Radiacin del cuerpo negro

Un cuerpo negro es un objeto terico o ideal que absorbe toda la luz y toda la energa

radiante que incide sobre l. Nada de la radiacin incidente se refleja o pasa a travs del

cuerpo negro. A pesar de su nombre, el cuerpo negro emite luz y constituye un sistema

fsico idealizado para el estudio de la emisin de radiacin electromagntica. El nombre

Cuerpo negro fue introducido por Gustav Kirchhoff en 1862. La luz emitida por un cuerpo

negro se denomina radiacin de cuerpo negro.

Todo cuerpo emite energa en forma de ondas electromagnticas, siendo esta radiacin, que

se emite incluso en el vaco, tanto ms intensa cuando ms elevada es la temperatura del

emisor. La energa radiante emitida por un cuerpo a temperatura ambiente es escasa y

corresponde a longitudes de onda superiores a las de la luz visible (es decir, de menor

frecuencia). Al elevar la temperatura no slo aumenta la energa emitida sino que lo hace a

longitudes de onda ms cortas; a esto se debe el cambio de color de un cuerpo cuando se

calienta. Los cuerpos no emiten con igual intensidad a todas las frecuencias o longitudes de

onda, sino que siguen la ley de Planck.

A igualdad de temperatura, la energa emitida depende tambin de la naturaleza de la

superficie; as, una superficie mate o negra tiene un poder emisor mayor que una

superficie brillante. As, la energa emitida por un filamento de carbn incandescente es

mayor que la de un filamento de platino a la misma temperatura. La ley de Kirchhoff

establece que un cuerpo que es buen emisor de energa es tambin buen absorbente de

dicha energa. As, los cuerpos de color negro son buenos absorbentes.

La superficie de un cuerpo negro es un

caso lmite, en el que toda la energa

incidente desde el exterior es absorbida, y

toda la energa incidente desde el interior

es emitida.

No existe en la naturaleza un cuerpo negro, incluso el negro de humo refleja el 1% de la

energa incidente.

Sin embargo, un cuerpo negro se puede sustituir con gran

aproximacin por una cavidad con una pequea abertura. La energa radiante incidente a travs de la abertura, es

absorbida por las paredes en mltiples reflexiones y

solamente una mnima proporcin escapa (se refleja) a

travs de la abertura. Podemos por tanto decir, que toda la

energa incidente es absorbida.

La radiacin del cuerpo negro

Consideremos una cavidad cuyas paredes estn a una cierta temperatura. Los tomos que

componen las paredes estn emitiendo radiacin electromagntica y al mismo tiempo

absorben la radiacin emitida por otros tomos de las paredes. Cuando la radiacin

encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los tomos de las paredes, la

cantidad de energa que emiten los tomos en la unidad de tiempo es igual a la que

absorben. En consecuencia, la densidad de energa del campo electromagntico existente en

la cavidad es constante.

A cada frecuencia corresponde una densidad de energa que depende solamente de la

temperatura de las paredes y es independiente del material del que estn hechas.

Si se abre un pequeo agujero en el recipiente, parte

de la radiacin se escapa y se puede analizar. El

agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo est a

alta temperatura, y se ve completamente negro a bajas

temperaturas.

Histricamente, el nacimiento de la Mecnica Cuntica, se sita en el momento en el que

Max Panck explica el mecanismo que hace que los tomos radiantes produzcan la

distribucin de energa observada. Max Planck sugiri en 1900 que

1. La radiacin dentro de la cavidad est en equilibrio con los tomos de las paredes que se comportan como osciladores armnicos de frecuencia dada f .

2. Cada oscilador puede absorber o emitir energa de la radiacin en una cantidad proporcional a f. Cuando un oscilador absorbe o emite radiacin electromagntica,

su energa aumenta o disminuye en una cantidad hf .

La segunda hiptesis de Planck, establece que la energa de los osciladores est cuantizada.

La energa de un oscilador de frecuencia f slo puede tener ciertos valores que son 0, hf ,

2hf ,3hf ....nhf .

La distribucin espectral de radiacin es continua y tiene un mximo dependiente de la

temperatura. La distribucin espectral se puede expresar en trminos de la longitud de onda

o de la frecuencia de la radiacin.

dEf /df es la densidad de energa por unidad de frecuencia para la frecuencia f de la

radiacin contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (Jm-3

)s.

donde k es la constante de Boltzmann cuyo valor es k=1.380510-23

J/K.

dE /d es la densidad de energa por unidad de longitud de onda para la longitud de onda de la radiacin contenida en una cavidad a la temperatura absoluta T. Su unidad es (Jm

-

3)m

-1.

La ley del desplazamiento de Wien

La posicin del mximo en el espectro de la radiacin del cuerpo negro depende de la

temperatura del cuerpo negro y est dado por la ley de desplazamiento de Wien.

Calculando la derivada primera de la funcin de la distribucin de Planck expresada en

trminos de la longitud de onda o de la frecuencia

Obtenemos la ecuacin trascendente

Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el mximo

de la densidad de energa dE /d por unidad de longitud de onda a distintas temperaturas T1, T2, T3, .., se produce a las longitudes de onda 1, 2, 3...tales que

De modo similar en el dominio de las frecuencias

Obtenemos la ecuacin trascendente

A medida que la temperatura T se incrementa el mximo se desplaza hacia longitudes de

onda menores (mayores frecuencias).

Como podemos comprobar el producto

no nos da la velocidad de la luz c como se podra esperar a primera vista, ya que estamos

tratando con el mximo de una distribucin que nos da la intensidad por unidad de longitud

de onda o por unidad de frecuencia.

La luminosidad de un cuerpo caliente no se puede explicar, como se indica en algunos

textos, a partir de la ley del desplazamiento de Wien, sino a partir de la intensidad de la

radiacin emitida en la regin visible del espectro, tal como veremos ms abajo. As, a

temperaturas tan elevadas como 6000 K el mximo medido en el eje de frecuencias de la

distribucin espectral se sita en la regin del infrarrojo cercano. Sin embargo, a esta

temperatura una proporcin importante de la intensidad emitida se sita en la regin visible

del espectro.

La ley de Stefan-Boltzmann

La intensidad (energa por unidad de rea y unidad de tiempo) por unidad de longitud de

onda para la longitud de onda , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la expresin.

Su unidad es (Wm-2

)m-1

.

La intensidad (energa por unidad de rea y unidad de tiempo) por unidad de frecuencia

para la frecuencia f , de un cuerpo negro a la temperatura absoluta T, viene dada por la

expresin.

Su unidad es (Wm-2

)s.

El applet realiza una representacin grfica de esta funcin en escala doblemente

logartmica. La intensidad por unidad de frecuencia en el eje vertical, y la frecuencia en el

eje horizontal, para las temperaturas que se indican en la parte izquierda del applet.

Se muestra la parte visible del espectro en el centro, a la izquierda la regin infrarroja y a la

derecha la regin ultravioleta del espectro. Se han sealado los mximos de las curvas y se

ha trazado la recta que pasa por dichos puntos.

La intensidad total en Wm-2

, de la radiacin emitida por un cuerpo negro, se obtiene

integrando la expresin anterior para todas las longitudes de onda (o frecuencias).

o bien

W= T4, con =5.67010-8 (Wm-2K-4)

Esta expresin se conoce como ley de Stefan-Boltzmann. La energa emitida por un cuerpo

negro por unidad de rea y unidad de tiempo es proporcional a la cuarta potencia de la

temperatura absoluta T.

Del mismo modo, integrando dEf/df para todas las frecuencias, podemos comprobar que la

densidad de energa de la radiacin contenida en una cavidad es proporcional a la cuarta

potencia de la temperatura absoluta T de sus paredes. La constante de proporcionalidad vale

=4 /c.

Intensidad de la radiacin emitida en una regin del espectro

Vamos a calcular, la intensidad emitida por un cuerpo negro en una regin del espectro

comprendida entre las frecuencias f1 y f2, o entre las longitudes de onda 1=c/f1 y 2=c/f2

La fraccin de la intensidad emitida en una regin del espectro es el cociente entre la

intensidad emitida en dicha regin dividido por la intensidad total (ley de Stefan).

Esta fraccin no depende de o de T sino del producto T. Esto quiere decir que por ejemplo la fraccin de la intensidad emitida por un cuerpo negro en la regin del espectro

comprendida entre 0 y 10 m a 1000 K es la misma que la fraccin de la intensidad

emitida en la regin comprendida entre 0 y 5 m a 2000 K.

Para calcular la integral definida se ha de emplear un procedimiento numrico, por ejemplo

el mtodo de Simpson, o bien la aproximacin que se explica a continuacin.

Se define la funcin F(x) a

El trmino 1-e-x

en el denominador se puede expresar como suma de potencias de e-x

desarrollando el binomio (1-z)-1

=1+z+z2+z

3+z

4+

Integrando por partes obtenemos la siguiente expresin para F(x)

Un pequeo programa de ordenador, nos permite calcular el valor de F(x1) y de F(x2) y a

partir de la diferencia el valor de fraccin de la intensidad emitida por el cuerpo negro en

una regin dada del espectro comprendida entre dos longitudes de onda o entre dos

frecuencias.

La intensidad total emitida en la regin del espectro delimitada por las longitudes de onda

1 y 2 se obtiene

donde T4 como se ha explicado, es la intensidad de la radiacin emitida en todas las regiones del especto.

En la siguiente tabla, se proporcionan los datos acerca del tanto por ciento de la

contribucin de la radiacin infrarroja, visible y ultravioleta a la radiacin de un cuerpo

negro a las temperaturas que se indican.

Temperatura (K) % infrarrojo %visible %ultravioleta

1000 99.999 7.36710-4 3.25810-11

2000 98.593 1.406 7.40010-4

3000 88.393 11.476 0.131

4000 71.776 26.817 1.407

5000 55.705 39.166 5.129

6000 42.661 45.732 11.607

7000 32.852 47.506 19.641

8000 25.565 46.210 28.224

9000 20.154 43.247 36.599

10000 16.091 39.567 44.342

A baja temperatura prcticamente toda la radiacin es infrarroja.

A muy alta temperatura la contribucin de la radiacin ultravioleta es cada vez

mayor y la visible e infrarroja se hacen cada vez menores.

La contribucin de la radiacin visible alcanza un mximo aproximadamente a

7100 K.

Veamos ahora, la explicacin del color aparente de un cuerpo caliente. Por ejemplo, a

temperatura de 2000 K un cuerpo emite luz visible pero la intensidad en el extremo rojo

(baja frecuencia, alta longitud de onda) del espectro visible es mucho mayor que la azul

(alta frecuencia, baja longitud de onda) y el cuerpo aparece rojo brillante. A 3000 K, la

temperatura aproximada de un filamento de una lmpara incandescente, la cantidad relativa

de luz azul ha aumentado, pero predomina an la componente roja. A 6000 K, que es

aproximadamente la temperatura del Sol, la distribucin es casi uniforme entre todas las

componentes de la luz visible y el cuerpo aparece blanco brillante. Por encima de 10000 K

se emite luz azul con mayor intensidad que roja y un cuerpo (estrella caliente) a esta

temperatura se ve azul.