Escuela Normal Superior del Sur de Tamaulipas

Profra. Evelin Lizeth Cruz Alejandre

Tercer Semestre - Matemáticas

Materia: Los nùmeros y sus relaciones

Tutor: Ing. José Alejandro Salinas

Razones

Razón o relación de 2

cantidades

Es el resultado de comparar 2 cantidades

Hallando en cuánto excede una a la otra

(restándolas)

RAZÓN ARITMÉTICA O

POR DIFERENCIA

Hallando cuántas veces contiene una a la otra

(dividiéndolas)

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE

Pueden compararse de

2 maneras:

De aquí que hay 2

clases de razones:

Razón aritmética o

por diferencia

Es la diferencia entre 2

cantidades

Separando las 2 cantidades con

el signo –

Ejemplo: 6-4

Separando las 2 cantidades con un punto ( . )

Ejemplo: 6.4

Antecedente el primero y

Consecuente el segundo

Se pueden escribir de 2

modos

Se lee 6 es

a 4

Los términos

de la razón

se llaman:

Razón geométrica o por cociente

Es el cociente indicado de 2

cantidades

En forma de quebrados, separados

numerador y denominador por

una raya horizontal

Ejemplo: La razón

geométrica de 8 a 4 se

escribe: 8/4

Se lee 8 es a 4

separadas las cantidades por

el signo de división ( ).

Ejemplo: 8 4

Se pueden escribir

de 2 modos

PROPIEDADES DE LAS RAZONES

ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

Propiedades de toda resta odiferencia:

Si al antecedente de una razónaritmética se suma o resta unnúmero, la razón quedaaumentada o disminuida en esenúmero.

Si al consecuente de una razónaritmética se suma o resta unnúmero, la razón quedadisminuida en el primer caso yaumentada en el segundo en elmismo número.

Si al antecedente y consecuentede una razón aritmética sesuma o resta un mismo número,la razón no varia.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES

GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE

Propiedades de los quebrados: geométrica se multiplica o

divide por un número, larazón queda multiplicada odividida por ese número.

geométrica se multiplica odivide por un número, larazón queda dividida en elprimer caso y multiplicada enel segundo por ese mismonúmero.

geométrica se multiplican odividen por un mismonúmero, la razón no varía.

Equidiferencia o proporción aritmética

Términos

Extremos el 1º y

el 4º y

Medios el 2º y 3º

Ejemplo:

20-5=21-6

Clases

Discreta que es

aquella cuyos

medios no son

iguales: 9-7=8-6

Continua que es la

que tiene los

medios iguales:

10-8=8-6

Teorema

En toda

equidiferencia la

suma de los

extremos es igual

a la suma de los

medios.

Ejemplo: 8-6=9-7

tenemos: 8+7=9+6

o sea 15=15

PROPORCIONES

ARITMÈTICAS

Se llaman: Hay 2:

Colorarios

En toda equidiferencia un extremo es = a la suma de los

medios, menos el otro extremo.

Sea la equidiferencia a – b = c – d. Vamos a demostrar que a =

b + c – d.

EJEMPLO

En 9 – 5 = 10 – 6 tenemos que 9 = 5 + 10 – 6.

En toda equidiferencia un medio es igual a la suma de los extremos, menos el otro

medio.

Sea la equidiferencia a –b = c – d. Vamos a

demostrar que b = a + d –c

EJEMPLO

En 11-7=9-5 tenemos que 7=11+5-9

Media diferencial o media aritmética

Es cada uno de los términos medios de una equidiferencia

continua, o sea cada uno de los medios de una equidiferencia,

cuando son iguales.

En la equidiferencia 8 – 6 = 6 –4, la media diferencial es 6.

La media diferencial es igual a la semisuma de los

extremos.

Sea la equidiferencia a-b=b-c. Vamos a demostrar

que b =a+c/2

Ejemplo:

12-9=9-6 tenemos 9=12+6/2

Teorema

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la

igualdad de dos razones geométricas o por

cociente.

Una proporción geométrica se escribe de los dos

modos siguientes:

a/b=c/d o a : b :: c : d

y se lee: a es a b como c es a d.

Los términos de una proporción geométrica se

llaman: extremos el 1º y el 4º, y medios el 2º y 3º.

Hay 2 clases de proporciones geométricas:

Discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales;por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5

Continua, que es la que tiene los medios iguales; porejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS TEOREMA

En toda proporción geométrica el producto de losextremos es igual al producto de los medios.

Sea la proporción = . Vamos a demostrar que a x d = c xb.

EJEMPLO

En la proporción 6/4=3/2 tenemos que 6 x 2 = 3 x 4 o sea 12 = 12

De la propiedad fundamental de lasproporciones geométricas se derivan lossiguientes corolarios:

1.-En toda proporción geométrica un extremoes igual al producto de los medios divididospor el otro extremo.

Sea la proporción a/b =c/d . Vamos ademostrar que a =b x c/d .

EJEMPLO

En 9/12=3/4 tenemos 9 = 12 x 3/ 4

2.-En toda proporción geométrica un medio es

igual al producto de los extremos dividido por

el otro medio.

Sea la proporción a/b= c/d.

vamos a demostrar que b= a x d/ c.

Ejemplo: 5/10

= 2/4 tenemos 2= 5 x 4/10

Es cada uno de los términos medios de unaproporción geométrica continua son iguales.

Así, en la proporción 8:4::4:2 la mediaproporcional es 4.

TEOREMA de la media proporcional

o La media proporcional es igual a la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Sea la proporción continua vamos a demostrar que

EJEMPLOEn 9/6= 6/4 tenemos que 6=√9 x 4 =√36=6