MATEMÁTICAS

2011-I

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INTRODUCCIÓN Desde los albores del desarrollo de la matemática ha ido relacionada a la comparación de cantidades, ya sea por diferencia para saber cuánto más era una cantidad que otra o por cociente para conocer cuántas veces una cantidad está contenida en otra. Los egipcios de la antigüedad calculaban diferencias comúnmente y tenían una notación especial para las fracciones, llegando a resolver problemas de proporcionalidad. En Mesopotamia desarrollaron un eficaz sistema de notación de fracciones, determinando sus equivalentes en “decimales”. En la China antigua operaron con fracciones, siendo los primeros en utilizar la Regla de Tres o Regla de Oro, donde sus rastros más antiguos se remontan al Chiu Chang Suan Shu, del siglo I de nuestra era, si bien su tratamiento sistemático se encuentra en el manuscrito de Bakhshali, compuesto en los primeros siglos de nuestra era. Los hindúes destacaron especialmente por la aplicación de sus reglas de cálculo haciendo uso del sistema decimal y posicional, lo que fue más tarde difundido por los árabes, donde aparece la regla de tres de modo específico en la obra de Al-Biruni (s. X) denominada Fi Rasikat al-hind título que significa Sobre las reglas de tres de la India. Los griegos destacaron especialmente en el estudio de las propiedades aritméticas y geométricas, desarrollaron claramente la noción de razón o comparación de dos cantidades, llegando a demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos; el estudio de las razones, inspirado en los trabajos de Eudoxo (s. IV a. C.), se incluye en el Libro V de los Elementos de Euclides (s. III a. C.), la obra matemática más leída de la antigüedad. En Europa recién a partir del siglo XII se inicia el desarrollo matemático a partir de la difusión de las traducciones de los árabes, y en el siglo XIII destaca especialmente la figura de Leonardo de Pisa (Fibonacci), quien alrededor del año 1202 escribió su celebre obra “liber abaci” (el libro del ábaco), en el que se encuentra expuesto: el calculo de números según el sistema de numeración posicional; operaciones con fracciones comunes, aplicaciones y cálculos comerciales como la regla de 3 simple y compuesta, la división proporcional, entre otros, a partir de allí con contribuciones de matemáticos en diferentes épocas, como la de Simón Stevin, se ha consolidado el estudio de las razones y proporciones y aplicado a diversos casos prácticos como las magnitudes proporcionales, la regla de tres simple y compuesta, el reparto proporcional, los porcentajes, la regla de mezclas y aleaciones, la regla de interés, la regla de descuento, entre muchos otros. En el presente trabajo presentamos un conjunto de conceptos relacionados a razones y proporcionalidad geométrica, mencionamos sus propiedades más relevantes y mostramos sus aplicaciones a la solución de problemas concretos.

ÍNDICE

Introducción …………………………………………………………………. 2

Razones ………………………………………………………..................... 3

Proporciones ………………………………………………………………… 4

Clases de proporciones ……………………………………………………. 4

Proporcionalidad …………………………………………………………… 6

Reparto proporcional ………………………………………………………. 7

Práctica ……..……………………………………………………………….. 9

Bibliografía ……………………………………………………………….... 11

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RAZÓN: La razón o relación es la comparación que se establece entre estas dos cantidades del mismo tipo. Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas (razón aritmética), o, hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas (razón geométrica).

R.A. Razón Aritmética: a – b = k ( I )

R.G. Razón Geométrica kb

a ( II )

Notación: Nos permite denominar los elementos:

a = antecedente b = consecuente k = razón Interpretación:

En (I) : Significa que a se diferencia de b en “k” unidades

En (II) : Significa que a es “k” veces b.

Ejemplo 1: El panel de un periódico mural tiene 6 m de largo y 2 m de alto, entonces al comparar podemos decir: R.A. : (6 – 2 = 4): El largo del panel del periódico mural excede o es mayor que el ancho que su alto en 4

m.

R.G. :

3

2

6: El largo del panel del periódico mural es 3 veces su alto

. Observación: A la razón geométrica se le llama simplemente razón y en adelante sólo trabajaremos con ella Ejemplo 2: Si Juan tiene 6 veces el dinero que tiene Pedro, y éste a su vez tiene el triple de dinero que Luis ¿Cuál es la razón ente el dinero de Juan y Luis? Dinero que tiene Juan: J Dinero que tiene Pedro: P Dinero que tiene Luis: L

De los datos: 3L

P6

P

J

RAZONES Y PROPORCIONES

J = 6P y P = 3L

J = 6(3L) 18L

J

Juan tiene 18 veces el dinero que tiene Luis

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PROPORCIÓN : Se conoce como proporción a la igualdad de 2 razones Si las razones que se comparan son geométricas se denomina “Proporción Geométrica” (P.G.) o simplemente proporción.

Sean las Razones geométricas: kd

cyk

b

a

Entonces la Proporción geométrica: d

c

b

a se lee: “a es a b como c es a d”

Siendo: a y c los antecedentes de la proporción b y d los consecuentes a y d los términos extremos b y c los términos medios CLASES DE PROPORCIONES Las proporciones pueden clasificarse atendiendo a sus términos, en dos clases: A. Proporción Discreta: Una proporción es discreta si sus términos son diferentes; es decir:

d

c

b

a , donde a, b, c y d son diferentes entre si

Cuarta Proporcional: Es cualquiera de los cuatro términos de una Proporción Discreta, así se dirá que d es cuarta proporcional de a, b y c (en ese orden).

B. Proporción Continua: Una proporción es continúa si sus términos medios, o términos extremos, son iguales; es decir:

d

c

b

a , donde b = c o a = d

En este caso, cualquiera de los términos diferentes se denomina “Tercera proporcional” y, al término que se repite se llama “Media Proporcional”. Media Proporcional: También se denomina “Media Geométrica” y es igual a la raíz cuadrada del

producto de dos números.

Sea la P.G. continua: d

b

b

a La media proporcional es: d.ab

Ejemplo 3: Las cantidades de dinero que tienen Laura y Gloria están en la proporción 2 a 5. Si la primera recibe S/. 175 y la segunda S/. 115, entonces tendrían cantidades iguales ¿Cuánto dinero tiene Laura?

5

2

G

L … (1) y L + 175 = G + 115 (2)

A partir de (2): L + 60 = G … (3)

Reemplazando en (1): 5

2

60L

L

5L = 2(L + 60) 5L = 2L + 120

3L = 120 L = 40

Laura tiene S/. 40 Ejemplo 4: En una proporción geométrica continua la suma de los extremos es 34 y la diferencia de los mismos es 16. Hallar la media proporcional.

Sea la proporción: c

b

b

a … (1)

De los datos: a + c = 34 …(2) a – c = 16 … (3)

Sumando (2) y (3): 2a = 50 a = 25. Reemplazando en (2): c = 9

Reemplazando en (1): 9

b

b

25

2b = 25(9) b = )9(25 b = 5(3) b= 15

La media proporcional es igual a 15

“Cuando no se menciona qué tipo de proporción es, se asume que es una proporción geométrica”

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Propiedades de las Proporciones Geométricas:

Dada la proporción geométrica: d

c

b

a se cumplen las siguientes propiedades:

1. a.d = b.c

2. d

dc

b

ba

3. d

dc

b

ba

4. dc

c

ba

a

5. dc

c

ba

a

6. dc

dc

ba

ba

7. d

c

b

a

db

ca

8. d

c

b

a

db

ca

Ejemplo 5: La cantidad de libros que tienen Juan y Nancy juntos es de 300, pero las cantidades que tienen cada uno están en la proporción 7 a 3. Determina cuántos libros más tiene Juan que Nancy.

De los datos: J + N = 300 … (1) y 3

7

N

J … (2)

Aplicando la propiedad 6 a (2): 37

37

NJ

NJ

4

10

NJ

300

10(J – N) = 300(4)

J – N = 120

Juan tiene 120 libros más que Nancy.

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (D. P.)

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente de sus valores correspondientes es constante. Es decir:

si A DP B entonces B

A= K; K = constante

Gráficamente, se tiene:

Ejemplo 6: La tabla presenta la altura y el volumen de un líquido contenido en un recipiente cilíndrico. Determina si son magnitudes directamente proporcionales o no.

Altura (cm) 5 10 15 20

Volumen (I) 0.5 1 1.5 2

Sean a1, a2 y a3 valores que toma la magnitud A b1, b2 y b3 valores que toma la magnitud B.

Entonces: 1

1

b

a =

2

2

b

a =

3

3

b

a = k

PROPORCIONALIDAD

6

Se observa que:

5,0

5=

1

10=

5.1

15 =

2

20= 10

Además, cuando aumenta la altura, aumenta el volumen. Entonces, por definición son directamente proporcionales.

Ejemplo 7: César va a repartir S/. 3 000 entre sus hijos de manera directamente proporcional a sus edades. Si ellos tienen 13 y 17 años. ¿Cuánto le toca a cada uno? ¿Cuánto más recibió el mayor del menor?

Sean a y b las cantidades que le corresponden a c/u, proporcionales a 13 y 17, entonces: a = 13k y b= 17k, donde k = constante de proporcionalidad. 13k +17k = 3000 30k =3000 luego k = 100

Así, a cada uno le toca: a = S/. 1 300 y b= S/. 1 700 1 700 – 1 300 = 400 El mayor recibió S/. 400 más

Observación: Se dice que A es D. P. a B, si sucede lo siguiente: o Cuando A aumenta a B también aumenta en la misma proporción. o Cuando A disminuye, B también disminuye en la misma proporción.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I. P.)

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de sus valores correspondientes es siempre constante. Es decir: Si A IP B, entonces A . B = K, K = constante

Gráficamente, se tiene:

Ejemplo 8: 4 obreros realizan una obra en 30 días, 6 obreros la terminan en 20 días, 8 obreros, en 15 días. ¿Estas magnitudes serán inversas o directamente proporcionales?

Nº de Obreros 4 6 8

Nº de Días 30 20 15

Se observa que: 4. 30 = 6. 20 = 8. 15= 120 es la constante de proporcionalidad. Entonces, por definición, son inversamente proporcionales. Además, cuando el número de obreros aumenta, disminuye el número de días.

REPARTO PROPORCIONAL

Consiste en repartir una cantidad en partes proporcionales a ciertos números llamados índices del reparto, ya sea en forma directa o inversamente proporcional. 1º Caso: Reparto Proporcional Simple Directo:

Consiste en repartir una cantidad en partes que sean directamente proporcionales a determinados números o índices.

Ejemplo 9: Repartir un premio de S/. 5 890 entre tres personas a las cuales denominaremos A, B y C en forma directamente proporcional a lo que aportaron para comprar un boleto de una rifa siendo los aportes de: S/. 35; S/. 21 y S/. 14 respectivamente.

Sean a1 , a2 y a3 valores que toma la magnitud A, y b1 ,b2 y b3 valores que toma la magnitud B.

Entonces: a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = K

Donde 10 es la constante de proporcionalidad

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Resolución:

2º Caso: Reparto Proporcional simple inverso: Consiste en repartir una cantidad en partes que sean Inversamente Proporcionales (I.P.) a determinados números o índices.

Principio básico: Si A I.P. B. A D.P. B

1

Ejemplo 10: Repartir la suma de $ 24 800 entre las personas A, B y C en forma Inversamente Proporcional (I.P.) al número de faltas que son 5; 3 y 2.

Nota: Nótese que cuando los índices de un reparto simple son fracciones, es conveniente multiplicarlos por un numeral que sea M.C.M. de los denominadores. M.C.M. (5; 3; 2) = 30 3º Caso: Reparto Proporcional Compuesto: Consiste en repartir una cantidad en partes que sean proporcionales a varios conjuntos de números llamados índices. Ejemplo 11: Un empresario reparte S/. 1 290 de gratificación para sus tres empleados en forma Directamente Proporcional (D.P.) a los años de servicio y sus rendimiento. Siendo los años 15; 12 y 10 y sus respectivos rendimientos: 80%, 90% y 70%, e Inversamente Proporcional (I.P.) a las tardanzas que acumularon (en minutos), las mismas que son 40; 30 y 35 respectivamente.

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PRÁCTICA 01. La razón de las edades de María y Gloria es 3/4 y los 2/3 de su producto es 1152. Determina la

edad de Gloria. a) 84 b) 36 c) 49 d) 48 e) 45

02. En 35 litros de agua azucarada, la cantidad de azúcar es al número total de litros como 1 es a 5.

¿Cuántos litros de agua se deben añadir, para que la cantidad de azúcar sea al número total de litros como 2 es a 15? a) 12 b) 16,9 c) 17,5 d) 35 e) 42,5

03. Dada la serie de razones geométricas: 9

d

8

c

4

b

7

a . Si a.b + c.d = 14400, halla la suma de los

antecedentes a) 336 b) 252 c) 280 d) 560 e) 672

04. Los antecedentes de una serie de razones geométricas iguales son 2, 3, 4, 5. El producto del

primer antecedente y los tres últimos consecuente es 41160. Hallar la suma de los consecuentes: a) 49 b) 64 c) 82 d) 98 e) 76

05. Encontrar una proporción geométrica continua cuyo producto de términos es 65536, donde uno de

los extremos es 1/16 del otro. Dar la suma de extremos a) 68 b) 86 c) 76 d) 64 e) 81

06. El producto de los extremos de una proporción geométrica es 24 y la suma de los términos medios

es 10. ¿Cuál es la diferencia entre los términos medios? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

07. En una granja hay 630 animales entre conejos, gallinas y patos. El número de gallinas es al

número de conejos como 2 es a 5. El número de patos es al número de gallinas como 7 es a 3. ¿Cuántos conejos hay en la granja? a) 300 b) 270 c) 250 d) 220 e) 200

08. Calcular la media proporcional entre a y b, sabiendo que “a” es la cuarta proporcional de 5/6, 1/4 y

2/3 y “b” es la tercia proporcional de 1/5 y 6 a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

09. Los números de horas laboradas esta semana por Hilda y Lita están en la relación de 4 a 5, pero

agregando 150 al primero y 45 al segundo, la nueva relación es de 2 a 1. Calcula la suma de los números de horas que han laborado esta semana. a) 180 b) 240 c) 135 d) 90 e) 225

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10. La razón de dos números es 7/3. ¿Cuál será la razón de la suma de los cuadrados y la diferencia

de cuadrados de dichos números? a) 29 a 20 b) 20 a 19 c) 35 a 18 d) 29 a 15 e) 20 a 7

11. En una clase se observa que la temperatura del ambiente es directamente proporcional al número

de alumnos e inversamente proporcional al área del aula. Un aula cuya temperatura es 30°C tiene 40m

2 y 60 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene un aula que se encuentra a 27°C y cuya área es

60m2?

a) 60 b) 70 c) 72 d) 40 e) 81 12. El área cubierta por la pintura es proporcional al número de galones de pintura que se compra. Si

para pintar 200m2 se necesitan 25 galones. El área que se puede pintar con 15 galones es: a) 80 m

2 b) 100 m

2 c) 120 m

2 d) 150 m

2 e) 180 m

2

13. La duración de un viaje por ferrocarril es DP a la distancia e IP al número de vagones del tren. Si

un tren de 20 vagones recorre en total 30 km en ½ hora. ¿Cuántos kilómetros recorre un tren de 10 vagones en 10 minutos? a) 20 km b) 10 km c) 12 km d) 13 km e) 25 km

14. Un padre y una madre reparten S/ 90 y S/ 82 respectivamente entre sus 4 hijos, en forma directa e

inversamente proporcional respectivamente a sus edades que son: 4, 5, 6 y 15 años. ¿Cuánto le tocó a cada uno? a) 40, 50, 42, 40 b) 33, 50, 99, 50 c) 42, 39, 38, 53 d) 40, 41, 40, 51 e) 20, 70, 52, 30

15. Antonio inicia un negocio con S/ 1000. A los 3 meses se incorpora Beto aportando S/ 2000 y 4 meses después ingresa César con un capital de S/ 3000. Si el negocio se cierra al año y 3 meses de iniciado y se repartieron una ganancia de S/ 5250 ¿Cuánto le corresponde al primero? a) S/ 250 b) S/ 1250 c) S/ 2000 d) S/ 650 e) S/ 3125

16. Un padre deja una herencia que será repartida entre sus 4 hijos en forma DP a los números 3, 2,

1, 5 pero en el momento de hacer dicho reparto lo hacen en forma IP por lo cual el que resulta más beneficiado recibió 8070 más. ¿Cuál fue el valor de la herencia? a) 10075 b) 20120 c) 20130 d) 5070 e) 18300

17. Se reparte cierta cantidad en cuatro partes que son DP a 4, 12, 3 y 5 e IP a 7, 14, 3 y 7. ¿A

cuánto asciende la segunda parte, si las dos últimas partes juntas exceden a las dos primeras juntas en 480? a) 1485 b) 1455 c) 980 d) 1340 e) 1440

18. Al repartir S/ 3150 en partes directamente proporcionales a las raíces cuadradas de 375; 735 y

135, una de las cantidades será: a) S/ 430 b) S/ 1026 c) S/ 630 d) S/ 650 e) S/ 470

19. Tres comerciantes desean transportar 180, 320 y 480 sacos de fruta. Si el alquiler del camión

equivale a S/ 1225. ¿Cuánto pagó el comerciante que transportó más sacos? a) S .225 b) S/ 400 c) S/ 800 d) S/ 600 e) S/ 900

20. Tres técnicos deben repartirse S/ 9700 por haber ensamblado televisores y radios. El primero

ensambló 2 televisores y 20 radios, el segundo 5 televisores y 12 radios, y el tercero 6 televisores. Si el trabajo de ensamblar un televisor es equivalente al de 5 radios. ¿Cuánto recibió el segundo obrero? a) S/ 300 b) S/ 370 c) S/ 3700 d) S/ 3000 e) S/ 970

21. Un padre reparte S/ 200 entre sus cuatro hijos en forma proporcional a sus edades. 8, 12, 15, 18

años y en forma inversamente proporcional al número de faltas que tuvieron en un mes al colegio, las cuales fueron: 4, 8, 5 y 3 días respectivamente. ¿Cuánto más recibe el mayor de sus hijos que el menor de ellos? a) S/ 16 b) S/ 64 c) S/ 30 d) S/ 80 e) S/ 100

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22. Un tío deja a sus sobrinos una herencia a repartirse en forma directamente proporcional a sus

edades y les correspondió S/ 9000, S/ 10000 y S/ 15000. Si se hubiese realizado el reparto 2 años después, el menor recibiría S/ 350 más ¿Cuál es la edad del mayor? a) 9 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15

23. Tres obreros reciben un bono, el cual se repartió proporcionalmente a sus años de servicio que

son 10, 15 y 18. El segundo presentó un reclamo por lo que se le reconoció un año más de servicio y recibió S/ 70 más ¿De cuánto era el bono? a) S/ 4730 b) S/ 4750 c) S/ 5830 d) S/ 5970 e) S/ 6000

BIBLIOGRAFÍA KRUGLAK H. y MOORE J. Matemáticas Aplicadas a Ciencia y Tecnología. Editorial McGRAW –

HILL. México. S.A. 1990 GAVALDONI. Aritmética Razonada. Lima. Editorial San Marcos. 2000 ARANGO I. Aritmética: Teoría de los Números. Lima. Editorial San Marcos. 1988 FARFAN O. Aritmética: Curso Práctico. Lima. Editorial San Marcos. APAZA P. Aritmética I: En busca del número. Lima. 1987. SEPARATA PRONAFCAP-UNPRG 2008