Matemática Básica

UNIDAD 2

RAZONES Y PROPORCIONES

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¿Qué es una razón?

Cuando se comparan dos cantidades por medio del cuociente se habla de la razón entre ellas.

Por lo tanto, razón es la comparación de dos cantidades por cuociente.

donde: a se denomina antecedente y b se denomina

consecuente.

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En toda razón se define:

b

aantecedente

consecuente

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Ejemplos de razón:

Velocidad 100 Km/hr. (se lee: por cada 100 km recorridos a pasado una hora de viaje).

La densidad demográfica de una ciudad es de 3 hab/m2; esto significa que el número de habitantes por cada m2 de superficie es 3.

La densidad del alcohol es de 0,79 g/cm3, lo cual significa que 1 cm3 de alcohol tiene una masa de 0,79 g.

La razón entre mujeres y hombres es de 2 muj/hom; es decir, por cada hombre hay dos mujeres.

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Proporciones

El valor de la razón 12:4 es 3 y el de la razón 15:5 también es 3.

Luego, estas dos razones son iguales, o sea

12:4 = 15:5.

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Igualdad de dos razones o proporción.

Si y

Entonces

Se lee “a es a b como c es a d”

kb

a k

d

c

d

c

b

a

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En una proporción a y c son antecedentes, b y d

consecuentes.

Además, b y c se denominan medios, a y d extremos.

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Si es una proporción,

entonces siempre se verifica que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”.

Si entonces ad=bc

d

c

b

a

d

c

b

a

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Utilidad:

Se desconoce un extremo:

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Proporciones continuas y discontinuas:

Una proporción es continua si tiene los extremos o los medios iguales.

Ejemplo:

9

6

6

4

12

9

16

12

c

b

b

a

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Una proporción es discontinua cuando tiene todos sus términos desiguales.

d

c

b

a

24

1

600

25

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Cuarta proporcional es cada uno de los términos de una proporción discontinua.

Tercera proporcional es cada uno de los términos no repetidos de una proporción continua.

Media proporcional es el término repetido de una proporción continua.

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Magnitudes proporcionales

Una magnitud es todo aquello que se puede medir. Ejemplo: tiempo, distancia, peso, volumen, etc.

Existen magnitudes directamente proporcionales y otras inversamente proporcionales.

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directamente proporcionales

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra aumenta el mismo número de veces o dicho de otra forma, dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cuociente es constante.

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Ejemplo:

La razón del ingreso con respecto a las unidades vendidas, de un determinado producto es de 2:1. Calcular cuantas unidades son vendidas si el ingreso es de $60.

Es una relación directa, al aumentar una magnitud aumenta la segunda.

$2 X(u) =$60 1(u)

X(u) =30

Por lo tanto, se venden 30 unidades cuando el ingreso es de $60.-

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Grafico de una proporción directa:

El gráfico de una proporción directa corresponde a una LÍNEA RECTA que parte del origen, es decir, de (0,0).

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inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una de ellas, la otra disminuye el mismo número de veces, o dicho de otra forma, dos magnitudes son inversamente proporcionales si el producto de ellas es constante.

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Ejemplo:

8 obreros hacen un trabajo en 15 días. ¿ En cuánto tiempo hacen el trabajo 24 obreros ?.

8 obreros 15 días

24 obreros x días

120 = 24 X 5 = X; es decir, con 24 obreros el trabajo se termina en 5 días.

)(15

)(

)(24

)(8

días

díasX

obreros

obreros

Por ser una proporción inversa, la segunda razón se invierte.

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Grafico de una proporción inversa:

El gráfico de una proporción inversa corresponde a una HIPÉRBOLA, es decir, a una curva que se aproxima a los ejes X e Y, sin llegar nunca a interceptarlos.

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Porcentaje o tanto por ciento

Supongamos que los aportes de dos socios, A y B, en una empresa son $7.500.000 y $10.000.000, respectivamente.

Por diferencia, decimos que B aporto $2.500.000 más que A. Es decir, B-A= $2.500.000.-

Por cuociente, decimos que el aporte de A es ¾ del aporte de B, es decir:

Dicho de otra forma, el aporte de capital de A y B están en la razón de 3:4 (tres es a cuatro).

4

3

10000000

7500000

B

A

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Este mismo caso, resultaría conveniente comparar la razón con otra donde el consecuente es 100.

En palabras: por cada $4 que aporta B, A aporta $3, o lo mismo: por cada 100 que aporta B, A aporta 75.

“el aporte de A es el 75 por ciento del aporte de B (75 por cada 100 de B)”.

En estos casos hablamos de porcentaje o tanto por ciento (tanto por cada cien) y se usa el símbolo %.

“el aporte de A es el 75% del aporte de B”

100

75

4

3

10000000

7500000

B

A