Razones y proporcionesUna razn entre dos cantidades es una comparacin entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a : b, y se leeaesa b.Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 aos, entonces la razn entre sus edades es:12 : 15 o. Si simplificamos la fraccin obtenemos:Se denomina proporcin a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporcin, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12 5 = 4 15Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:1.1. Proporcionalidad directaDos variables estn en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.El grfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que estn sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el grfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra tambin aumenta.

Ejemplo:Un vehculo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. Cuntos litros de bencina consumir en un viaje de 192 km?Se forma la proporcin entre las variables distancia consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)1.2. Proporcionalidad inversaDos variables estn en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

k es la constante de proporcionalidad.El grfico de dos variables que estn en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que estn sobre una hiprbola.

Analizando el grfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.Ejemplo: Tres obreros demoran 5 das en hacer una zanja. Cunto demorarn 4 obreros?La relacin entre el nmero de obreros tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan ms obreros, entonces se demorarn menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)1.3. Proporcionalidad compuestaLa proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa.Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qu proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitir determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.Ejemplo:Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 das. Cuntos obreros pavimentarn 5 km en 10 das?a)En primer lugar, determinaremos qu tipo de proporcionalidad existe entre las variables.Sean: obreros (O) longitud del camino (L):Estas dos variables estn en proporcionalidad directa, ya que entre ms obreros, ms km de camino se pavimentarn, por lo tanto:= contanteb)Por otra parte, las variables obreros (O) tiempo (T) estn en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre ms obreros, menos tiempo se demorarn en pavimentar el camino.Por lo tanto, O T = constante.De lo anterior se deduce que:= contanteAplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

Multiplicando cruzado en esta proporcin y despejando x obtenemos:x = 25 obrerosEntonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 das.2. PorcentajeEl porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.Por ejemplo, decir que el precio de un artculo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En trminos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.Cuando calculamos el porcentaje de un nmero, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fraccin. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

El clculo de porcentaje tambin se puede realizar a travs de una proporcionalidad directa:

Es bastante til utilizar este mtodo para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y prdida. Por ejemplo:El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500. Qu % de descuento se le aplic?En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuy: $15.000 $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qu porcentaje es del precio original, por lo tanto:

Veamos ahora otro ejemplo:Qu % es 0,2 de 4?En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporcin:

Propiedades De Las Razones AritmticasComo la razn aritmtica o por diferencia de dos cantidades no es ms que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritmticas sern las propiedades de toda resta o diferencia: Si al antecedente de una razn aritmtica se suma o resta un nmero, la razn queda aumentada o disminuida en ese nmero. Si al consecuente de una razn aritmtica se suma o resta un nmero, la razn queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo nmero. Si al antecedente y consecuente de una razn aritmtica se suma o resta un mismo nmero, la razn no vara.

Propiedades De Las Razones GeomtricasComo la razn geomtrica o por cociente de dos cantidades no es ms que una divisin indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geomtricas sern las propiedades de los quebrados: Si el antecedente de una razn geomtrica se multiplica o divide por un nmero, la razn queda multiplicada o dividida por ese nmero. Si el consecuente de una razn geomtrica se multiplica o divide por un nmero, la razn queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo nmero. Si el antecedente y el consecuente de una razn geomtrica se multiplican o dividen por un mismo nmero, la razn no vara.

Proporcin GeomtricaProporcin geomtrica o equicociente, se define como la igualdad entre dos razones geomtricas o cocientes.En una proporcin geomtrica se llamanextremosal primero y cuarto trminos, ymediosal segundo y tercer trminos.Tambin reciben el nombre deantecedentesal primero y tercer trminos, yconsecuentesal segundo y cuarto trminos.

Proporcin geomtrica discreta o no continua, es aqulla que tiene sus cuatro trminos diferentes o sus medios no son iguales.

Proporcin geomtrica continua, es aqulla que tiene sus trminos medios iguales.

Tipos de proporcionesFormalmente, se define una proporcin como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proporciones se representan mediante variables proporcionales. Con la combinacin de variables proporcionales y conjunciones se obtienen formulas sentnciales o sentencias.Una proporcin que tengo como nico valor (F) se denomina proporcinlgicamente falsa,y a la que tenga como nico valor (V), se denominalgica verdadera.Las proporciones pueden constar de un solo enunciado o de varios, en el primer caso las denominadasproporciones atmicasy en el segundomolculas.Las proporciones moleculares se obtienen de las atmicas mediante determinadas leyes de comprensin denominadas conectivos.En teora las proporciones se clasifican en:TautolgicaContradiccinIndeterminacin