Radix-2 FFT AlgoritmosVamos a considerar el clculo de laN= 2vpunto DFT por el enfoque de dividir y conquistar.Dividimos laNsecuencia de datos -punto en dosN/ secuencias de datos de 2 puntosf1(n) yf2(n), que corresponde a las muestras pares numerados y numeradas impares dex(n), respectivamente, es decir, ,

Por lo tantof1(n) yf2(n) se obtienen por diezmarx(n) por un factor de 2, y por lo tanto el algoritmo FFT resultante se denomina unalgoritmo de decimacin en el tiempo.Ahora la DFT de N puntos se puede expresar en trminos de la DFT de las secuencias de diezmado de la siguiente forma:

PeroWN2= WN / 2.Con esta sustitucin, la ecuacin puede expresarse como

dondeF1(k) yF2(k) son losNDFT / 2 puntos de las secuencias def1(m) yf2(m), respectivamente.DesdeF1(k) yF2(k) son peridicas, con periodoN/ 2, tenemosF1(k + N / 2)= F1(k) yF2(k + N / 2) =F2(k).Adems, el factorWNk + N / 2= -WNk.Por lo tanto la ecuacin puede expresarse como

Observamos que el clculo directo deF1(k) requiere (N/ 2)2multiplicaciones complejas.Lo mismo se aplica para el clculo deF2(k).Adems, hayN/ 2 multiplicaciones complejas adicionales requeridos para calcularWNkF2(k).Por lo tanto el clculo deX(k) requiere 2 (N/ 2)2+N/ 2 =N2/ 2 +N/ 2 multiplicaciones complejas.Esta primera resultados paso en una reduccin del nmero de multiplicaciones deN2aN2/ 2 +N/ 2, que es aproximadamente un factor de 2 paraNgrande.

Figura TC.3.1primer paso en el algoritmo de diezmar a tiempo.CalculandoNDFT / 4 puntos, obtendramos elN/ 2 puntos DFTF1(k) yF2(k) de las relaciones

La decimacin de la secuencia de datos puede ser repetido una y otra vez hasta que las secuencias resultantes se reducen a las secuencias de un punto.ParaN= 2v, esta destruccin puede realizarse v = log2Nveces.As, el nmero total de multiplicaciones complejas se reduce a (N/ 2) log2N.El nmero de adiciones complejas esNlog2N.Para fines ilustrativos, la Figura TC.3.2 representa el clculo deN= 8 punto DFT.Observamos que el clculo se realiza en etapas de rboles, a partir de los clculos de cuatro DFT de dos puntos, luego dos DFT de cuatro puntos, y finalmente, una DFT de ocho puntos.La combinacin de las DFT ms pequeas para formar la mayor DFT se ilustra en la Figura TC.3.3 paraN= 8.

Figura TC.3.2Tres etapas en el clculo de unN= 8 puntos DFT.

Figura TC.3.3ocho puntos algoritmo FFT diezmar a tiempo.

Figura TC.3.4Bsica cmputo mariposa en el algoritmo FFT diezmar a tiempo.Una observacin importante se refiere a la orden de la secuencia de datos de entrada despus de que se diezm veces (V-1).Por ejemplo, si tenemos en cuenta el caso en que N = 8, sabemos que la primera destruccin yeilds la secuenciax (0), x (2), x (4), x (6), x (1), x (3 ), x (5), x (7),y los segundos resultados de decimacin en la secuenciax (0), x (4), x (2), x (6), x (1), x (5), x (3), x (7).Estaredistribucinde la secuencia de datos de entrada tiene un orden bien definido como puede determinarse a partir de la observacin de la figura TC.3.5, que ilustra la destruccin de la secuencia de ocho puntos.

Figura TC.3.5Barajar de la reversin de datos y bits.Otra importante radix-2 algoritmo FFT, llamado el algoritmo de destruccin en frecuencia, se obtiene utilizando el enfoque de divide y vencers.Para derivar el algoritmo, empezamos por la divisin de la frmula DFT en dos sumas, uno de los cuales implica la suma sobre las primerasN/ 2 puntos de datos y la segunda suma implica los ltimos N / 2 puntos de datos.As obtenemos

Ahora, vamos a dividir (diezmar) X (k) en la muestras pares e impares.As obtenemos

donde hemos utilizado el hecho de queWN2= WN / 2El procedimiento de clculo anterior se puede repetir a travs de decimacin de losNDFT / 2 puntosX(2k) yX(2k1).Todo el proceso implica v = log2Netapas de decimacin, donde cada etapa consiste enN/ 2 mariposas del tipo mostrado en la Figura TC.3.7.En consecuencia, el clculo de la DFT de N puntos a travs de la FFT de diezmado en frecuencia requiere (N/ 2) log2N multiplicaciones complejas yNlog2Nadiciones complejas, al igual que en el algoritmo de diezmar a tiempo.Para fines ilustrativos, el algoritmo de ocho puntos de decimacin-en-frecuencia se da en la Figura TC.3.8.

Figura TC.3.6Primera etapa del algoritmo FFT diezmado en frecuencia.

Figura TC.3.7Bsica cmputo mariposa en la aniquilacin-en-frecuencia.

Figura TC.3.8N= 8-piont algoritmo FFT diezmado en frecuencia.Observamos en la figura TC.3.8 que los datos de entradax(n) se produce en orden natural, pero la salida DFT se produce con el fin de bit invertido.Tambin observamos que los clculos se realizan en el lugar.Sin embargo, es posible reconfigurar el algoritmo de decimacin en frecuencia de manera que la secuencia de entrada se produce en orden de bits invertida mientras que la salida DFT se produce en el orden normal.Adems, si se abandona el requisito de que los clculos se realizan en el lugar, tambin es posible tener tanto los datos de entrada y la salida de DFT en el orden normal.