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El fascinante mundo del Estado Sólido: La Superconductividad. R. Baquero, 2006
Este cuate sólo va a armar un lío, ya lo conozco.
No andes diciendo tonterías, Kan Dido. Permíteme que te aclare que los operadores son un concepto muy útil y muy simple. Puedes contar los electrones en un metal, por ejemplo.
Don Kan Dido
Dr. Wolter
¡Sáltate este capítulo!, por amor de Dios
DOS PERSONAJES QUE ILUSTRAN EL LIBRO
El fascinante mundo del Estado Sólido: La Superconductividad. R. Baquero, 2006
Una aclaración, Kan Dido. En un centímetro cúbico hay 10, seguido de 23 ceros, 10 a la 23 (10²³) electrones.
¿Qué tanto lio? Uno cuenta los electrones y ya! Uno, dos, tres, cuatro..
Don Kan Dido
Dr. Wolter
El fascinante mundo del Estado Sólido: La Superconductividad. R. Baquero, 2006
Don Kan Dido
Dr. Wolter
¿23 ceros?... Le creo pero si me los cuenta primero...
...bueno, bueno, está bien... Se puede saber cuantos hay, midiendo el calor específico de un cuerpo, por ejemplo. La teoría de este experimento requiere que se tenga una cuidadosa contabilidad de la energía. Tratar este problema con operadores resulta muy apropiado. Pero hay otra manera de calcularlo, en forma muysencilla y directa, vas a ver.
En la realidad, la constante de red (lado del cubo) de un cristal de vanadio mide 3.03Å. Uso arbitrariamente 5 porque éso hace los cálculos muy sencillos. Pero tu podrías rehacer el cálculo para verificar si el resultado final difiere mucho. Aqui lo importante es que el orden de magnitud (el número de ceros, en este caso) sea el mismo. Qué opinas... ¿me equivoqué al aproximar así o el orden de magnitud es el mismo?.
Un cubito de átomos de vanadio mide algo así como 5 Å de lado. Es decir que el cubo tiene un volumen de 125 ų. Existe un átomo en cada arista del cubo. Hay 8 aristas.
Cada cubo de la arista se comparte con 8 vecinos (como el origen de un sistema de coordenadas en tres dimensiones que colinda con 8 cuadrantes, cuatro arriba y cuatro abajo). Por lo tanto para no contar de más, sólo debo contar (1/8) de átomo (de este tipo) por cada cubo.
La valencia del átomo es 3. Entonces hay 6 electrones de conducción por cada cubo, o sea dentro de un volumen de 125 ų. Hay, por lo tanto (6/(125)) electrones en 1 ų. Como 10-8 Å=1 cm, entonces, 10-24 ų =1 cm³. En consecuencia, hay (6/(125))1024 electrones en 1 cm³, ésto es 0.048 1024
electrones en 1 cm³. Por lo tanto, hay 4.8 10²² electrones en 1 cm³ de metal vanadio. En números redondos, hay 5 10²² electrones en un trocito de metal vanadio de 1 cm³ que me cabe en la cavidad de mi palma de la mano.
Como son 8 aristas, a cada cubo le puedo atribuir, en total, un átomo propio de los de las aristas. Pero, además, cada cubo tiene un átomo en el centro. Ese no lo comparte. A esa estructura se le conoce como cúbica centrada en el cuerpo (en inglés body centered cubic, bcc). La estructura bcc, la del vanadio, tiene, entonces, un total de dos átomos independientes por cada cubo.
Un metal es un sistema cuántico. El cálculo del calor específico en un metal es un problema cuántico.
La ecuación fundamental es la Ecuación de Schrodinger. Pero también nos damos cuenta que la ecuación de Schrodingerresuelve el problema de una partícula sujeta a un cierto potencial, V. El problema que tenemos enfrente es el de una cantidad inmensa de electrones dentro del mismo potencial cristalino. ¿Cómo hacerlo?
EL PROBLEMA ES MUY COMPLEJO
Pensemos bien en lo que tenemos enfrente en toda su complejidad. Tenemos dos sistemas de partículas (iones y electrones) que interactúan entre sí, es decir, que dejan pasar energía y momento (la masa por la velocidad) de un lado para el otro. Resolver el problema en toda su complejidad es muy dificil. Pero lo podemos simplificar sin perder información gracias a los experimentos precisos.
Podemos centrarnos en los iones y decir que ocupan ciertas posiciones conocidas, ésto es, experimentalmente establecidas (por medio de Rayos X) para un determinado material (un metal particular, en nuestro caso).
Para volver el problema más sencillo aun, podemos concentrarnos en la descripción aproximada del efecto de los electrones en la dinámica de los iones y establecer los estados vibracionales y, lo que es más interesante,
las diferencias en sus energías, los fonones.
La descripción aproximada del efecto de los electrones se hace mediante la inclusión del mismo en el término del potencial. Hablamos de seudopotenciales. Les decimos seudopotenciales porque suelen depender de la energía lo cual no está estrictamente de acuerdo con la Ec. de Schrodinger en la cual V sólo depende de la posición.
Programas de cálculo con cierto grado de sofisticación se encargan de darnos el resultado:
La estructura de bandas de los fonones, ω(q), nos dice cual es la relación dinámica entre la frecuencia, ω, y el vector de onda, q-
El espectro fonónico, F(ω), nos dice cuantos fonones encuentro, en el sistema que estoy estudiando, para cada valor de la frecuencia ω.
1- la estructura de bandas de los fonones, ω(q)
2- el espectro fonónico, F(ω).
Por el otro lado, podemos hacer lo mismo con los electrones. Es decir, en este caso, definiremos un potencial cristalino promedio formado por las interacciones con los iones y buscaremos las soluciones de la Ec. de Shroedinger para un electrón en ese potencial (seudopotencial).
El cálculo de seudopotenciales es una rama muy especializada del estado sólido. Para aceptar una tal descripción se hacen muchos controles calculando resultados experimentales que permitan checar qué tan precisas son las predicciones que se obtienen. Es siempre un resultado aproximado, pero hay cálculos excelentes (que dan resultados muy cercanos a los del experimento para una amplia gama de casos). Así puede obtenerse:
en total analogía con los fonones.
1- la estructura de bandas electrónicas, E(k).
2- La densidad de estados electrónicos, N(E).
¿Para que sirven los operadores? Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos. Un ejemplo:
En el pueblito donde pasábamos las vacaciones cuando yo era niño había dos panaderías. A Mamá le gustaba el pan que salía a las 5 de la tarde en la panadería de Doña María. Esa quedaba en frente del correo, al lado de la gallera. Yo tomaba mi caballo, salía de la finca, recorría algo así como un kilómetro y compraba el pan exactamente allí.
Eso se puede en un pueblito.
Pero en una ciudad grande, hay que desarrollar otro lenguaje. Lapanadería de la 25 Poniente entre 9 y 11 Sur, se diría en la Ciudad de Puebla. Así es más preciso. Así se puede ubicar todo en una ciudad grande. Casi todos los sábados, a las 5 de la tarde salgo en mi auto a comprar el pan exactamente en esa panadería .
Ese le gusta a mi esposa.
¿Para que sirven los operadores? (2) Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos. Un ejemplo:
En México D.F., hoy la ciudad más grande del mundo, al parecer, sería imposible moverse sin un sistema de referencia que permita ubicar cualquier sitio. Entonces el lenguaje tiene que evolucionar, tiene que precisarse. Busco primero la Delegación, luego la Colonia en esa Delegación, luego la Calle y, finalmente, el número que identifica la casa.
Así es en la descripción del movimiento de los cuerpos. Hay que ir buscando el lenguaje apropiado para realizar la descripción exacta.
Pero yo no compro pan en México
! A mí no me gusta el pan !
¿Para que sirven los operadores? (3) Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos.
¿Qué queremos decir con todo ésto?
La descripción exacta es parecida a llevar una contabilidad. ''Saqué de mi billetera 50 pesos para comprar pan''.
¿Qué pasó?
Que ''desaparecí 50 pesos de mi billetera” y ''aparecí pan”
¿Qué queremos describir en los metales? ¿ Qué queremos decir?
Que todos los iones que estaban vibrando de una cierta manera, pasaron a vibrar de otra manera y liberaron una cierta cantidad de energía (un fonón); que la tomó un electrón el cual pasó de un estado de menor energía a otro que difiere en la energía del anterior por la energía del mismo fonón. Eso es lo que queremos decir exactamente.
Pero eso no es preciso. Con ese lenguaje no podemos calcular nada ¡ Hay que afinar!
¿Para que sirven los operadores? (4) Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos.
Vamos a decir que un electrón absorbió un fonón y cambióde estado. Eso es más preciso pero no es suficiente, porque
El lenguaje de los operadores
¿Qué pasa con los demás electrones?
¿Cambian de alguna manera con el cambio en los iones y en el electrón que cambió de estado?
Podría ser, podría no ser. Pero hay que decirlo.
Por eso necesitamos un lenguaje apropiado.
¿Para que sirven los operadores? (5) Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos.
En física, siempre se trata de intercambio de energía. Digamos que, ahora, el átomo recibe luz (un cuanto de luz, hw, que es tal que equivale a la diferncia entre la energía representada por el estado con n=2 y el estado con n=1, es decir (la energía depende de n como el inverso al cuadrado)
h CONST(1 1/4)
Y aqui llegamos al punto. La Ecuación de Schroedingerresuelve el problema de una partícula en un potencial. Nos da los posible estados en que la partícula puede estar, sus energías, por ejemplo.
¿Cómo la uso si tengo dos partículas, dos electrones en vez de uno? Eso sería un átomo de helio.
Como yo sé que puedo colocar dos electrones con n=1 (uno con espín para arriba y otro con espín para abajo), ya sé cómo hacerlo. Tengo que describirlo.
¿Para que sirven los operadores? (6) Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos.
Pero puedo ser más completo en mi descripción: ''el sistema pasó del estado |A>=| n = 1 -1/2 , n = 1 1/2 >
al estado |B> = | n = 1 -1/2 , n = 2 1/2 >.
Eso es exacto porque lleva la contabilidad de todos los números cuánticos.
En este caso lleva la contabilidad total de la energía del sistema y del espín total. Ambos estados tienen espín total igual a
½ - ½ = 0
Se produce un cambio de estado. Uno de los electrones va a cambiar su energía. ¿Cómo lo expreso?
Esto lo digo así: ''el estado con n = 1, 1/2 (espín hacia arriba) quedó vacío y el estado con n = 2, 1/2 se ocupó''. (Nota que el espín se conserva).
Y no pasó nada con el otro electrón.
¿Para que sirven los operadores? (7) Se trata de desarrollar un lenguaje que nos permita describir con precisión el mundo en que vivimos.
Pero la energía de ambos estados difiere.
E(A) = - 2 CONST
(la energía es negativa porque los electrones están ligados, es decir, necesitan energía para quedar libres. Es igual que en el caso de la Luna la cual, para salir de la órbita alrededor de la Tierra, necesita energía). Por otro lado,
E(B) = - CONST(1+1/4) = - 5/4 CONST.
Esta última es mayor (está más cerca del cero).
El lenguaje apropiado para describir con toda exactitud este tipo de procesos (donde intervienen varios cuerpo, varios electrones o varios iones) es el lenguaje de los operadores. Es clarísimo y muy sencillo.
El concepto de operador
Puedo definir un operador que agrega 1 cada vez que lo aplico a un número natural. Lo voy a llamar m1.
Entonces: m1 |7> = |8>.
Es decir que si aplico el operador ''que suma uno'' al ''número siete'', obtengo ''el número ocho''. Uso el símbolo “| >” para delimitar claramente el ''objeto'' sobre el cual voy a operar (en este caso el número 7. Trivial !
Primero hay que decir que un operador se llama así porque actúa u opera sobre algo. Es decir ejecuta una operación sobre algo. ¿Qué es ese ''algo''? La respuesta es variada.
El concepto de operador (2)Podemos definir otro operador: C+ C
En realidad se trata del producto de dos operadores. Al primero le llamamos operador de creación y al segundo operador de destrucción.
Es fácil ver que se trata de un contador. .¿ Cómo opera?
Sea C+ el operador de creación de tazas de café
Sea C el operador de destrucción de tazas de café
Sea |1, 1, 1, 1, 1> el sistema “cafetera” la cual contiene 5 tazas distinguibles, j
C+j Cj |1, 1, 1, 1, 1> = C+
1 C1 |1, 1, 1, 1, 1> + C+2 C2 |1, 1, 1, 1, 1> +
+ C+3 C3 |1, 1, 1, 1, 1> + C+
4 C4 |1, 1, 1, 1, 1> + C+5 C5 |1, 1, 1, 1, 1> = 5 |1, 1, 1, 1, 1>
porque
C+4 C4 |1, 1, 1, 1, 1> = C+4 |1, 1, 1, 0, 1> = |1, 1, 1, 1, 1>
Los operadores de creación y aniquilación
Oye, eso de los operadoes...
Ay, ay ay...EMOCIONA, EH!
Un tema que emociona a Ramoncito
son de gran importancia para la teoría de la superconductividad
Los operadores de creación y aniquilación
Pero me parece medio ridículo
.....Te creo,
te destruyo...
Te creo,te destruyo,
bah!...
Pero, de pronto, le parece ridículo
Los operadores de creación y aniquilación
Operador de destrucción
de ratones
Oh, Noo
Y tiene una pesadilla espantosa
durante la cual es “destruido” por un operador
Los operadores de creación y aniquilación
Operador de Creación
de ratones No me gustó,eh...
¡Qué suerte! Existen los operadores de creación y Ramoncito reaparece …
pero no le gustó nada …
El vector de estado
Queremos cuantificar la energía, queremos saber cómo cambia con la temperatura, queremos tener una clara contabilidad cuando haya intercambio de energía con algún otro sistema (los iones, por ejemplo).
Hablemos de los electrones dentro de un metal. Suponemos que hemos calculado su estructura de bandas. Conocemos, entonces, la energía asociada a cada estado y los demás números cuánticos. En este caso, el momento cristalino, k, y el espín del electrón. Ese es nuestro sistema ahora. Esos electrones pueden estar en ciertos estados, es decir, tener cierta energía, cierto momento cristalino, k, (vector de Bloch) y cierto espín, bien definidos.
Don Kan Dido exagera, Don Kan Dido exagera, Bah! …Deberían vender ratoneras en todas las esquinas …
Ramoncito: El problema no es tan complicado, sólo requiere un poco de atención y ya ! , Don Kan Didoexagera…
El vector de estado (2)
El problema no es difícil. Es muy parecido al problema que tiene el dueño de un edificio para calcular cuánto va a recibir de renta al final del mes. Primero tiene que saber cuantos apartamentos tiene. En el caso de los electrones, queremos saber cuantos estados permitidos existen. Los apartamentos tienen un número para distinguirlos. Los electrones tienen sus números cuánticos. De esa manera se puede ser específico.
Frecuentemente, usamos la expresión “un electrón en “Gamma” lo cual quiere decir que tiene el vector de Bloch, es igual a (0,0,0). Se usa mucho reemplazar ciertos valores especiales de k por alguna letra. Se les llama “puntos de alta simetría” porque tienen propiedades muy especiales (la Teoría de Grupos vale allí).
Qué bonita está la del 403! Los estados electrónicos están etiquetados según el número cuántico de Bloch, (k), y según el espín.
El vector de estado (3)Pero eso no es aun suficiente ni para determinar la cantidad que cobraría el dueño del edificio cada mes, ni para determinar la energía del sistema de electrones.
Necesitamos saber cuánto va a cobrar por cada apartamento, en el sistema edificio, y con cuánta energía contribuye cada estado, en el sistema metal.
El contrato de arrendamiento es la respuesta, en el primer caso, y las bandas, en el segundo.
La del 403 está pagando 3000 pesos mensuales. El electrón en Gamma que tiene espín hacia arriba tiene una energía de 25 meV
El vector de estado (4)
Tengo que informarme sobre la situación en el edificio (quéapartamentos están ocupados y cuales no).
Si un apartamento está desocupado anoto ''0'', si estáocupado (el 403, por ejemplo), anoto ''3000''. Cuando termine, sumo y ya está.
Y ahora, ¿cómo calculo lo que el dueño del edificio recibirá de renta este mes?.
El vector de estado (5)
Exactamente igual lo hago con los electrones. Me informo de la situación del sistema, es decir, en qué estados permitidos hay realmente electrones y en cuales no.
La información se coloca en el llamado ''el vector de estado'', donde coloco la información sobre todos los estados posibles.
Si está desocupado, anoto ''0'‘Si está ocupado, anoto el valor de la energía.
Sumo y ya está!
El vector de estado (6)En el caso de los electrones, necesito dos entes matemáticos:
Uno es el vector de estado donde registro todos los estados posibles para que los electrones los ocupen y también consigna la información acerca de si un estado electrónico particular, (k, s ), donde s es el espín, está ocupado o no.
El otro es un operador que extraiga la información y calcule, eventualmente, la cantidad deseada (cantidad de energía, por ejemplo)
El todo funciona como en el ejemplo de la cafetera.
El operador “pregunta” si el estado está ocupado o no. Si la respuesta es no, sumo ''0'', si la respuesta es sí, sumo ''la energía correspondiente''.
Necesito un operador que se aplique al vector de estado o que opere sobre el vector de estado y me saque la respuesta.
Un ejemplo concreto sería el operador de la energía (el hamiltoniano) para un sistema de electrones.
| 1,1,1,1,1, … ,1,1,0,0, … ,0,0,0,0,0,0,0, … >
Es el vector de estado a T = 0K (el estado base) donde hemos incorporado el Principio de Paulique vale para Fermiones como los electrones: “solo un electrón por espín en cada estado”.
, , ,,
k s k s k sk s
H C Cε +=∑Donde las C son los operadores que ya conocemos y las Epsilons son los valores de las energías accesibles (los estados electrónicos).
Para el caso en el que T sea diferente de cero, o que el sistema haya recibido energía de algún sistema externo, el vector de estado tendrá que registrar el evento y no será el mismo. Un ejemplo puede ser :
| 1,1,1,1, … 1,0,1,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0 … >
Para un estado excitado
Para el caso en el que los electrones interactúen entre sí, el hamiltonianotoma la forma:
1 1 1 1
1 1
, ', , ' ' ', ', , '
k k k k k k k k k k kk k k k k
H C C V C C C Cε + + += +∑ ∑
( ignoramos el espín para simplificar la notación)
En el término nuevo, el potencial, vemos que los estados electrónicos k’1 y k’(que tienen que estar ocupados originalmente), son destruidos (se desocupan) y los estados k y k1 (que tienen que estar desocupados originalmente) son creados (se ocupan). La función V (el potencial) controla la cantidad de energía que se transmite de un electrón a otro y, de una cierta manera, la probabilidad de ocurrencia del evento. Esta última propiedad se manifiesta, con muchas consecuencias, en superconductividad (frecuencia óptima).
En superconductividad, juega un papel muy importante el Hamiltoniano que incluye el paso de energía entre la red (cuyos cuantos de energía son los fonones) y los electrones. En la notación llamada “Segunda Cuantización”,este es:
, ' '( )k k k q q k k q q k kC C a a M a a C Cε ω+ + + +−+ + +∑ ∑ ∑
, ',k q k k q
Es el llamado “Hamiltoniano de Fröhlich” (Eq. 7.1) “en mi libro (con O. Navarro): Ideas … ”, escrito en Segunda Cuantización
Hamiltoniano que describe la Interacción electrón-fonón
Fin de este pequeño panorama acerca del concepto de operador
(capítulo 8)