RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ

Lic YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO

DEFINICION DE ESPACIO RENGLON Y ESPACIO COLUMNA

Sea A una matriz de mxn.1.El espacio renglón de A es el subespacio de generado por los vectores renglón de A.2.El espacio columna de A es el subespacio degenerado por los vectores columna de A.

EJEMPLO 1

TEOREMA 1: Las matrices equivalentes por renglones tienen el mismo espacio renglón

Si una matriz A mxn es equivalente por renglones a una matriz B mxn, entonces el espacio renglón de A es igual al espacio renglón de B.Lo anterior significa qu el espacio renglon de una matriz no se modifica por la aplicación de operaciones elementales en los renglones.

TEOREMA 2:Base para el espacio renglón de una matriz

Si una matriz A es equivalente por renglones a una matriz B que está en forma escalonada, entonces los vectores renglón de B diferentes de cero forman una base del espacio renglón de A.EJEMPLO 2

SOLUCIÓN EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

TEOREMA 3:Los espacios de los renglones y las columnas tienen iguales dimensiones

Si A es una matriz mxn ,entonces el espacio del renglón y el espacio de la columna de A tienen la misma dimensión

DEFINICION DEL RANGO DE UNA MATRIZ

La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz A se llama rango de A y se denota por rango de (A).

TEOREMA 4:Soluciones de un sistema homogéneo

Si A es una matriz de mxn entonces el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales Ax=0 es un subespacio de .OBSERVACIONEl espacio solución de Ax=0 también se denomina espacio nulo de la matriz A . Además,la dimensión del espacio solución se denomina NULIDAD de A.

EJEMPLO

TEOREMA:DIMENSIÓN DEL ESPACIO SOLUCION

Si A es una matriz de mxn con rango r, entonces la dimensión del espacio solución de Ax=0 es n-r.En conclusión:Rango + nulidad =n

EJEMPLO 7

TEOREMA:SOLUCIONES DE UN SISTEMA LINEAL NO HOMOGENEO

SI Xp es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces toda solución de este sistema puede escribirse en la forma X=Xp+Xh donde Xh es una solución del sistema homogéneo Ax=0 correspondiente.

ejemplos:

Teorema :Numero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

ejemplo