';!z] di' 1

b. Pot@fl€i@pl'lll!l@diolT. rlO(l)dl • ;!z I:I 1!Xl'[' ~] di • ª~'lO

o,~ ~yP@rp@~I~¡afi ¡fi~eh@f@fit@6@ ffiU@~trü.@.tftdl~t¡~gm@fit@ ¡~tl~ft~1 dft.dft~ Ift~dl~trlbY£¡@fi@~ Ü¡(X) y üjlx) pftrü lü mi~mü vürlübl@ ftl@üt@rlüX, lü d¡~trlbY~lan d@ ~Y~yP@rp@~¡~¡an ~@r~

Ü¡.j (O) • Ü¡ lo)'üj (X) • (Ü¡ (Y)Üj (X~y)dy~'"

Ver 1@ tüftt@, lü di~tr¡bue¡~fi dftpftt@fi~¡ü~rf@~pª"d¡@fit@ ü lü ~up@r~pft.¡~¡an ¡fi~fth@f@fif@O@ ffiU@.trü.dft fYidft blftfi~ ~ftY9~¡üfi@~@r~

~N(I) • üI(l)'~z(I)""'üN(I)

T@fi¡@fiOO@fi ruftfifüqY@/i ~jm • "kJ (1)1 • ~ 'I'~;~~ ,¡ Z • ~I Yüpl¡~üftdftD,~, f@fiOf@ffl@'

pürü Yfi ~ftfijYfit@d@ ffiU@~trü.@~tüdt~tl~üm@fit@ l~fitl~ü., Apll~üftdg lüfrüftstftrmAdüdft Vftyrl@r lfiV@rSül @nt@fiof@ffl@slü dlstrlb~lan dftP@!@fi'~lü ~rf@sp@fidl@fit@ ftlü .yP@rp@.I~lan dft Ift~ffiU@strft~(5)1

ÜN(!) • ;;k , ~ ' IIX!'(' *l ' Y(I)

682

C. Varianza:

222€N o N(a )

d. Fluctuación relativa:

e. Comportamiento limite para N=l p (1) = -.l EXP f- -.11 u(I)I 02 \ a2)

2 -2€I = II el = 1

f. Función de distribución de probabilidades

Definición:

I~(I) = f"N(I)dl

_00

~ (1) EXP(_ -l] G + ••• + ~I,""N_-2~ __ + __ IN_-_1__ J I02 L 02 (íH) (N-2)! a2(N-I) (N-l)! O

[I]N-I Ik

~(I) = I - EXP - - 1: --02 k=O a2kK!

Comportamiento asintótico:

u(I)

~(O) = O ~(oo) = I ~(I) IN=l= 1 - EXP[- ~]a

( ¡JN- I Ik

(~Ilim ~(I)= I - lim EX!' -2 1: 2k' 1 - EXP - 2 EXP2N+oo ~ o k=O a k! a a

lim NI) = ON-+oo

683

AGRADECHIIENfOS

El autor agradece sinceramente los comentarios del Dr. Peter Barlai y

del profesor Fernando Medina (Grupo de Optica y Teoría de la Infonnaci6n, De-partamento de Física, Universidad de Antioquia) respecto al contenido de esteartículo.

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