razonestrigonometras y angulos notables

7/22/2019 Razonestrigonometras y Angulos Notables

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RAZONES TRIGONOMTRICAS YANGULOS NOTABLES

SEMESTRE: UNO

FECHA: Marzo 5 de 2012

INSTITUCION EDUCATIVA COMFAMILIAR

GRADO 10

LOGROS:

Construir y definir las funciones trigonomtricas en circunferencias de radio distinto de uno ye n el tringulo rectngulo.

Determina el signo de las funciones trigonomtricas de un ngulo dado en posicin normal. Hallar las

funciones trigonomtricas de un ngulo dado en posicin normal.

Determinar geomtricamente las funciones trigonomtricas de los ngulos notables y aplicarlos en laSolucin de ejercicios de valor numrico.

Aplicar las funciones trigonomtricas en la solucin de problemas que originantringulos rectngulos.

Enunciar y demostrar la Ley de los Senos, Ley de los Cosenos y Tangentes y aplicarlas en lasolucin de problemas que originan tringulos no rectngulos.

ESTNDARES:

Hallar los signos de las funciones trigonomtricas y aplicarlos en la solucin de ejercicios.

Hallar las funciones trigonomtricas de ngulos notables y el valor numrico de unaexpresin trigonomtrica.

Reconocer los conceptos bsicos de tringulos rectngulos y las funciones trigonomtricasaplicadas a estos.

Aplicar las funciones trigonomtricas en tringulos rectngulos y oblicungulos.

Graficar las funciones trigonomtricas y hallar su dominio, imagen, amplitud, perodoy desfasamiento, segn el caso.


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CONCEPTOS BSICOS

RAZONES TRIGOMOMTRICAS:

HIPOTENUSA: es la recta que une el punto trigonomtrico y el origen de las coordenadas. Es el ladoque se opone al ngulo recto en un tringulo rectngulo.

CATETO OPUESTO: segmento de recta perpendicular que une el punto trigonomtrico y el eje de lasx.

CATETO ADYACENTE: segmento de recta perpendicular que une el cateto opuesto y el origen decoordenadas.

Dada una circunferencia de radio r = 1 (circunferencia unitaria), si tomamos un arco AP, donde A esun punto del semieje positivo de las x y P(x, y), el punto del extremo, se definen las razones

trigonomtricas del ngulo en la forma:


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NOTA: Como en el crculo unitario a cada ngulo le corresponde uno y solo un punto trigonomtrico,se dice tambin que estas razones son funciones trigonomtricas.

De igual forma, si calculamos las razones trigonomtricas entre los lados de un tringulo rectngulo,

pero exterior a la circunferencia, concluimos que:

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE 30, 45 Y 60

Propiedades Geomtricas:

1. En todo tringulo rectngulo issceles, la longitud de la hipotenusa escualquiera de los catetos.

2 veces la longitud de

2. En cualquier tringulo rectngulo cuyos ngulos agudos miden 30 y 60, se cumple que el catetoopuesto al ngulo de 30 mide la mitad de la hipotenusa.

3. En cualquier tringulo rectngulo cuyos ngulos miden 30 y 60, se cumple que el cateto opuestoal ngulo de 60 mide


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3veces la longitud de la hipotenusa.

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F.T. DE 30 F.T. DE 45 F.T. DE 60


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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NEGATIVOS:

1. El Seno de un ngulo negativo y el Seno de un ngulo positivo tienen igual valor numrico

pero distinto signo; es decir: Sen (-)= - Sen ()

2. El coseno de un ngulo negativo y el coseno del mismo ngulo positivo tienen igual valornumrico e igual signo; es decir: Cos (-) = Cos ()

3. La tangente de un ngulo negativo y la tangente del mismo ngulo positivo tienen igual valornumrico pero distinto signo; es decir: Tan (-)= - Tan ()

RESOLVER UN TRINGULO

Resolver un tringulo cualquiera consiste en calcular todos sus elementos:sus tres lados y sus tres ngulos.

Para resolver un tringulo debemos conocer, al menos, tres de sus elementos,uno de los cuales necesariamente debe ser un lado.

En todo tringulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayorque su diferencia.

NGULOS DE ELEVACIN Y DE DEPRESIN

Se llama lnea de visin a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado.

Llamamos ngulo de elevacin al que forman la horizontal del observador y el lugar observadocuando ste est situado arriba del observador. Cuando el observador est ms alto lo llamaremosngulo de depresin.

Tomado de: http://www.comesed.com/Sb/Imagessb/sbt147/fig27.jpg
http://www.comesed.com/Sb/Imagessb/sbt147/fig27.jpghttp://www.comesed.com/Sb/Imagessb/sbt147/fig27.jpghttp://www.comesed.com/Sb/Imagessb/sbt147/fig27.jpg


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TALLER No. 1:

1. En los siguientes ejercicios, es la medida de un ngulo en posicin normal, cuyo lado final se

encuentra en el cuadrante indicado para cada caso. En cada ejercicio se da el valor de unafuncin; encontrar los valores de las funciones restantes y simplificar la respuesta, si esposible:

a) Sen = 4

, en el III cuadrante5

b) Cos =3

, en el IV cuadrante2


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c) Cos =12

, en el I cuadrante13

2. Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas de un ngulo en posicin normal, siel punto dado P (x, y) est sobre el lado terminal del mismo.

3. Hallar el valor de sen , si est en posicin normal y tiene como lado en el cuadrante II la

lnea y= -3x (tome un punto que est en el cuadrante II y sobre la lnea).

4. Encontrar los valores de las funciones trigonomtricas del ngulo, en posicin normal, sipara cada punto P sobre su lado terminal se cumple la condicin dada:

a)r =8, y =-2b)X =6, r =3yc)y =2, r =3xd)y =-x, r=1 e)y =-2x, r=1

5. Completar el siguiente cuadro:

VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS PARA NGULOS NOTABLES


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6. Encuentre los valores de las restantes funciones trigonomtricas:

a) Sen =

b) Tan =

4y Cos as positivo

53

y Cos as positivo2

c) Sec =2 y Sen as positivo

d) Cot = 4

3Y Sec es negative

e) Cos =

f) Sen =

7Y Sen as negative

251

(Existen 2 soluciones)2


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1

g) Tan =

h)Cos = 5

3

3 en II cuadrante

en III cuadrante

7. Sin usar calculadora, hallar el resultado de las siguientes expresiones:

a)Sen30Cos30 b)Sen45 tan 60

c)Tan 60 Cos30

Tan30 Sen30

d) Tan45 (Sen60) .(Cos 60)

Tan45 Cos 60 Tan 30

8. Comprobar si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas, reemplazando por 30. No

use calculadora.

a)1

Sen

Cos

Sen

Sen

1 Cosb)Tan .Sen

1

CosCos

c)4 Sen 2 d)1 Tan 1 Tan

Cos SenCos Sen

e) Sen2 Cos

2 1 f)1 Tan

2 Sec

2

9. Reducir el valor del ngulo a grados y determinar el valor de la funcin:

a)Sen 5 4

b)Cos 13 3

c)Tan 23 6

d)Sen43

6e)Cos 57

4f) Tan

35

3


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10.Hallar el ngulo de referencia 0< < 90 y calcular su valor:

a) Sen 120=

b) Cos 210=c) Tan 300=

d) Sen (-5

) =4

11.Hallar el valor numrico de las siguientes expresiones trigonomtricas:

12.Comprueba que:

a) 2 Sen 30 . Cos 30 . Tan 60 + Sen 45=3 2

2

b)sen 30

cos 60 . tan 30 3 2 3

cos 45 6


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1

cos2 0 3 tan 30.sen90c) 1

1 3 tan 30

13.Una fuerza de 50 N forma un ngulo de 60 con la horizontal. Calcula sus componenteshorizontal y vertical.

14.Una fuerza forma un ngulo de 30 con la horizontal y su proyeccin vertical es 15,3 N.Determina la fuerza y su proyeccin horizontal.

RESOLVER UN TRINGULO RECTNGULO

Resolver un tringulo es conocer el valor de sus tres lados y sus tres ngulos.

El uso de las razones trigonomtricas junto con el teorema de Pitgoras, nos permiten resolvercualquier tringulo rectngulo conociendo dos datos, uno de ellos ha de ser un lado.

1. CONOCIDOS DOS LADOS

El tercer lado se calcula aplicando el teorema de Pitgoras.Uno de los ngulos agudos aplicando la razn trigonomtrica que relacione los dos ladosconocidos.Para calcular el otro ngulo agudo basta considerar que la suma de los ngulos agudos es 90.

2. CONOCIDOS UN LADO Y UN NGULO

El proceso es similar al caso anterior.Se calcula otro lado mediante la razn trigonomtrica adecuada del ngulo conocido.El tercer lado mediante el teorema de Pitgoras; o bien, mediante otra razn trigonomtrica.El otro ngulo as 90, ngulo conocido.

TALLER No. 2

1. En los tringulos rectngulos de las siguientes figuras, halla la longitud del lado designado porx, el permetro, el rea y nombra los vrtices con letras maysculas:

16 cm

x

30

50 m

30

x

60


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1

12 m50 u

45 60 3040

xx

2. Halla la medida, en grados, del ngulo designado por la letra :


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TALLER No. 3

PROBLEMAS DE APLICACIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

1. Desde un avin situado a 300 metros sobre el nivel del suelo se hacen observaciones de unlago obteniendo los resultados que se muestran en la figura. Calcule la longitud del lago.

2. Calcule la altura de un tringulo issceles, si los lados iguales miden 18 m, y los ngulos de labase 64. Respuesta: 16,18 m

3. El ngulo de elevacin a la azotea de un edificio, medido desde un punto situado a 100 m dela base, es de 60. Halle la altura del edificio. Respuesta: 173, 20 m

4. Demuestre que el rea de un tringulo rectngulo de hipotenusa a y catetos b y c est dadapor cualquiera de las siguientes expresiones:

A 1

a.b.SenC,2

A 1

a.c.CosC,2

A 1

a2.SenC.CosC

2

5. Desde la ventana de un edificio, a 46 m de altura, se observa un automvil con un ngulo de55. Calcula la distancia que hay desde el automvil hasta la base del edificio.


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6. La pita de una cometa se encuentra tensa y forma un ngulo de 54.33 con la horizontal.Hallar la altura aproximada de la cometa respecto al suelo, si la pita mide 85 m y su extremo

se sostiene a 1.5 m del suelo.

7. Las puntas de los brazos de un comps estn separadas 7 cm y cada brazo mide 12 cm. Hallarel ngulo que forman los brazos del comps.

8. Calcular el lado del pentgono regular inscrito en una circunferencia de radio 10 m.

9. En una circunferencia de 100 m de radio se unen dos puntos con una cuerda de 50 m.Cunto vale el ngulo central correspondiente?

10.Una barca puede navegar en agua tranquila a 8 km/h. Si la corriente del ro lleva unavelocidad de 6 km/h. bajo qu ngulo cortar la barca a la corriente para que la direccin desu movimiento sea perpendicular a la corriente? Cul as la velocidad real de la barca?

11.Hallar el rea del trapecio issceles de la siguiente figura:

60

40

75

12.Demostrar que el rea de un tringulo equiltero de lado L y un ngulo esl 2sen

A 2

13.Demostrar que el rea de un tringulo Issceles, cuyos lados iguales miden L y ngulos iguales

, es A l 2sen cos

14.Dos personas de 1.8 m de estatura estn situadas en el mismo plano horizontal de un edificiode 60 m de altura. Los ngulos de elevacin de las personas a la parte ms alta del edificio sonde 30 y 45. Determinar la distancia entre las dos personas.

15.Una escalera de 10 m de longitud se apoya contra una pared vertical y forma un ngulo de 45con el piso. El extremo que est sobre la pared se desliza verticalmente hacia abajo formandoun ngulo de 30 sobre el piso. Hallar el desplazamiento horizontal y vertical de la escalera.

16.Una persona de 1.8m de altura se para en la orilla de un ro y su sombra alcanza justamente laotra orilla. Cul es la anchura del ro si el ngulo de depresin es de 45?


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17.El ngulo de elevacin de un hombrecito a la coronilla de un gigante es de 40. Si elhombrecito que tiene 1m de altura est situado a 8m del gigante, cul es la altura delgigante?

18.Un trabajador de las empresas publicas recuesta su escalera de 4m de longitud contra unposte de energa. Si el pie de la escalera est 1.20m del pie del poste, cul es el ngulo deelevacin de la escalera?

19.Un cable que sostiene un poste de energa tiene un ngulo de elevacin de 75 y est fijo enla tierra a 4m del pie del poste. El punto de apoyo en el poste est a de altura de ste apartir de la base. Cunto mide el poste?

20.Desde un punto el ngulo de elevacin a la cima de una montaa es de 30 y el ngulo deelevacin al extremo superior de una antena de altura 15m. situada sobre la cima de la

montaa de 45. Cul as la altura de la montaa?

21.Juan y Luis parten simultneamente de un punto A. Juan camina hacia el norte con unavelocidad de 4km/h y Luis lo hace hacia el oeste con una velocidad de 5km/h. Al cabo de doshoras qu distancia los separa y cul es el rumbo de Juan con respecto a Luis? R/ 12.81 km.;N512025E.

22.Una torre de 135 pie de altura se localiza en la orilla de un lago. Desde la punta de la torre, elngulo de depresin de un objeto en la orilla del lago opuesto del lago es 36.3. Cul as ladistancia a travs del lago?

23.El edificio del Empire State tiene 1250 pie de altura. Cul es el ngulo de elevacin de laparte superior desde un punto en el suelo a una milla (5280 pie) de distancia de la base deledificio?

24.Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto msalto de la torre bajo un ngulo de 60. Nos acercamos 5 metros a la torre en lnea recta y elngulo es de 80. Halla la altura de la torre.


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25.Pablo y Luis estn situados cada uno a un lado de un rbol, como indica la figura:

a) Calcula la altura del rbol.b) A qu distancia est Pablo del rbol?

26.Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ngulo de60. Cunto mide la altura del paralelogramo? Y su rea?

27.Para determinar la altura de una torre de transmisin de televisin, un agrimensor caminaalejndose 300 metros de la base de la torre. Luego mide el ngulo de elevacin y encuentraque es de 40. Si el teodolito est a 2 metros del piso cuando la observacin se realiza, cules la altura de la torre?

28.Para medir la altura de una montaa, un topgrafo toma dos observaciones de la cima desdedos puntos separados una distancia de 1000 metros en lnea recta hacia la montaa. Laprimera observacin tiene como resultado un ngulo de elevacin de 47, la segunda tiene unngulo de elevacin de 35. Si el teodolito est dos metros del piso, cul es la altura de lamontaa?


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29.Un observador se desplaza en un automvil hacia el pie de un montaa con un velocidad de60 Km/h. En un momento dado su ngulo de elevacin a la cspide de la montaa es de 15.Media hora ms tarde la distancia del observador al pie de la montaa es de 5 Km. Si el

ngulo de elevacin del pie de la montaa a su cspide es de 50, hallar:

a)La altura de la montaab)El ngulo de depresin para las dos posiciones del observador

BIBLIOGRAFA:

URIBE CALAD, Julio Alberto. Matemtica Experimental 10. Uros Editores. Medelln, 2007.

ROMERO NIVIA, Luisa Fernanda. Inteligencia lgico matemtica 10. Editorial Voluntad, Bogot, 2003.

MUOZ BAOS, Flix y otros. Matemtica Noveno Grado. Editorial Pueblo y Educacin. Ciudad de laHabana, 1996.

STEWART, JAMES y otros. Preclculo. Thomson. Mxico. 2006.

DIRECCIONES ELECTRNICAS

http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo2.htmMarzo 5 de 2012

http://webfmn.unsl.edu.ar/ingresantes/cuadernillo/cap5+prac.pdfMarzo 4 de 2012
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo2.htmhttp://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo2.htmhttp://webfmn.unsl.edu.ar/ingresantes/cuadernillo/cap5%2Bprac.pdfhttp://webfmn.unsl.edu.ar/ingresantes/cuadernillo/cap5%2Bprac.pdfhttp://webfmn.unsl.edu.ar/ingresantes/cuadernillo/cap5%2Bprac.pdfhttp://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/trigo2.htm

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