Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo

SenoEl seno del ngulo B es la razn entre el c ateto opuesto al ngulo y la hipotenusa .

Se denota por sen B.

CosenoEl coseno del hipotenusa. ngulo B es la razn entre el cateto contiguo al ngulo y la

Se denota por cos B.

TangenteLa tangente del ngulo B es la razn entre el cateto opuesto al n gulo y el cateto contiguo al ngulo .

Se denota por tg B.

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CosecanteLa cosecante del ngulo B es la razn inversa del seno de B .

Se denota por cosec B.

SecanteLa secante del ngulo B es la razn inversa del coseno de B .

Se denota por sec B.

CotangenteLa cotangente del ngulo B es la razn inversa de la tangente de B .

Se denota por cotg B.

Razones trigonomtricas en una circunferenciaSe llama circunferenc ia goniomtric a a aqulla que tiene su cen tro en el origen de coordenadas y su radio es la unid ad.

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En

la circunferencia

goniomtrica los

ejes

de

coordenadas

d elimitan

cuatro

cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj.

QOP y TOS son tringulos semejantes.

QOP y T'OS son trin gulos semejantes.

El seno es la ordenad a.

El coseno es la absc isa.

-1 sen 1

-1 co s 1

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Signo de las razones trigonomtricas

Tabla de razones trigonomtricas

Relaciones entre las razones trigonomtricascos + sen = 1

sec = 1 + tg

cosec = 1 + cotg

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Relaciones entre las razones trigonomtricas de algunos ngulosngulos complementarios

ngulos suplementarios

ngulos que difieren en 180

ngulos opuestos

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ngulos negativos

Mayores de 360

ngulos que difieren en 90

ngulos que suman en 270

ngulos que difieren en 270

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Razones trigonomtricas de la suma y diferencia de ngulos

Razones trigonomtricas del ngulo doble

Razones trigonomtricas del ngulo mitadPgina 7

Transformaciones de sumas en productos

Transformaciones de productos en sumas

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5. Funciones Trigonomtricas Funcin Seno: La funcin Seno se obtiene de dividir el cateto opuesto de un tringulo rectngulo, entre su hipotenusa: As por ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: el seno del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa del seno: cualquier calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "sin" (dice "sin" y no "sen" porque en ingls la funcin seno se escribe "sin"): para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo alpha. Funcin Cosecante La funcin cosecante es parecida a la funcin seno, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto opuesto en principio, para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la cosecante: sin embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni siquiera la cosecante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del inverso del seno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitucin: y ya. Grfica de la funcin Seno Si graficas la funcin y = sen(x) en un plano cartesiano, obtendras la siguiente figura: Observa que la funcin no pasa de 1 por arriba y de -1 por abajo. Se dice entnces que la funcin est "acotada" entre -1 y +1. Los valores para los que la funcin llega hasta +1 o -1 son los mltiplos impares de / 2 , o sea: con n entero y mayor que cero. La funcin seno(x) tiene periodo de 2, esto es, que cuando x es igual a 2, la funcin se vuelve a repetir tomando los valores que tom a partir del cero. Funcin Coseno: La funcin Coseno se obtiene de dividir el cateto adyacente de un tringulo rectngulo, entre su hipotenusa: As por ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: el coseno del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa del coseno: cualquier calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "cos": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo alpha. Funcin Secante La funcin secante es parecida a la funcin coseno, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto adyacente entre la hipotenusa, se divide la hipotenusa entre el cateto adyacente: en principio, para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la secante: sin embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni siquiera la secante) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del inverso del coseno. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la

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siguiente sustitucin y ya. Grfica de la funcin Coseno Si graficas la funcin Coseno en un plano cartesiano, sta se vera as: Observa que la funcin se parece muchsimo a la funcin Seno. La diferencia est en que el coseno comienza en el +1 [o sea y(0) = +1], y el seno en el 0 [ o sea y(0) = 0]. Esto se debe a que la funcin coseno est desfasada medio perido respecto de la funcin seno. Igual que en la funcin Seno, la funcin coseno slo puede tomar valores entre -1 y +1. A esto se le dice "acotada", que significa que tiene lmites de los cules ya no pasa. La funcin es peridica ( o sea que se repite su forma a lo largo del eje x) y su periodo vale 2 (o sea que cuando x toma el valor de 2, la funcin vuelve a tomar los valores que tom desde el cero otra vez. Los valores para los que la funcin Coseno se vuelve +1 o -1 son los mltiplos enteros de , o sea: n con n cualquier entero incluyendo el cero. Funcin Tangente: La funcin Tangente se obtiene de dividir el cateto opuesto de un tringulo rectngulo, entre el cateto adyacente: As por ejemplo, en el tringulo rectngulo siguiente: la tangente del ngulo alpha ser: Para obtener el valor de ngulo alpha, hay que sacar la funcin inversa de la tangente: cualquier calculadora cientfica lo puede hacer, y generalmente hay que apretar una tecla "shift" o "2daf" que se encuentra tpicamente en la esquina superior izquierda, y luego apretar la tecla "tan": para este caso, el resultado da: 53.13010... que es el valor en decimal que corresponde al ngulo alpha. La funcin tangente se puede tambin definir a travs de las funciones seno y coseno como sigue: y el resultado es el mismitito que dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente. Funcin Cotangente La funcin cotangente es parecida a la funcin tangente, slo que al revs. Esto es: en lugar de dividir el cateto opuesto entre el cateto adyacente, se divide el cateto adyacente entre el cateto opuesto hay otras notaciones vlidas para la contangente, algunos la prefieren escribir de alguna de las siguientes formas: pero es la misma funcin. En principio, para obtener el valor del ngulo alpha, uno debera sacar la funcin inversa de la tangente (la arcocotangente), por ejemplo, para el problema de arriba sera: sin embargo, la mayora de las calculadoras no sacan sta funcin (ni siquiera la cotangente) porque suponen que el usuario sabe que es lo mismo, que sacar la funcin inversa del inverso de la tangente. O sea que en lugar de quebrarte la cabeza preguntndote "Cmo lo saco?" simplemente haz la siguiente sustitucin: y ya. Grfica de la funcin Tangente Si graficaras la funcin y = tan (x) en un plano cartesiano, sta se vera as: los puntos donde la funcin se va a infinito se llaman "asntotas" y en esos valores la funcin tangente no est definida. Esta funcin tiene periodo (recuerda que en radianes = 180). Es decir que cuando la x toma los mltiplos de , la funcin vuelve a tomar los valores que tom desde el cero, y la funcin se repite as hasta infinito. Observa que a diferencia de las funciones seno y coseno, la funcin tangente no est "acotada", o sea limitada en el eje de las y's, sino que puede tomar cualquier valor y no como la funcin seno o coseno que slo pueden tomar valores entre el +1 y el -1.

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Frmulas e Identidades Trigonomtricas La siguiente es una lista de frmulas trigonomtricas muy tiles para resolver muchos problemas: Fundamentales sen(-x) = -sen(x) cos(-x) = cos(x) tan(-x) = -tan(x) sen2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cotan2x = csc2x sen ( - x) = sen (x) cos ( - x) = -cos (x) tan ( - x) = -tan (x) Suma y resta de dos ngulos en funciones trigonomtricas sen (u + v) = sen (u)cos (v) + cos(u)sen(v) sen (u - v) = sen (u)cos (v) - cos(u)sen(v) cos (u + v) = cos(u) cos(v) - sen(u)sen(v) cos (u - v) = cos(u) cos(v) + sen(u)sen(v) Frmulas para la suma del doble del ngulo sen(2x) = 2sen(x)cos(x) cos(2x) = 2cos2(x) - 1 cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) cos(2x) = 1 - 2sen2(x) Frmulas para el cuadrado de la funcin Frmulas para el cuadrado de la funcin con la mitad del ngulo Frmulas para la tangente de la mitad del ngulo Frmulas para el producto de seno y coseno Frmulas para la suma y resta de senos y cosenos Identidades entre funciones trigonomtricas Ley de los seno Ley del Coseno La ley de los Senos y ley del coseno se basan en ste tringulo: Tabla de coseno y seno de los ngulos principales

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trigonometra es la rama de las matemticas que se encarga de calcular los elementos de los tringulos. Para esto se encarga de estudiar las relaciones entre los ngulos y los lados de los tringulos.

Esta especialidad interviene en diversas reas de las matemticas que requieren medidas de precisin. La trigonometra, de todas formas, cuenta con una amplia variedad de aplicaciones. Permite, por ejemplo, medir las distancias entre puntos geogrficos o entre las estrellas a partir de tcnicas de triangulacin. La trigonometra tambin se aplica en los sistemas de navegacin satelital. Existen tres unidades que emplea la trigonometra para la medicin de ngulos: el radin (considerada como la unidad angular natural de la trigonometra, establece que una circunferencia completa puede dividirse en 2 pi radianes), elgradin o grado centesimal (que divide la circunferencia en 400 grados centesimales) y elgrado sexagesimal (divide la circunferencia en 360 grados sexagesimales). Las principales razones trigonomtricas son tres: el seno (la razn entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa), el coseno (la razn entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa) y latangente (la razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente). Las razones trigonomtricas recprocas, por otra parte, son la cosecante (la razn recproca del seno), la secante (la razn recproca del coseno) y la cotangente (la razn recproca de la tangente). Se conoce como identidad trigonomtrica a la igualdad que involucra a funciones trigonomtricas y que resultan verificables para cualquier valor de las variables (los ngulos sobre los que se aplican las funciones).

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