EL CONJUNTO .

Afirmamos: x x x

* Si x , entonces x se llama real racional.

* Si x , entonces x se llama real irracional.

EL MÉTODO AXIOMÁTICO DEL SISTEMA

El conjunto de números reales es un conjunto no vacío cuyos elementos se denotan con a, b,

c,... etc, llamados números reales, en donde se establecen una relación de igualdad, dos

operaciones internas denotados con + y , además se definen las relaciones menor (<) y menor o

igual () que después éstas dan a la estructura de campo ordenado provisto de la métrica del

valor absoluto.

Relación de igualdad en .

Si escribimos a = b en , significa que a y b son símbolos distintos que representan a un mismo

número real. Respecto a la igualdad de números reales, se cumple:

E1). a , a = a (Reflexiva)

E2). a = b b = a (Antisimétrica)

E3). a = b b = c a = c (Transitiva)

A continuación pasamos a usar el método axiomático para la construcción de Sistema .

Adición y multiplicación en

Definición 1.- La adición en es una operación denotada con +, tal que a cada par (a, b) de

x , se le hace corresponder el elemento a + b de llamado suma de los reales a y b. Es decir:

+ : x

(a, b) a + b

Definición 2.- La multiplicación en es una operación denotada con , tal que a cada par (a,

b) de x , se le hace corresponder el elemento a . b de llamado producto de los reales a y

b. Es decir:

: x

Se llama conjunto de números reales al conjunto que es la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales .Es decir:

=

(a, b) a . b

Axiomas de adición y multiplicación en .

La adición y multiplicación en satisface los siguientes axiomas:

A1). (a + b) + c = a + (b + c), a, b, c (Axioma de Asociatividad)

A2). a + b = b + a, a, b, (Axioma de Commutatividad)

A3). Existe 0 / 0 + a = a + 0, a (0 es neutro aditivo)

A4). Para cada a , existe (-a) tal que a + (-a) = 0 (Opuesto aditivo)

m1). (a . b) . c = a . (b . c), a, b, c (Asociatividad)

m2). a . b = b . a, a, b (Commutatividad)

m3). Existe 1 en , 1 0 tal que 1 . a = a, a (1 es neutro multiplicativo)

m4). Para cada a 0 en , existe a-1 tal que a . a-1 = 1 (Inverso multiplic.)

Axiomas de distributividad

d1). a (b + c) = a.b + ac

d2). (b + c ) a = b.a + c.a, para cada a, b, c en

Definición.- Dados a y b en , la diferencia de a y b se denota con a – b y se define:

a – b = a + (-b)

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN EN .

Teorema 1. (MONOTONÍA)

a = b y c

Demostración:

(A) Sabemos a + c = a + c, a + c en

Como a = b a + c = b + c (por el principio de sustitución P.S)

(B) c a = c a, c a c a = c b (por P.S)

Teorema 2. (CANCELACIÓN)

(A) a + c = :b + c, a = b

(B) c a = c b, c 0 a = b

Demostración:

a. a + c = b + c (a + c ) + (-c) = (b + c) + (-c) (por A 1 de teorema 1)

a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) (por Axioma 1)

a + 0 = b + 0 (por Axioma 4)

a = b (por Axioma 3)

2

a< b, si y sólo si b – a es positivo

b. Como c 0 en , existe c-1 en tal que c-1.c = 1, entonces:

c a = c b c-1 (c a) = c-1 (c b) (por B del Teorema 1)

(c-1.c) a = (c-1.c) b (por m1)

1 a = 1 b (por m4)

a = b (por m3)

Propiedades adicionales:.

1. Para cada a y 0 , se cumple:

0 = -0

a 0 = 0

2. El neutro aditivo 0 de R, es único

3. Si a , entonces (-a) es único

4. Para todo a, b , se cumple: a (-b) = - (a b)

RELACIÓN MENOR EN

En se puede establecer una relación menor (<) sujetos a los siguientes axiomas y definiciones:

1. Existen elementos positivos en .

2. Si a , entonces se cumple una y sólo una de las proposiciones siguientes:

a = o, a es positivo, -a es positivo.

3. a positivo, b positivo a + b positivo.

4. a positivo, b positivo ab es positivo.

5. a < b b < c a < c

6. a < b a + c < b + c

7. a < b y c positivo ac < bc

8. si a, b en , se cumple uno y sólo uno: a < b, a = b, b < a; este axioma se conoce con el

nombre de Ley de Tricotomía.

Definición 1.- Se dice que el número real a es menor que el real b, si y sólo si b – a es positivo.

En símbolos:

OBSERVACIONES:

1. Si a es menor que b, escribimos a < b. En caso contrario se escribe a<b.2. si a < b, escribiremos b > a para indicar también que b es mayor que a.

Es decir: a < b b > a.

3

a b a < b a = b

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA RELACIÓN MENOR EN PROPIEDADES BÁSICAS DE LA RELACIÓN MENOR EN

TEOREMA 1. Si a es positivo, entonces a > 0.

Demostración:Si a es positivo a – 0 = a + (-0)

= a + 0 (pues –0 = 0)

= a con a positivo

Como a – 0 es positivo, entonces 0 < a, es decir a > 0.

TEOREMA 2.

Si a > 0, entonces a es positivo.

Demostración: Ejercicio para el lector.

RELACIÓN MENOR O IGUAL EN

Definición.- Se dice que a es menor o igual que b en , si y sólo si a<b o a = b. Es decir:

NOTA:

1. a b, se lee: “ a es menor o igual que b”.

2. Si a b, se escribe b a para indicar que b es mayor o igual que a.

Definición.- Se dice que un número real a es no negativo, si y sólo si a0.

Definición.- Se dice que un número real a es no positivo, si a 0.

TEOREMAa b, si y sólo si existe c 0 en , tal que a + c = b.

Demostración: a b a < b a = b

b – a es positivo a = b

b – a = c; c > 0 en a = b + 0, c = 0

b = a + c, c 0 en

c 0 en , tal que a + c = b

TEOREMALa relación en , es de orden, es decir se verifica:

(1) a , a a (Reflexiva)

(2) a b b a a = b (Antisimétrica)

(3) a b b c a c (Transitiva)

NOTA:

4

Si a b b c, entonces escribimos a b c.

INTERVALOS DE NÚMEROS REALESINTERVALOS DE NÚMEROS REALES

Algunos subconjuntos de son llamados intervalos.

El siguiente subconjunto de R: [a, b] = {x / a x b}

Se denomina intervalo cerrado de extremos a y b.

Afirmamos:

x [a, b] x a x b

* Ejercicio: Definir los otros tipos de intervalos en R.

VALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALESVALOR ABSOLUTO DE NÚMEROS REALES

Si a , el valor absoluto de a se denota con |a| y se define como sigue:

Ejemplos|5| = 5, pues 5 0

|-4| = - (-4) = 4, pues –4 < 0

Hallar los x en que satisfacen la igualdad |x – 3| = 2

Solución:

Como x – 3 x – 3 0 x – 3 < 0

x 3 x < 3

a. Si x – 3 0 |x – 3| = | x – 3| = 2

x – 3 = 2

x = 5

b. Si x – 3 < 0 |x – 3| = -(x – 3) = 2

- (x – 3) = 2

x – 3 = -2

x = 1

Luego, el conjunto solución de esta igualdad es: S = {1, 5}

EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓNEJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN

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1. Enuncie algunas propiedades básicas de:* La relación menor en R* La relación menor o igual en R

2. Haga un comentario sobre las ecuaciones cuadráticas en R.

3. Resuelva los siguientes ejercicios:

a. a x -3 = b x + 3, con a y b diferentes.

b. 4x + 3 8x –12

c. x2 -x 6

d. Considerando lo anterior, resolver cuándo la desigualdad se cambia con mayor o igual y

con menor o igual.

e. Si |3 x – 5| < 1 x ] a, b[, hallar los valores de a y b.

f. Hallar en , el conjunto solución de: |3 x +1| = 1 +3 x, a 0, b .

g. Hallar el conjunto solución en R de la siguiente desigualdad x2 -x 1

4. Haga un comentario sobre la importancia del estudio del valor absoluto en R.

5. Hallar el conjunto solución en R de las siguientes desigualdades:

a) x2 + 2 x 8

b) x2 –x ¾

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