razÓn y proporciÓnprofesorjosebarrossergio.weebly.com/uploads/6/3/9/0/... · 2018. 9. 6. · 7....

Taller de Lógica

RAZÓN Y PROPORCIÓN Magnitud: Es la cualidad de un objeto que se puede medir La longitud de un cuadrado La capacidad de un recipiente El número de trabajadores de una obra La cantidad de dinero que se paga por un producto Razón

La razón entre dos cantidades 𝑎 y 𝑏 es la comparación de ellas mediante la división, se denota

b

a o bien a : b

, donde 𝑎 se denomina antecedente y 𝑏 consecuente. La diferencia entre una razón y una fracción radica que en la fracción los términos son números enteros con el denominador diferente de cero, mientras que en la razón los términos pueden ser decimales. Ejercicios Si de los 32 estudiantes de un salón de clase 12 son mujeres y 20 varones entonces La razón entre el número de mujeres respecto al total de estudiantes es

𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠=

12

32=

3

8

, es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 3 son mujeres

La razón entre el número de varones respecto al total de estudiantes es

𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠=

20

32=

5

8

, es decir que por cada 8 estudiantes del grupo 5 son varones

La razón entre el número de mujeres respecto al número de varones es

𝑀𝑢𝑗𝑒𝑟𝑒𝑠

𝑣𝑎𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠=

12

20=

3

5

, es decir que por cada 5 varones hay 3 son mujeres Problema En un terreno, el área construida es de 120 metros cuadrados y el área libre es de 80 metros cuadrados. ¿Cuál es la razón entre el área construida y el área del terreno total?

Mis Notas de Clase Lic. José F. Barros Troncoso 2

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Proporción

Es una igualdad entre dos razones. 𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑

, donde a, d son los extremos y b, d los medios Propiedades de las proporciones En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.

𝒂 . 𝒅 = 𝒃 . 𝒄 Ejemplo

𝟐

𝟓=

𝟒

𝟏𝟎

𝟐 . 𝟏𝟎 = 𝟓 . 𝟒 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎

En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑=

𝑒

𝑓=

𝑎 + 𝑐 + 𝑒

𝑏 + 𝑑 + 𝑓

Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 entonces

𝑑

𝑐=

𝑏

𝑎

Ejercicios 1. En la universidad de Almeira por cada persona que estudia matemáticas hay 4

estudiantes de derecho. Si en total hay 1520 estudiantes ¿Cuántos prefieren Derecho? ¿cuánto matemáticas?

2. En cierta empresa se necesitan ingenieros, comerciales y secretarias en la siguiente

proporción: por cada secretaria, 2 ingenieros y 3 comerciales. Si la empresa dispone de 3 secretarias, ¿Cuántos ingenieros y comerciales tendrá?

3. La suma de las edades de dos personas es 80 años y están en la razón 7:9. ¿Cuáles

son las edades?


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4. La razón entre dos números es 4

9 y su diferencia es 1.205 ¿Cuáles son los números?

5. La razón entre dos números es 5

4 y la suma de sus cuadrados 369 ¿Cuáles son los

números? 6. La suma de dos números es 91 y están en la razón 4:3. Calcula el valor de cada

número 7. La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.200Kg y están en la razón 7:4.

Calcula el peso de cada vehículo. 8. El perímetro de un rectángulo es128 cm y la razón entre las medidas de sus lados es

5:3. Calcula su área 9. El impuesto predial de cierto inmueble es el 8 por mil de su avalúo catastral. Si una

persona paga $2´400 000, ¿cuál es el avalúo del inmueble? Salud

10. En cierta clínica se va a contratar médicos, enfermeras y camilleros en la siguiente proporción: por cada médico 3 enfermaras y por cada enfermera 2 camilleros. Si se contratan 4 médicos ¿cuántas enfermeras y cuántos camilleros se tiene que contratar?

Cuarto proporcional Es uno cualquiera de los términos de una proporción. Para calcularlo se divide por el opuesto, el producto de los otros dos términos.

2

x=

4

10 entonces x=

2 ×10

4 por lo que x=5

x

5=

4

10 entonces x=

5 ×4

10 por lo que x=2

Medio proporcional Una proporción es continua si tiene los dos medios iguales. Para calcular el medio proporcional de una proporción continua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

3

x=

x

12 entonces x2=3×12=36 x=±√36 = ±6


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Tercero proporcional En una proporción continua, se denomina tercero proporcional a cada uno de los términos desiguales. Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos iguales, dividido por el término desigual.

x

6=

6

12 entonces x =

36

12=3

Ejercicios Calcular el valor de x en las siguientes proporciones

𝑥

105=

20

35

4.4

𝑥=

6.6

5.4

5149

25

=𝑥

815

4 +

27

15 +25

=11

23

𝑥

Magnitudes Directamente Proporcionales Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde más. A menos corresponde menos. Son magnitudes directamente proporcionales, el peso de un producto y su precio. Ejemplo Si 1 kg de tomates cuesta $ 1400, 2 kg costarán $2 800 y ½ kg costará $700. Es decir: A más kilógramos de tomate mayor precio. A menos kilógramos de tomate menor precio. También son directamente proporcionales El espacio recorrido por un automóvil y el tiempo empleado. El volumen de un cuerpo y su peso.


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La longitud de los lados de un polígono y su área. Aplicaciones de la proporcionalidad directa Regla de tres simple y directa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

D 𝐴1 → 𝐶 𝐴1

𝐴2=

𝐶

𝑥 𝑥 =

𝐴2. 𝐶

𝐴1

𝐴2 → 𝑥

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: A más a más. A menos a menos Problemas 1. Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2

horas? Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

D

240 𝐾𝑚 → 3 ℎ 𝑥 𝐾𝑚 → 2 ℎ

240 𝐾𝑚

𝑥=

3ℎ

2ℎ

240 𝐾𝑚 × 2 = 3 × 𝑥 𝑥 =

240 𝐾𝑚 × 2

3= 160 𝐾𝑚

Es decir que en dos horas el automóvil recorre 160 Km 2. Ana compra 5 kg de papa, si 2 kg cuestan $2 160, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a más kilos, mayor valor. D 2 𝐾𝑔 → $2 160 5 𝐾𝑔 → 𝑥

2 𝐾𝑔

5 𝐾𝑔=

$2 160

𝑥

2 × 𝑥 = 5 × $2160 𝑥 =

5 × $2 160

2= $5 400

Es decir que 5 Kg de papa costaran $5 400


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3. Hemos cortado una pieza de tela en 24 paños de 0,80 cm de largo cada uno. ¿Cuántos

paños de 1,20 m de largo podremos cortar?

Definimos las magnitudes Magnitudes

N° de paños Longitud 24 paños 0.8 m

𝑥 1.2 m , las magnitudes son directamente proporcionales, por tanto

𝑥

24 𝑝𝑎ñ𝑜𝑠=

0.8

1.2

, despejando

𝑥 =0.8(24 𝑝𝑎ñ𝑜𝑠)

1.2=

19.2 𝑝𝑎ñ𝑜𝑠

1.2= 16 𝑝𝑎ñ𝑜𝑠

, por tanto se pueden cortar 16 paños de 1.2 m.

4. Una máquina envasa 1200 latas de refresco en una jornada de 8 horas. ¿Cuántas latas de refresco envasará en un día que trabaje 5 horas?

5. Una tubería tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. ¿En

cuánto tiempo se perderán 2300 litros? 6. Tres metros de tela cuestan valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros de la misma tela? 7. Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos,

si mantiene su rapidez constante? 8. Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros

cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones? 9. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar

$ 27.000?

10. Marcela gana $ 540.000 mensuales (considera 30 días). ¿Cuánto dinero gana en 10 días?

11. Si la impresora de una universidad imprime 8 hojas por minuto, ¿cuánto tardará en

imprimir 160 hojas? ¿En una hora cuántas hojas imprimirá?


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12. En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. Si se necesita incrementar la producción a 15 cajas en cuantos horas demás tiene que trabajar.

13. El tanque de gasolina de un auto tiene una capacidad de 40 litros. Como se va de

paseo, se llena el tanque, por lo que paga $ 5 022.5 Si el litro de gasolina cuesta $ 245, ¿Qué parte del tanque estaba con gasolina?

Salud

14. Un medicamento antitusivo viene en presentación de 135 ml. Si se suministra a un paciente dosis de una cucharada cada 4 horas ¿Para cuántos días le alcanza el medicamento? (1 cucharada = 15 ml)

15. La presentación de la penicilina es de 10 ml ya preparada y tiene 4 000 000 unidades

internacionales. Si se debe suministrar en cada inyección 800 000 unidades ¿qué cantidad de penicilina debe suministrarse.

16. Si a un médico le pagan 2´800.000 por atender 320 pacientes al mes ¿cuánto le pagan

por atender 1 paciente?

17. Si un médico atiende 320 pacientes al mes ¿cuántas pacientes tiene que atender por semana si labora 5 días por semana?

18. Un frasco de ampicilina inyectable de 1000 𝑚𝑔, se disuelve en 4 𝑚𝑙 de agua

destilada. Si se necesita inyectar 250 mg de ampicilina ¿Qué cantidad de agua destilada se requiere?

19. Un niño necesita 80 calorías diarias por cada kg de peso ¿Cuántas calorías necesita un niño que pesa 29 kg?

Porcentaje Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que significa “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Los cálculos de porcentajes son muy utilizados para evaluar resultados. Para calcular el porcentaje de un número n a otro p (porcentaje) se divide el segundo por 100 (base) y el resultado se multiplica por el primero.


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Ejercicios 1. Dado el número halla el porcentaje indicado:

a. 4 el 30%: 4 ×30

100= 4 × 0.3 = 1.2

b. 1600 el 18% : 28818,01600100

181600

c. 125 el 40% d. 840 el 25% e. 90 el 64% f. 200 el 28%

Ejercicios Calcula que tanto por ciento es…

20 de 80

90 de 1900

16 de 360

38 de 96

Problemas 1. El precio del galón de gasolina corriente hoy en Colombia es de $8911.68 de dicho

precio, el minorista de la bomba recibe 5% de utilidad, del restante se descuenta un 1% de "margen de continuidad" , del restante el distribuidor mayorista gana 3%, del restante los transportadores de combustible obtienen una utilidad del 4%, del restante el 27% es utilidad para el estado y de lo queda el 51% es utilidad para Ecopetrol, lo restante corresponde al costo de producción de un galón del combustible ¿Cuál es el costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia?¿Cuál es el porcentaje de incremento del galón de gasolina corriente al usuario?

Item % Valor Precio de venta 8911.68 Vendedor 5 8466.10 Margen de continuidad 1 8381.44 mayorista 3 8129.99 Transportador 4 7804.79 Impuesto 27 5697.50 Ecopetrol 51 2791.77

El costo de producción de un galón de gasolina corriente en Colombia es de $2791.77

Valor % 8911.68 x 2791.77 100


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𝑥 =100% × $8911.68

$2791.77=

891168

2791.77% = 319.21%

El porcentaje de incremento de un galón de gasolina corriente en Colombia es del 319.21%

2. Una moto cuyo precio era de $5 000 000, cuesta en la actualidad $250 000 más. ¿Cuál

es el porcentaje de aumento? Las magnitudes son directamente proporcionales

$5 000 000 → 100% $250 000 → 𝑥 $5 000 000

$250 000=

100%

𝑥

5 000 000 × 𝑥= 250 000 × 100%

𝑥 =250 000 × 100%

5 000 000= 5%

El porcentaje de aumento será del 5%.

3. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $53 000 000, nos hacen un descuento del

7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

$53 000 000 → 100% 𝑥 → 7.5%

$53 000 000

𝑥

=100%

7.5%

$53 000 000 × 7.5%= 𝑥 × 100% 𝑥 =

$53 000 000 × 7.5

100

𝑥 = $3 975 000

Para saber el costo del vehículo se debe restar 53 000 000 – 3 975 000 =49 025 000 Por lo tanto se debe pagar $49 0250 000

4. En una fiesta había 100 niños, cada uno con 2 globos. Si el 40% de los niños perdió

un globo y el 50% perdió ambos globos ¿cuántos globos quedaron en la fiesta? Si 100 niños estaban en la fiesta cada uno con dos globos entonces había 200

globos. Como el 40%, es decir 40 niños perdieron un globo, entonces se perdieron 40

globos. El 50%, es decir 50 niños perdieron los dos globos, entonces se perdieron 100

globos más.


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Total de globos perdidos 140. En total había 200 globos en la fiesta, entonces quedan 60 globos

5. En un negocio he obtenido un 36 % de ganancias sobre el capital que invertí. Ahora

mi capital asciende a $2 176 000. ¿Cuánto dinero tenía al principio? Consideremos 𝑥 el dinero que se tenía a principio , por datos 𝑥 + 0.36𝑥 = 2 176 000 , factorizando 𝑥(1 + 0.36) = 2 176 000 , operando: 𝑥(1.36) = 2 176 000

, despejando 𝑥 =2 176 000

1.36

, calculando 𝑥 = 1 600 000 Por tanto al principio se tenía $1 600 000

6. Un joven práctica diariamente 3 deportes durante 2 horas, como lo muestra el

siguiente gráfico de sectores. ¿Cuánto tiempo le dedica a cada deporte? 7. Suponga que el precio normal de un artículo es $60 000, se le descuenta el 20% y al

nuevo precio se le aumenta el 20%, determine el precio final del artículo

8. En una granja el 35% de las aves son patos, el 40% pollos y las restantes gallinas. Si en la granja hay 300 aves, ¿Cuántas gallinas que hay?

9. El 24% de las gallinas de una granja avícola murieron debido a una epidemia. Si el número de aves muertas fue de 28 800, ¿cuántas gallinas tenía la granja avícola?

10. El 56% de la producción de la palma africana se utiliza para la producción de aceite. ¿Cuánto aceite se produce de 120 000 kilogramos de palma?

11. Por la compra de contado de un vestido de $ 280 000 descuentan el 8%. ¿Cuánto se

debe pagar por el vestido? ¿Cuál es el valor del descuento?


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12. Por el arriendo de una casa se pagan $250 000 mensuales. Si el arriendo se incrementa en el 6,2% cada año, ¿cuánto debe pagar de arriendo cada uno de los próximos 5 años?

13. El precio de un computador de $1 760 000. Si el pago es de contado se hace un

descuento del 12%. Halle el precio de contado. 14. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto

se exporta ¿qué porcentaje se exporta? 15. Si se producen 800 000 barriles de petróleo diarios, se consumen 500 000 y el resto

se exporta, ¿Qué porcentaje de barriles se exporta? 16. El precio de un artículo más el impuesto del valor agregado (IVA) es de $ 145 000 si

el IVA es del 16% halle el precio del producto sin IVA. 17. Si un salario se incrementa de $750 000 a $1 095 000 ¿cuál es el incremento

porcentual? 18. Si a un trabajador le incrementan el salario mensual por 24 horas de trabajo semanal

de $1 584 000 a $ 1 774 080 ¿cuál es el incremento porcentual del valor de la hora de trabajo?

19. El precio por la venta de un local es de 250 millones de pesos si se acuerda pagar 220

millones de pesos ¿Qué porcentaje se descontó? 20. Una máquina fabrica al día 450 piezas de las que 18 presentan algún defecto y se

desechan. ¿Qué porcentaje de piezas defectuosas fabrica la máquina? 21. ¿Cuál es el porcentaje cobrado en el impuesto de un vehículo cuyo avalúo comercial

es de $4´300 000 si se paga $70 520? 22. Al vender un libro en $18.000 se pierde el 10% de su valor. ¿Cuál es el valor real de

este libro? 23. Una familia gasta solo en salud $600, además sabiendo que el 42% de sus ingresos

total lo destina para la alimentación, el 28% para el pago de servicios, el 20% en salud y el 10% para otros gastos. ¿Cuántos gastan en alimentación? ¿Cuánto pagan en servicios? ¿Cuánto destinan para otros gastos? Y ¿De cuánto es el ingreso total?

Salud


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24. Si tres de cada 5 personas usan gafas, ¿qué porcentaje de personas no usan gafas? ¿y cuál es el porcentaje de personas que usan gafas?

25. El intestino tiene una longitud total de 7,5 metros. Si el intestino grueso mide 1,5 metros ¿qué porcentaje de longitud corresponde el intestino delgado?

26. El cuerpo humano tiene aproximadamente 80 cm3 de sangre por kilogramos. Una persona que pierde el 40% de su volumen sanguíneo está en riesgo de muerte. ¿cuántos litros de sangre tiene que perder una persona con peso de 90 Kg para estar en riesgo de muerte?

27. En una clínica el 35% de los pacientes que llegan a urgencias es por accidente en el hogar, el 40% por accidente en la calle y el resto por accidente laboral. Si en un día llegan 120 personas ¿cuántos llegan por accidente laboral


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Magnitudes inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos magnitudes cuando: A más corresponde menos. A menos corresponde más. Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el tiempo: A más velocidad corresponde menos tiempo. A menos velocidad corresponde más tiempo. Problemas Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del trayecto será de 3 horas. Aplicaciones de la proporcionalidad inversa Regla de tres simple inversa Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

I 𝑨𝟏 → 𝑪 𝑨𝟐 → 𝒙

𝑨𝟏

𝑨𝟐=

𝒙

𝑪

𝑨𝟏 × 𝑪 = 𝒙 × 𝑨𝟐 𝒙 =

𝑨𝟏 × 𝑪

𝑨𝟐

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones: Problemas 1. Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito.

¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

A más menos A menos más.


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2. Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por minuto

tardará más en llenar el depósito.

I 18𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 14 ℎ𝑟𝑠

7 𝑙/𝑚𝑖𝑛 → 𝑥

18 𝑙/𝑚𝑖𝑛

7 𝑙/𝑚𝑖𝑛=

𝑥

14 ℎ𝑟𝑠 𝑥 =

14 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 18

7

𝑥 = 36 ℎ𝑟𝑎𝑠

Si el caudal fuera de 7 l/min se taradra 36 hras en llenar el deposito.

3. 3 obreros construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 5

obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a más obreros tardarán menos horas.

I 3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 12 ℎ𝑟𝑠

5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠 → 𝑥

3 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠

5 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠=

𝑥

15 ℎ𝑟𝑠 𝑥 =

15 ℎ𝑟𝑎𝑠 × 3

5

𝑥 = 9 ℎ𝑟𝑎𝑠

, obreros tardaran 9 horas en construir el muro

4. Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de

25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda? Son magnitudes inversamente proporcionales: a más radio menos vuelta

I 25 𝑐𝑚 → 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

75 𝑐𝑚 → 𝑥

25 𝑐𝑚

75 𝑐𝑚=

𝑥

300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑥 =

25 × 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

75 𝑐𝑚

𝑥 = 100 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

La rueda de 75 cm dará 100 vueltas


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5. Circulando a 90 km/h hemos tardado 3 horas en recorrer una distancia. ¿Cuánto tardaríamos en llegar si fuéramos a 120 km/h?

6. Una piscina tiene 6 grifos que manan el mismo caudal, en litros de agua por minuto.

Si solo abrimos 2 grifos, la piscina tarda 8 horas en llenarse. Calcula cuánto tiempo tardaría en llenarse si abrimos los seis grifos.

7. Si para construir una obra en 36 días se necesitan 15 operarios, ¿cuántos operarios

serán necesarios para realizar la misma obra en 27 días? 8. Si 5 compañeros pagan el arriendo de un apartamento aportando $150.000 cada uno.

Si llegan 3 compañeros más ¿cuánto tienen que pagar cada uno?

9. Un ganadero tiene 20 vacas y alimento para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el alimento si se mueren 5 vacas?

10. En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días

habrá comida si se incorporan 5 niños al campamento?

11. Si 12 vacas se comen un granero lleno de pasto en 80 días, Si se necesita que el alimento les dure 4 meses ¿Cuántas vacas tiene que vender?

12. En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se tardan 6 días en entregar

un pedido. ¿En cuántas horas diarias deben incrementar el trabajo si necesitan entregar el pedido en 4 días?

Salud 13. La frecuencia cardiaca es inversamente proporcional a la talla. Si la frecuencia

cardíaca de un adulto de 1.8 metros es de 67 latidos por minuto ¿cuál es la frecuencia esperada para un niño de 90 cm o de una persona de 2.1 metros?

14. 2 médicos atiende 320 pacientes en 15 días, si se contratan 45 médicos más ¿Cuánto

tardan en atender la misma cantidad de pacientes? 15. Un medicamento de 250 ml dura 12 días en una sala con 20 pacientes, si llegan 4

pacientes más ¿cuánto dura el medicamento?


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Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Problemas 1. Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua

por valor de $56000. ¿qué cuesta la cantidad de agua vertida por 15 grifos abiertos

12 horas durante los mismos días?

Magnitudes N° Grifos Tiempo (horas) Valor ($) 9 10 56 000 15 12 x

Planteamos la relación a partir de la magnitud en donde está la incógnita

Magnitudes Relación Tipo de Relación Valor $- N° Grifos A más grifos abiertos más valor Directa Valor $ - Tiempo A más tiempo más valor Directa

La relación sería

$56000

𝑥=

9 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠

15 𝐺𝑟𝑖𝑓𝑜𝑠=

10 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠


Simplificando y despejando

𝑥 =$56000 × 15 × 12

9 × 10

𝑥 = $112 000

Mantener 15 grifos abiertos durante 12 horas cuesta $112 000

2. 5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días.

¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 8 horas diarias?


Taller de Lógica

Magnitudes Obreros Horas diarias Días 5 6 2 4 8 x


Magnitudes Relación Tipo de Relación

Días - Obreros A más obreros menos días Inversa Días – Horas Diarias

A más horas diarias menos días

Inversa

La relación sería

2 𝑑í𝑎𝑠

𝑥=

4 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠

5 𝑜𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠=

8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠

6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠

Simplificando

2 𝑑í𝑎𝑠

𝑥=

4

5=

4

3

Despejando

𝑥 =2 𝑑í𝑎𝑠 × 5 × 3

4 × 4= 1.875 𝑑í𝑎𝑠 ≈ 2 𝑑í𝑎𝑠

4 obreros trabajando 8 horas diarias construirán el muro en aproximadamente 2

días

3. Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30

m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los

50 m de muro que faltan?

Magnitudes Obreros Días Trabajando Horas diarias Longitud del muro 8 9 6 30 10 x 8 50


Magnitudes Relación Tipo de Relación Días - Obreros A más obreros menos días Inversa

Días – Horas Diarias A más horas diarias menos días Inversa


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Días – longitud el muro A más días más alto el muro Directa

La relación sería 9 𝑑í𝑎𝑠

𝑥=

10 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠

8 𝑂𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜𝑠=


6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠=

30 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

50 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

, simplificando 9 𝑑í𝑎𝑠

𝑥=

5

4=

4

3=

3

5

, despejando

𝑥 =4 × 3 × 5 × 9 𝑑í𝑎𝑠

5 × 4 × 3= 9 𝑑í𝑎𝑠

Por lo tanto 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar un muro de 50 m en

9 días. 4. Una estufa de gasolina consume 10 galones en 8 días funcionando 6 horas diarias

¿cuánta gasolina se necesita para 50 días, si se enciende la estufa durante 8 horas

diarias?

Organizamos las magnitudes Magnitudes

Galones Días funcionando Horas diarias 10 8 6 x 50 8


Magnitudes Relación Tipo de Relación Gasolina - Días A más días más gasolina Directa Gasolina – Horas Diarias A más Horas más gasolina Directa

La relación sería

10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑥=

8 𝑑í𝑎𝑠

50 𝑑í𝑎𝑠=



, simplificando 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

𝑥=

4

25=

3

4

, despejando

𝑥 =25 × 4 × 10 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

4 × 3= 83.33 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠 ≈ 84 𝐺𝑎𝑙𝑜𝑛𝑒𝑠

Por lo tanto para 50 días, encendiendo durante 8 horas diarias se necesitarían aproximadamente 84 Galones de gasolina.


Taller de Lógica

5. Un depósito de 500 litros de capacidad se llena con un grifo de 4 cm 2 de sección en

un tiempo de 12 horas. Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo

de 5 cm2 de sección, ¿cuánto tiempo tardara en llenarse?

Organizamos las magnitudes

Magnitudes Capacidad (litros)

Sección (cm2) Tiempo (Horas)

500 4 12 750 5 x


Magnitudes Relación Tipo de Relación

Tiempo - Capacidad A más capacidad más tiempo Directa Tiempo - Sección A más sección menos tiempo Inversa

, la relación sería


𝑥=

500 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

750 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠=

5 𝑐𝑚2

4 𝑐𝑚2

, simplificando 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑥=

2

3=

5

4

, despejando

𝑥 =3 × 4 × 12 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

2 × 5= 14.4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Un depósito de 750 litros de capacidad se llena con un grifo de 5 cm2 de sección tardaría en llenarse aproximadamente 14.4 horas.

6. Seis personas gastan $2 100 000 durante 4 meses en gastos de transporte. Si el gasto

durante 10 meses ha sido de $3 600 000 ¿a cuántas personas corresponde? 7. Una fábrica trabajando 8 horas diarias ha necesitado 5 días para fabricar 1.000

blusas. ¿Cuántos días demás tardará para fabricar 3.000 blusas si trabaja 10 horas diarias?

8. Seis personas pueden vivir en un hotel durante 12 días por 792 dólares. ¿Cuánto costará el hotel de 15 personas durante ocho días?


Taller de Lógica

9. Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de verja de

80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.

10. 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días.

¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

11. Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas

horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

12. Si 10 máquinas fabrican 4.000 unidades de un producto en 5 días, ¿cuántas máquinas serán necesarias para triplicar la producción en 6 días, trabajando la misma cantidad de horas diariamente?

13. En una granja avícola hay 5600 gallinas que ponen 11200 huevos en 12 horas de luz.

Si en la granja se sacrifican 2800 gallinas, ¿cuántos huevos habrá puesto durante tres horas, el resto de las gallinas?

14. Se compran 4200 Kg de alimento para alimentar cincuenta terneros durante una

semana. ¿Cuántos kilos de alimentos demás hay que comprar si el número de animales se incrementa en 20 y el alimento tiene que durar 15 días?

Salud

15. 6 médicos realizan 32 cirugías en 8 días, si se contratan 4 médicos más ¿cuánto

tiempo emplearan en realizar 40 cirugías? 16. Un consultorio contrata 2 médicos para que atiendan 510 pacientes en dos meses,

debido a la ampliación de cobertura el número de pacientes aumentará en 1500 y se deben atender en 1 mes ¿cuántos médicos más se tiene que contratar?

17. 5 médicos atienden 80 pacientes trabajando 4 horas diarias en 2 días ¿cuánto

tardaran 4 médicos trabajando 5 horas diarias atendiendo la misma cantidad de pacientes?

18. En una campaña de vacunación 25 enfermeros aplicaron 500 vacunas durante 3 días

¿cuántos enfermeros se necesitan contratar para aplicar 1200 vacunas en 5días? 19. En una sala de 22 pacientes un medicamento de 450 ml dura 12 días, si se ingresan

6 pacientes más y el medicamento se aumenta en 550 ml ¿cuántos días dura?


Taller de Lógica

Repartos Directamente Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad 𝒏 de forma directamente proporcional a unas cantidades a, b, c…, hacemos lo siguiente: Calculamos la constante de proporcionalidad 𝑘 que representa la relación entre la cantidad a repartir 𝑛 y las cantidades entre las que se va a repartir (𝑎, 𝑏, 𝑐, … ). La obtenemos por la fórmula

𝑘 =𝑛

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + ⋯

Multiplicamos el valor de la constante 𝑘 por cada uno de las partes por la que n se va a repartir (𝑎, 𝑏, 𝑐, … ) Para verificar los resultados constatamos que la suma de las cantidades repartidas es igual a 𝑛

𝑘𝑎 + 𝑘𝑏 + 𝑘𝑐 + ⋯ += 𝑛 Problemas

1. Un padre reparte $7 000 00 en partes directamente proporcionales a sus edades: El menor de 8 años, el segundo de 12 años y el mayor de 15 años. ¿Cuánto recibirá cada hijo?

Inicialmente sumamos las edades 8 + 12 + 15 = 35

Dividimos la cantidad a repartir por la suma 𝑘 =7 000 000

35= 200 000

Multiplicamos cada parte por la constante: Para el menor 8 × 200 000 = 1 600 000 Para el segundo 12 × 200 000 = 2 400 000 Para el mayor 15 × 200 000 = 3 000 000 Para verificar sumamos los valores 1 600 000 + 2 400 000 + 3 000 000 =

7 000 000

2. Una localidad tiene 3 colegios. El colegio A tiene matriculados 520 estudiantes, el B 360 estudiantes y el C 140 estudiantes. Para su funcionamiento se debe repartir $12 000 000 en partes directamente proporcionales al número de estudiantes que tienen matriculados. ¿Cuánto recibirá cada colegio? Inicialmente sumamos el número de estudiantes de cada colegio 520 + 360 +

140 = 1020

Dividimos la cantidad a repartir por la suma 𝑘 =12 000 000

1020= 11 764.7

Multiplicamos cada parte por la constante: Para el colegio A 520 × 11 764.7 = 6 117 644 Para el colegio B 360 × 11 764.7 = 4 235 292 Para el colegio C 140 × 11 764.7 = 1 647 058 Para verificar sumamos los valores 6 117 644 + 4 235 292 + 1 647 058 =

11 999 994


Taller de Lógica

3. Dos socios invierten en un negocio acordando que los beneficios se repartirán

proporcionalmente a la inversión de cada uno. El primero invirtió 15 millones de pesos y el segundo 35 millones de pesos. Si los beneficios fueron de 100 millones de pesos ¿cuánto le corresponde a cada uno?

4. Tres obreros trabajan 15, 8 y 5 días, respectivamente, recibiendo en total $ 4 600

000 ¿Cuánto corresponde a cada uno? 5. Por hacer un trabajo tres obreros han cobrado $2´013.000 euros. Uno trabajo 15

días, otro 12 días y el tercero 6 días, sin coincidir ningún día trabajando. ¿Cuánto le corresponderá a cada uno?

6. Dos socios tuvieron una ganancia de $28 300 000 ¿qué beneficio correspondió a cada

uno si el primero invirtió $ 10 000 000 y el segundo $ 15 500 000? 7. La construcción de un puente ha costado $5 813 560 000, cantidad que han de

sufragar tres municipios proporcionalmente al número de sus habitantes. El primer tiene 43 390, el segundo 54 202 y el tercero 95 010 habitantes respectivamente. ¿Qué cantidad debe pagar cada municipio?

8. Repartir 540 caramelos entre cuatro niños de forma directamente proporcional a las

edades de cada uno de ellos, que son 3, 4, 5 y 6 años. 9. Para la puesta en marcha de un negocio, tres socios aportan respectivamente 5, 8 y

7 millones de pesos. Cuando los beneficios llegan a 140 millones de pesos, deciden liquidar el negocio. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada socio?

10. Un empresario decide, por navidad, repartir entre sus 5 empleados un aguinaldo de

4´000.000 proporcionalmente a los años de trabajo en la empresa. ¿Cuánto le corresponde a cada uno sabiendo que llevan 1, 2, 3, 4 y 6 años trabajando en la misma?

11. En una urbanización, se realizan unos trabajos de saneamiento cuyo valor es de $1

700 000. El costo está repartido proporcionalmente según la superficie: 750 𝑚2,840 𝑚2, 650 𝑚2 𝑦 960 𝑚2. ¿Qué parte ha de pagar cada propietario?

12. Un grupo de agricultores alquila una máquina cosechadora de uva por $1 215 000.

Cada agricultor pagará proporcionalmente al tiempo que la utilice. El primero la utiliza durante 18 días trabajando 5 horas diarias; el segundo 20 días a 6 horas diarias y el tercero 15 días a 4 horas diarias. ¿Cuánto debe pagar cada uno?


Taller de Lógica

Repartos Inversamente Proporcionales Para realizar el reparto de una cantidad 𝒏 de forma inversamente a unas cantidades a, b, c…, hacemos lo siguiente: Calculamos la constante de proporcionalidad 𝑘. En este caso representa la relación entre la cantidad a repartir 𝑛 y la suma de los inversos de las cantidades que se va a repartir (𝑎, 𝑏, 𝑐, …). La calculamos mediante la fórmula

𝑘 = 𝑛 ÷ (1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐+. . )

Multiplicamos a 𝑘 por cada uno de los inversos para hallar la cantidad que le corresponde a cada uno, así

𝑘 (𝟏

𝒂) , 𝑘 (

𝟏

𝒃) , 𝑘 (

𝟏

𝒄) , …….

Para verificar los resultados constatamos que la suma de las cantidades repartidas es igual a 𝑛

𝑘 (𝟏

𝒂) + 𝑘 (

𝟏

𝒃) + 𝑘 (

𝟏

𝒄) + ⋯ = 𝑛….

Ejercicio 1. Los dos camareros de un bar se reparten al final de mes un bote con $136 000 de

propina de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado. Si

uno ha faltado 3 días y otro 5, ¿cuántos euros corresponde a cada uno?

Por datos 𝑛 = 136 000, 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5 Hallamos la constante de proporcionalidad, por la fórmula,

𝑘 = 𝑛 ÷ (1

𝑎+

1

𝑏)

, remplazando

𝑘 = 136 000 ÷ (1

3+

1

5) = 136 000 ÷ (

8

15)

𝑘 = 255 000 , multiplicamos la constante por cada inverso para saber cuánto le corresponde a cada uno

El que falto 3 días: 𝑘 ×1

𝑎= 255 000 ×

1

3= 85 000


𝑏= 255 000 ×

1

5= 51 000

Si sumamos lo que le corresponde a cada uno 85 000 + 51 000 = 136 000 Es decir que al que falto 3 días le corresponde $85 000 y al que falto 5 días $51 000


Taller de Lógica

2. Los tres camareros de una cafetería, han estado enfermos durante 3, 6 y 9 días del

mes de marzo. Durante este mes han recibido $770 000 de propina que se han de

repartir de forma inversamente proporcional a los días no trabajados. ¿Cuánto

dinero le corresponden a cada uno de ellos?

Por datos 𝑛 = 770000, 𝑎 = 3, 𝑏 = 6 y 𝑐 = 9 Hallamos la constante de proporcionalidad, por la fórmula,

𝑘 = 𝑛 ÷ (1

𝑎+

1

𝑏+

1

𝑐)

, remplazando

𝑘 = 770 000 ÷ (1

3+

1

6+

1

9) = 770 000 ÷ (

11

18)

𝑘 = 1 260 000 , multiplicamos la constante por cada inverso para saber cuánto le corresponde a cada uno


𝑎= 1 260 000 ×

1

3= 420 000


𝑏= 1 260 000 ×

1

6= 210 000


𝑐= 1 260 000 ×

1

9= 140 000

Si sumamos lo que le corresponde a cada uno 420 000 + 210 000 + 140 000 =770 000 Es decir que al que falto 3 días le corresponde $420 000, al que falto 6 días $210 000 y al que falto 9 días $140 000.

3. Para premiar a los mejores empleados una clínica reparte $1´860.000 inversamente

proporcional a sus sueldos que son respectivamente $600.000, $900.000 y $1´200.000 ¿Cuánto recibirá cada uno?

4. Repartir 114 caramelos entre cuatro niños de forma inversamente proporcional a

las edades de ellos que son de 3, 4, 5 y 6 años respectivamente. 5. En una competición se van a repartir 174 puntos entre cinco participantes, en orden

inversamente proporcional al tiempo que tardan en realizar la prueba. Si los participantes tardan 4, 6, 8, 10 y 12 minutos respectivamente, ¿cuántos puntos le corresponde a cada uno?

6. Tres amigos se reparten una pizza de forma inversamente proporcional a sus pesos

que son respectivamente 60, 72 y 90 kilogramos. ¿Qué parte de pizza se debe comer cada uno?


Taller de Lógica

7. Un profesor entrega una relación de 86 ejercicios a cuatro alumnos para que se los

repartan con la condición de que cada uno resuelva una cantidad inversamente proporcional a las calificaciones obtenidas en un examen. Las calificaciones han sido 2, 4, 5 y 8. ¿Cuántos ejercicios debe resolver cada uno?

8. Un padre reparte entre sus tres hijos 420 € de forma inversamente proporcional a

sus edades, que son 3, 5 y 6 años, respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno de ellos?

9. El premio de una carrera es de 550 € y se repartirá entre los tres primeros

corredores en acabar la prueba de forma inversamente proporcional al orden de llegada, es decir, inversamente proporcional a 1, 2 y 3. ¿Qué cantidad le corresponde a cada corredor?

10. Tres personas A, B y C reciben 3´000.000 por traducir un texto. El pago se realiza de

manera inversamente proporcional al tiempo empleado en hacer el trabajo. Si tardaron 15, 12 y 10 horas respectivamente ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?

11. En una carrera los premios se reparten en partes inversamente proporcionales a los

tiempos invertidos por los corredores. La cantidad a repartir es de $9 900 000 entre los tres primeros que han tardado 2, 4 y 6 minutos respectivamente. ¿Qué premio corresponde a cada uno?

12. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €.

Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?

razÓn y proporciÓnprofesorjosebarrossergio.weebly.com/uploads/6/3/9/0/... · 2018. 9. 6. · 7....

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