1

Física EstadísticaRelación 7: Gases cuánticos

Problema 1. Consideremos un sistema formado por dos partículas, cada una de las cualespuede estar en tres estados cuánticos de energías respectivas 0, ε y 3ε. El sistema está enequilibrio a temperatura T . Escriba todos los términos de la función de partición canónicacuando las partículas satisfacen:

1. La estadística clásica de Maxwell-Boltzmann

2. La estadística Bose-Einstein

3. La estadística Fermi-Dirac

La función de partición canónica es

Z(T, V,N) =∑α

e−βH(α) =∑ε

Ω(ε)e−βε

i.e. la suma (discreta o continua, dependiendo del problema) sobre posibles microestadosα del sistema de e−βH(α), siendo H(α) el hamiltoniano del sistema en el microestado α yβ = 1/kBT , o equivalentemente la suma sobre posibles energías ε de e−βε por el número demicroestados Ω(ε) con energía ε. Para resolver este problema hemos de tener en cuenta lascaracterísticas de cada tipo de estadística, y en particular cómo se define el microestado encada caso. De este modo:

1. Clásicamente, en el caso de la estadística de Maxwell-Boltzmann (MB), el microestadoviene dado por el estado de cada partícula (las partículas se tratan como distinguibles),por lo que podemos encontrar en un mismo estado un número cualquiera de partículas.

2. A nivel cuántico, el microestado vendrá dado por los números de ocupacón de losdiferentes niveles de energía. En el caso de la estadística de Bose-Einstein (BE), debido ala simetría de la función de onda bajo intercambio de partículas, sabemos que el númerode partículas en cada estado cuántico es arbitrario (n = 0, 1, 2, 3, . . .).

3. En la estadística de Fermi-Dirac (FD), las partículas cumplen el principio de exclusiónde Pauli debido a la antisimetría de la función de onda bajo intercambio de partículas,de forma que sólo puede haber una partícula, como mucho, en cada estado cuántico(n = 0, 1).

La siguiente tabla muestra cómo podemos colocar las partículas en los distintos estadoenergéticos, contando la degeneración de cada nivel de energía, i.e. el número de microestadosposibles compatibles con cada energía total (y que dependerá del tipo de estadística quetengamos):

2

POSIBLES ESTADOS (Energía) Número de estados0 ε 3ε MB BE FDxx 1 1 -

xx 1 1 -xx 1 1 -

x x 2 1 1x x 2 1 1

x x 2 1 1

Las primeras tres entradas de la tabla se refieren a microestados donde tenemos a las dospartículas conviviendo en el mismo estado cuántico (la energía total es 0, 2ε o 6ε). Dichosmicroestado están prohibidos por el principio de exclusión de Pauli para fermiones, mientrasque son posibles en el caso de bosones y partículas clásicas. Las siguientes tres entradas dela tabla (con energía total ε, 3ε o 4ε) se refieren a microestados donde las dos partículasestán distribuidas en estados diferentes, y son compatibles con los tres tipos de estadísticaque estamos tratando. Desde el punto de vista cuántico cada uno de estos microestados tienedegeneración 1, mientras que clásicamente podemos intercambiar las partículas dando lugara un microestado diferente, por lo que la degeneración en este caso es 2. Puesto que la funciónde partición canónica se escribe como

Z =∑ε

Ω(ε)e−βε

a partir de la tabla podemos escribir para cada tipo de estadística

ZMB = 1 + e−2βε + e−6βε + 2e−βε + 2e−3βε + 2e−4βε

ZBE = 1 + e−2βε + e−6βε + e−βε + e−3βε + e−4βε

ZFD = e−βε + e−3βε + e−4βε

3

Problema 2. Se tiene un sistema formado por N moléculas (N 1) con tres niveles deenergía para cada molécula dados por ε1 = 0, ε2 = ε y ε3 = 10ε.

1. Suponiendo que la temperatura es muy baja, demuestre que únicamente los niveles 1 y2 están poblados cuando T < Tc, donde Tc ≈ 10ε

kB lnNdefine una temperatura umbral de

población para el nivel 3.2. Demuestre que la capacidad calorífica por molécula, cV , es proporcional a T−2 para

temperaturas muy altas, mientras que para temperaturas muy bajas es proporcional aT−2e−βε.

Apartado 1. La función de partición canónica para una molécula es

Z1 = 1 + e−βε + e−10βε

Por tanto, la probabilidad de encontrar una molécula en cada nivel (suponiéndolasindependientes) se escribe como

P1 =1

1 + e−βε + e−10βε, P2 =

e−βε

1 + e−βε + e−10βε, P3 =

e−10βε

1 + e−βε + e−10βε

A partir de aquí podemos escribir el número medio de partículas en el tercer nivel de energíacomo será,

〈n3〉 = NP3 =Ne−10βε

1 + e−βε + e−10βε

En general, la probabilidad de ocupación P3 del tercer nivel excitado será mucho más bajaque la probabilidad de ocupación de los otros dos niveles, debido a la gran diferencia enenergía, y consecuentemente el número medio de ocupación del tercer nivel estará muy pordebajo de los otros dos. Definimos la temperatura umbral de población para el nivel 3, Tc,como aquella temperatura para la cual 〈n3〉 = 1, i.e. la temperatura a la cual el tercer niveltiene al menos una partícula en promedio. Definiendo βc = 1/kBTc, la ecuación para hallarTc es

Ne−10βcε

1 + e−βcε + e−10βcε= 1 ⇒ N = e10βcε

(1 + e−βcε + e−10βcε

)De esta ecuación vemos que el valos de βc será del orden de lnN . En un sistema macroscópico,con N 1, tendremos por tanto que βc 1, por lo que podemos aproximar la ecuaciónanterior como N ≈ e10βcε, de donde

Tc ≈10ε

kB lnN

Apartado 2. Para calcula el calor específico, debemos hallar primero la energía media pormolécula

〈e〉 =〈E〉N

= −(∂ lnZ1

∂β

)= ε

e−βε + 10e−10βε

1 + e−βε + e−10βε

4

La capacidad calortífica por molécula será por tanto

cV =

(∂ 〈e〉∂T

)V

= − 1

kBT 2

(∂ 〈e〉∂β

)V

Haciendo ahora la derivada de la expresión para 〈e〉, obtenemos

cV =1

kBT 2

[ε2 100e−10βε + e−βε

1 + e−βε + e−10βε+ ε2

(e−βε + 10e−10βε

)2

(1 + e−βε + e−10βε)2

]

de donde llegamos a

cV =ε2

kBT 2e−βε

1 + 100e−9βε + 81e−10βε

(1 + e−βε + e−10βε)2

A partir de esta expresión, es fácil ver que en el límite de altas temperaturas, cuando βε 1,tendremos que

cV ∝ T−2

mientras que en el límite de bajas temperatura, donde βε 1, encontramos

cV ∝ T−2e−βε

5

Problema 3. Calcule la densidad de estados D(ε) con energía entre ε y ε+dε, considerandopartículas de espín 0 y por tanto, degeneración g = 1. Considere los casos de un gas ideal yun gas ultra-relativista.

Para sistemas macroscópicos (L→∞), los valores consecutivos de los niveles de energíaestán lo suficientemente pegados como para poder considerar una «densidad» de estadosD(ε) en el espacio de las fases. Esta densidad de estados se define sabiendo que D(ε)dε noes más que el número de estados cuánticos de mi sistema (caracterizados por un conjunto denúmeros cuánticos que denotamos en general como k) con energía en el intervalo [ε, ε+ dε].Para realizar el contaje de microestados que nos permita obtener la densidad de estados,podemos usar la fórmula semiclásica de paso al continuo basada en la integral sobre elespacio de las fases (q,p) de mi partícula, apropiadamente adimensionado dividiendo porhd, siendo d la dimensión física de mi sistema. En el caso particular d = 3, tendremos porejemplo∑

k

f(|p|) −→L→∞

g

h3

ˆV

dr

ˆdpf(|p|) =

4πgV

h3

ˆ ∞0

dp p2f(p) =

ˆ ∞0

dpD(p)f(p)

donde g es la degeneración de los estados cuánticos (por ejemplo, g = 2s + 1 en el casode partículas con espín total s), y estamos suponiendo (como es el caso en este problema)que el integrando es cierta función arbitraria que dependerá exclusivamente del módulo delmomento, f(|p|). Comparando las últimas dos expresiones tenemos que

D(p) =4πgV

h3p2

D(p)dp es el número de estados cuánticos de mi partícula con módulo del momento en elintervalo [p, p + dp]. Si queremos conocer la densidad de estados en energía, D(ε), tan sólodebemos usar ahora la relación energía-momento ε(p) del sistema de interés, así como suinversa p(ε), para realizar un cambio de variable en la integral anterior. Así∑

k

f(|p|) −→L→∞

ˆ ∞0

dpD(p)f(p) =

ˆ ∞0

dεD[p(ε)]

ε′[p(ε)]f [p(ε)] ≡

ˆ ∞0

dεD(ε)f(ε)

donde hemos definido ε′(p) = dε(p)/dp. Por tanto deducimos la relación (para d = 3)

D(ε) =4πgV

h3

p(ε)2

ε′[p(ε)]

Particularizando esta expresión ya podemos resolver las dos preguntas de este problema.Una vez que tenemos la densidad de estados, ya sea en términos del momento, D(p),

o de la energía, D(ε), cualquier valor medio podrá calcularse integrando sobre momentos o

6

energías el observable de interés, pesándolo con la densidad correspondiente. Por ejemplo,para el número medio de partículas

〈N〉 =∑k

〈n(k)〉 =L→∞

ˆ ∞0

dpD(p)

eβ(ε(p)−µ) − θ=

ˆ ∞0

dεD(ε)

eβ(ε−µ) − θ

donde hemos usado que el número medio de ocupación de un estado con momento p o energíaε(p) viene dado por 〈n(p)〉 = 1/[eβ(ε(p)−µ) − θ], que no es más que la distribución de Bose-Einstein para θ = +1 (bosones) o la distribución de Fermi-Dirac para θ = −1 (fermiones).Para la energía media

〈E〉 =∑k

〈n(k)〉ε(k) =L→∞

ˆ ∞0

dpε(p)D(p)

eβ(ε(p)−µ) − θ=

ˆ ∞0

dεεD(ε)

eβ(ε−µ) − θ

Apartado 1. En este caso tenemos partículas no relativistas de un gas ideal, por lo que larelación energía-momento es del tipo ε(p) = p2/2m, con inversa p(ε) = +

√2mε y derivada

ε′(p) = p/m, o en términos de la energía ε′[p(ε)] = +√

2ε/m. Teniendo en cuenta que segúnel enunciado la degeneración es g = 1, tenemos por tanto que

D(ε) =4πgV

h3

p(ε)2

ε′[p(ε)]=

4πV

h3

2mε√2ε/m

=π25/2m3/2V

h3

√ε

Apartado 2. En este caso tenemos partículas ultra-relativistas, con una relación energía-momento del tipo ε(p) = pc, con inversa p(ε) = ε/c y derivada ε′(p) = c constante. Tenemospor tanto que (g = 1)

D(ε) =4πgV

h3

p(ε)2

ε′[p(ε)]=

4πV

h3

(ε/c)2

c=

4πV

h3c3ε2

7

Problema 4. Se considera un gas ideal relativista formado por bosones, con degeneracióng y una relación entre energía y momento del tipo ε = pc. Además, para este tipo de gas secumple que el potencial químico es cero, µ = 0. Se pide:

1. Demostrar que la densidad de estados D(ε) viene dada por

D(ε) =4πgV

h3c3ε2

2. Demostrar que para este tipo de gas se verifica 〈P 〉V = 〈E〉/3.3. Demostrar, sin necesidad de calcular explícitamente ninguna integral, que la energía

media es proporcional a T 4, y que la capacidad calorífica a volumen constante esproporcional a T 3.

Apartado 1. El gas ideal de bosones ultra-relativistas con potencial químico cero quepropone estudiar este problema es formalmente similar al gas de fotones que hemos estudiadoen el capítulo 8. Para obtener la densidad de estados, realizamos el conteo semi-clásico que yahemos hecho en otros casos. Si f(|p|) es una función arbitraria que depende exclusivamentedel módulo del momento de una partícula, tenemos en tres dimensiones que∑

k

f(|p|) −→L→∞

g

h3

ˆV

dr

ˆdpf(|p|) =

4πgV

h3

ˆ ∞0

dp p2f(p) =

ˆ ∞0

dpD(p)f(p)

de donde deducimos la función densidad de estados en términos del momento

D(p) =4πgV

h3p2

tal y como ya hicimos en el problema anterior. D(p)dp es el número de estados cuánticos demi partícula con módulo del momento en el intervalo [p, p+ dp]. Para escribir esta densidadde estados en términos de la energía, usamos la relación energía-momento en este caso,ε = pc, de donde trivialmente p = ε/c y dp = dε/c. Por tanto, usando que D(p)dp = D(ε)dε,obtenemos

D(ε) =4πgV

h3c3ε2

que es el mismo resultado que ya obtuvimos en el Apartado 2 del problema anterior.

Apartado 2. Calculemos en primer lugar el potencial macrocanónico J = kBT ln Ξ(T, V, µ).La función de partición macrocanónica para un gas ideal de bosones es

Ξ(T, V, µ) =∏k

[1

1− eβ(µ−ε(k))

]donde k es el conjunto de números cuánticos que definen el estado microscópico de la partículade interés (un bosón ultra-relativista en este caso), y ε(k) = cp(k) es la energía de la partícula

8

en ese estado. Tenemos por tanto que

ln Ξ(T, V, µ) = −∑k

ln(1− eβ(µ−ε(k)))L→∞≈µ=0−ˆ ∞

0

dεD(ε) ln(1− e−βε)

= − 4πgV

h3c3

ˆ ∞0

dε ε2 ln(1− e−βε) =

[u = ln(1− e−βε), dv = ε2dε

du = βeβε−1

, v = ε3

3

]

= − 4πgV

h3c3

:0(ε3

3ln(1− e−βε)

)∞0

− β

3

ˆ ∞0

dεε3

eβε − 1

=4πgV

h3c3

β

3

ˆ ∞0

dεε3

eβε − 1

donde en la segunda igualdad de la primera línea ya hemos realizado el límite al continuo yaplicado que, en este problema concreto, µ = 0, habiendo realizado también una integraciónpor partes en la segunda línea. Por tanto, tenemos para el potencial macrocanónico

J = 〈P 〉V = kBT ln Ξ(T, V, µ) =4πgV

3h3c3

ˆ ∞0

dεε3

eβε − 1

Por otro lado, podemos calcular la energía media de nuestro sistema a partir de la energíaε(k) de los diferentes niveles k y del número de ocupación medio 〈n(k)〉 de cada nivel, queviene dado por la distribución de Bose-Einstein en este caso, i.e.

〈E〉 =∑k

ε(k) 〈n(k)〉 =∑k

ε(k)

eβ(ε(k)−µ) − 1

L→∞≈µ=0

ˆ ∞0

dεD(ε)ε

eβε − 1=

4πgV

h3c3

ˆ ∞0

dεε3

eβε − 1

Comparando las expresiones para el potencial macrocanónico y la energía media deducimospor tanto que

〈P 〉V =1

3〈E〉

Apartado 3. Para estudiar el comportamiento de la energía media con la temperatura,partimos de la expresión integral del apartado anterior para la energía y hacemos el cambiode variable x = βε, obteniendo

〈E〉 =4πgV

h3c3

1

β4

ˆ ∞0

dxx3

ex − 1=

4πgV I

h3c3(kBT )4 ⇒ 〈E〉 ∝ T 4

tal y como queríamos demostrar. No obstante, como ya sabemos, la integral I puedecalcularse de manera sencilla en términos de la función zeta de Riemman ζ(s), siendo suvalor I = Γ(4)ζ(4) = π4

15. Una vez calculada la dependencia con la temperatura de la energía

media, es inmediato calcular que, para la capacidad calorífica,

CV =

(∂ 〈E〉∂T

)V

∝ T 3

9

Problema 5. Se considera un gas de fermiones ultra-relativista en un volumen V , de maneraque la energía esta relacionada con el momento por la ecuación ε = pc, donde c es la velocidadde la luz. Suponiendo que el gas está completamente degenerado, se pide:

1. Calcular la energía de Fermi εF del gas.2. Demostrar que la energía media total del gas es 〈E〉 = 3

4〈N〉εF

3. Demostrar que la presión del gas es proporcional a la potencia 43de la densidad de

partículas.4. Demostrar que, en el caso general en el que el gas no está completamente degenerado,

se verifica que 〈P 〉V = 〈E〉/3.

Apartado 1. En primer lugar debemos calcular la densidad de estados en función de laenergía. Al igual que en el problema anterior

D(p)dp =4πgV

h3p2dp ⇒

[p = ε/c

dp = dε/c

]⇒ D(ε)dε =

4πgV

h3c3ε2dε

Para obtener la energía de Fermi, escribimos primero el número medio de partículas en elsistema en términos del número medio de ocupación de los diferentes niveles,

〈N〉 =∑k

〈n(k)〉 ≈L→∞

ˆ ∞0

dεD (ε)n(ε)

donde n(ε) viene dado por la distribución de Fermi-Dirac

n(ε) =1

eβ(ε−µ) + 1

En el límite de bajas temperaturas T → 0, donde los fermiones se encuentran completamentedegenerados, sabemos que el número de ocupación medio de los niveles converge a una funciónpaso de Heaviside, n(ε) →

T→0Θ(εF − ε), con todos los niveles ocupados por un fermión hasta

un nivel umbral cuya energía se denomina energía de Fermi, εF . Esto es así porque, porun lado, a bajas temperaturas los fermiones buscan minimizar su energía cayendo al estadofundamental, pero por otro lado el principio de exclusión de Pauli prohibe que dos fermionesocupen el mismo estado, por lo que el estado de menor energía para un gas de fermionesdegenerad se corresponde con la imagen de llenado de niveles consecutivos que ya hemosestudiado. En este límite tenemos por tanto que

〈N〉 =

ˆ ∞0

dεD (ε) Θ(εF − ε) =

ˆ εF

0

dεD (ε) =4πgV

h3c3

ˆ εF

0

dε ε2 =4πgV

h3c3

ε3F

3

de donde, definiendo la densidad del gas de fermiones como ρ = 〈N〉/V , obtenemos la energíade Fermi

εF =

(3h3c3

4πg

)1/3

ρ1/3

10

Apartado 2. La energía media del gas de fermiones se puede escribir en el límitecompletamente degenerado (T → 0) como

〈E〉 =∑k

ε(k) 〈n(k)〉 =L→∞

ˆ ∞0

dεD(ε) ε n(ε) =

ˆ εF

0

dεεD (ε) =πgV

h3c3ε4F

En el apartado anterior hemos visto que 〈N〉 = 4πgVh3c3

ε3F3, por lo que

〈E〉 =3

4〈N〉εF

como queríamos demostrar.

Apartado 3. La presión del gas de fermiones la podemos obtener a partir del potencialmacrocanónico J = 〈P 〉V = kBT ln Ξ(T, V, µ). De manera similar a lo que hemos hecho enel apartado 2 del problema 4, y teniendo en cuenta que ahora tenemos fermiones en vez debosones, podemos escribir

ln Ξ(T, V, µ) =∑k

ln(1 + eβ(µ−ε(k))) =L→∞

ˆ ∞0

dεD(ε) ln(1 + e−β(ε−µ))

=4πgV

h3c3

ˆ ∞0

dε ε2 ln(1 + e−β(ε−µ)) =

[u = ln(1 + e−β(ε−µ)), dv = ε2dε

du = −βeβ(ε−µ)+1

, v = ε3

3

]

=4πgV

h3c3

:0(

ε3

3ln(1 + e−β(ε−µ))

)∞0

+β

3

ˆ ∞0

dεε3

eβ(ε−µ) + 1

=

4πgV

h3c3

β

3

ˆ ∞0

dεε3

eβ(ε−µ) + 1=

4πgV

h3c3

β

3

ˆ ∞0

dε ε3n(ε)

En el límite completamente degenerado tenemos que n(ε) = Θ(εF − ε) y por tanto

J = kBT ln Ξ(T, V, µ) =4πgV

3h3c3

ˆ εF

0

dε ε3 =πgV

3h3c3ε4F = 〈P 〉V

y por tanto〈P 〉 =

πg

3h3c3ε4F

En el Apartado 1 hemos visto que

εF =

(3h3c3

4πg

)1/3

ρ1/3

Sustituyendo en la expresión de la presión, obtenemos

〈P 〉 =πg

3h3c3

(3h3c3

4πg

)4/3

ρ4/3 =1

4

(3h3c3

4πg

)1/3

ρ4/3 ∝ ρ4/3

11

Otra forma de llegar al mismo resultado es usando argumentos termodinámicos. Enparticular, partiendo de la expresión de la presión a partir de la energía libre de Helmholtz(colectividad canónica),

P = −(∂A

∂V

)T,N

De termodinámica sabemos que A = U − TS, con U = 〈E〉 la energía interna del gas y S laentropía. En el límite T → 0 tenemos que A = 〈E〉, por lo que en ese límite

P = −(∂〈E〉∂V

)T,N

Teniendo en cuenta que 〈E〉 = 34〈N〉εF , y puesto que mantenemos 〈N〉 constante,

P = −(∂〈E〉∂V

)T,N

= −3

4〈N〉

(∂εF∂V

)T,N

Por último, sabemos del primer apartado que εF =(

3h3c3

4πg

)1/3

ρ1/3 = C〈N〉1/3V −1/3, con Cconstante, de donde (

∂εF∂V

)T,N

= −C3〈N〉1/3V −4/3

y por tanto

P =C

4〈N〉4/3V −4/3 =

1

4

(3h3c3

4πg

)1/3

ρ4/3 ∝ ρ4/3

Apartado 4. Para el caso general en el que T 6= 0, partimos de la expresión integral generalpara ln Ξ(T, V, µ) que hemos obtenido al principio del apartado anterior

ln Ξ(T, V, µ) =4πgV

h3c3

β

3

ˆ ∞0

dε ε3n(ε)

Puesto que J = kBT ln Ξ(T, V, µ) y D(ε) = 4πgVh3c3

ε2, tenemos que

J = 〈P 〉V =1

3

ˆ ∞0

dεD(ε) ε n(ε)

pero esa integral no es más que la energía media del gas de fermiones (ver Apartado 2),

〈E〉 =

ˆ ∞0

dεD(ε) ε n(ε)

de donde deducimos que

〈P 〉V =1

3〈E〉

12

Problema 6. Consideramos un gas bidimensional de electrones totalmente degenerado y deárea A. Se pide:

1. Determinar la densidad de estadosD(ε), i.e. el número de estados permitidos con energíaen el intervalo (ε, ε+ dε).

2. Calcular el número total de electrones en función de la energía de Fermi εF .3. Demostrar que el valor de la densidad de energía interna del gas de electrones paraT = 0 es igual a ρεF/2.

Apartado 1. En primer lugar, puesto que estamos tratando con electrones, que sonpartículas elementales con espín total 1/2, son fermiones y debemos considerar la estadísticade Fermi-Dirac para estudiar sus propiedades macroscópicas. Para calcular la densidad deestados del sistema, debemos tener en cuenta además que es un sistema bidimensional.Por tanto, si f(|p|) es una función arbitraria que depende exclusivamente del módulo delmomento de una partícula, en el límite al continuo para 2 dimensiones tenemos que∑

k

f(|p(k)|) −→L→∞

g

h2

ˆA

dr

ˆdpf(|p|) =

2πgA

h2

ˆ ∞0

dp pf(p) =

ˆ ∞0

dpD(p)f(p)

donde hemos utilizado coordenadas polares (en dos dimensiones) en la integral sobremomentos, dp = 2πpdp en dos dimensiones. De aquí deducimos por tanto la función densidadde estados en términos del momento

D(p) =2πgA

h2p

Usando ahora la relación energía-momento clásica ε = p2/2m, de donde vemos que p =√

2mε

y dp =√m/2ε dε, y teniendo en cuenta que D(p)dp = D(ε)dε, llegamos a

D(ε) =2πmgA

h2

que es simplemente una constante independiente de la energía ε.

Apartado 2. Para calcular el número medio de partículas en el sistema, partimos de laexpresión

〈N〉 =∑k

〈n(k)〉 ≈L→∞

ˆ ∞0

dεD (ε)n(ε)

donde n(ε) es la distribución de Fermi-Dirac, que en el límite completamente degeneradotoma la forma de una función paso, n(ε) →

T→0Θ(εF − ε). Por tanto

〈N〉 =

ˆ ∞0

dε n (ε)D (ε) =

ˆ εF

0

dεD (ε) =

ˆ εF

0

dε2πmgA

h2=

2πmgA

h2εF

Invirtiendo esta relación obtenemos εF = h2

2πmg〈N〉A

13

Apartado 3. Por último, para calcular la energía interna usamos su expresión integral y laspropiedades de la distribución de Fermi-Dirac en el límite completamente degenerado

〈E〉 =

ˆ ∞0

dεD(ε) ε n(ε) =

ˆ εF

0

dεD(ε)ε =2πmgA

h2

ε2F

2

Del apartado anterior, hemos visto que

εF =h2

2πmgρ

donde ρ = 〈N〉/A es la densidad de partículas en nuestro sistema bidimensional de áreaA. Por tanto, sustituyendo un εF de la expresión para 〈E〉 por su valor en términos de ladensidad, deducimos para la densidad de energía

〈e〉 =〈E〉A

=1

2ρεF

tal y como queríamos demostrar.

14

Problema 7. Un gas cuántico está constituido por fermiones de espín 32que no interactúan

entre sí. Suponiendo que la energía de cada fermión viene dada por ε = pn, con n > 0, y queel gas se encuentra completamente degenerado (T = 0), calcule:

1. La función densidad de estados D(ε).

2. El valor de la energía de Fermi en función de la densidad de partículas.

Apartado 1. En primer lugar debemos notar que, para que la relación energía-momentosea dimensionalmente correcta, hay que incluir una constante de proporcionalidad α con lasdimensiones correctas (que dependerá del valor del exponente n). Por tanto escribimos larelación energía-momento en este problema como ε = α|p|n. Puesto que el enunciado no dicenada, suponemos también que tenemos un sistema tridimensional. Teniendo en cuenta que,puesto que tenemos fermiones con espín 3/2, la degeneración será g = 2s+ 1 = 4, podemosescribir la densidad de estados en términos del momento como

D(p) =16πV

h3p2

Puesto que ε = α|p|n, tenemos que p = (ε/α)1/n y dp = 1nα−1/nε(1−n)/ndε, de donde usando

que D(p)dp = D(ε)dε obtenemos que

D(ε) =16πV

h3(ε/α)2/n 1

nα−1/nε(1−n)/n =

16πV

nh3α3/nε(3−n)/n

Apartado 2. Para calcular la energía de Fermi, partimos de la expresión integral para elnúmero medio de partículas y usamos que en el límite completamente degenerado el númerode ocupación medio de un nivel con energía ε es simplemente n(ε) →

T→0Θ(εF − ε), de donde

obtenemos

〈N〉 =

ˆ ∞0

dε n(ε)D(ε) =

ˆ εF

0

dεD(ε) =

ˆ εF

0

dε16πV

nh3α3/nε(3−n)/n =

16πV

nh3

ε3/nF

3/n=

16πV

3h3ε

3/nF

Por tando, si definimos la densidad de partículas en el sistema como ρ = 〈N〉/V , tenemosque

εF =

(3h3

16π

)n/3ρn/3

15

Problema 8. Los fotones constituyen un caso particular de gas ideal cuántico, pues nointeractúan entre sí. Además, puede considerarse sin perder generalidad que un gas de fotonesaislado y en equilibrio tiene potencial químico µ = 0 y consecuentemente fugacidad λ = 1.Considerando que los fotones son bosones con espín s = 1 y energía ε = pc = hν, se pide:

1. Demostrar que la ecuación de estado del gas de fotones en el límite al continuo vienedada por

PV =4

3

V

cσT 4.

donde σ =2π5k4B15c2h3

es la constante de Stefan-Boltzmann.

2. A partir de la energía interna, obtenter la ecuación de Stefan-Boltzmann para laradiación R emitida por la cavidad, R = σT 4. Para ello, tenga en cuenta que, en general,R = 1

4ρE〈v〉, donde ρE es la energía por unidad de volumen y 〈v〉 la velocidad media de

las partículas del gas.

3. Calcular la densidad espectral de fotones ρν(T ), i.e. el número medio medio de fotonespor unidad de volumen con frecuencia comprendida entre (ν, ν + dν). A partir de ellacalcule la densidad espectral de energía uν(T ), y deduzca la ley de Rayleigh-Jeans y la leydel desplazamiento de Wien, correspondientes a los límites de bajas y altas frecuenciasde uν(T ), respectivamente.

(La solución de este problema se corresponde con la sección 8.3 de teoría, "Gas de fotonesy termodinámica de la radiación del cuerpo negro", perteneciente al tema 8, "Sistemasbosónicos degenerados")

16

Problema 9. Considere un gas de N bosones sin interacción y espín 0 en un contenedorde dimensión d arbitraria e (hiper-)volumen total V . La relación de dispersión del gas debosones (i.e. la relación entre la energía y el momento de un bosón) es ε(p) = α|p|s, dondela constante α y el exponente s son ambos positivos. Se pide:

1. Encontrar expresiones para el número medio de partículas por unidad de volumen enel estado fundamental y el número medio total de partículas en estados excitados, enfunción de la temperatura T y la fugacidad λ = eβµ del gas.

2. Encontrar las condiciones que han de cumplir el exponente s y la dimensión d paraque el sistema muestre condensación de Bose-Einstein. Calcular la temperatura críticacuando esto suceda.

3. Encontrar la ecuación de estado del gas bosónico.4. Encontrar la población relativa del estado fundamental N0/N en función de la

temperatura del sistema, suponiendo que la densidad n = N/V está fija.

Apartado 1. En primer lugar, debemos obtener la densidad de estados del gas de bosonesd-dimensional al que hace referencia el problema. Si definimos f(|p|) como una funciónarbitraria que depende exclusivamente del módulo del momento de una partícula, en ellímite al continuo para d dimensiones tenemos que∑

k

f(|p(k)|) −→L→∞

g

hd

ˆV

dr

ˆdpf(|p|) =

νdgV

hd

ˆ ∞0

dp pd−1f(p) =

ˆ ∞0

dpD(p)f(p)

donde V es el (hiper)volumen del contenedor del gas de bosones, νd = 2πd/2/Γ(d/2) esla (hiper)superficie de una (hiper)esfera de dimensión d y radio unidad, y hemos utilizadocoordenadas hiperesféricas (en d dimensiones) en la integral sobre momentos, integrandotodas las variables angulares, dp = νdp

d−1dp. De esta manera, νdpd−1 es la (hiper)superficiede una (hiper)esfera de dimensión d y radio p (como ejemplo aclaratorio, en tres dimensionesνdp

d−1 = 4πp2). De aquí, y usando que la degeneración es g = 1 puesto que tenemos partículasde espín 0, deducimos por tanto la función densidad de estados en términos del momento

D(p) =νdV

hdpd−1

Usando ahora la relación energía-momento ε = αps, vemos que p = (ε/α)1/s y dp =1sα−1/sε(1−s)/sdε, de donde usando que D(p)dp = D(ε)dε obtenemos que

D(ε) =νdV

hd

( εα

)(d−1)/s 1

sα−1/sε(1−s)/s =

νdV

shdαd/sεd/s−1

Una vez que hemos deducido la densidad de estados, ya podemos escribir los diferentespromedios en el límite al continuo a partir del número medio de ocupación de los diferentesniveles, que vendrá dado por la distribución de Bose-Einstein en este caso,

〈n(k)〉 =1

eβ(ε(k)−µ) − 1=

1

λ−1eβε(k) − 1

17

donde hemos introducido la fugacidad λ = eβµ del gas de bosones. Por ejemplo, el númeromedio de partículas en el sistema se escribirá como

〈N〉 =∑k

〈n(k)〉 =∑k

1

λ−1eβε(k) − 1

???≈

L→∞

ˆ ∞0

dεD (ε)1

λ−1eβε − 1

Sin embargo, ya sabemos que el límite al continuo realizado en el último paso de la ecuaciónanterior debemos tener especial cuidado con el estado fundamental ε = 0 de los bosones,cuya contribución singular a la suma del primer término de la igualdad anterior hay queparticularizar antes de hacer el límite termodinámico L → ∞ y el paso al continuo queéste implica. Este comportamiento singular del estado fundamental tiene que ver con laposibilidad de una acumulación macroscópica de bosones en el estado fundamental, unfenómeno que conocemos con el nombre de condensación de Bose-Einstein. Sacando eltérmino asociado al estado fundamental 〈n(k = 0)〉 = 1/(λ−1 − 1) = λ/(1 − λ) de lasumatoria antes de hacer el límite al continuo y dividiendo por el volumen, tenemos que

〈N〉V

=1

V

λ

1− λ+

νdshdαd/s

ˆ ∞0

dεεd/s−1

λ−1eβε − 1

donde ya hemos usado la expresión de la densidad de estados antes calculada. Haciendo elcambio de variable x = βε, llegamos a

〈N〉V

=1

V

λ

1− λ+

νdshdαd/s

(kBT )d/sˆ ∞

0

dxxd/s−1

λ−1ex − 1=〈N0〉V

+〈Nex〉V

donde la densidad de partículas en el estado fundamental viene dada por

〈N0〉V

=1

V

λ

1− λ

mientras que la densidad de bosones en estados excitados es

〈Nex〉V

=νd

shdαd/s(kBT )d/s

ˆ ∞0

dxxd/s−1

λ−1ex − 1

Para simplificar la notación, definimos ahora dos funciones

fd,s(T ) =νd

shdαd/sΓ(d/s)(kBT )d/s ; Id/s(λ) =

1

Γ(d/s)

ˆ ∞0

dxxd/s−1

λ−1ex − 1

con Γ(z) la función gamma de Euler, de tal manera que

〈Nex〉V

= fd,s(T ) Id/s(λ)

Apartado 2. Como hemos dicho anteriormente, la condensación de Bose-Einstein secorresponde con una acumulación macroscópica de partículas en el estado fundamental

18

del hamiltoniano de los bosones. Dicha acumulación macroscópica implica que, en caso deproducirse, la densidad de partículas 〈N0〉

Ven el estado fundamental será un número finito no

nulo. Puesto que la fugacidad para bosones está restringida a tomar valores en el intervalo0 ≤ λ ≤ 1 (ver teoría, capítulo 8), para cualquier valor de λ < 1 tendremos en el límitetermodinámico que

〈N0〉V

=1

V

λ

1− λλ<1−→V→∞

0

Por tanto, sólo puede haber una densidad finita de partícula en el estado fundamental en ellímite termodinámico (y por tanto condensación de Bose-Einstein) para λ ≈ 1. En particular,si tomamos λ = 1− 1/(n0V ) ≈

V→∞1, con n0 un número finito, tenemos que

λ = 1− 1

n0V⇒ λ

1− λ= n0V ⇒ 〈N0〉

V= n0

En este caso podemos escribir por tanto

〈N〉V

= n0 + fd,s(T ) Id/s(λ ≈ 1)

La integral Id/s(λ) se puede solucionar en serie de potencias (ver teoría, capítulo 8) como

Id/s(λ) =∞∑m=1

λmm−d/s

Vemos por tanto que Id/s(λ ≈ 1) se puede escribir en términos de la función zeta de Riemann

Id/s(λ = 1) =∞∑m=1

m−d/s = ζ(d/s)

que diverge para cualquier d/s < 1. Tenemos por tanto que, en caso de condensación deBose-Einstein,

〈N〉V

= n0 + fd,s(T ) ζ(d/s)

Sabemos que, si hay condensación de Bose-Einstein, la densidad de partículas en el estadofundamental, n0, será cero para temperaturas por encima de cierta temperatura crítica Tc(trabajando a densidad constante), y empezará a crecer de manera continua desde 0 a T = Tchasta llegar a 1 a temperatura 0, lo que significa que a esa temperatura todos los bosonesestarán en el estado fundamental. Para obtener el valor de la temperatura crítica Tc, vamosa hacer n0 → 0 en la ecuación anterior, i.e. vamos a mandar la densidad de partículas en elestado fundamental a cero desde la fase condensada. En este caso

〈N〉V

= fd,s(Tc) ζ(d/s)

y esta ecuación define el valor de Tc, que dependerá de la densidad n = 〈N〉/V de partículasen el sistema. Invirtiendo la función fd,s(Tc), obtenemos por tanto que

kBTc(n) = α

[shd

νdΓ(d/s)ζ(d/s)

]s/dns/d

19

Esta temperatura crítica será distinta de cero siempre y cuando ζ(d/s) sea finita. Puesto quela función zeta de Riemann diverge cuando su argumento es menor que la unidad, deducimospor tanto que

d

s> 1

es la condición necesaria y suficiente para observar condensación de Bose-Einstein (por debajode cierta temperatura crítica no nula dada por la ecuación anterior) en un gas ideal de bosonesen d dimensiones con relación de dispersión ε = α|p|s.

La divergencia de la función ζ(d/s) o equivalentemente de la integral

Γ(d/s)Id/s(1) =

ˆ ∞0

dxxd/s−1

ex − 1

se puede entender analizando el comportamiento asintótico del integrando en ambos límitesde integración. En particular, cuando x→∞ el integrando va como xd/s−1e−x, una funciónsuave y convergente en todos los casos. La única posible divergencia en la integral puede venirde la región x → 0, donde 1/(ex − 1) → +∞. En el límite x → 0 tenemos que ex − 1 ≈ x,por lo que el integrando se comporta como

xd/s−1

ex − 1≈x→0

xd/s−2

Integrando esto obtenemos que

ˆxd/s−2dx ∼ xd/s−1 −→

x→0

0 si d/s > 1

∞ si d/s < 1

lo que nos permite deducir la divergencia de la función zeta de Riemann ζ(d/s) para d/s < 1

sin necesidad de conocer explícitamente sus propiedades.

Apartado 3. Nuestro siguiente objetivo consiste en obtener la ecuación de estado del gasde bosones. Para ello, recordamos que el potencial macrocanónico se escribe como

J = 〈P 〉V = kBT ln Ξ(T, V, λ) = −kBT∑k

ln[1− λe−βε(k)

]Particularizando la contribución del estado fundamental antes de hacer el límitetermodinámico y el paso al continuo que este implica, obtenemos para la presión

〈P 〉 = − kBT

Vln(1− λ)− kBT

V

∑k 6=0

ln[1− λe−βε(k)

]= − kBT

Vln(1− λ)− kBT

V

ˆ ∞0

dεD(ε) ln(1− λe−βε

)En el límite termodinámico V →∞ tendremos que

kBT

Vln(1− λ) −→

V→∞0

20

para todo valor de la fugacidad 0 ≤ λ ≤ 1. Esto será así incluso en el caso límiteλ = 1 − (n0V )−1 en el que surge la condensación de Bose-Einstein para d/s > 1, ya queen este caso 1

Vln(1 − λ) ∼ O( lnV

V) −→V→∞

0. Vemos por tanto que la contribución del estadofundamental bosónico a la presión es nula en este límite incluso cuando haya condensaciónde Bose-Einstein. Usando la densidad de estados calculada en el Apartado 1, tenemos portanto que

〈P 〉 = − kBTνd

shdαd/s

ˆ ∞0

dε εd/s−1 ln(1− λe−βε

)=

[u = ln(1− λe−βε), dv = εd/s−1dε

du = βλ−1eβε−1

dε, v = εd/s

d/s

]

=s

d

νdshdαd/s

ˆ ∞0

dεεd/s

λ−1eβε − 1=

[x = βε

dx = βdε

]

= kBT( νdshdαd/s

Γ(d/s)(kBT )d/s)

︸ ︷︷ ︸fd,s(T )

1/Γ(d/s+1)︷ ︸︸ ︷

1

(d/s)Γ(d/s)

ˆ ∞0

dxxd/s

λ−1ex − 1

︸ ︷︷ ︸

Id/s+1(λ)

donde hemos identificado en el último paso la función fd,s(T ) y la integral Id/s+1(λ) quehemos introducido antes. Por tanto, tenemos finalmente para la presión

〈P 〉 = kBTfd,s(T )Id/s+1(λ)

Esta ecuación para la presión, junto con la ecuación para la densidad n = 〈N〉/V derivadaen la sección anterior

n =1

V

λ

1− λ+ fd,s(T )Id/s(λ)

constituyen la ecuación de estado paramétrica del gas de bosones. Para T > Tc(n) tenemosque λ < 1 por lo que en el límite termodinámico la ecuación de estado paramétrica será

〈P 〉 = kBTfd,s(T )Id/s+1(λ)

n = fd,s(T )Id/s(λ)

En cambio, por debajo de la temperatura crítica, T < Tc(n), tendremos que λ = 1 −(n0V )−1 ≈ 1 por lo que

〈P 〉 = kBTfd,s(T )Id/s+1(1)

n = n0 + fd,s(T )Id/s(1)

21

Apartado 4. El objetivo de este apartado es obtener la fracción de partículas del sistemaque está en el estado fundamental en función de la temperatura. Para ello, partimos de laecuación para la densidad

n =1

V

λ

1− λ+ fd,s(T )Id/s(λ) = n0 + fd,s(T )Id/s(λ)

donde n0 = 1V

λ1−λ es la densidad de partículas en el estado fundamental, tal y como predice

la distribución de Bose-Einstein. Ya hemos visto que para T > Tc(n) tenemos que λ < 1,por lo que en el límite termodinámico n0 = 1

Vλ

1−λ −→V→∞ 0. Por otro lado, para T < Tc(n)

tendremos que λ = 1 − (n0V )−1 ≈ 1, lo que implica un valor de n0 no nulo en el límitetermodinámico y una densidad

n = n0 + fd,s(T )Id/s(1)

Conforme nos acercamos a Tc(n) por la izquierda (desde la fase condensada), sabemos quen0 → 0, de tal manera que para T = Tc

n = fd,s(Tc)Id/s(1)

A partir de la primera de las dos últimas ecuaciones, tenemos que

n0 = n− fd,s(T )Id/s(1) ⇒ n0

n= 1−

fd,s(T )Id/s(1)

n

y usando que n = fd,s(Tc)Id/s(1) llegamos finalmente a que, para T < Tc,

n0

n= 1− fd,s(T )

fd,s(Tc)

Teniendo en cuenta que fd,s(T ) ∝ T d/s, y que como hemos visto antes n0 = 0 para T > Tc,llegamos finalmente

〈N0〉〈N〉

=

1−

(TTc

)d/spara T < Tc

0 para T > Tc

donde 〈N0〉 = n0V es el número medio de bosones en el estado fundamental y 〈N〉 = nV esel número medio de partículas en el sistema.