RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES

MATERIA SEGÚN HORARIO DE CLASE 20/04/2020

De las funciones o razones trigonométricas se tiene su inverso.

Del seno es cosecante (csc)

Del coseno es secante (sec)

De la tangente es cotangente (cot)

𝑠𝑒𝑛 ∝ = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑠𝑐 𝛼 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑜𝑠 ∝ = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 sec 𝛼 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑡𝑎𝑛 ∝ = 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 cot 𝛼 =

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS DE 30, 45 Y 60 GRADOS.

Existen tres ángulos cuyas razones trigonométricas se pueden hallar a partir de construcciones

geométricas.

RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DE 60° y 30°

1) Si consideramos un triángulo equilátero donde los ángulos internos valen 60 grados cada uno, la medida

de sus lados es 1.

2) Trazamos su altura que lo divide en dos triangulo rectángulos, de los cuales tomo uno de ellos y

tenemos dos ángulos, uno de 30 y otro de 60 grados.

Hallamos el cateto faltante, utilizando Teorema de Pitágoras.

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2

60°

60° 60°

1

1

1

30°

60° 60°

1

1

1

30°

60°

30°

1

1

2

𝑐 = √ℎ2 − 𝑐2 = √12 − (1

2)

2

= √1 −1

4= √

4 − 1

4= √

3

4=

√3

2

Hallamos las Razones trigonométricas del ángulo de 60°, 30°

𝑠𝑒𝑛 60° =

√321

=√3

2// cos 60° =

121

=1

2// tan 60° =

√3212

= √3 //

𝑠𝑒𝑛 30° =

121

=1

2 // cos 30° =

√321

=√3

2 // tan 30° =

12

√32

=1

√3=

√3

3 //

RAZONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DE 45°

1) Si consideramos un cuadrado y la medida de sus lados es 1

2) Trazamos una diagonal, que dividirá al ángulo de 90° en dos de 45°.

60°

30°

1

1

2

√3

2

1

1

1

1

1

1

1

1

45° 45°

45° 45°

Hallamos el valor de la hipotenusa mediante teorema de Pitágoras

ℎ = √𝑐2 + 𝑐2 = √12 + 12 = √2

Hallamos las razones trigonométricas del ángulo de 45°

𝑠𝑒𝑛 45° =1

√2=

√2

2// cos 45° =

1

√2=

√2

2// tan 45° =

1

1= 1 //

A continuación tenemos una tabla con las razones trigonométricas de otros ángulos que se utiliza.

Si se requiere hallar el valor de un ángulo, una vez hallada cualquier razón trigonométrica, aplicamos

“ArcSen” o Sen-1, “ArcCos” o Cos-1, “ArcTan” o Tan-1 que lo encontramos en la calculadora y se vio en noveno

año.

1

1

45°

45°

1

1

45°

45°

√2

Ejercicio:

Calcular la altura del triángulo de la figura, el valor de cada ángulo, si se sabe que uno de los ángulos

agudos mide el doble que el otro.

Solución:

Hallamos el valor de los ángulos

Se sabe que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

α + 2α + 90° = 180°

3α = 180° - 90°

𝛼 = 90°

3 𝛼 = 30° //

2α = 2 . 30° 2α = 60° //

Para hallar el valor “h” altura usamos la razón trigonométrica.

𝑇𝑎𝑛 30° =ℎ

5,5

Despejamos la incógnita h

h = Tan 30° . 5,5 h = 3,17

Ejercicio:

Determine la medida de la altura del triangulo ABC de la Figura.

Solución:

Utilizamos la razón trigonométrica

α

2α

5,5

h

5,5

h

30°

60°

𝐶𝑜𝑠 60° =ℎ

18

Despejamos la incógnita “h”

De la tabla tenemos que Cos 60° = 1/2

h = 18 . Cos 60° ℎ = 18 .1

2 ℎ = 9 𝑐𝑚 //

Ejercicio:

Conteste las siguientes preguntas.

Si el 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = √3

2 , ¿cuál es la medida del ángulo α?

Solución:

De la tabla sabemos que

𝑆𝑒𝑛 √3

2 = 60°

α = 60° //

Ejercicio:

Conteste las siguientes preguntas.

Si el 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 1

2 , ¿cuál es la medida del ángulo α?

Solución:

De la tabla sabemos que

𝑆𝑒𝑛 1

2 = 30°

α = 30° //

NOTA:

Angulo de elevación-. Es aquel ángulo que se forma hacia arriba, tomando como base la línea horizontal

Angulo de depresión.- Es aquel ángulo que se forma hacia abajo, tomando como base la línea horizontal.

Ejercicio:

Un faro de 45 m de altura ilumina un barco con un rayo de luz que forma un ángulo de 30° con la

horizontal. a) ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro? b) Hallar el valor del angulo “x”

Solución:

Se ha formado un triangulo rectángulo.

Cuando una línea corta a dos rectas paralelas, los ángulo internos alternos son iguales, por lo tanto el

ángulo x = 30° (Materia vista en 9no año).

Utilizamos la razón trigonométrica tan para determinar la distancia del barco al faro.

tan 30° = 45

𝑥 𝑥 =

45

tan 30° 𝑥 = 77,94 𝑚 //

El barco se encuentra a 77,94 m del faro.

Ejercicio:

Calcula la medida de los ángulos faltantes del triángulo de la figura.

45 m

30°

x

Solución:

Hallamos el valor del ángulo α

tan ∝ = 𝑚

𝑚= 1 𝑡𝑎𝑛−1(1) = 45° ∝ = 45° //

Hallamos el valor del ángulo β

tan 𝛽 = 𝑚

𝑚= 1 𝑡𝑎𝑛−1(1) = 45° 𝛽 = 45° //

Ejercicio:

Calcular la altura del triángulo de la figura, si se sabe que uno de los ángulos agudos mide el doble que el

otro, se procede como sigue.

90 + α + 2α=180

90 + 3α = 180 3α = 180 – 90 α=30°

tan 30° = ℎ

5,5 ℎ = tan 30° . 5,5 ℎ = 3,17 //

Ejercicio:

Hallar la siguiente operación.

Sen 30° + Cos 60° =

Según la tabla hallada de razones trigonométricas tenemos

𝑆𝑒𝑛 30° = 1

2 𝑦 𝐶𝑜𝑠 60° =

1

2

Sen 30° + Cos 60° =

Sen 30° + Cos 60° = 1

2+

1

2=

1+1

2= 1 //

α

2α

5,5

h

α β

Ejercicio:

Realice la siguiente operación.

Tan 30° . tan 60° . tan 45°=√3

3 . √3 . 1 =

√9

3 . 1 =

3

3 . 1 = 1 . 1 = 1

Solución:

Tan 30° . tan 60° . tan 45°= √3

3 . √3 . 1 =

√9

3 . 1 =

3

3 . 1 = 1 . 1 = 1 //

Ejercicio:

Realice la siguiente operación.

*Sen 45° + 1/2Cos 45°

Solución:

𝑠𝑒𝑛 45° + 1

2cos 45° =

√2

2+

1

2 .

√2

2 =

√2

2 +

√2

4 =

2√2 + √2

4=

3√2

4 //

Ejercicio:

Realice la siguiente operación:

*3Cos 60° - 2 Sen 30°

Solución:

3 𝐶𝑜𝑠 60° − 2 𝑠𝑒𝑛 30° = 3 .1

2− 2 .

1

2=

3

2−

2

2=

1

2 //

Ejercicio:

DETERMINAR:

𝑠𝑒𝑐245° − 𝑡𝑔 30°

√𝑐𝑡𝑔 53°

Solución:

𝑠𝑒𝑐245° − 𝑡𝑔 30°

√𝑐𝑜𝑡 53°=

(√2)2

−√33

√34

=2 −

√33

√32

=

6 − √33

√32

=2(6 − √3)

3√3

2(6 − √3)

3√3 .

√3

√3=

12√3 − 2√9

3.3=

12√3 − 6

9=

4√3 − 2

3 //

Ejercicio:

Calcula el valor de cada expresión sin utilizar calculadora pero si la tabla de ángulos.

a) Sen 45° + sen 60°

Solución:

√2

2+

√3

2=

√2 + √3

2

b) tan30° . tan 60° . tan 45° sin utilizar calculadora

√3

3 . √3 . 1 =

√32

3=

3

3= 1 //

𝑐) 𝑡𝑎𝑛30° + 𝑡𝑎𝑛60°

1 + 𝑡𝑎𝑛30°. 𝑡𝑎𝑛60°

Sin utilizar calculadora

√33

+ √3

1 +√33

. √3

=

√3 + 3√33

3 + √32

3

=

4√3363

=12√3

18=

4√3

6=

2√3

3

Ejercicio:

Hallar el valor del ángulo que se pide sin utilizar calculadora.

a) Si el sen α = √3

2, ¿ 𝐶𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ∝?

Solución:

sen α = √3

2 corresponde al angulo de 60° //

a) Si el sen α = 1

2, ¿ 𝐶𝑢𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 ∝?

Solución:

sen α = 1

2 corresponde al angulo de 30° //

COLEGIO GONZALO CORDERO CRESPO

CIENCIAS EXACTAS “MATEMÁTICA”

EJERCICIOS RESUELTOS

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES

Pasar o imprimir cuando le sea posible y pegar en el cuaderno de materia, son para autoestudio.

1) Resolver:

Sen 45° + sen 60°

Solución:

Según la tabla tenemos

√2

2+

√3

2= 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚. 𝑐. 𝑑.

√2 + √3

2 //

2) Resolver:

Tan 45° - (cos 60° + sen 30°)=

Según la tabla tenemos:

1 − (1

2+

1

2) =

1 − (1 + 1

2) =

1 − (2

2) =

1 - 1 = 0 //

3) Resolver:

𝑠𝑒𝑛 45° +1

2cos 45° =

Según la tabla tenemos

√2

2+

1

2 .

√2

2=

√2

2+

√2

4= 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑐𝑑.

2√2 + √2

4=

3√2

4 //

4) Resolver:

3cos60° - 2sen 30°=

Según la tabla

3 .1

2− 2 .

1

2=

3

2−

2

2=

3

2− 1 = 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑐𝑑.

3 − 2

2=

1

2 //

5) Resolver:

P=tg260°+sec 45° . csc 45°

Solucion:

Segun la table

𝑃 = (√3)2

+ √2 . √2

𝑃 = 3 + √22 = 3 + 2 = 5 //

6) RESOLVER:

Q= sen2 30° + tan 37°

𝑄 = (1

2)

2

+3

4

𝑄 =1

4+

3

4 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑐𝑑

𝑄 = 4

4 = 1 //

7) RESOLVER:

𝐴 =𝑡𝑔245° + 𝑠𝑒𝑐260°

5 − 3𝑡𝑔60° . 𝑐𝑡𝑔 60°

𝐴 =(1)2 + (2)2

5 − 3 (√3) . (√33

)

𝐴 =1 + 4

5 −3√3 . √3

3

𝐴 =5

5 − √32

𝐴 =5

5 − 3=

5

2 𝑜 2,5 //

8) RESOLVER:

𝑃 =𝑠𝑒𝑛245° + 𝑐𝑜𝑠60°

𝑐𝑠𝑐30°+ (𝑠𝑒𝑐53° + 𝑡𝑎𝑛53°)𝑐𝑜𝑠60° + (𝑡𝑎𝑛260° + 5𝑠𝑒𝑛37°)𝑠𝑒𝑛30°

𝑃 =

(√22

)

2

+12

2+ (

5

3+

4

3)

1

2+ ((√3)

2+ 5.

3

5)

1

2

𝑃 =

(√2)2

4+

12

2+ (

9

3)

1

2+ (3 + 3)

1

2

𝑃 =

24

+12

2+

9

6+ 6 .

1

2

𝑃 =

2 + 242

+3

2+

6

2

𝑃 =

442

+3

2+ 3

𝑃 =1

2+

3

2+ 3

𝑃 =1 + 3 + 6

2=

10

2= 5 //

9) RESOLVER:

2𝑠𝑒𝑛𝜋4

− 3𝑐𝑜𝑠𝜋2

5𝑡𝑔𝜋3

=

Primero transformamos los ángulos de radianes a grados.

𝜋

4 .

180°

𝜋=

180°

4= 45°

𝜋

2 .

180°

𝜋=

180°

2= 90°

𝜋

3 .

180°

𝜋=

180°

3= 60°

2𝑠𝑒𝑛45° − 3𝑐𝑜𝑠90°

5𝑡𝑔60°=

2 .√22

− 3 . 0

5 . √3

√2

5 . √3 𝑆𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟

√2 . √3

5 . √3 . √3=

√6

5 . √32=

√6

5 . 3 =

√6

15 //

10) RESOLVER

√3 𝑐𝑜𝑠260°

cos 30°+

𝑠𝑒𝑛245°

𝑐𝑡𝑔45°

Según la tabla

√3 . (12

)2

√32

+

(√22

)

2

1=

√3 .14

√32

+

√22

22

1=

√34

√32

+

241

=

√34

√32

+2

4=

2. √3

4. √3+

1

2=

1

2+

1

2=

1 + 1

2=

2

2= 1 //

COLEGIO GONZALO CORDERO CRESPO

CIENCIAS EXACTAS “MATEMÁTICA”

TAREA Y EVALUACION: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES

FECHA ENVIO: 20/04/2020 FECHA CIERRE: 24/04/2020

RESUELVA LOS PROBLEMAS EN EL CUADERNO DE MATERIA, LUEGO INGRESE AL LINK

TAREA Y EVALUACION: https://forms.gle/hshEUFqvqMGBZE3g6 QUE ESTARA ACTIVO A PARTIR DEL

21/04/2020

1)DETERMINAR:

2 cos 60° + tan 45°=

2)DETERMINAR:

Cos4 45° - 𝑡𝑔 37°

4=

3)DETERMINAR:

csc 30° + sec 60° + ctg 45°=

4)DETERMINAR:

Sen2 45° + sen 30°=

5)DETERMINAR:

𝑠𝑒𝑐245°−𝑡𝑔 30°

√𝑐𝑜𝑡 53°=

6)DETERMINAR:

sen 37° . con 37° . tg 37° . ctg 37° . sec 37° . csc 37°=

7)DETERMINAR:

Cos4 45° - 𝑡𝑔 37°

4=

8)DETERMINAR:

2 cos 60° + tg 45°=

9) Conteste la Pregunta.

Si el 𝑠𝑒𝑛 ∝ = 1

2 . ¿ 𝐷𝑒 𝑞𝑢é á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎?

10) ¿Qué distancia separa a dos carros A y B que se desplazan sobre una vía, uno al encuentro del otro, si

un hombre con binoculares, situado a 200 m de la vía, observa al auto A con un ángulo de 30° y al auto B

con un ángulo de 45°?