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Raúl Juan Martínez

Matem

áticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Educàlia Editorial

MATEMÁTICASAPLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS

CIENCIAS SOCIALES II


A mis padres. A mi mujer.

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ÍNDICE Tema 1. Matrices. Determinantes ..................................................................................... 9

1. Matrices. Tipos de matrices ................................................................................................................. 11 1.1. Matrices 1.2. Tipos de matrices

2. Operaciones con matrices .................................................................................................................... 12 2.1. Suma de matrices 2.2. Producto de un número por una matriz 2.3. Producto de matrices 2.4. Matriz traspuesta

3. Matriz inversa ........................................................................................................................................... 14 3.1. Matriz inversa 3.2. Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición 3.3. Cálculo de la matriz inversa usando el método de Gauss

4. Rango de una matriz ............................................................................................................................... 16 4.1. Definición 4.2. Obtención del rango de una matriz por el método de Gauss 4.3 Discusión del rango de una matriz con un parámetro

5. Determinantes .......................................................................................................................................... 17 5.1. Determinantes 5.2. Determinantes de orden dos 5.3. Determinantes de orden tres 5.4. Propiedades de los determinantes

6. Aplicaciones de los determinantes ................................................................................................... 19 6.1. Cálculo de la inversa de una matriz 6.2. Obtención del rango de una matriz

7. Ejercicios .................................................................................................................................................... 21 7.1. Ejercicios de matrices 7.2. Ejercicios de determinantes 7.3. Soluciones

Tema 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss ................................ 27 1. Sistemas de ecuaciones ......................................................................................................................... 29

1.1. Definiciones 1.2. Clasificación de los sistemas en función del número de soluciones 1.3. Sistemas de ecuaciones equivalentes 1.4. Sistemas escalonados

2. Método de Gauss ...................................................................................................................................... 30 3. Discusión de sistemas de ecuaciones ................................................................................................ 31

3.1. Utilizando el método de Gauss 3.2. Utilizando determinantes

4. Resolución de problemas usando Gauss ......................................................................................... 34 5. Ejercicios .................................................................................................................................................... 36

5.1. Sistemas de ecuaciones 5.2. Discusión de sistemas de ecuaciones 5.3. Problemas 5.4. Soluciones

Tema 3. Programación lineal ........................................................................................... 41 1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas ....................................................................................... 43 2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas ............................................................... 44

5

3. Programación lineal. Formulación general ................................................................................... 45 4. Resolución de problemas de programación ................................................................................. 46

4.1. Propiedades 4.2. Ejemplos

5. Ejercicios ..................................................................................................................................................... 51 5.1. Ejercicios 5.2. Problemas 5.3. Soluciones

Tema 4. Límites y continuidad .......................................................................................... 57 1. Límite de una función ............................................................................................................................ 59

1.1. Límites laterales 1.2. Límite de una función

2. Propiedades de los límites ................................................................................................................... 59 3. Cálculo de límites sencillos .................................................................................................................. 60 4. Resolución de indeterminaciones ..................................................................................................... 61

4.1. Indeterminaciones del tipo



4.4. Indeterminaciones del tipo ∞−∞ 4.5. Indeterminaciones del tipo 1

5. Continuidad de funciones. Tipos de discontinuidad .................................................................. 67 5.1. Continuidad de funciones 5.2. Discontinuidades

6. Asíntotas de funciones ........................................................................................................................... 69 6.1. Asíntotas verticales (A.V.) 6.2. Asíntotas horizontales (A.H.) 7.3. Asíntotas oblicuas (A.O.)

7. Ejercicios ..................................................................................................................................................... 71 7.1. Ejercicios 7.2. Soluciones

Tema 5. Derivadas. Aplicaciones ..................................................................................... 75 1. Derivada de una función ....................................................................................................................... 77

1.2. Derivada de una función en un punto 1.3. Derivadas laterales 1.4. Derivabilidad y continuidad 1.5. Función derivada. Derivadas sucesivas

2. Reglas de derivación .............................................................................................................................. 79 2.1. Derivadas 2.2. Derivadas de operaciones con funciones 2.3. Tabla de derivadas

3. Recta tangente a una curva .................................................................................................................. 83 4. Información extraída de la primera derivada .............................................................................. 84

4.1. Crecimiento y decrecimiento de funciones 4.2. Máximos y mínimos relativos de funciones

5. Información extraída de la segunda derivada .............................................................................. 87 5.1. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión 5.2. Máximos y mínimos relativos

6. Optimización de funciones ................................................................................................................... 88 7. Ejercicios .................................................................................................................................................... 90

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7.1. Ejercicios 7.2. Soluciones

Tema 6. Representación de funciones .......................................................................... 95 1. Elementos fundamentales para construir gráficas ..................................................................... 97

1.1. Dominio de definición 1.2. Simetrías 1.3. Puntos de corte 1.4. Periodicidad 1.5. Regiones de existencia de la función 1.6. Asíntotas 1.7. Monotonía y extremos relativos

2. Ejemplos de representación .............................................................................................................. 103

2.1. Función ( ) =

2.2. Función ( ) =

2.3. Función ( ) =

3. Ejercicios .................................................................................................................................................. 108

Tema 7. Iniciación a las integrales ............................................................................... 109 1. Primitivas. Reglas básicas para su cálculo ................................................................................... 111

1.1. Introducción 1.2. Primitiva e integral indefinida 1.3. Métodos de integración

2. Integral definida ..................................................................................................................................... 118 2.1. Integral definida 2.2. Propiedades de las integrales definidas 2.3. Regla de Barrow

3. Cálculo de áreas usando integrales ................................................................................................. 120 3.1. Área de un recinto donde interviene una función 3.2. Área de un recinto donde intervienen dos funciones

4. Ejercicios .................................................................................................................................................. 121 4.1. Integrales indefinidas 4.2. Integrales definidas 4.3. Áreas 4.4. Soluciones

Tema 8. Probabilidad ......................................................................................................... 125 1. Sucesos ....................................................................................................................................................... 127

1.1. Experimento aleatorio, espacio muestral y sucesos 1.2. Suceso contrario o complementario

2. Operaciones con sucesos .................................................................................................................... 128 2.1. Unión de sucesos 2.2. Intersección de sucesos 2.3. Diferencia de sucesos 2.4. Leyes de Morgan

3. Probabilidad ............................................................................................................................................ 130 3.1. Definición axiomática de probabilidad 3.2. Propiedades de la probabilidad 3.3. Regla de Laplace

4. Probabilidad condicionada ................................................................................................................ 133 5. Probabilidad compuesta ..................................................................................................................... 134

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5.1. Probabilidad compuesta 5.2. Sucesos independientes 5.3. Diagramas en árbol 5.4. Tablas de contingencia

6. Probabilidad total y Teorema de Bayes ........................................................................................ 137 7.1. Probabilidad total 7.2. Probabilidades a posteriori. Fórmula de Bayes

7. Ejercicios .................................................................................................................................................. 139 7.1. Ejercicios 7.2. Problemas 7.3. Soluciones

Tema 9. Estadística ............................................................................................................. 145 1. Estimación de la distribución normal ............................................................................................ 147

1.1. Variable aleatoria 1.2. Distribución normal 1.3. Intervalo de confianza para la media 1.4. Relación entre nivel de confianza, error admisible y tamaño de la muestra 1.5. Hipótesis estadísticas 1.6. Contrastes de hipótesis para la media

2. Estimación de la distribución de una proporción ..................................................................... 154 2.1. Distribución binomial 2.2. La distribución binomial se aproxima a la normal 2.3. Cálculo de probabilidades en una binomial mediante aproximación a la normal 2.4. Intervalo de confianza para una proporción o una probabilidad 2.5. Contrastes de hipótesis para la proporción

3. Ejercicios .................................................................................................................................................. 158 3.1. Ejercicios 3.2. Soluciones

TEMA 1

MATRICES. DETERMINANTES

Todos somos unos genios. Pero si juzgas a un pez por su habilidad de escalar un árbol, vivirá su vida entera creyendo que es estúpido.

Albert Einstein

Tema 1. Matrices. Determinantes

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ÍNDICE

1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES ................................................................................................... 11 1.1. Matrices .......................................................................................................................................................... 11 1.2. Tipos de matrices ....................................................................................................................................... 11

2. OPERACIONES CON MATRICES ....................................................................................................... 12 2.1. Suma de matrices........................................................................................................................................ 12 2.2. Producto de un número por una matriz ............................................................................................. 13 2.3. Producto de matrices ................................................................................................................................ 13 2.4. Matriz traspuesta........................................................................................................................................ 14

3. MATRIZ INVERSA ................................................................................................................................ 14 3.1. Matriz inversa .............................................................................................................................................. 14 3.2. Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición ................................................................... 14 3.3. Cálculo de la matriz inversa usando el método de Gauss ........................................................... 15

4. RANGO DE UNA MATRIZ ................................................................................................................... 16 4.1. Definición ...................................................................................................................................................... 16 4.2. Obtención del rango de una matriz por el método de Gauss ...................................................... 16 4.3. Discusión del rango de una matriz con un parámetro .................................................................. 16

5. DETERMINANTES ................................................................................................................................ 17 5.1. Definición ...................................................................................................................................................... 17 5.2. Determinantes de orden dos .................................................................................................................. 17 5.3. Determinantes de orden tres ................................................................................................................. 17 5.4. Propiedades de los determinantes ...................................................................................................... 18

6. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES .................................................................................. 19 6.1. Calculo de la inversa de una matriz ..................................................................................................... 19 6.2. Obtención del rango de una matriz ...................................................................................................... 20

7. EJERCICIOS ............................................................................................................................................ 21 7.1. Ejercicios de matrices ............................................................................................................................... 21 7.2. Ejercicios de determinantes ................................................................................................................... 24 7.3. Soluciones ..................................................................................................................................................... 25


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1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES 1.1. Matrices

Definición: Las matrices son tablas numéricas rectangulares de la forma = …⋮ ⋮…

donde los elementos, , son números reales.

Al designar una matriz genérica, cada término tiene dos subíndices que indican la fila y la columna a la que pertenecen. Así, el término indica que está en la fila y la columna .

De forma abreviada, se puede expresar como: = .

Nuestra matriz tiene filas y columnas, por lo que se dice que es de dimensión × , y se escribe ℳ × .

Ejemplos: = 1 2−2 3 ∈ ℳ × = 30 ∈ ℳ × = (−2 3) ∈ ℳ ×

Definición: Dos matrices son iguales cuando, siendo de la misma dimensión, son iguales los elementos que ocupan el mismo lugar.

1.2. Tipos de matrices

Matriz fila: Son las matrices de dimensión 1 × . También se llaman vectores fila. = (1 0 −4) ∈ ℳ ×

Matriz columna: Son las matrices de dimensión × 1. También se llaman vectores columna. = −215 ∈ ℳ ×

Matriz nula: Es la matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se representa por . = 0 00 0

Matriz cuadrada: Es la matriz que tiene igual número de filas y de columnas. Se dice que es de dimensión en vez de × . Distinguiremos la diagonal principal, que está formada por los elementos que se encuentran en la diagonal que va del vértice superior izquierdo al inferior derecho. Cuando una matriz no es cuadrada, decimos que es una matriz rectangular. = 1 2−2 3 ∈ ℳ = 1 −2 23 0 1 ∈ ℳ ×

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que son nulos todos los elementos que no son de la diagonal principal. = 2 00 3 = 2 0 00 3 00 0 −1


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Matriz identidad o unidad: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son unos. Se representa por . = 1 00 1 = 1 0 00 1 00 0 1

Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada en la que los elementos que ocupan lugares simétricos respecto de la diagonal principal son iguales, es decir, = ∀ , . = 2 11 3 = 2 1 01 0 30 3 1

Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos situados por debajo de su diagonal principal son nulos. = 2 10 3 = 2 1 50 3 30 0 1

Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos situados por encima de su diagonal principal son nulos. = 2 01 3 = 2 0 01 3 05 0 5

2. OPERACIONES CON MATRICES 2.1. Suma de matrices

Para que dos matrices puedan sumarse, es necesario que tengan la misma dimensión. En tal caso, se suman término a término. + = + = +

Se verifican las siguientes propiedades:

Asociativa: ( + ) + = + ( + )

Conmutativa: + = +

Elemento neutro: Es la matriz nula: + 0 = 0 + =

Elemento opuesto: Toda matriz, , tiene una opuesta, −

Si representamos por ℳ × el conjunto de todas las matrices de dimensión × , tomando las propiedades de la suma, tenemos: ( × , +)

Veamos un ejemplo de cómo realizar la suma de matrices: = 1 2 34 5 67 8 9 ∈ ℳ= −1 0 22 1 33 −2 −5 ∈ ℳ ⎭⎪⎬

⎪⎫ → + = 1 − 1 2 + 0 3 + 24 + 2 5 + 1 6 + 37 + 3 8 − 2 9 − 5 = 0 2 56 6 910 6 4 ∈ ℳ


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2.2.Producto de un número por una matriz

Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica por el número cada término de la matriz. ∙ = ∙ = ∙


Asociativa: ∙ ( ∙ ) = ( ∙ ) ∙

Distributiva I: ( + ) ∙ = ∙ + ∙

Distributiva II: ∙ ( + ) = ∙ + ∙

Producto por 1: 1 ∙ =

Tomando las propiedades de la suma y del producto de un número por una matriz, tenemos: ( × , +,∙ ℝ) ℝ

Veamos un ejemplo de cómo se realiza la multiplicación de un número por una matriz: = 2 = −1 0 22 1 3 ∈ ℳ2×3 → ∙ = 2 · (−1) 2 · 0 2 · 22 · 2 2 · 1 2 · 3 = −2 0 44 2 6 ∈ ℳ2×3

2.3. Producto de matrices

Para que dos matrices y puedan multiplicarse, ∙ , es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda.

En tal caso, el producto ∙ = es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera matriz por cada vector columna de la segunda matriz, realizando la suma de los valores obtenidos, es decir, se multiplica componente a componente la fila i–ésima de por la columna k–ésima de , sumando a continuación todos los resultados. = ∙ + ⋯ + ∙ 1 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤

Así, si ∈ ℳ × ∈ ℳ × , entonces tenemos que = ∙ ∈ ℳ ×


Asociativa: ∙ ( ∙ ) = ( ∙ ) ∙

Distributiva respecto de la suma: ∙ ( + ) = ∙ + ∙

Elemento unidad: Es la matriz identidad: ∙ = ∙ =

NO conmutativa: En general, ∙ ≠ ∙

Tomando las propiedades de la suma, del producto de un número por una matriz y del producto de matrices, tenemos: ( × , +,∙ ℝ,∙) ℝ −

Veamos un par de ejemplos de cómo se realiza la multiplicación de matrices, donde: = −1 0 22 1 4 ∈ ℳ × = 1 43 0−1 2 ∈ ℳ ×


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∙ = −1 0 22 1 4 ∙ 1 43 0−1 2 = −1 + 0 − 2 −4 + 0 + 42 + 3 − 4 8 + 0 + 8 = −3 01 16 ∈ ℳ

∙ = 1 43 0−1 2 ∙ −1 0 22 1 4 = −1 + 8 0 + 4 2 + 16−3 + 0 0 + 0 6 + 01 + 4 0 + 2 −2 + 8 = 7 4 18−3 0 65 2 6 ∈ ℳ

Se puede observar en el ejemplo que NO se verifica la propiedad conmutativa, ya que ∙ es de dimensión 2 × 2 y ∙ es de dimensión 3 × 3, por lo que ∙ ≠ · .

2.4. Matriz traspuesta

Dada una matriz ∈ ℳ × , llamamos traspuesta de , y se representa por , a una matriz que se obtiene de al cambiar en ella filas por columnas.

Si ∈ ℳ × entonces ∈ ℳ × .


( ) = ( + ) = + ( ∙ ) = ∙ ( ∙ ) = ∙

Veamos un ejemplo: = −1 0 22 1 3 ∈ ℳ × → = −1 20 12 3 ∈ ℳ ×

3. MATRIZ INVERSA 3.1. Matriz inversa

Una matriz cuadrada ∈ ℳ se dice regular si existe otra matriz del mismo orden, llamada

inversa de , y que se representa por , tal que: ∙ = ∙ =

donde es la matriz identidad de orden .

Se verifican las siguientes propiedades: ( ) = ( ∙ ) = ∙

3.2. Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición

Si = ∈ ℳ es una matriz regular, se puede obtener la matriz inversa de la matriz , = , resolviendo sistemas de ecuaciones con incógnitas.

Vamos a realizar un ejemplo para una matriz de tamaño 2.

Sea = 1 32 5 . Para calcular su inversa, suponemos que = . Entonces: ∙ = → 1 32 5 ∙ = 1 00 1

Realizando la multiplicación, tendremos: 1 32 5 ∙ = + 3 + 32 + 5 2 + 5 = 1 00 1


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Como se trata de dos matrices iguales, igualamos términos, formándose 2 sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas: + 3 = 12 + 5 = 0 + 3 = 02 + 5 = 1

Resolviendo los sistemas se tiene que: = −5, = 2 = 3, = −1 Por tanto, = = −5 32 −1

3.3. Cálculo de la matriz inversa usando el método de Gauss

Se coloca la matriz ∈ ℳ , y a su derecha, la matriz . Realizamos las transformaciones necesarias para que se transforme en . Como consecuencia, la matriz que se obtiene a la derecha de es . ( | ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( | )

Si en la parte izquierda aparece una fila o columna de ceros, no tiene inversa.

Vamos a realizar un ejemplo para una matriz de tamaño 2 y otro para una de tamaño 3.

1) Vamos a calcular la inversa de = 1 32 5 ∈ ℳ . 1 32 5 1 00 1 ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 30 −1 1 0−2 1 ⎯⎯⎯ 1 30 1 1 02 −1 ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 00 1 −5 32 −1

Por tanto, = −5 32 −1 .

2) Vamos a calcular la inversa de = 1 −2 13 0 40 4 1 ∈ ℳ . 1 −2 13 0 40 4 1 1 0 00 1 00 0 1 ⎯⎯⎯⎯ 1 −2 10 6 10 4 1 1 0 0−3 1 00 0 1 ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 −2 10 6 10 0 1 1 0 0−3 1 06 −2 3 → ⎯⎯⎯⎯ 1 −2 00 6 00 0 1 −5 2 −3−9 3 −36 −2 3 ⎯⎯⎯⎯ 3 0 00 6 00 0 1 −24 9 −12−9 3 −36 −2 3 →

⎯⎯⎯⎯ 1 0 00 1 00 0 1 −8 3 −4− 3 2 1 2 − 1 26 −2 3

Por tanto, = −8 3 −4− 3 2 1 2 − 1 26 −2 3 .


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4. RANGO DE UNA MATRIZ 4.1. Definición

Se llama rango de una matriz al número de filas linealmente independientes.

En una matriz, el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes, por lo que el rango será el número de filas o columnas linealmente independientes.

Nota: El rango de una matriz ∈ ℳ × es a lo sumo el mínimo entre y , es decir, ∈ ℳ × ⎯ ( ) ≤ min{ , }

4.2. Obtención del rango de una matriz por el método de Gauss

Para hallar el rango de una matriz, podemos proceder a “hacer ceros” como en el método de Gauss. El rango de la matriz escalonada final es el número de filas distintas de (0 0 ⋯ 0).

Veamos unos ejemplos de cómo se realiza el rango usando el método de Gauss:

1) Rango de = 1 4 60 2 70 0 1 51−20 0 0 3 ∈ ℳ . Como la matriz es escalonada, es inmediato que el rango de es 4.

2) Rango de = 1 2 32 1 03 3 3 437 ∈ ℳ × . 1 2 32 1 03 3 3 437 ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 2 30 −3 −60 −3 −6 4−5−5 ⎯⎯⎯ 1 2 30 −3 −60 0 0 4−50

Por tanto, el rango de será 2.

4.3. Discusión del rango de una matriz con un parámetro

Veamos unos ejemplos de cómo se realiza la discusión del rango con un parámetro:

1) Sea = 1 2 30 4 60 0 2 + 4 ∈ ℳ

Una vez que tenemos la matriz escalonada, comprobamos cuales son los valores que anulan los elementos de la diagonal que se nos ha formado. Así, el único elemento que puede anularse es 2 + 4, siendo cuando = −2. Ahora, tenemos:

Si = −2, tenemos: = 1 2 30 4 −120 0 0 → ( ) = 2

Si ≠ −2, tenemos: = 1 2 30 4 60 0 2 + 4 ≠ 0 → ( ) = 3

2) Sea = 1 2 32 13 3 5 437 ∈ ℳ ×


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Haciendo ceros, tenemos: 1 2 32 13 3 5 437 ⎯⎯⎯⎯⎯ 1 2 30 −3 − 60 −3 −4 4−5−5 ⎯⎯⎯ 1 2 30 −3 − 60 0 − 2 4−50

Comprobamos cuales son los valores que anulan los elementos de la diagonal. Así, el único elemento que puede anularse es − 2, siendo cuando = 2. Ahora, tenemos:

Si = 2, tenemos: 1 2 30 −3 −40 0 0 4−50 → ( ) = 2

Si ≠ 2, tenemos: 1 2 30 −3 − 60 0 − 2 ≠ 0 4−50 → ( ) = 3

5. DETERMINANTES 5.1. Definición

En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Se llama determinante de una matriz cuadrada a un número que se obtiene operando de cierta forma con los elementos de la matriz.

El determinante de se puede designar de cualquiera de las siguientes formas: det | | det …⋮ ⋮… …⋮ ⋮…

5.2. Determinantes de orden dos

El determinante de una matriz cuadrada de orden dos se obtiene del siguiente modo: det = = · − ·

5.3. Determinantes de orden tres

El determinante de una matriz cuadrada de orden tres se obtiene del siguiente modo: det = = · · + · · + · · − · · − · · − · ·

Se puede observar que:

En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna.

La mitad de los sumandos tienen signo +, y la otra mitad, signo –. Estos seis sumandos se recuerdan fácilmente con la siguiente regla mnemotécnica, llamada regla de Sarrus:


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Otra regla mnemotécnica para calcular el determinante: Colocamos las dos filas superiores debajo de la tercera, y aplicamos el siguiente esquema:

5.4. Propiedades de los determinantes

P1: El determinante de una matriz es igual que el de su traspuesta: | | = | | . P2: Si una matriz cuadrada tiene una línea1 de ceros, su determinante es 0.

P3: Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

P4: Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero.

P5: Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número.

P6: Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante es 0.

P7: ++ℎ + = ℎ +

P8: Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, su determinante no varía.

P9: Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero. Y recíprocamente: si un determinante es cero, tiene alguna línea combinación lineal de las demás.

P10: El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: | · | = | | · | | .

1 Escribiremos línea para indicar que puede ser una fila o una columna.

SUMANDOS CON SIGNO +

SUMANDOS CON SIGNO


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6. APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES 6.1. Calculo de la inversa de una matriz

Definición: Si en una matriz seleccionamos filas y columnas, los elementos que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden . El determinante de esa submatriz se llama menor de orden de la matriz inicial.

Definición: Si en una matriz cuadrada destacamos un elemento, , al suprimir su fila y su

columna se obtiene una submatriz de tamaño menor. Su determinante se llama menor complementario del elemento y se designa por .

Definición: Se llama adjunto de al número = (−1) · .

Ejemplo: Sea = 1 2 −10 1 21 0 1 , entonces:

= 1 20 1 = 1 − 0 = 1 ⎯ = (−1) · 1 = 1 = 1 21 0 = 0 − 2 = −2 ⎯ = (−1) · (−2) = 2

Observación: Para que una matriz cuadrada, ∈ ℳ , tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea no nulo, es decir, | | ≠ 0 . En este caso, se puede calcular mediante la expresión: = 1| | · ( )

donde ( ) es la matriz formada por los adjuntos de la matriz A, es decir, ( ) = .

Ejemplos:

1) Vamos a calcular la inversa de = 1 32 6 ∈ ℳ . 1 32 6 = 6 − 6 = 0 →

2) Vamos a calcular la inversa de = 1 32 5 ∈ ℳ . 1 32 5 = 5 − 6 = −1 ≠ 0 →

Ahora, = (−1) · |5| = 5 = (−1) · |2| = −2 = (−1) · |3| = −3 = (−1) · |1| = 1

Por tanto, = · 5 −2−3 1 = −1 · 5 −3−2 1 = −5 32 −1 .

3) Vamos a calcular la inversa de = 1 −2 13 0 40 4 1 ∈ ℳ . 1 −2 13 0 40 4 1 = 0 + 0 + 12 − 0 − 16 − (−6) = 2 ≠ 0 →


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Ahora,

= (−1) · 0 44 1 = −16 = (−1) · 3 40 1 = −3 = (−1) · 3 00 4 = 12

= (−1) · −2 14 1 = 6 = (−1) · 1 10 1 = 1 = (−1) · 1 −20 4 = −4

= (−1) · −2 10 4 = −8 = (−1) · 1 13 4 = −1 = (−1) · 1 −23 0 = −6

Por tanto, = · −16 −3 126 1 −4−8 −1 −6 = · −16 6 −8−3 1 −112 −4 −6 = −8 3 −4− 3 2 1 2 − 1 26 −2 −3 .

4) Halla el valor de para que la matriz = 1 −2 13 40 4 1 tenga inversa.

Primero calculamos el determinante de la matriz, 1 −2 13 40 4 1 = + 0 + 12 − 0 − 16 − (−6) = + 2 Para que tenga inversa necesitamos que | | ≠0, así tenemos que: | | = 0 → + 2 = 0 → = −2 Por tanto, tendrá inversa para ≠ −2.

6.2. Obtención del rango de una matriz

Proposición: Una condición necesaria y suficiente para que las filas (o columnas) de una matriz cuadrada sean linealmente dependientes2 es que su determinante sea cero. Por tanto, ⇔ | | = 0 ⇔ | | ≠ 0

Observación: A partir de la proposición anterior, podemos calcular el rango de una matriz a partir sus menores, teniéndose que: á

Ejemplo:

1) Vamos a calcular el rango de = 1 2 32 1 03 3 3 437 ∈ ℳ × . Como ∈ ℳ × , sabemos que ( ) ≤ 3. 1 22 1 = 1 − 4 = −3 ≠ 0 → ( ) ≥ 2 1 2 32 1 03 3 3 = 3 + 0 + 18 − 9 − 0 − 12 = 01 2 42 1 33 3 7 = 7 + 18 + 24 − 12 − 9 − 28 = 0⎭⎪⎬

⎪⎫ → ( ) < 3

Por tanto, ( ) = 2. 2 Linealmente dependiente: Alguna fila (o columna) de ellas se puede poner como combinación lineal de las demás.


21

2) Vamos a calcular el rango de = 1 2 12 0 3 −21 ∈ ℳ × . Como ∈ ℳ × , sabemos que ( ) ≤ 2. 1 22 0 = 0 − 4 = −4 ≠ 0 → ( ) ≥ 2

Por tanto, ��( ) = 2.

3) Vamos a discutir el rango de = 1 2 30 4 60 0 2 + 4 ∈ ℳ en función del parámetro .

Como ∈ ℳ , sabemos que ( ) ≤ 3. 1 20 4 = 4 − 0 = 4 ≠ 0 → ( ) ≥ 2

| | = 1 2 30 4 60 0 2 + 4 = 4(2 + 4) + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 8 + 16

Ahora, tenemos: 8 + 16 = 0 → = −2. Por tanto,

Si = −2, tenemos: | | = 0 → ( ) < 3. Por tanto, ( ) = 2

Si ≠ −2, tenemos: | | ≠ 0 → ( ) = 3

4) Vamos a discutir el rango de = 1 2 32 13 3 5 437 ∈ ℳ × en función del parámetro .

Como ∈ ℳ × , sabemos que ( ) ≤ 3. 1 22 1 = 1 − 4 = −3 ≠ 0 → ( ) ≥ 2

= 1 2 42 1 33 3 7 = 7 + 18 + 24 − 12 − 9 − 28 = 49 − 49 = 0

= 1 2 32 13 3 5 = 5 + 6 + 18 − 9 − 3 − 20 = 3 − 6

Ahora, tenemos: 3 − 6 = 0 → = 2. Por tanto,

Si = 2, tenemos: = 0 → ( ) < 3. Por tanto, ( ) = 2

Si ≠ 2, tenemos: ≠ 0 → ( ) = 3

7. EJERCICIOS 7.1. Ejercicios de matrices

1. Sean las matrices: = 1 2−1 3 = 0 11 2 = 1 −22 1

Calcula: a) + d) g) · j) b) − e) h) · k) ( + ) c) − f) ( + ) i) l) ·


22

2. Sean las matrices: = 1 0 12 1 0−1 2 1 = 1 0 10 1 0−1 2 3 = 1 0 21 2 10 2 2

Calcula: a) + d) g) · j)

b) − e) h) · k)

c) − f) ( + ) i) l) ·

3. Calcula · − , sabiendo que: = 1 1 11 2 0 = 1 2 03 0 1 = 1 0 21 3 10 3 2

4. Dadas las matrices = 1 −40 1 , = 1 0 13 −1 4 y = 7 2 00 −6 0 , calcula:

a) + d) · g) · + b) − e) · h) · c) 3 − 2 f) · ( + ) i) · − 2

5. Calcular, cuando sea posible, los productos · , · , · · , siendo: = 1 0 10 1 01 0 1 = −112 = (4 3 2)

6. Efectúa todos los posibles productos entre las matrices: = 1 1 11 2 0 = 1 23 0 = 1 01 30 3 = 1 0 −21 −1 00 2 1

7. Halla la inversa de las siguientes matrices, utilizando el método de Gauss: = 1 22 0 = 1 21 1 = 0 21 1 = 1 22 5

8. Halla la inversa de las siguientes matrices o averigua que no la tiene, utilizando el método de Gauss: = 1 0 21 3 10 3 2 = 1 1 21 2 10 1 2 = 1 0 20 1 11 1 2 = 0 1 11 1 21 0 1

= 1 0 21 2 01 3 2 = 0 1 21 0 12 3 0 = 1 2 3−1 0 20 1 1 = −0 −1 11 1 21 0 1

9. Calcula la inversa de las siguientes matrices = 1 1 0−2 2 2−1 3 2 y = 3 2 1−1 −1 13 2 2 .

10. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices:

a) 0 2−1 0 c) 3 22 1 e) 3 −2−6 4

b) 1 0 02 2 −3−1 −1 2 d)

1 2 34 5 67 8 9 f) −1 0 11 2 22 1 1


23

11. Calcula el rango de las siguientes matrices, utilizando el método de Gauss: = 1 0 21 3 10 3 2 = 1 1 21 2 12 3 3 = 1 1 22 2 43 3 6 = 0 1 11 1 21 0 1

12. Calcula el rango de las siguientes matrices, utilizando el método de Gauss: = 1 0 21 2 10 −2 1 1−12 = 1 0 22 2 11 1 3 1−10 = 1 1 00 2 12 −2 1 112

13. Discute el rango de las siguientes matrices, dependientes del parámetro , utilizando el método de Gauss: = 1 0 21 2 10 2 1−10 = 1 0 22 2 11 −1 1−1−2 = 1 1 00 22 4 1 113

14. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales, donde: = 2 33 4 = 3 −11 1 = 5 27 0

a) + = c) − = e) − =

b) + = 2 d) − 3 = 2 f) − 3 = 2

15. Resuelve las ecuaciones matriciales, donde: = 2 33 4 = 1 2 30 −1 2 = 1 −1 22 0 1

a) + = c) + 2 = 3 e) − =

b) − = 2 d) − 3 = 2 f) − 2 = 3

16. Dadas las matrices = 1 3 −22 7 1−1 −4 −4 y = 1 10 −11 0 , calcula la matriz inversa de y

resuelve la ecuación matricial = .

17. Resuelve la ecuación: + = con = 2 0 51 1 −2−1 1 1 , = −312 y = 5−11 .

18. Calcula dos matrices cuadradas y sabiendo que 2 + 3 = y que − = , donde = −4 5−2 −1 y = 3 0−1 2 .

19. Calcula los valores de y para que se verifique + = : = 1 0 = 1 32 1 = 0 21 −1 = 3 60 −4

20. Calcula los valores de y para que se verifique − = : = 12 0 = 1 −11 2 = 0 2−1 1 = 0 −53

21. Sea = 0 1−1 0 .

a) Calcula y expresa el resultado en función de la matriz identidad.

b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular .


24

22. Sean las matrices = 0 1 11 0 11 1 0 , la matriz identidad de orden tres y 0 la matriz nula.

a) Comprueba que − − 2 = 0.

b) Halla la matriz .

23. Sea la matriz = 0 3 41 −4 −5−1 3 4 , la matriz identidad de orden tres y 0 la matriz nula.

a) Demuestra que se verifica la igualdad + = 0.

b) Calcula razonadamente .

c) Obtén la matriz inversa de .

24. Dada la matriz = 0 1 01 0 10 1 0 , I es la matriz identidad de orden tres y 0 es la matriz nula.

a) Comprueba que se cumple ∙ ( − 2 ) = 0.

b) Determina el valor del número para que sea cierto = ∙ .

c) Calcula razonadamente .

25. Dada la matriz encuentra el mayor exponente que cumple ≠ 0.

A

0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0

26. Determina los valores de , , para que se verifique la igualdad: 1 ∙ 1 = 5 00 5

7.2. Ejercicios de determinantes

27. Calcular el determinante de la matriz = 7 5−2 8 y comprobar que coincide con el

determinante de su traspuesta.

28. Calcular | | = 3 0−2 0 . ¿Qué observas?

29. Calcular | | = 3 2−2 5 y | | = −2 53 2 . ¿Qué observas?

30. Calcular | | = 3 2−2 5 y | | = 2 35 −2 . ¿Qué observas?

31. Siendo una matriz 2 × 2, justifica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Para que | | = 0 es necesario que sus cuatro elementos sean 0.

b) Si los dos elementos de la primera columna de son 0, entonces | | = 0.

c) Si las dos filas de coinciden, entonces | | = 0.

d) Si 21 = 5, entonces 2010 = 50


25

32. Calcula el valor de los siguientes determinantes y di por qué son cero algunos de ellos:

a) 13 64 2 c) 13 64 −2 e) 3 1121 77

b) 5 25 −2 d) 0 20 5 f) −14 76 −3

33. Sean = y | | = −12. Calcula:

a) b) 3 3 c) |2 | d) 3 35 5

34. Calcular los siguientes determinantes:

a) 3 −2 51 7 34 1 0 c)

7 −4 30 9 10 0 5 e) 5 1 40 3 69 6 8

b) 0 4 −11 2 13 0 1 d)

9 0 3−1 1 00 2 1 f) 10 47 590 10 910 0 10

35. Probar que si es la matriz identidad, entonces | | = 1.

36. Probar que si es una matriz regular, entonces | | = | |. 37. Halla la inversa de las siguientes matrices, utilizando determinantes: = 1 22 0 = 1 21 1 = 0 21 1 = 1 22 5

38. Halla la inversa de las siguientes matrices, utilizando determinantes: = 1 0 21 3 10 3 2 = 1 1 21 2 10 1 2 = 1 0 20 1 11 1 2 = 0 1 11 1 21 0 1

= 1 0 21 2 01 3 2 = 0 1 21 0 12 3 0 = 1 2 3−1 0 20 1 1 = −0 −1 11 1 21 0 1

39. Calcula el rango de las siguientes matrices, utilizando determinantes: = 1 0 21 3 10 3 2 = 1 1 21 2 12 3 3 = 1 1 22 2 43 3 6 = 0 1 11 1 21 0 1

40. Calcula el rango de las siguientes matrices, utilizando determinantes: = 1 0 21 2 10 −2 1 1−12 = 1 0 22 2 11 1 3 1−10 = 1 1 00 2 12 −2 1 112

7.3. Soluciones

1) a) 1 30 5 b) 1 1−2 1 c) −1 −12 −1 d) 1 −12 3 e) 0 11 2 f) 1 03 5 g) 2 53 5 h) −1 3−1 8 i) −1 8−4 7 j) 1 22 5 k) 4 06 16 l) 2 53 5

2) a) 2 0 22 2 0−2 4 4 b)

0 0 02 0 00 0 −2 c) 0 0 0−2 0 00 0 2 d)

1 2 −10 1 21 0 1 e) 1 0 −10 1 21 0 3 f)

2 2 −20 2 42 0 4 g) 0 2 42 1 2−2 4 2 h)

0 2 22 1 00 8 2

i) 0 2 24 1 22 4 0 j)

0 2 40 1 0−4 8 8 k) 1 4 63 6 62 8 6 l)

2 −2 00 5 2−2 6 4

3) 3 −4 −53 −10 −5−2 −13 −7


26

4) a) 8 2 13 −7 4 b) −1 40 −1 c) −11 −4 39 9 12 d) 7 26 00 −6 0 e) f) −4 30 −153 −7 4 g) −4 6 −153 −7 4 h)

i) −7 −22 00 6 0

5) · = 111 , · = , · = −4 −3 −24 3 28 6 4 , · = (3)

6) · = 2 63 6 , · = 2 1 −13 −2 −2 , · = 3 5 13 3 3 , · = 1 1 14 7 13 6 0 , · = 1 210 29 0 , · = 1 −60 −32 9

7) = 0 1/21/2 −1/4 , = −1 21 −1 , = −1/2 11/2 0 , = 5 −2−2 1

8) = 3 6 −6−2 2 13 −3 3 = 3 0 −3−2 2 11 −1 1 = −1 −2 2−1 0 11 1 −1 ∄ = 4 6 −4−2 0 21 −3 2 = −3 6 12 −4 23 2 −1

= 2 −1 −4−1 −1 51 1 −2 = −1 −1 3−3 1 11 1 1

9) ∄ = 4 2 −3−5 −3 4−1 0 1

10) a) 0 −11/2 0 b)

1 0 0−1 2 30 1 2 c) −1 22 −3 d) ∄ e) ∄ f) 0 −1 2−3 3 −33 −1 2

11) ( ) = 3, ( ) = 2, ( ) = 1, ( ) = 2 12) ( ) = 2, ( ) = 3, ( ) = 3 13) ( ) = 3; Si ≠ 2 → ( ) = 3, Si = 2 → ( ) = 2; Si ≠ 1 → ( ) = 3,

Si = 1 → ( ) = 2

14) a) 10 −15−6 11 b) −13 11−55 41 c) −8 −18 1 d) −25 523 −3 e) −29 22−29 22 f) −73 55−59 45

15) a) 6 15 1−4 −11 −1 b) 0 −3 −161 2 13 c) 14 34 −3−9 −25 2 d) −8 −25 −287 18 23 e) −2 −7 −112 5 9 f) −2 −10 −273 7 22

16) = 24 −20 −17−7 6 51 −1 −1 = 7 44−2 −130 2

17) = 3 5 −51 7 92 −2 2 = 19−1518

18) = 1 1−1 1 , = −2 10 −1

19) = 1; = −1

20) = −1; = −3

21) a) = − b) =

22) b) = −1 1 11 −1 11 1 −1

23) b) = − c) = 1 0 −1−1 −4 −41 3 3

24) b) = 2 c) = 16

25) = 3 26) = −2, = −2, = −1 ; = −2, = 2, = 1 ; = 2, = −2, = 1 ; = 2, = 2, = −1

27) | | = | | = 66

28) | | = 0, ya que una columna es nula

29) | | = 19, | | = −19, al cambiar dos filas se cambia el signo

30) | | = 19, | | = −19, al cambiar dos columnas se cambia el signo

31) a) Falso b) Verdadero c) Verdadero d) Verdadero

32) a) 2 b) −20 c) −50 d) 0 e) 0 f) 0

33) a) 12 b) −36 c) −48 d) −180

34) a) −168 b) 14 c) 315 d) 3 e) −144 f) 1000

37, 38, 39, 40) Véase ejercicios 8, 9, 12 y 14

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