quadern d´ estadÍstica (amb solucions de problemes)facultat d’informàtica quadern...

QUADERN

D´ ESTADÍSTICA

(Amb Solucions de Problemes)

FACULTAT D’INFORMÀTICA

Lídia Montero Mercadé

José Antonio González

Departament Estadística i Investigació Operativa

En etern procès de revisió

Febrer de 2002

Facultat d’Informàtica Quadern d’EstadísticaVersió 4.0

Prof. L. Montero, J.A. González Curs 2.001-2002 pàg. 2



TAULA DE CONTINGUTS

1. ORGANITZACIÓ D’ESTADÍSTICA-I..............................................................................................................................5

1.1 TEMARI ..............................................................................................................................................................................51.2 DIVISIÓ DE LES HORES LECTIVES...................................................................................................................................71.3 SISTEMA D’AVALUACIÓ..................................................................................................................................................7

2. LLISTA DE PROBLEMES .................................................................................................................................................8

2.1 ELS DAUS BLAU I VERMELL ...........................................................................................................................................82.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT ................................................................................................................................82.3 BOLES DE COLORS............................................................................................................................................................92.4 DAUS DE COLORS .............................................................................................................................................................92.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS, INDEPENDÈNCIA MÚTUA..........................................................................................92.6 UN D'OPOSICIONS .............................................................................................................................................................92.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS............................................................................................................................102.8 EL DAU DE TRES CARES................................................................................................................................................102.9 EL PARC NATURAL ........................................................................................................................................................102.10 UN DE DOS JUGADORS ... ...............................................................................................................................................102.11 ELS TRES JUGADORS.......................................................................................................................................................112.12 LA MALÀRIA ...................................................................................................................................................................112.13 LA MALÀRIA ALTRE COP ............................................................................................................................................112.14 LA ROTLLANA DE NENS................................................................................................................................................122.15 EL VENEDOR DE LLIBRES..............................................................................................................................................122.16 ELS PRODUCTES FARMACEUTICS.................................................................................................................................132.17 UN DE MONEDES TRUCADES ........................................................................................................................................132.18 ELS DESPATXOS ..............................................................................................................................................................142.19 LOTERIA A L’ESCOLA ....................................................................................................................................................142.20 LA CASETA DE LA FIRA.................................................................................................................................................142.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID.....................................................................................................................................152.22 EL GOS DE LA BENZINERA ............................................................................................................................................152.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA..............................................................................................................162.24 EL TALLER DE REPARACIÓ D’ORDINADORS .............................................................................................................162.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS.........................................................................................................................172.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL........................................................................................................172.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL ...................................................................................................................182.28 RECANVIS DE PECES.......................................................................................................................................................182.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT ................................................................................................................................192.30 EL CONCURS DE MÈRITS...............................................................................................................................................202.31 LES QÜES AL PEATGE ....................................................................................................................................................202.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT ..........................................................................................202.33 UN DE PARELL DE VARIABLES DISCRETES................................................................................................................212.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES DISCRETES.............................................................................................................212.35 MÉS DE PARELL DE VARIABLES ..................................................................................................................................212.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES .............................................................................................222.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES ..................................................................................................222.38 L’ESPERA A CORREUS....................................................................................................................................................222.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC ...................................................................................................................222.40 LA TENDA DE PEIXOS....................................................................................................................................................232.41 UN VIATGE TRANSATLÀNTIC......................................................................................................................................232.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS........................................................................................................................................242.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS ..........................................................................................................................242.44 EL CREUAMENT DE TRENS...........................................................................................................................................242.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS....................................................................................................................252.46 LA NORMAL TRUNCADA...............................................................................................................................................252.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS...................................................................................................................................262.48 LES AMPOLLES D’OLI....................................................................................................................................................262.49 LES EMPRESES D´ESTUDIS DE MERCAT ......................................................................................................................27



2.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES.....................................................................................................................................282.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A...............................................................................282.52 LES MALALTIES TROPICALS ........................................................................................................................................292.53 PER PENSAR ....................................................................................................................................................................29

3. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES ............................................................................................ 30

3.1 ELS DAUS VERMELL I BLAU. .........................................................................................................................................303.2 INDEPENDÈNCIA I PROBABILITAT ..............................................................................................................................313.3 BOLES DE COLORS. .........................................................................................................................................................313.4 DAUS DE COLORS............................................................................................................................................................323.5 INDEPENDÈNCIA DOS A DOS; INDEPENDÈNCIA MÚTUA. ........................................................................................323.6 UN D’OPOSICIONS...........................................................................................................................................................333.7 PARELLS DE NOMBRES ALEATORIS.............................................................................................................................343.8 EL DAU DE TRES CARES.................................................................................................................................................343.9 EL PARC NATURAL.........................................................................................................................................................353.10 UN DE DOS JUGADORS....................................................................................................................................................353.11 ELS TRES JUGADORS. ......................................................................................................................................................363.12 LA MALÀRIA....................................................................................................................................................................373.13 LA MALÀRIA ALTRE COP ..............................................................................................................................................373.14 LA ROTLLANA DE NENS. ...............................................................................................................................................383.15 EL VENEDOR DE LLIBRES. .............................................................................................................................................403.16 ELS PRODUCTES FARMACÈUTICS.................................................................................................................................413.17 UN DE MONEDES TRUCADES. .......................................................................................................................................423.18 ELS DESPATXOS ..............................................................................................................................................................433.19 LOTERIA A L’ESCOLA. ...................................................................................................................................................443.20 LA CASETA DE LA FIRA.................................................................................................................................................453.21 LA MEMÒRIA D’ACCÉS RÀPID. .....................................................................................................................................453.22 EL GOS DE LA BENZINERA.............................................................................................................................................463.23 UNA VARIABLE ALEATÒRIA ESGLAONADA...............................................................................................................463.24 EL TALLER DE REPARACIONS D’ORDINADORS..........................................................................................................473.25 UN DE VERIFICACIÓ DE PROPIETATS. ........................................................................................................................483.26 LES ATURADES D’UNS SISTEMES DE CONTROL. ........................................................................................................493.27 LES AVARIES D’UN CENTRE DE CÀLCUL.....................................................................................................................503.28 RECANVIS DE PECES.......................................................................................................................................................503.29 UN DE DESCRIPTIVA BIVARIANT .................................................................................................................................503.30 EL CONCURS DE MÈRITS................................................................................................................................................503.31 LES CUES AL PEATGE....................................................................................................................................................503.32 UNA APLICACIÓ DEL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMIT . ..........................................................................................503.33 UN PARELL DE VARIABLES DISCRETES.......................................................................................................................513.34 UN NOU PARELL DE VARIABLES..................................................................................................................................523.35 MÉS DE PARELLS DE VARIABLES.................................................................................................................................543.36 UN PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I DISCRETES. .............................................................................................543.37 PARELL DE VARIABLES UNIFORMES I CONTÍNUES. ..................................................................................................543.38 L’ESPERA A CORREUS. ...................................................................................................................................................543.39 LA FINESTRETA D’ATENCIÓ AL PÚBLIC. ...................................................................................................................553.40 LA TENDA DE PEIXOS....................................................................................................................................................553.41 UN VIATGE INTERNACIONAL.......................................................................................................................................563.42 EL TUB DE RAJOS CATÒDICS.........................................................................................................................................563.43 VIDA DE DISPOSITIUS ELECTRÒNICS...........................................................................................................................573.44 EL CREUAMENT DE TRENS. ..........................................................................................................................................573.45 LA MÀQUINA D’EMPLENAR CARAMELS.....................................................................................................................593.46 LA NORMAL TRUNCADA. ..............................................................................................................................................593.47 LES ALÇADES EN MATRIMONIS....................................................................................................................................603.48 LES AMPOLLES D’OLI.....................................................................................................................................................613.49 LES EMPRESES D’ESTUDI DE MERCAT . .......................................................................................................................623.50 UN DE PROPIETATS BÀSIQUES.....................................................................................................................................633.51 UN ALTRE DE PROPIETATS BÀSIQUES EN UN PARELL DE V.A...............................................................................633.52 LES MALALTIES TROPICALS.........................................................................................................................................64



1. ORGANITZACIÓ D’ESTADÍSTICA-I

1.1 TemariL’orientació del temari posa èmfasi especial en la relació entre els espais de probabilitat i les variablesaleatòries (discretes per claredat). Els conceptes fonamentals de variable aleatòria es presenteninicialment en el context discret per facilitar una visió més intuïtiva, per seguidament en el Tema 4presentar la definició general de variable aleatòria, tot relacionant els conceptes generals amb el jaconegut en el context discret.

Tema 1. Estadística descriptiva. 1.1. Les dades

1.1.1. Individus, població, variables, matriu de dades. 1.1.2. Tipus de variables i codificació.

1.2. Descripció d'una variable. 1.2.1. Distribució de les observacions. 1.2.2. Representació gràfica d'una variable (histograma, tsplot). 1.2.3. Descripció numèrica d'una variable: Mesures de tendència central i mesures de dispersió. 1.2.4. Box-plot. 1.2.5. Breu nota sobre outliers.

1.3. Relació entre variables. 1.3.1. Variables explicatives, variables de resposta. 1.3.2. Relació entre dues variables contínues.

Diagrames bivariants i estudi de la relació. Mesures d'associació entre variables contínues. Coeficient de correlació. Ajust mitjançant una recta. Anàlisi dels residus.

1.3.3. Relació entre una variable contínua i una variable categòrica. Box-plot múltiple.

1.3.4. Relació entre variables categòriques. Taula de contingència: Distribució bivariant, distribucions condicionades, marginals.

Tema 2. Introducció a la Teoria de la Probabilitat. 2.1. Introducció i motivacions. 2.2. Espai de probabilitat.

2.2.1. Experiència aleatòria i el seu conjunt de resultats.



2.2.2. Esdeveniments o succesos. 2.2.3. Definició de probabilitat.

2.3 Probabilitats condicionades. 2.3.1. Definicions. 2.3.2. Independència de successos. 2.3.3. Teorema de les probabilitats totals. 2.3.4. Fórmula de Bayes.

2.4* Introducció a la fiabilitat de sistemes sèrie-paral.lel.

Tema 3. Variable aleatòria discreta. 3.1. Definició i propietats d'una variable aleatòria. 3.2. Funció de probabilitat i funció de distribució. Exemples. 3.3. Parell de variables aleatòries. Distribució conjunta, distribució condicionada, distribució marginal. Independència. 3.4. Moments d'una variable aleatòria: Esperança , Variància i Covariància. 3.5. Exemples de variables aleatòries discretes:

Llei de Bernoulli. Llei binomial. Llei geomètrica. Llei de Poisson. Llei binomial negativa.

Tema 4. Variables aleatòries generals. 4.1. Definició i propietats. 4.2. Funció de densitat de probabilitat i funció de distribució. 4.3. Esperança i variància. 4.4. Algunes variables aleatòries d'ús corrent:

Llei Uniforme. Llei de Laplace-Gauss o Normal. Llei exponencial. Procés de Poisson. * Lleis hipoexponencial, hiperexponencial i d’Erlang.

4.5. Llei conjunta de variables aleatòries. Llei conjunta. Independència.

4.6. Desigualtats. Teoremes límit. 4.6.1.* Desigualtat de Txebitxev. 4.6.2. Teorema del límit central.

Tema 5. Introducció als models de cues. 5.1. Model M/M/1.



1.2 Divisió de les hores lectives

La part teòrica de l’assignatura comporta 2 h/set i es realitza amb el grup complert. La part pràctica del’assignatura comporta 2h de classe per cada subgrup (és a dir, cada quinze dies), i consta de:

• Pràctiques de Laboratori. 7 sessions programades de 2 hores en el quadrimestre per la iniciacióen l’aprenentatge del paquet estadístic MINITAB en l’entorn de la xarxa de PC’s de la facultat.Tres d’aquestes sessions giren al voltant de problemes de complement a les lliçons de teoria.

1.3 Sistema d’avaluació

El sistema d’avaluació de l’assignatura Estadística 1 compren tres elements:

• Un examen final del quadrimestre (75%). No es poden dur apunts, ni calculadoresprogramables amb teclat alfanumèric. Es poden dur taules estadístiques, preferiblement lestaules disponibles a la pàgina web (http://www-eio.upc.es/~es1). Cal assolir una notasuperior a 4.

• Avaluació dels qüestionaris de les pràctiques de laboratori (20%). La nota estarà disponibleabans del període d’exàmens del quadrimestre. Cal assolir una nota superior a 4. La notas’obté a partir de la correcció dels qüestionaris de pràctiques lliurats durant lescorresponents sessions.

• L’avaluació de la participació en les classes i seguiment de l’assignatura, a realitzar pelprofessor (5%). Aquest element de l’avaluació es publicarà abans de la data deconvocatòria per l’examen final. L’examen final contindrà una qüestió addicional per poderrecuperar el mig punt, a realitzar per tothom que no el tingui otorgat anteriorment.

Resum d’avaluació

ASPECTE % NOTA FINAL

NOTA d’EXAMEN FINAL (*) 75

NOTA DE PRÀCTIQUES (*) 20

NOTA DE PARTICIPACIÓ 5

(*)Cal treure una nota superior o igual a 4



2. LLISTA DE PROBLEMES

Els alumnes de l’assignatura disposen del present llibret de Quadern d’Estadística que poden trobar alCPET del Campus Nord amb una llista de problemes per suport de docència que es troba acontinuació i la indicació de la seva resolució. La llista està constituïda per problemes desenvolupats perprofessors del departament, bàsicament pels professors R.Nonell, J.A. González, M. Bécue i LídiaMontero.

Alguns dels problemes han estat problemes d´examen de quatrimestres anteriors al Curs97-98, concretament són els problemes: 2.24 a 2.28, 2.39, 2.40, 2.42 a 2.48.

Per a exàmens posteriors, consulteu la pàgina web de l’assignatura:

http://www-eio.upc.es/docencia/seccio_fme/estad

2.1 Els Daus Blau i VermellEs llencen dos daus, un de blau i un de vermell, tot notant X com el número obtingut amb el dau blau iY com el número obtingut amb el dau vermell. Sigui Ω, l’espai de tots els parells de possibles valors oespai fonamental de l’experiència aleatòria.

• Representeu l’espai Ω mitjançant un diagrama cartesià.

• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment A format per tots els resultats quecompleixen x y+ = 8 .

• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment B format per tots els resultats quecompleixen x y− = 3.

• Representeu sobre el diagrama anterior l’esdeveniment C format per tots els resultats quecompleixen 1 2 1 2≤ ≤ ≤ ≤x o y .

• Quin és l’esdeveniment A B C∩ ∩ ? S’aconsella emprar la fórmula de Morgan.

2.2 Independència i Probabilitat

Sigui un espai fonamental Ω, un esdeveniment A i el seu complementari A .

⇒ Considereu una primera probabilitat P, definida per P(A) = 1/3. Demostreu que A i A no sónindependent per la probabilitat P.

⇒ Considereu una segona probabilitat P´, definida per P'(A) =1. Són els esdeveniments A i A independents per la probabilitat P´?



2.3 Boles De Colors

Es consideren dues bosses S1 i S2, que contenen cadascuna 3 boles vermelles i 7 boles negres. Es fal’extracció d’una bola de S1 i es col·loca a S2. Quina és la probabilitat d’extreure una bola vermella deS2 en una extracció posterior?

2.4 Daus De Colors

Una bossa conté 7 daus vermells, 5 daus grocs i 3 daus verds. S’extreuen successivament 3 daus.Quina és la probabilitat que el primer dau sigui vermell, el segon groc i el tercer verd si:

⇒ ... es fa reposició dels daus després de cada extracció?

⇒ ... no es fa reposició dels daus després de cada extracció?

2.5 Independència Dos A Dos, Independència MútuaQuan es consideren més de dos esdeveniments, el concepte d’independència és méssubtil. Concretament, podem parlar d’indepèndencia mútua (P(A1∩ A2∩A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)), o d’indepèndencia dos a dos (per cada par [Ai,Aj], P(Ai∩Aj)=P(Ai)·P(Aj)). Cap dels dos implica l’altre, com podeu comprovar amb aquestexemple.

Es llencen successivament dos daus no trucats (probabilitat de cada cara és la mateixa). Considerem elssegüents esdeveniments:

• A: El primer número obtingut és senar.

• B: El segon número obtingut és parell.

• C: Els dos números tenen la mateixa paritat.

Demostreu que A i C, A i B i B i C són independents dos a dos, però que A, B i C no són mútuamentindependents.

2.6 Un d’Oposicions

Una persona es presenta a una oposició per entrar a formar part del cos de funcionaris de la Generalitatde Catalunya, com a informàtic. L’oposició consta de 50 temes distribuïts en dos blocs: 20 temes sónd’Arquitectura de Computadors (AC) i 30 temes són de Llenguatges i Sistemes d’Informació (LSI).D’aquests 50 temes els candidats hauran de desenvolupar-ne 5. La forma d’escollir aquests 5 temes és:se’n tria un a l’atzar i després els 4 restants s’escullen a l’atzar entre els del bloc que corresponguin alprimer tema escollit. El candidat decideix d’estudiar-se només 15 temes a l’atzar, 10 de LSI i 5 de AC.Per aprovar la oposició s’han de desenvolupar bé 4 o més temes (suposem que el candidatdesenvolupa bé els temes que s’ha estudiat).

⇒ Quina és la probabilitat d’aprovar l’oposició?

⇒ Si ha aprovat la oposició, quina és la probabilitat que hagin sortit els temes de LSI?



2.7 Parells De Nombres Aleatoris

Un programa d’ordinador produeix parell de números enters a l’atzar compresos entre el 0 i el 9,ambdós inclosos. Suposem que el programa actua com un generador de números aleatoris perfecte, ésa dir, es verifiquen les tres hipòtesis següents:

• Independència entre els 2 números que integren un determinat parell.

• Equiprobabilitat de generació de cadascun dels números.

• Independència mútua dels parells de números generats successivament.

S’executa el programa sol·licitant la producció de n parells. Quina és la probabilitat que entre aquests nparells n’hi hagi al menys un parell constituït per dos números idèntics? Calculeu la probabilitat pern=10 i n=50.

2.8 El Dau de Tres CaresUn dau té únicament tres valors possibles: 1, 2 i 3, tots ells equiprobables. Es proposa la realització delsegüent joc:

Llencem un dau, si surt 3 guanyem, si surt 1 o 2 continuem repetint elllançament fins obtenir el resultat de la primera tirada, situació que en dónala victòria, o bé fins a obtenir un valor 3, situació que comporta l’aturada deljoc amb pèrdua per la nostra part.

⇒ Calculeu la probabilitat de guanyar.

2.9 El Parc NaturalUn parc natural del nostre país està dividit en dues parts iguals per un riu, dites A i B. Els biòlegs hanpogut comptabilitzar 10 isards a la part A i 10 isards a la part B. Un biòleg del parc realitzainvestigacions sobre la conducta d’un dels isards de A, que anomenem X. Per un error dels vigilants, 9dels isards de A passen a B, però un cop assabentats de l’incident, els vigilants retornen 9 dels isardsde B, triats a l’atzar, a la part A. El biòleg, no massa satisfet pel desenvolupament dels fets, ha deprosseguir les seves investigacions sobre el isard X. En quina de les 2 parts, A o B, és preferible quecomenci a buscar el seu isard?

2.10 Un de Dos Jugadors ...

Dos jugadors, A i B juguen al següent joc:

A tira un dau de sis cares perfectament equilibrat. Si surt 1 o 2 treu una bola d’una urna U1 i si surt 3,4, 5 o 6, treu una bola d’una altra urna U2. La urna U1 conté 60 boles blanques i 40 boles negres. Laurna U2 conté 40 boles blanques i 60 boles negres.



A comunica al jugador B el color de la bola extreta i aleshores B ha d’endevinar per guanyar de quinaurna procedeix, altrament guanya A.

⇒ Dibuixeu l’arbre de probabilitats associat a l’experiència aleatòria.

⇒ Apliqueu el Teorema de Probabilitats Totals per determinar la probabilitat que A extregui una bolablanca. Repetiu els càlculs per una bola negre.

⇒ Quina estratègia seguiríeu en aquest joc si fóssiu el jugador B?

2.11 Els Tres Jugadors

Una urna conté 6 boles blanques i 5 boles negres. Tres jugadors, A, B i C, extreuen una bola sensereposició, en aquest mateix ordre. Les normes del joc indiquen que guanya el primer jugador que treuuna bola blanca, en la vinantesa que si en finalitzar l’extracció C no hi hagut un guanyador, els jugadorstornen a començar l’extracció, sense retornar les boles i en el mateix ordre.

⇒ Calculeu les probabilitats respectives de guanyar dels tres jugadors.

2.12 La Malària

La malària, E, mostra dues varietats incompatibles que solen notar-se com a E1 i E2. Un equip depatòlegs estudia dos símptomes de la malària, dits S1 i S2, per tal de poder millorar el diagnòstic de lavarietat de malària que pateixen els pacients. Se sap que cap de tots dos símptomes és característicde cap varietat, és a dir, que poden aparèixer els dos símptomes en persones sanes i a l’inrevés, estaruna persona malalta i no mostrar-ne cap dels dos.

La recerca mèdica ha mostrat fins el moment:

• prob. de contraure la varietat E1: 0.18

• prob. de contraure la varietat E2: 0.09

• Pels pacients amb la varietat E1:

◊ prob. només símptoma S1: 0.55


◊ prob. tots dos símptomes: 0.25

• Pels pacients amb la varietat E2:




• Per les persones sanes, no malaltes de E:






Quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E1:

⇒ Un símptoma, S1 o S2

⇒ Un símptoma, però no l’altre

⇒ Ambdós símptomes

⇒ Cap dels dos símptomes ?

2.13 La Malària Altre Cop

Determineu ara quin és el millor indicador per un pacient amb malària de varietat E2:

⇒ Un símptoma, S1 o S2

⇒ Un símptoma, però no l’altre

⇒ Les dues símptomes

⇒ Cap dels dos símptomes ?

2.14 La Rotllana de Nens

Un nens juguen aplegats en tres rotllanes, de manera que inicialment:

• La primera rotllana conté 1 nen i 3 nenes.

• La segona rotllana conté 4 nens i 2 nenes.

• La tercera rotllana conté 5 nens i 5 nenes.

Després d’una estona, un infant (nen o nena) passa de la primera rotllana a la segona; més tard un altrede la segona a la tercera, i més tard un tercer infant canvia de la tercera rotllana a la primera.

⇒ Quina és la probabilitat que s’hagi mantingut la proporció de nens i nenes a totes les rotllanes?

⇒ Quina és la probabilitat en triar un infant a l’atzar de la primera rotllana que sigui nen ?

2.15 El Venedor de Llibres

Un venedor de Grans Enciclopèdies a domicili tria setmanalment el districte de treball, entre trespossibilitats l’Eixample, Gràcia o les Corts, amb probabilitats respectives de 0.5, 0.25 y 0.25 iindependentment de la tria efectuada en setmanes anteriors. Si va a l’Eixample sap que té un 80% depossibilitats de vendre alguna enciclopèdia, mentre que si va a Gràcia o les Corts, les probabilitatsrespectives són del 40 i el 60%.

⇒ Quina és la probabilitat que una certa setmana vengui alguna enciclopèdia?



⇒ Quina és la probabilitat d’haver venut alguna enciclopèdia almenys 2 setmanes durant un mes?

⇒ Si tot acabant una setmana el venedor no ha venut res, a quin barri, més probablement, haurà estattreballant aquella setmana? Raoneu amb càlculs precisos.

⇒ Un company d’ofici també tria setmanalment el districte de treball, entre els 3 anteriors, però demanera equiprobable. Quina és la probabilitat que els dos venedors coincideixin al mateix districtealmenys un cop durant dues setmanes?

2.16 Els productes farmacèutics

Una fàbrica de productes farmacèutics produeix 1000 unitats diàries dún producte via dosprocediments diferents, tan econòmicament com tècnica. El primer procediment és més laboriós, peròprodueix un 99% d’unitats satisfactòries sobre un 25% del total diari de la producció. El segonprocediment produeix el 75% restant de les unitats, però amb un 10% d’unitats defectuoses. Donat ellot de fabricació dún dia qualsevol, s’extrau una unitat a l’atzar. Si la unitat és satisfactòria, quina és laprobabilitat que s´hagi fabricat via el segon procediment?

1. Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicantclarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior i fent extraccions amb reposició de 10 unitats,quina és la probabilitat d’obtenir com a màxim l peça defectuosa? Emprar el Teorema de Bayes enla resolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com elnúmero de peces defectuoses obtingut en la selecció amb reposició de 2 unitats dún lot diari. Quinaés l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors de la v.a. X i la partició de Ωinduïda.

2.17 Un de monedes trucades

Una bossa conté 100 monedes, 25 d’elles amb una cara per ambdues bandes i les 75 restantsperfectament normals (una cara i una creu) i equilibrades. S’extrau una moneda a l’atzar.

1. Quina és la probabilitat de que sigui una moneda trucada si surt cara en 2 llençaments consecutius?Resoldre la qüestió doblement: per arbre de probabilitats i pel Teorema de Bayes, tot indicantclarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

2. Amb els mateixos condicionants que l’apartat anterior, quina és la probabilitat de que sigui unamoneda trucada si surt cara en 10 llençaments consecutius? Emprar el Teorema de Bayes en laresolució, tot indicant clarament els successos implicats i la informació a priori disponible.

3. Descriure els valors i les lleis de probabilitat de la variable aleatòria discreta X definida com elnúmero de cares obtingut en el llençament consecutiu dues vegades de la moneda triada al’experiència anterior. Quina és l’esperança matemàtica de X? Determineu clarament els valors dela v.a. X i la partició de Ω induïda.



2.18 Els despatxos

Un edifici de la UPC té nou despatxos. Un professor té probabilitat ½ de tenir el despatx a l’esmentatedifici i, si es troba en l’edifici, té la mateixa probabilitat d’estar en qualsevol dels nou despatxos.

1. Quina és la probabilitat p que el despatx del professor sigui el novè despatx?

2. S’obren inexitosament els vuit primers despatxos. Quina és la probabilitat q que el professor sigui alnovè despatx?

2.19 Loteria a l’Escola

En una escola de la nostra universitat s’ha muntat una loteria per tal de finançar un viatge de final de carreradels alumnes. Els números de la loteria poden ésser de 4 xifres i es venen a 1000 ptes cadascun. Ladistribució de premis es la següent:

• Un premi gros de 500.000 ptes per un únic número.

• Un premi de 50.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 3 xifres.

• Un premi de 5.000 ptes per tots els números que tinguin una determinada terminació de 2 xifres.

• La devolució dels diners per tots els números que tinguin una xifra final determinada.

Durant el sorteig es procura que les terminacions no siguin coincidents per tal de no acumular premis.Determineu:

⇒ Quin és l’espai fonamental associat?

⇒ Sigui X la v.a. benefici net per algú que compri un número. Descriure els conjunt de valors i la funcióde probabilitat.

⇒ Quin és el benefici net esperat?

2.20 La Caseta de la Fira

El propietari d’una caseta de fira de tir al blanc assegura que per un jugador amb probabilitat de fer blancp, fer un blanc incrementa la probabilitat de fer-ne un altre seguidament en la meitat de la quantitat que restaper la fiabilitat total (p+(1-p)/2) . Pel contrari, fallar un tret no modifica la probabilitat d’encert en assatjosposteriors. Els jugadors proven dos cops la seva punteria.

⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X, número de blancs obtinguts en dos intents.

⇒ Calculeu el número esperat d’encerts per un bon tirador (p=0.8) i per un mal tirador (p=0.2).

⇒ Per què no podem declarar X com a variable binomial ?



2.21 La Memòria d’Accés Ràpid

Un Centre de Càlcul d’un departament de la nostra universitat ha de comprar memòria d’accés ràpid(RAM) per millorar les prestacions del seu ordinador central. El mercat posa a l’abast dos tipus dememòria ràpida, A i B. El temps d’accés de la memòria tipus A és de 50 nanosegons, mentre l’accés per lamemòria tipus B, de major capacitat, és de 90 nanosegons. Quan un programa necessita dades primer va abuscar-les a la memòria ràpida, i si no les troba accedeix a memòria convencional (on segur que hi són). Lamemòria convencional té un temps d’accés de 1.200 nanosegons. Un programa típic dels executats aldepartament comporta:

⇒ l’accés a memòria convencional un 20% dels cops en instal·lar la RAM tipus A.

⇒ l’accés a memòria convencional un 10% dels cops en instal·lar la RAM tipus B.

Addicionalment, el preu de la RAM tipus B és un 30% superior al preu de la RAM tipus A.

La variable aleatòria que modelitza una mesura de cost d’una RAM i segons els valors de la qual esprendrà la decisió de compra en favor del tipus A o del B, està definida com el temps d’accés d’unprograma típic per (×) el preu. Quina serà la decisió que prenguin els responsables del Centre de Càlcul,considerant el criteri del mínim cost promig?

2.22 El Gos de la Benzinera

El dependent d’una benzinera té un gos que l’acompanya durant les seves hores de feina i té observatque el gos creua vàries vegades al dia el carrer on s’ubica la benzinera. Un estadístic client del’establiment determina que el número de vegades que el gos creua la carretera durant unajornada laboral es pot modelitzar com una variable de Poisson, dita X ~ P (λ), on λ és el númeromig de vegades que el gos creua el carrer diàriament. El gos cada matí comença la jornada de la bandade la benzinera, doncs acompanya l’amo des de casa.

Es defineix una nova variable, Y amb els valors:

0. Si el gos és a la banda de la benzinera en completar la jornada

1. Si el gos és a l’altra banda del carrer en completar la jornada.

⇒ Determineu la funció de probabilitat de la variable Y.

⇒ Com s’interpreta el resultat quan λ augmenta indefinidament?

Ajut: Considerar el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció cosinus hiperbòlic.



2.23 Una Variable Aleatòria Esglaonada

Sigui X una variable aleatòria contínua amb una funció de densitat de probabilitat com es mostra en lafigura, és a dir, amb valor constant [x0, x01) i valor constant [x01, x02]. L’àrea sota la funció dedensitat en el primer bloc és π1 . Calculeu analíticament:

⇒ La funció de densitat de probabilitat de X.

⇒ La funció de distribució de X.

⇒ L’esperança matemàtica de X.

⇒ La variància de X.

Apliqueu els anteriors resultats a una variable X que compleixi: x0 = 0; x01 = 18; x02 = 24;

P(X < x01)=0.6

f x

x 0 x 01 x 02X

2.24 El Taller de Reparació d’Ordinadors

Es considera un ordinador constituït per una CPU i una RAM. Una gran empresa es proveeix de dosfabricants F1 i F2. F1 aporta el 80% dels ordinadors i F2 el 20% restant. En el temps de posta enmarxa es troba que les RAM del fabricant F1 són defectuoses en un 5%, i les CPU en un 2%. Pelfabricant F2, les RAM defectuoses són un 5% i les CPU un altre 5%. Considerem els esdeveniments:

• A: CPU en bon estat.

• B: RAM en bon estat.

⇒ Calculeu les probabilitats P(A), P(B) i P(A ∩ B).

⇒ Quina és la probabilitat que l’ordinador sigui de F2, si funciona després de la posta en marxa?

⇒ Després de la posta en marxa, els ordinadors que s’espatllen són enviats a un taller especialitzat. Sesap que els operaris d’aquest taller han d’atendre una mitjana de 2 ordinadors diaris i com a màxim



podrien atendre 5 ordinadors en un dia. Calculeu la probabilitat que es col·lapsi el taller dereparacions un dia qualsevol.

⇒ Quina és la probabilitat que els operaris estiguin una setmana laboral complerta de 5 dies sensefeina?

2.25 Un de Verificació de Propietats

Sigui X una variable aleatòria absolutament convergent amb funció de densitat de probabilitat:

f xx

si x

altramentX ( ) =

+< <

112

0 3

0

2

⇒ Comproveu que f xX ( ) és efectivament una funció de densitat

⇒ Determineu la funció de distribució de X, F xX ( ) .

⇒ Com és F xX ( ) ? Com ha d’ésser forçosament i quina relació té amb f xX ( ) ?

⇒ Si se sap que X > 1, trobeu la probabilitat que X sigui més gran que 2.

⇒ Calculeu l’esperança i la variància de X.

2.26 Les Aturades d’uns Sistemes de Control

Dos sistemes de control electrònic funcionen independentment amb un cert número d’aturades diàries.Les lleis de probabilitat que segueixen les variables que compten aquestes aturades diàries percadascun dels sistemes, dites X i X1 2 , són les següents:

X i ( )iX xP1

( )iX xP2

0 0.07 0.1

1 0.35 0.2

2 0.34 0.5

3 0.24 0.2

⇒ Quina és la probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades un cert dia?

⇒ Quina és la probabilitat que el número de aturades del sistema 1 sigui menor que el númerod’aturades del sistema 2 en un cert dia?



⇒ Quina és la probabilitat que hi hagi una sola aturada en un dia entre els dos sistemes?

⇒ Quina és la probabilitat que el número d’aturades del sistema 1 sigui igual al número d’aturades delsistema 2?

⇒ Existeix un equip de manteniment pels casos d’aturades que pot atendre fins a 5 casos en un dia.Calculeu la probabilitat que aquest equip es col·lapsi un cert dia.

2.27 Les Avaries d’un Centre de Càlcul

Un Centre de Càlcul dóna servei a una Universitat i detecta que hi ha dos tipus d’avaries principalmenten els terminals gràfics de les sales d’usuaris: tipus A i tipus B, diferents i independents. Se sap que enles sales d’usuaris es donen un promig de 1 avaria tipus B cada dues setmanes i 2 avaries tipus A a lasetmana.

⇒ Quina és la probabilitat que durant 3 setmanes no hi hagi cap avaria del tipus A?

⇒ Quina és la probabilitat que durant 4 setmanes hi hagi menys de 3 avaries del tipus B?

⇒ Quina és la probabilitat que durant les 4 darreres setmanes del curs hi hagi exactament 4 avaries entotal (tipus A o B)?

⇒ Si en les 10 primeres setmanes del quadrimestre no hi ha hagut cap avaria. Quina és la probabilitatde que acabi el quadrimestre sense cap avaria ? Un quadrimestre són 14 setmanes.

⇒ Les darreres 4 setmanes han produït 3 avaries del mateix tipus. La probabilitat a priori d’ésser detipus A és 2/3 i de tipus B 1/3. Quina és la probabilitat que les 3 avaries hagin estat totes del tipusA?

⇒ Ara considerem que hi ha 10 sales d’usuaris amb terminals gràfics. Quina és la probabilitat de tenir,una determinada setmana, més de 4 d’aquestes sales amb 3 o més avaries?

⇒ Si la Universitat disposés de 100 sales d’usuaris, amb quina probabilitat hi hauria entre 40 i 60 salesamb 3 o més avaries cada setmana? Quin número de sales d’usuaris caldria tenir de reserva persubstituir les que cada setmana esperem que tindrien aquest número d’avaries?

2.28 Recanvis de Peces

Un taller de reparacions ha controlat durant un cert temps les reparacions fetes sobre un determinattipus de màquina que presenta una avaria simple (1 fallada) o doble (2 fallades). El taller s’ocupa d’anarreparant les fallades i si cal canviar la peça base. Els resultats del control mostren que un 40% de lesreparacions eren per una avaria simple sense que calgui el canvi de la peça base, un 30% eren per unaavaria simple però que requeria de canviar la peça, i de la resta que eren avaries dobles, n’hi haviaigual nombre que havien necessitat el canvi de peça, com sense canvi.



⇒ Quina és la funció de probabilitat de les variables, X: número de fallades i Y: canvi o no de peça ila llei conjunta d’ambdues variables ? És independent el número de fallades i el fet d’haver decanviar la peça?

⇒ Quina és la probabilitat d’haver de canviar la peça base? I la probabilitat d’haver de canviar la peçasi se sap hi han hagut 2 fallades?

⇒ Si el taller obté la peça base per una reparació d’un magatzem on hi van 9 tallers més, quina és laprobabilitat que més de 5 tallers hi vagin a buscar la peça per canviar, un dia que tots han rebut avísde reparació?

⇒ El taller té una tarifa de preus establerta de 4.000 ptes pel transport, 2.000 ptes per cada fallada i2.000 ptes més si hi ha hagut finalment canvi de peça. Quin és el valor esperat i la variabilitat del costtotal d’una reparació?

⇒ El taller també té calculats uns temps per a solucionar les reparacions: 1 hora pel transport i 20minuts per cada fallada a solventar (no hi ha temps addicional si ha hagut canvi de peça). Calculeu elvalor esperat i la variabilitat del temps total d’una reparació.

⇒ Doneu la funció de probabilitat conjunta del cost total i del temps emprat per les reparacions.Calculeu la probabilitat que una reparació costi 8.000 ptes si han trigat 80 minuts.

2.29 Un de Descriptiva Bivariant

Durant l’any 1.993 es van suïcidar 28.295 persones als Estats Units, on 21.786 eren homes. La via delsuïcidi es pot classificar en quatre categories:

I. Per armes de foc.

II. Ingerint productes tòxics.

III. Estrangulament

IV. Altres.

Se sap que 16.600 persones empraren vies de tipus I, 5.617 vies de tipus II i 3.931 vies de tipus III. Amés, se sap que dels homes, un 6’688% fan triar altres vies i un 14’79% vies tipus III. De entre tots elsqui es van enverinar, un 43’96% foren dones.

⇒ Resumir la informació anterior en una taula de contingència.

⇒ Estudiar la distribució de la via de suïcidi segons el gènere.

⇒ Si disposem de la dada de un suïcidi per via III, què es pot dir del sexe de l’afectat? I si el suïcidafos dóna, quina hauria estat la via més probablement emprada?

⇒ Si suposem que les variables són independents, i assumim que les distribucions marginals sónidèntiques, quin és el número esperat de homes suïcidats per vies tipus I ? Quin és el número esperatde dones suïcidades per ingestió de verí?

⇒ Observant els resultats dels anteriors apartats, sembla recolzable la hipòtesi d’independència entreles variables?



2.30 El Concurs de Mèrits

Un concursant ha de realitzar tres proves. La probabilitat de superar cadascuna d’elles és: 1/3 per laprimera prova i per les altres dues proves, 1/2 si va superar l’anterior i 1/4 si no va superar-la.

⇒ Sigui X la v.a. número de proves superades. Dibuixar la seva funció de probabilitat i dedistribució.

⇒ Si el concursant ha superat dues proves, quina és la probabilitat que no hagi superat la segona ?

⇒ Si el concursant ha superat la tercera prova, tindria la mateixa probabilitat d’haver superat laprimera?

⇒ Suposant que qui guanya el concurs té un increment en el seu sou anual funció del número deproves aprovades, i modelitzat per una nova variable aleatòria Y X= 50 2 , en mils de ptes. Quin ésl’augment esperat del sou anual?

⇒ Continuant amb l’apartat anterior se suposa que en el cas que no superi una prova ha de pagar les3/4 parts del que porta guanyat i prenent com a criteri l’augment esperat, li convé concursar a latercera prova si ha guanyat les dues primeres ?

2.31 Les Cues al Peatge

L’arribada de vehicles al peatge de l’autopista A-16 segueix una llei de Poisson de tassa promig 5vehicles per hora entre les 3 i 5 h de la matinada dels dies feiners.

⇒ Demostreu que la llei de la variable T, temps entre l’arribada de dos vehicles, segueix una distribucióexponencial.

⇒ Calculeu l’esperança i la variància de T.

⇒ Si un cert dia no ha arribat cap vehicle entre les 3h i les 4h de la matinada. Quina és la probabilitatque no arribi cap vehicle entre les 4h i les 5h del mateix dia?

⇒ En una setmana de cinc dies feiners, quina és la distribució de la variable que comptabilitza el númerode dies feiners en els que no arriba cap vehicle entre les 3:00 h i 3:30 h de la matinada?

2.32 Una Aplicació del Teorema Central del Límit

Un programa d’ordinador realitzar la suma de 100 números reals prèviament arrodonits a l’enter mésproper. Suposem que l’error d’arrodoniment es distribueix uniformement entre -1/2 i 1/2, i que elserrors són mútuament independents. Calculeu quin és el rang de valors que pot prendre l’error dela suma amb una probabilitat de 0.99, entenen per error la discrepància entre la suma real sensearrodonir dels valors i la suma calculada pel programa.



2.33 Un de Parell de Variables Discretes

La següent taula conté la funció de probabilitat conjunta del parell de variables X i Y.

Y \ X -1 0 1

-1 a 2a 3a

0 2a 4a 6a

1 ab 4a 3ab

⇒ Determineu les esperances de X i Y en funció d’ a

⇒ Determinar la llei conjunta del parell (S,M), amb S = ( X+Y ) i M = Màx ( X,Y ). Resumiu la respostaen una taula

⇒ Sota quines condicions les variables X i Y són independents?

2.34 Un Nou Parell de Variables Discretes


Y \ X -1 0 1

-1 0 2a 3a

0 2a 0 a

1 3a a 0

⇒ Determineu a, la llei de X i l’esperança de ( X + Y )

⇒ Són X i Y independents?

⇒ Determineu la llei de Z=(X-Y)

⇒ Determineu la llei de S = Max ( X,Y )

2.35 Més de Parell de Variables


Y vs. X x1 x2 x3 x4

y1 0.02 0.01 0.03 0.04

y2 a 4a 0.05 0.06

y3 0.09 0.05 0.1 0.05



⇒ Calculeu els valors del paràmetre real positiu a.⇒ Calculeu la funció de probabilitat de la variable X i E(X).⇒ Calculeu E(X/Y=y1).⇒ Calculeu E(XY) i COV(X,Y).⇒ Justifiqueu si X i Y són o no són estadísticament independents.

2.36 Un Parell de Variables Uniformes i Discretes

Siguin dues variables aleatòries independent, X1 i X2 , de llei uniforme sobre A:=0,1,2,3,4,5.

⇒ Determineu la llei de (X1-X2)2

⇒ Determineu la llei de 6X1+X2

2.37 Parell de Variables Uniformes i Contínues

Siguin dues variables aleatòries independents, X1 i X2 , de llei uniforme sobre [0,1]. Determineu la llei deX1+X2, la seva esperança i la seva variància.

2.38 L’espera a Correus

Una oficina de correus té una finestreta que tracta dues categories d’operacions: reintegraments de diners itrameses de paquets. Es fan dues hipòtesis:

I. Per tot interval de longitud T, en minuts, el número de persones que es presenten a la finestreta persol·licitar un reintegrament segueix una variable aleatòria de Poisson, dita Xa, de paràmetre aT (a>0).

II. El número de persones que es presenten per trametre paquets es representa mitjançant una variablealeatòria Xb que segueix una llei de Poisson de bT (b>0). Les variables aleatòries Xa i Xb sónindependents.

⇒ Demostreu que la llei associada al número total de persones que es presenten a la finestreta és una lleide Poisson de paràmetre (a+b)T. Si a=0.4 i b=0.2. Quina és la probabilitat que cap client es presentientre 10:00h i 10:05h ?

⇒ Els operaris acaben la seva jornada laborat a les 19 hores, i per això l’oficina tanca les seves portes ales 18:45 hores. Se sap que en un cert dia hi ha una cua de n persones arribades entre les 18:35 i les18:45 hores. Determineu en funció de a, b i n, la llei de la variable aleatòria associada al número depersones de la cua que han vingut per un reintegrament.

2.39 La Finestreta d’Atenció al Públic

En una finestreta d’atenció al públic de mitjana hi arriben dues persones cada minut.



⇒ Quina és la probabilitat que en un minut hi arribin més de dues persones?

⇒ Quina és la probabilitat que en cinc minuts hi arribin menys de 13 persones?

⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara no hi ha cap persona?

⇒ Quina és la probabilitat que passin cinc minuts sense que hi arribi ningú si ara hi ha una persona?

⇒ Quina és l’esperança del temps d’espera fins que arribi una altra persona quan ara n’hi acaba d’arribaruna?

2.40 La Tenda de Peixos

El dependent d’una tenda d’animals domèstics disposa d’una peixera de grans dimensions amb peixostropicals per a la venda al públic. El dependent enretira de la peixera els peixos que ven amb una petitaxarxa on només cap un exemplar; però, cada intent de captura d’un animal no sempre resulta exitòs. Eldependent sap:

• En introduir la xarxa a la peixera, el dependent té una probabilitat p=0.6 de capturar un peix.

• Si no es capturen grans quantitats de peixos de la peixera, la probabilitat p pot assumir-se constant alllarg de successius intents.

• L’èxit o fracàs a cada intent és independent del resultat d’intents anteriors.

⇒ Si arriba un client indecís a la tenda per comprar peixos tropicals i li demana els peixos que puguicapturar en 6 intents, quina és la llei de probabilitat de la variable aleatòria, X, número de peixoscomprats per un client indecís ? Quin és el número esperat de peixos que s’endurà el client? Quinaés la probabilitat que el client s’en vagi sense comprar cap peix?

⇒ Si entra un client decidit que vol comprar 1 peix, quina és la llei de probabilitat de la variablealeatòria, Y, número d’intents necessaris per part del dependent per satisfer la comanda del client?

⇒ Els clients indecisos entren a la tenda segons una llei de Poisson de paràmetre 4 clients per hora i elsclients decidits segueixen una altra llei de Poisson, independent de l’anterior i de paràmetre 1 clientper hora. Si entre les 10:00 i les 10:15 hores ha entrat un únic client a la botiga que ha comprat unúnic peix, quina és la probabilitat que el individu sigui un client indecís?

2.41 Un Viatge Transatlàntic

Un avió surt de Xicago a les 21 hores (hora local), fa una escala tècnica a Islàndia i té anunciada l’arribadaa Luxemburg a les 14:30 hores (hora local). La diferència horària entre Xicago i Luxemburg és de 6 hores.La durada del trajecte es pot descomposar en 3 durades a les quals se les pot associar 3 variablesaleatòries normals mútuament independents, X, Y i Z:

X: Durada del trajecte Xicago a Islàndia. N1(µ=240,s=25),Y: Durada de l’escala tècnica a Islàndia. N2(µ=45,s=10),Z: Durada del trajecte Islàndia a Luxemburg. N3(µ=420,s=40)



Calculeu la probabilitat que l’hora d’arribada a Luxemburg difereixi de l’hora anunciada (14:30h) en menysde 15 minuts.

2.42 El Tub de Rajos Catòdics

Els tubs de rajos catòdics d’una terminal gràfica tenen una fina malla darrera la superfície visible que s’hade tensar durant l’ensamblatge. Si es tensa massa, la malla es desgarra, mentre que si no es tensa prou, s’hiformen arrugues. La tensió a la que es sotmet aquesta malla es pot mesurar en miliVolts (mV) mitjançant undispositiu electrònic. Actualment, la lectura de la tensió de successius tubs es distribueix segons una lleinormal N(µ=275,s=43).

La tensió mínima acceptable per tal que la malla no s’arrugui és de 200 mV. La tensió màxima quesuporten aquestes malles sense trencar-se és de 375 mV.

⇒ Calculeu la probabilitat que la malla s’arrugui.

⇒ Si una malla s’ha arrugat, quina és la probabilitat que s’hi hagi aplicat una tensió inferior a 175mV ?

⇒ Quina és la probabilitat que una malla estigui en bones condicions ?

⇒ Quina és la probabilitat que entre 5 tubs almenys 3 d’ells tinguin la malla en bones condicions?

⇒ Sigui X la lectura de tensió en mV i µ = E(X). Quina és la tensió t tal queP t X t( ) .µ µ− ≤ ≤ + = 0 95?

2.43 Vida de Dispositius Electrònics

La vida d’un dispositiu electrònic del tipus A segueix una llei exponencial de mitjana 1000 hores i la vidad’un dispositiu del tipus B segueix una llei normal de mitjana 1000 hores. La vida dels dispositius detipus A pot considerar-se independent de la vida dels dispositius de tipus B.

⇒ Calculeu la probabilitat que un dispositiu de tipus A duri almenys 1000 hores.

⇒ Quina és la probabilitat que un dispositiu de tipus B duri almenys 60.000 minuts?

⇒ Quin dispositiu escolliríeu?

⇒ Per tal d’augmentar la fiabilitat d’un sistema que requereix d’un dispositiu electrònic es decideix decol·locar en paral·lel un dispositiu tipus A i un altre tipus B. Quina és la probabilitat que el sistemafuncioni després de 1.000 hores?

⇒ Quin és el valor de la variància de la vida d’un dispositiu del tipus B si se sap que la probabilitat queduri més de 500 hores és 0.9993.

2.44 El Creuament de Trens

Dos trens de llarg recorregut surten dels seus respectius orígens A i B a les 16:00 hores diàriament. Eltrajecte entre ambdues estacions és de via única, excepte a l’abaixador C; de manera que els trens



efectuen el creuament sense perill. La maniobra de creuament la regula manualment el cap d’estació i sesap que està molt atent fins a les 20:00 hores, moment en que encèn el televisor i minva la sevapercepció fins el 50%.

El tren que surt de l’estació A arriba l’abaixador C en promig desprès de 3h 28’54’’, i la durada esdistribueix normalment amb desviació tipus de 20 minuts. El tren que surt de l’estació B arriba al’abaixador C en promig després de 3h27’36’’, i la durada també es distribueix normalment amb unadesviació tipus de 20 minuts.

⇒ Definiu quines són les lleis de probabilitat associades a les durades del trajectes dels trens des del’estació de partida fins C. Quina és la probabilitat que el tren A arribi abans de les 19:00 hores al’abaixador C? I la probabilitat que el tren B hi arribi abans de les 18:30 hores?

⇒ Quin és el risc que hi hagi un accident?

⇒ Si el recorregut es fa diàriament, quina és la probabilitat que després d’una setmana s’hagi produïtalgun accident?

⇒ I quina és la probabilitat que després de 200 dies s’hagi produït algun accident?

⇒ Si un dia donat no va haver-hi cap accident, quina és la probabilitat que els trens arribessin desprésde les 20:00 hores a l’abaixador C?

2.45 La Màquina d’Emplenar Caramels

Una màquina d’emplenar bosses de caramels diposita en cada bossa una quantitat en pes de caramelsque pot considerar-se distribuït segons una llei normal, de manera que el 33% de bosses emplenadescontenen més de 81.76 g de caramels i només el 0.6% de les bosses contenen un pes de caramelsinferior a 69.96 g.

⇒ Quin són els paràmetres que defineixen la variable aleatòria X, quantitat de caramels per bossa(en g)?

⇒ Si es trien 10 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat que 5 bosses pesin més de 80 g i 5 bossesmenys de 80 g? Justificar la formulació.

⇒ Si es trien 100 bosses a l’atzar, quina és la probabilitat de trobar-ne com a mínim 40 amb un pessuperior a 80 g? Justificar la formulació.

2.46 La Normal Truncada

La vida en hores de certs tubs electrònics té per densitat de probabilitat la funció:



f x k e xx

X

x

( ) = ≥<

−2

80000 2000 200

Un aparell de tipus A conté 100 tubs i requereix pel seu funcionament d’almenys 65 tubs actius. Unaparell de tipus B conté 20 aparells tipus A i requereix de més de 10 aparells tipus A actius.Respongueu a les següents preguntes relacionades amb l’anterior enunciat:

⇒ Comproveu que el valor k que fa que l’anterior funció sigui una densitat de probabilitat ben definidaés k

FY

=−

1200 2 200π ( )

on FY ( )−200 indica el valor de la funció de distribució d’una

variable aleatòria normal, ( )Y N≈ = =µ σ0 400002, , en el punt y = -200.

Expresseu la constant k en termes de la funció de distribució de la variable normal, Z, centrada ireduïda, ( )Z N≈ = =µ σ0 12, .

⇒ Calculeu la probabilitat que un tub tingui una vida activa superior a 250 hores.

⇒ Calculeu la probabilitat que un aparell tipus A funcioni almenys 250 hores. En cas de no haver resoltl’apartat anterior, suposeu que té per solució una probabilitat p = 0.7.

⇒ Calculeu en un determinat aparell tipus B, en funcionament actual des de fa més de 250 hores, quinés el nombre màxim d’aparells tipus A que estaran actius amb una probabilitat del 90%?

2.47 Les Alçades en Matrimonis

La distribució conjunta del parell d’alçades en un matrimoni segueix una llei normal bivariant, de maneraque l’alçada de les dones té una mitjana de 169.82 cm i una desviació tipus de 5 cm i l’alçada delsmarits té una mitjana de 176.5 cm i una desviació tipus de 5 cm; la correlació entre ambdues variablesés 0.51.

⇒ Quina és la covariància entre les alçades dels marits i les mullers?

⇒ Quina és la probabilitat que una dona sigui més alta que un home, independentment que formin unmatrimoni?

⇒ Si a un sopar assisteixen 10 matrimonis que constitueixen una mostra aleatòria simple de la poblacióde referència, quina és la probabilitat que el marit sigui més alt que la dona en almenys 8 parelles deles que estan presents al sopar?

2.48 Les Ampolles d’Oli

Una empresa disposa de 3 línies d’envasat automàtic d’ampolles d’oli d’oliva. Els continguts de lesampolles emplenades per la línia A, la B i la C són, respectivament, variables aleatòries y y i yA B C,

distribuïdes segons lleis normals de paràmetres:



y cm cmy cm cmy cm cm

A A A

B B B

C C C

µ σµ σµ σ

= == == =

998 151000 0 81001 05

3 3

3 3

3 3

...

Es preparen caixes de dos tipus, C1 i C2, amb 6 ampolles per caixa, de manera que en les caixes deC1 hi han 2 ampolles de la línia A, 3 de la B i 1 de la C, mentre a les caixes C2 hi han 2 ampolles de lalínia A i 4 de la C. Una ampolla es considera defectuosa si el seu contingut és inferior a 999 cm cúbics iuna caixa és defectuosa si conté alguna ampolla defectuosa.

⇒ Quina és la probabilitat de tenir un contingut total d’oli d’una caixa tipus C2 superior al contingutd’una caixa tipus C1?

⇒ Quin contingut total mínim pot garantir-se per una caixa C1 amb un risc d’error del 2%?

⇒ Si triem a l’atzar 150 ampolles de la línia A, quina és la probabilitat de tenir-ne més de 100 dedefectuoses?

⇒ Quina és la probabilitat de tenir entre 10 caixes del tipus C2 triades a l’atzar almenys una dedefectuosa?

2.49 Les Empreses d´Estudis de Mercat

Una empresa A que es dedica als estudis de mercat té un volum de facturació mensual distribuïtnormalment amb un valor mig de 220 kEuros i desviació tipus de 20 kEuros (variable aleatòria X).L’empresa B, que es la competència de l’empresa A en el sector de sondejos sobre nous productesalimentaris, factura en promig mensualment 205 kEuros amb una desviació tipus de 20 kEuros (variablealeatòria Y) i també es pot considerar que la seva facturació mensual segueix una distribució normal.

Els estudis de mercat tenen una demanda estacional i per tant no és d’estranyar que la facturaciómensual de les dues empreses estigui correlacionada positivament amb una magnitud de 0,815.L’empresa A està desenvolupant una política agresiva de preus adreçada a l’eliminació de l’empresa Bdel sector, en un moment en que passa per una crisi directiva notable. Totes dues empreses necessitende facturar com a mínim 200 kEuros mensuals per cubrir despeses i a més per satisfer els seusaccionistes haurien d’obtenir beneficis durant més de 8 mesos l’any..

1. Calculeu la covariància entre les dues variables aleatòries que representen les facturacions mensualsde les dues empreses.

2. Quina és la probabilitat de que durant l’any en curs (12 mesos) els accionistes de l’empresa Bacabin insatisfets de la seva inversió? Indicar clarament l’ús fet de les taules.

3. Se sap que l’empresa B ha començat amb mal peu l’any i la política de l’empresa A la perjudicaenormement. Quina és la probabilitat que l’empresa B hagi d’arribar al setembre (inclòs) per havercobert despeses durant 3 mesos?

4. Finalment, quin és el número de mesos que en 10 anys cap esperar que l’empresa B no obtinguibeneficis? I quin és el número de mesos màxim que en 10 anys no obté beneficis amb un riscd’equivocar-nos del 5% ?



2.50 Un de Propietats Bàsiques

Sigui X una variable aleatòria contínua que modelitza el temps d’espera a la caixa d’un supermercat (enminuts) i que té per funció distribució:

( )F x

xx x

xx x

x

X =

≤< ≤< ≤< ≤

>

0 00 5 0 10 5 1 2

0 25 2 41 4

..

.

1. Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

2. Calculeu (justificadament) l’expressió de la funció densitat de probabilitat de la variable aleatòria X.Dibuixeu-la.

3. Si se sap que x > 1, calculeu la probabilitat que x > 3 .

4. Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria X.

2.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a.

Siguin X i Y un parell de variables aleatòries discretes amb una funció de probabilitat conjunta

pXY Y=1 Y=2

X = 1 1/4 1/6

X = 2 1/8 1/12

X = 3 a b

• Calculeu els valors dels paràmetres a i b per tal que l’anterior representa una llei de probabilitatconjunta. Sota quines condicions són independents X i Y?

• Dibuixeu la funció de distribució de la variable aleatòria X.

• Si se sap que X = 2 , calculeu la probabilitat que Y =1.



• Calculeu l’esperança matemàtica de la variable aleatòria Y, en general i sota condiciódíndependència.

2.52 Les Malalties TropicalsTot continuant amb la malaltia tropical, els experts tenen constància que en Sud-est Asiàtic, X: laincidència de la malaltia (casos/mil hab), té una mitjana de 2 casos/mil hab i té una distribució normal

( )N µ σ, 2 .

1. Quina és la desviació tipus σ de la variable aleatòria X, sabent que ( )E X 2 4 01= . ?

2. Quina és la probabilitat díncidència entre 1.98 i 2.02 casos/mil hab ? Quina és la probabilitatdíncidència superior a 2.2 casos/mil hab?

3. En els poblats amb incidència entre 1.98 casos/mil hab i 2.02 casos/mil hab es planeja fer un estudide detall. Quina és la probabilitat de disposar de com a mínim 5 poblats adequats per l’estudi dedetall en una subàrea geogràfica de fàcil accés que conté 10 poblats? I en una àrea més extensa queconté 100 poblats?

4. L’objectiu de la OMS (Organització Mundial de la Salut) consisteix en reduir la probabilitat dúnaincidència superior als 2.02 casos/mil hab a un 25%. Per això és necessari de millorar les condicionssanitàries, tot uniformitzant láccès a l’aigua potable, és a dir, reduint la variància de la v.a. X. Quinés el valor màxim de la variància que es correspon amb lóbjectiu descrit?

2.53 Per Pensar ...

Raoneu què han de complir forçosament dos esdeveniments d’un espai de probabilitat que siguin alhoraincompatibles i independents.



3. INDICACIÓ DE LA RESOLUCIÓ DELS PROBLEMES

3.1 Els daus vermell i blau.

X : Dau blau

Y : Dau vermell

a) b) X+Y≥8

c) X-Y≥3 d) 1≤X≤2 o 1≤Y≤2

e) A B C ?∩ ∩

A B C ) = A B C ) = A B C∩ ∩ ∩ ∪ ∪ ∪( (

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5

6

Y

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5

6

Y

1 2 3 4 5 6 X

1

2

3

4

5

6

Y

1 2 3 5 6 4 X

1

2

3

4

5

6

Y



A B C X 8 Y X Y 3 1 X 2 1 Y 2∪ ∪ = ≥ − ∪ ≥ + ∪ ≤ ≤ ∪ ≤ ≤

A∪B∪C és:

I per tant, A B C∪ ∪ = ( , ),( , ),( , )3 3 3 4 4 3

3.2 Independència i probabilitat.

a) Sigui P(A)=1/3

A i A són independents si P(A A) = P(A) P(A)∩ ⋅

ts.independenson no 2/90 2/3=1/3-1=P(A)-1=)AP( 1/3P(A)

0)P()AP(A⇒≠⇒

⇒=

=∅=∩

b) Sigui P(A)=1

P(A A) P( ) 0

P(A) 1 P(A) = 1- P(A) = 1-1 = 0 0 0 son independents.

∩ = ∅ =

= ⇒

⇒ ≡ ⇒

3.3 Boles de colors.

3V

7N

S1

0.3

0.7

V2

V1

N1

V2

N2

N2

4/11

7/11

3/11

8/11

3V

7N

S2

1 2 3 5 6 4 X

1

2

3

4

5

6

Y



Definim l’esdeveniment: A= V a S2

P(A) P(V V ) P(N V ) P(V ) P VV P(N ) P V

N1 2 1 2 12

11

2

1= ∩ + ∩ = ⋅

+ ⋅

=

= × + × = + = =0 3 411 07 3

1112

1121

1133

11 0 3. . . . . .

3.4 Daus de colors.

Tenim 7R (vermells), 5A (grocs) i 3V(verds). ⇒ en total tenim 15 daus.

a) P(R A V ) P(R ) P A VR P(R ) P A

R P VR A1 2 3 1

2 3

11

2

1

3

1 2∩ ∩ = ⋅ ∩

= ⋅

⋅ ∩

=

= ⋅ ⋅ = =7

155

143

13126

0 0384615.

b) P(R A V ) P(R ) P(A ) P(V )7

155

153

150.03111 2 3 1 2 3∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

son independents

↓

3.5 Independència dos a dos; independència mútua.

Siguin els següents esdeveniments:

• A= 1r. número senar

• B= 2r. número parell

• C= números amb la mateixa paritat

P(A C) els dos senars336

936

14

P(A)1836

12

P(C)1836

12

A i C independents.

2

∩ = = = =

= =

= =

⇒

P(A B)936

14

P(A)12

P(B)12

A i B independents.

∩ = =

=

=

⇒



P(B C) els dos parells336

936

14

P(B)1836

12

P(C)1836

12

B i C independents.

2

∩ = = = =

= =

= =

⇒

P(A B C) P(A) P(B) P(C) ?

P(A) P(B) P(C) =12

P(A B C) = P( ) = 0

18

0 no mutuament independents. 3

∩ ∩ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

∩ ∩ ∅

⇒ ≠ ⇒

18

3.6 Un d’oposicions.

El conjunt de resultats és Ω = “conjunt de 5 temes del mateix bloc (AC/LSI) que poden sortir”

Considerem els esdeveniments :

• A= “aprovar l’oposició”

• LSI= “surten els temes de LSI”

• AC= “surten els temes de AC”

Clarament Ω= LSI ∪ AC

a) P(A) P(A LSI) P(A AC) P(A LSI) P(LSI) P(A AC) P(AC)= ∩ + ∩ = ⋅ + ⋅

on P(AC) 20 50 2 / 5P(LSI) 30 50 3 / 5

= == =

donat que només depèn de l’elecció del primer tema.

Ara cal trobar la P(A/LSI) i P(A/AC):

• P(A/LSI) = P(dels 5 temes escollits de LSI, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temesescollits de LSI, tots ells han estat estudiats pel candidat) =

=

104

201

305

105305

210 20 252142506

0 03124

⋅

+

=× +

= .

• P(A/AC) = P(dels 5 temes escollits de AC, 4 són dels estudiats pel candidat) + P(dels 5 temesescollits de AC, tots ells han estat estudiats pel candidat) =



=

54

151

205

55205

5 15 115504

0004901

⋅

+

=× +

= .

Finalment tenim que: P(A) 0.03124 3/ 5 0.004901 2 / 5 0.0207047= ⋅ + ⋅ =

b) Directament aplicant la fórmula de Bayes:

P(LSI / A)P(A / LSI) P(LSI)

P(A)0.03124 3 / 5

0.02070470.905=

⋅=

⋅=

3.7 Parells de nombres aleatoris.

Ω=(i,j) tals que i=0..9, j=0..9 aleshores #Ω=100

Considerem n parells i tenim Ωn.

Casos possibles → 102n

Definim els successos A: Almenys un parell igual

Bi : El parell i és igual

( )P(A) = 1- P(cap parell igual) = 1 P(B ... B )P(B ) 10

100110 P(B ) 1 1

109

10P(A) 1 1 1

101 n

i i

n− ∩ ∩= = ⇒ = − =

⇒ = − −

Calculem per: n = 10 0,6513n = 50 0,9948

3.8 El dau de tres cares.

Definim l’esdeveniment A: guanyar i ens preguntem quant val P(A).

Si surt un 3 → guanyes

sinó repetir fins obtenir el resultat de la primera tirada → guanyes

si surt un 3 → perdem

Ω=3 , 12i 1 , 12i 3 , 21i 2 , 21i 3

A 3

A 12 1 tq. i 0

A 21 2 tq. i 0

A A A A1

2i

3i

1 2 3

=

= ≥

= ≥

⇒ = ∪ ∪



P(A)13

13

13

13

...13

13

13

...13

16

16

23

2 3 4

successio geometrica de rao 1/ 3

2 3 4

= +

+

+

+

+

+

+

+

= + + =

1 24444 34444

aa

1 r1 / 9

1 1 / 31 / 6n

n k

k

=

∞

∑ =−

=−

=

3.9 El parc natural.

Fem el següent diagrama d’arbre:

Sigui C l’esdeveniment C : el cérvol X està a A al final

P(A)=P(X no surt de A) + P(X surt i el retornen)=1/10+9/19*9/10=100/190

3.10 Un de dos jugadors.

U1 = (60B,40N) U2 = (40B,60N)

a) L’arbre de probabilitats és:

B

A

B

A

9/10

1/10

10/19

9/19→

→

1,2

3,4,5,6

B (U1 ) 12/60=P(ω1 )

N (U1 ) 8/60=P(ω2 )

B (U2 ) 16/60=P(ω3 )

N (U2 ) 24/60=P(ω4 )

2/6

4/6

6/10

4/10

4/10

6/10



b) Calculem les dues probabilitats:

P(B) P(B U ) P(B U ) P(U ) P BU P(U ) P B

U26

610

46

410

28601 2 1

12

2= ∩ + ∪ = ⋅

+ ⋅

= ⋅ + ⋅ =

P(N) P(N U ) P(N U ) P(U ) P NU P(U ) P N

U26

410

46

610

32601 2 1

12

2= ∩ + ∪ = ⋅

+ ⋅

= ⋅ + ⋅ =

c) Tenim 4 possibles estratègies, calculem la probabilitat de cada una:

P UB

P(B U )P(B)

P(U ) P BU

P(B)12 6028 60

1228

37

1 11

1

=

∩=

⋅

= = =

P UB P U

B1 1

= −

=1

47

P UN

P(N U )P(N)

P(U ) P NU

P(N)8 6032 60

832

14

1 11

1

=

∩=

⋅

= = =

P UN P U

N1 1

= −

=1

34

Per tant, si la bola és blanca direm urna 2negra direm urna 2

3.11 Els tres jugadors.

Definim els esdeveniments:

Aij : guanyar el jugador i en l’instant j i=1..3

Ai : guanyar el jugador i

P(A ) 61111 =

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A )6

115

114

1039

68

13221 11 12 11 12= ∪ = + = + ⋅ ⋅ ⋅ =

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A )6

105

114

1039

28

272 21 22 21 22= ∪ = + = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

511

67

P(A ) P(A A ) P(A ) P(A )69

511

410

39

28

191543 31 32 31 32= ∪ = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

511

410

17

66

Per tant, el jugador amb més possibilitats de guanyar és el primer.



3.12 La malària.

• Un símptoma:

P(S1)= ( ) ( )P S1E1 P(E1) P S1

E2 P(E2) P S1E1 E2

P E1E2

⋅ + ⋅ +∩

⋅

=

=(0.55+0.25)·0.18+(0.14+0.32)·0.09+(0.06+0.03)·0.73=0.2511

P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135

• Els dos símptomes:

P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957

• Algun símptoma:

P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689

• Un símptoma però no l’altre:

P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554

P(S2∩S1)=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178

• Cap símptoma:

P(S )=1-P(S1∪S2)=0.634

• ( ) ( )P E1

S1P(E1 S1)

P(S1)

P S1E1 P(E1)

P(S1)0.8 0.180.2511

0.5735=∩

=⋅

=⋅

=

• ( )P E1S2

0.37 0.180.2511

=⋅

= 0 3119.

• P E1S1 S2

0.55 0.180.1554∩

=

⋅= 0 6371.

• P E1S1 S2

0.12 0.180.1178∩

=

⋅= 01834.

• ( )P E1S S2

0.25 0.180.09571 0 4702∩ =

⋅= .

• P E1S

0.08 0.180.6311

=

⋅= 0 0228.

• ( )P E1S S2

(0.55 + 0.25 + 0.12) 0.180.36891 0 4489∪ =

⋅= .

3.13 La malària altre cop.• Un símptoma:

• P(S1)= ( ) ( )P S1E1 P(E1) P S1

E2 P(E2) P S1E1 E2

P E1E2

⋅ + ⋅ +∩

⋅

=0.2511



P(S2)=(0.25+0.12)·0.18+(0.32+0.42)·0.09+(0.03+0.08)·0.73=0.2135

• Els dos símptomes:

P(S1∩S2)=0.25·0.18+0.32·0.09+0.03·0.73=0.0957

• Algun símptoma:

P(S1∪S2)=P(S1)+P(S2)-P(S1∩S2)=0.3689

• Un símptoma però no l’altre:

P(S1∩S2 )=P(S1∪S2)-P(S2)=0.1554

P(S2∩S1)=P(S1∪S2)-P(S1)=0.1178

• Cap símptoma:

P(S )=1-P(S1∪S2)=0.634

• ( ) ( )P E2

S1P S1

E2 P(E2)

P(S1)0.46 0.09

0.25110.1649=

⋅=

⋅=

• ( ) ( )P E2

S2P S2

E2 P(E2)

P(S2)0.74 0.09

0.2135=

⋅=

⋅= 0 3119.

• P E2S1 S2

P S1 S2E2 P(E2)

P(S1 S2)0.14 0.09

0.1554∩

=

∩

⋅

∩=

⋅= 0 08108.

• P E2S1 S2

P S1 S2E2 P(E2)

P(S1 S2)0.42 0.09

0.1178∩

=

∩

⋅

∩=

⋅= 0 3209.

• ( )P E2S S2

0.32 0.090.09571 0 30094∩ =

⋅= .

• P E2S

P SE2 P(E2)

P(S)0.12 0.09

0.634

=

⋅

=⋅

= 001703.

• ( ) ( )P E2

S S2P S1 S2

E2 P(E2)

P(S1 S2)0.88 0.09

0.36891 0 2147∪ =∪ ⋅

∪=

⋅= .

3.14 La rotllana de nens.

Sigui X: nen i Y: nena. Tenim (1X,3Y),(4X,2Y),(5X,5Y)



a) B0 : mantenir proporcions dels sexes

B0 = w1 ,w8 → P(B )14

57

611

34

37

6110 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 2727.

b) Sigui A : Treure nen

Definim B1 = w2 ,w4, B2 = w3 ,w6, B3 = w5 ,w7 aleshores Ω = B0 ∪B1 ∪B2 ∪B3

1201.0116

72

41

115

75

41

)P(B1 =⋅⋅+⋅⋅=

P(B )14

27

511

34

47

5112 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 2273.

P(B )34

47

611

34

37

5113 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0 3799.

P(A) P AB P(B ) P A

B P(B ) P AB P(B ) P A

B P(B )0

01

12

23

3=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅ =

31495.03799.021

2273.041

1201.0·02727.041

=⋅+⋅++⋅=

X

Y

Y

X

Y

X

X

YX

Y

X

Y

X

Y

1/4

3/4

5/7

2/7

4/7

3/7

6/11

5/11

5/11

6/11

6/11

5/11

5/11

6/11

w1

w2

w3

w4

w5

w6

w7

w8

(1,3)(4,2)(5,5)

(0,4)(4,2)(6,4)

(1,3)(5,1)(4,6)

(0,4)(5,1)(5,5)

(2,2)(3,3)(5,5)

(1,3)(3,3)(6,4)

(2,2)(4,2)(4,6)

(1,3)(4,2)(5,5)



3.15 El venedor de llibres.

V : vendre

NV : no vendre

E : Eixample

G : Gràcia

C : Les Corts

a) P(V)?

P(V)=P(V/E)P(E)+P(V/G)P(G)+P(V/C)P(C)=0.8*0.5+0.4*0.25+0.6*0.25=0.65

b) S: número de setmanes en què ha venut algun llibre aquest mes. ≈ B(4, 0.65)

P(S≥2)=1 P(S 1) 1 f (0) f (1) 1 0.35 4 0.65 0.35 0.8735187S S4 3− ≤ = − − = − − ⋅ ⋅ =

c) Recordem que P( / NV)P(NV / )P( )

P(NV)• =

• •

1) P(E / NV)P(NV / E)P(E)

P(NV)= =

⋅=

0 2 050 35

02857. .

..

2) P(G / NV)P(NV / G)P(G)

P(NV)= =

⋅=

0 6 025035

04286. .

..

3) P(C / NV)P(NV / C)P(C)

P(NV)= =

⋅=

04 0 25035

02857. .

..

Notem que la suma de les tres probabilitats suma 1.

A la vista dels resultats, és més probable que hagi anat a Gràcia.

d)

E1

G1

C10.25

0.25

0.5E2

G2

C2 1/3

1/3

1/3

Eixample

Gràcia

Les Corts

Vendre

No vendre

Vendre

No vendre

Vendre

No vendre

0.5

0.25

0.25

0.8

0.2

0.4

0.6

0.6

0.4



Definim C: coincidir en un districte

Coincidir almenys un cop durant dues setmanes = A = CC CC CC∩ ∩

P(A)=1-P(CC)=1-P( C )·P(C ) (per independència entre setmanes)

C = E1·E2 ∩ G1·G2 ∩ C1·C2 (disjunts)

P(C) = P(E1·E2) + P(G1·G2) + P(C1·C2) = P(E1)·P(E2) + P(G1)·P(G2) + P(C1)·P(C2) =

= 1/6+1/12+1/12=1/3

P(A)=1-(1-1/3)(1-1/3)=5/9

3.16 Els productes farmacèutics.

a) Definim els següents esdeveniments:

P1 : Fabricació via procediment 1

P2 : Fabricació via procediment 2

D : Peça defectuosa

Hem de calcular P P2D

Fem-ho per arbre:

P P2D

P(P2 D)P(D)

0.6750.9225

0.732

=

∩= =

P(D) P( w ,w ) 0.25 0.99 0.75 0.9 0.92252 4= = ⋅ + ⋅ =

P(P2 D) P( w ) 0.75 0.9 0.6754∩ = = ⋅ =

Per Bayes:

P P2D

P DP2 P(P2)

P DP1 P(P1) P D

P2 P(P2)

=

⋅

⋅ +

⋅

=⋅

⋅ + ⋅=

0 9 0 750 25 0 99 0 75 0 9

0 732. .

. . . ..

A priori:

0.25

0.75

D

P1

P2

D

D

D

0.01

0.99

0.1

0.9

w1

w2

w3

w4



P DP1 0.99 P D

P2 0.9 P(P1) = 0.25 P(P2) = 0.75

=

=

b) Sigui A: Extreure com a màxim 1 peça defectuosa entre 10.

A0 : Treure cap peça defectuosa

A1 : Treure 1 peça defectuosa

Di : Treure una peça defectuosa en i-èssima posició i la resta de les 10 peces no defectuoses.

P(A)=P(A0)+P(A1)

P(A0)=P( D )10 =0.922510 =0.446

P(A ) P(D D ... D ) 10 P(D ) 10 (1 P(D)) P(D) 10 0.0775 0.9225 0.37511 2 10 i 9= ∪ ∪ ∪ = ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =

P(A)=0.446+0.375=0.821

c) X : v.a. número de peces defectuoses en 2 extraccions amb reposició.

P(D)=0.0775

P([X = 2 = 0.0775 = 0.006

P([X = 0 = 0.9225 = 0.851P([X = 1 = 0.0775 0.9225+ 0.9225 0.0775 = 0.143

verifica p (x ) 1

2

2X i

x i

]

]] ⋅ ⋅

=∑)

)

[ ]E X p (x ) 0 p (0) 1 p (1) 2 p (2) 0.143 2 0.006 0.155X ix

X X Xi

= = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ =∑

3.17 Un de monedes trucades.

(75E , 25C) on E : moneda equilibrada i C : moneda 2 cares.

a) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,C) en 2 llançaments consecutius.

• Fent-ho per Bayes:

( ) ( ) ( )P A 0 25 P A 0 75

P CA 1 P X

A 0

P CA

0 5 P XA

0 5

a priori tambe P B

A 1 P BA 0

P BA

1/ 4 P BA

3/ 4

( ) . ( ) .

. .

= =

= =

=

=

=

=

=

=

( ) ( )( )

P AB

P BA P(A)

P BA P(A) P B

AP(A)

11

47

0.57141

4

14

14

34

14

716

=⋅

⋅ +

⋅

=⋅

⋅ + ⋅= = =



• Fent-ho amb arbre:

A B w P(A B) 1 / 41∪ = → ∪ =

B w ,w P(B) 1 / 4 3 / 16 7 / 161 2= → = + =

( )P AB

P(A B)P(B)

1 / 47 / 16

47

=∩

= =

b) Sigui A : Moneda trucada i B : surt (C,...,C) en 10 llançaments consecutius.

A priori:

( ) ( )( )P A 0 25 P A 0 75

P CA 1 P X

A 0

P CA

0 5 P XA

0 5

a priori tambe

P BA 1

P BA 0

P BA

P CA

P CA

P CA

12

10 10

( ) . ( ) .

. .

= =

= =

=

=

=

=

=

⋅ ⋅ ⋅

=

=

( ) ( ) ( )( ) ( )

P AB

P BA P(A)

P(B)

P BA P(A)

P BA P(A) P B

AP(A)

11

2 32

0.9971

4

14

12

10 34

10

12=

⋅=

⋅

⋅ +

⋅

=⋅

⋅ + ⋅=

+=

3.18 Els despatxos

A

A

C C

C

X

C

X

C

X

w1

w2

w3

w4

w5

0.75

0.251 1

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

P(wi )

0.25

3/16

3/16

3/16

3/16



A : Està en el despatx 9

B : No està en els 8 primers despatxos (A∩B = A)

a) P(A)=P(Sí)·P(C9)=1/2·1/9=1/18

b) ( )P AB

P(A B)P(B)

110

118

1018

=∩

= = P(B)12

19

12

1018

= ⋅ + =

3.19 Loteria a l’escola.

a) Ω = números de 4 xifres

ω : succés elemental P(ω)=10-4

b) X : v.a.”benefici net per algú que compri un número”

Xi : x0 500.000-1.000 = 499000

x1 50.000-1.000 = 49000

x2 5.000-1.000 = 4000

x3 1.000-1.000 = 0

x4 0-1.000 = -1000

PX ( )x 0 = 10-4

PX ( )x1 = 10

1000010= -3

PX ( )x2 = 10-2

PX ( )x 3 = 10-1

PX ( )x4 = 1-10-4 -10-3 -10-2 -10-1 = 1-0.1111 = 0.8889

Sí

No

1/2

1/2

1/9

1/9

C1

C2

C9

..............



c) Benefici net : esperança X

E[X] = x xi i⋅ =∑ PXi

( ) 499000·10-4 +49000·10-3 +4000·10-2 -1000·0.8889 =

= 49.9+49+40-888.9 = -750

3.20 La caseta de la Fira.X : Número de blancs obtinguts quan prob. encert inicial és p.

1º tir 2º tir . X0 ( )1 2− p 0

01 ( )1− p p 1

0( )1

2− p p

1

1

1( )1

2+ p p

2

21

2)1(

)º1encert |º2encert ( pp

pP+

=−

+=

21

21

1)º1encert |º2 errada( pp

P−

=+

−=

X PX ( )x i p=0.8 p=0.20 ( )1 2− p 0.22 =0.04 0.82 =0.64

132

1( )− p p32

0 8 0 2 0 24. . .⋅ =32

0 2 0 8 0 24. . .⋅ =

212

1( )+ p p12

18 0 8 0 72. . .⋅ =12

1 2 0 2 012⋅ ⋅ =. . .

X no és una binomial perquè no es pot considerar com la repetició de 2 experiències deBernoulli, doncs la probabilitat d’encert no és constant en les 2 experiències.

Si p=0.8 E[X]=1.68 blancsSi p=0.2 E[X]=0.48 blancs

3.21 La memòria d’accés ràpid.

A cache (50 ns) B cache (90 ns)

cache+ (50 + cache+ (90 + RAM 120 ns) RAM 1200 ns)

0,8

0,2

0,9

0,1

1-p

p

1-p

p

12− p

12+ p

D’on venen les probabilitats delsubarbre inferior



Preu “X” Preu “1.3·X” (no aleatoris)TA: temps accés amb cache A TB: temps accés amb cache B

E[TA] = 50·0.8+1250·0.2 = 290 nsE[TB] = 90·0.9+1290·0.1 = 210 ns

cost promig de A = 290·Xcost promig de B = 210·1.3·X = 273·XPer tant, la cache que interessa és la B.

3.22 El gos de la benzinera.

Sigui X : Nombre de vegades en un dia que el gos creua el carrer ⇒ X ~ P (λ)

==

Altrament 1Ybenzinera la a Gos 0Y

:Y

P(Y=0) = P(X parell) = P(X=0)+P(X=2)+...P(Y=1) = P(X senar) = P(X=1)+ P(X=3)+...

P(X parell)= P ii

e ee e ei

ii

( )( )!

cosh ( )X = e-

= = =+

=+− −

− −

=

∞

=

∞

∑∑ 22 2

12

2 2

00

λλλ λ λ

λ λ λ

Y PY (yi)

01

2

2+ −e λ

Si λ → ∞

(Y = 0) =(Y = 1) =

12

12

PP

11

2

2− −e λ

3.23 Una variable aleatòria esglaonada.

Π1 Π2

f x

x 0 x 01 x 02 X

P( X<x01 ) = Π1 P( x01 <X< x02) = Π2 on Π1 +Π2 =1Per a cada rectangle:



f x

x

xX ( ) =−

≤ ≤

−≤

x x

x x

x x

x < x

0 altrament

101 0

0 01

202 01

01 02

π

π

F xf d x x

f d x x

X

x

Xx

xX ( )( ) ( )

( )=

−− ≤

+ =−

≤

≥

∫

∫

si x < x

= x x

x x < x

+x x

( - x ) x < x

1 si x x

0

101

x

0 01

12

0101 01 02

02

0

00

1 0

0

01

µ µπ

π µ µ ππ

E[X] = π π1 1

21

2( ) ( )x x x x01 0 02 01+ +

−+

V(X) = ππ

1

21 2

121

12( )

( )x x

x x01 0

02 01−+

−−

Cas x x x 0 01 021= = = =0 18 24 0 6, , , .π :

[ ]E X = ⋅ +−

⋅ = + =0 62

121 0 6

242 3 6 8 4 12

.( )

.( ) . .

( )V X = ⋅ + ⋅ =0 612

180 412

6 17 42 2.( )

..

3.24 El taller de reparacions d’ordinadors.

Computador 1 CPU +

1 RAM

F1→ 80% computadors F1 RAM defectuoses 5%CPU defectuoses 2%

F2→ 20% computadors F2 RAM defectuoses 5%CPU defectuoses 5%

Sigui A: “CPU en bon estat”Sigui B: “RAM en bon estat”

0,98 CPU RAM CPUF1 0,98 CPU 0,05 RAM

0,95 0,05

0,8



CPU0,95 CPU

RAMCPU

F2 CPURAM

CPUO bé més simple:

CPU F1

CPUCPU

F2CPU

a) P(A)=0.8·0.98+0.2·0.95=0.974P(B)=0.8·0.95+0.2·0.95=0.95P(A ∩ B)=0.8·0.95·0.98+0.2·0.95·0.95=0.9253

b)

i) (F1 / A ?

(F1 / A (F1 A

(A

ii) (F2 / Funciona) ? F = "computador funciona" = CPU, RAM

(F2 / F) =(F2 F)

(F)

P

PP

P

P

PP

P

)

))

). .

...

.

. . .. . . . . .

.

=∩

=⋅

−= =

∩=

⋅ ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=

0 3 0 021 0 974

0 0160 026

0 615

0 2 0 95 0 950 8 0 95 0 98 0 2 0 95 0 95

0195

c) X Taller ∼ ℘ ℘ = = − = 2 (( ) )!

2 λλ λX xx

eTaller

x

P X P XTaller Taller ( (

Taules

> = − ≤ = − =

↑

5 1 5 1 0983 0017) ) . .

d) Tentre reparacions ∼ Exp(2) λ=2 f x eTx

entre reparacions( ) = −λ λ

] ]P T e dt e e e eentret t t( reparacions > = = − =− = + =− − +∞

∞− +∞ − −∫5 0

55

2

5

10 10) λ λ λ

3.25 Un de verificació de propietats.

0,95

0,95

0,05

0,05

0,05

0,2

0,98

0,95

0,02

0,05

0,8

0,2

0,95



f xx

si x

altramentX ( ) =

+< <

112

0 3

0

2

a f t dt

tt

X) ( )

)

?

(1 + dt =

112

+t

0

3 3

=

= +

=

−∞

∞

∫

∫

1

12 31

123

273

12

0

3

b) F xX ( ) ?

f t dt t dt tt

xx

X

xxx

( ) ( ) = + = +

= +

∫∫

−∞

112

11

12 3112 3

23

0

3

0

c) ( )PPP X

PP

X > X >(X > 2) X 2)

(X 1)2 1

111

1 21 1

112

83

112

13

=>

=− ≤− ≤

=− +− +( )

( ( )( )

d) [ ]E X = ⋅ = + = +

= +

=−∞

∞

∫ ∫t f t dt t t dtt t

X ( ) ( )112

112 2 4

112

92

814

9948

32 4

0

3

0

3

3.26 Les aturades d’uns sistemes de control.

a) Probabilitat que el sistema 1 tingui almenys 2 aturades en un cert dia.P(X1 ≥2) = P(X1 =2 ∪ X1 =3) = P(X1 =2)+P(X1 =3) = 0.34+0.24 = 0.58

↑P(A∪B)=P(A)+P(B) (successos disjunts)

Com que són sistemes independents (⇒ variables independents) podem trobar la funció deprobabilitat conjunta. ⇓

P x x P x P xX X X X1 2 1 21 2 1 2, ( , ) ( ) ( )= ⋅

0 1 2 3

0 0.007 0.014 0.035 0.0141 0.035 0.07 0.175 0.072 0.034 0.068 0.17 0.0683 0.024 0.048 0.12 0.048

b) Probabilitat ( nº parades s1 < nº parades s2 )P(X1 <X2) = P(X1 <1,X2 =1 ∪ X1 <2,X2 =2 ∪ X1 <3,X2 =3)=

↓

X1

X2



P(A∪B)=P(A)+P(B) (successos disjunts)=P(X1 =0, X2 =1)+P(X1 =0,X2 =2)+P(X1 =1, X2 =2)+P(X1 =0, X2 =3)+P(X1 =1, X2 =3)++P(X1 =2, X2 =3)= (per independència dels successos) ==P(X1 =0)·P(X2 =1)+ P(X1 =0)·P(X2 =2)+ P(X1 =1)·P(X2 =2)+ P(X1 =0)·P(X2 =3)++P(X1 =1)·P(X2 =3)+ P(X1 =2)·P(X2 =3)==0.07·0.2+0.07·0.5+0.35·0.5+0.07·0.2+0.35·0.2+0.34·0.2=0.376

c) Probabilitat d’una parada entre els dos sistemes.P(X1 +X2 =1)=P(X1 =0,X2 =1)+P(X1 =1,X2 =0) = P PX X X X1 2 1 2

0 1 10, ,( , ) ( , )+ =0.014+0.035=0.049

d) Probabilitat d’igual número de parades.P(X1 =X2 )= P(X1 =0, X2 =0)+P(X1 =1, X2 =1)+P(X1 =2, X2 =2)+P(X1 =3,X2 =3)== P PX X X X1 2 1 2

0 0 11, ,( , ) ( , )+ + P PX X X X1 2 1 22 2 3 3, ,( , ) ( , )+ = 0.007+0.07+0.17+0.048=0.295

e) Probabilitat de col·lapse ⇒ més de cinc paradesP(X1 + X2 >5) = P(X1 =3, X2 =3)= PX X1 2

3 3, ( , ) = 0,048

3.27 Les avaries d’un centre de càlcul.Exercici pel lector.

3.28 Recanvis de peces.Exercici pel lector.

3.29 Un de descriptiva bivariant.Exercici pel lector.

3.30 El concurs de mèrits.Exercici pel lector.

3.31 Les cues al peatge.Exercici pel lector.

3.32 Una aplicació del teorema central del límit.

ei ∼ [ ]U −12

12, i=1,..,100 independents.

Se eii

==∑

1

100

on

[ ]

( )

E

V

e

e u duu

i

i

=

= =

= + =

−−

∫

0

31

241

241

122

3

12

12

12

12



Aproximem Se per ( )121002,0 =σN pel Teorema Central del Límit.

X∼ ( )225,0 N : error aproximar suma de 100 números.

( ) ( ) ( ) ( )

( )

P k k F k F k F k F k

F k

P z

X X X X

X

- X

= 0.995

X

≤ ≤ = = − − = ⋅ − = ⋅

− = ⇒

⇒

≤ =

0 99 2 1 2 1 0 99

0 995

253

253

. .

.

Busquem z’ tal que ( )P zZ si Z ≤ =' .0995 ∼ 325

325

'= =2.575=' (0,1) ×⇒⇒ zkkzN

Sol. = [-7.433, 7.433]

3.33 Un parell de variables discretes.

Y\X -1 0 1-1 a 2a 3a 6a0 2a 4a 6a 12a1 ab 4a 3ab 4a+4ab

3a+ab 10a 9a+3ab 1

Condicions: 6 12 4 4 1a a a ab+ + + = → 22a + 4ab = 1 → a b( )22 4 1+ = a, b ≥ 0

Si per exemple, a=1/100 → 5.194

784

2241

422-1

= ==−=aa

ab

a) [ ] ( )E Y y

= ⋅ = − × + + × − = − + − = −∑ y P y a a a a ai Y ii

1 6 0 1 1 18 6 1 18 1 24( )

[ ] ( ) E X x

= ⋅ = − + + + + = − − + + = + =

= + − = + − = −

∑ x P x a ab a ab a ab a ab a ab

a a a a a

i X i

a

i

1 3 0 1 9 3 3 9 3 6 2

6 2 6 11 514

224

12

12

( ) ( )

( )b)

X Y S=X+Y M=Sup(X+Y) PXY(xi,yi)-1 -1 -2 -1 a-1 0 -1 0 2a-1 1 0 1 ab0 -1 -1 0 2a0 0 0 0 4a0 1 1 1 4a1 -1 0 1 3a1 0 1 1 6a1 1 2 1 3ab

S PS (s i )-2 a-1 4a

M PM (mi )

-1 a

0 8a

1 1-9a



0 ab+4a+3a=7a+ab1 10a2 3ab=(3-66a)/4

S M (xi,yi ) P s mi iSM ( , )

-2 -1 (-1,-1) a-2 0 - 0-2 1 - 0-1 -1 - 0-1 0 (-1,0),(0,-1) 4a-1 1 - 00 -1 - 00 0 (0,0) 4a0 1 (-1,1),(1,-1) 3a+ab1 -1 - 01 0 - 01 1 (0,1),(1,0) 10a2 -1 - -2 0 - -2 1 (1,1) 3ab

22a+4ab=1 si b a= −14

228

-1 0 1-2 a 0 0-1 0 4a 00 0 4a 3a+ab1 0 0 10a2 0 0 3ab

c) Quan són independents?Si b=2 a=1/30 les files i les columnes són múltiples entre sí.

-1 0 1-1 1 30 2 30 3 30 6 30

0 2 30 4 30 6 30 12 30

1 2 30 4 30 6 30 12 305 30 10 30 15 30

3.34 Un nou parell de variables.

S M

Y X



-1 0 1-1 0 2a 3a 5a0 2a 0 a 3a1 3a a 0 4a

5a 3a 4a 12a=1Condició: 12a = 1 → a = 1 12

X Y S=X+Y M=Max(X,Y) PX+Y(xi,yi) X-Y-1 -1 -2 -1 0 0-1 0 -1 0 2a -1-1 1 0 1 3a -20 -1 -1 0 2a 10 0 0 0 0 00 1 1 1 a -11 -1 0 1 3a 21 0 1 1 a 11 1 2 1 0 0

Una forma abreujada d’escriure aquesta taula és:X+Y PX+Y

-2 0-1 4a0 6a1 2a2 0

[ ] E X = [ ] E Y = − + = −512

412

112

[ ] E X + Y = [ ] E X + [ ] =−= 61YE 0·212

2·1126·112

6·0124·10·2 ++++−−

b) X i Y són independents?PXY (-1,-1)=0 PX (-1)=5a PY (-1)=5a però 25a2 ≠ 0 ⇒ no independents.

c) Distribució Z = X-Y

Z=X-Y PZ

-2 3a-1 3a0 01 3a2 3a

d) Distribució D = max(X,Y):

Y X



D PD

-1 00 4a1 8a

3.35 Més de parells de variables.Exercici pel lector.

3.36 Un parell de variables uniformes i discretes.

P x P xX i X i 1 X i( ) ( ) , ,2,3,4,= = =1

61

6 0 1 52

Variables aleatòries uniformes i independents.

a) Z = −( )x x1 22 té valors : 0,1,22,32,42,52 i aplicarem :

nº casos favorablesnº casos possibles

Z PZ (fer-ho a mà)0 6/361 10/364 8/369 6/3616 4/3625 2/36

b) Es pot fer a mà.S=6X+Y Si=0,...,35 P(S=w)=1/36

3.37 Parell de variables uniformes i contínues.

3.38 L’espera a Correus.

X X X nº de persones en l' interval T.a b= + =

X2

X1

1

1 0

[ ]0,2en uniforme es no XXY 21 += !

Heu de diferenciar casos segons 0 ≤ y ≤ 1 i 1 ≤ y ≤ 2,considerant que X2 = Y-X1, per a qualsevol valor de Y.

Es a dir, trobeu la P(Y ≤ y) com la probabilitat de trobar-se en l’àrea ratllada. Desprès deriveu la funció de y.

y



a) Les hipòtesis d’independència i procés poissonà impliquen que: X ∼℘ +(( ) )a b T Y: v.a. clients en 5 minuts ∼ ℘(5(a+b))=℘(3) si a=0.4 i b=0.2.

0498.0!0

))+(5(0)P(Y=minuts) 5en client Cap( 3)(5

0==== −+− ee

baP ba

b) W: Persones que han vingut per un reintegrament entre les 18.35h. i les 18.45h. (en 10 min)W∼℘(aT)=℘(10a)

n = nA+ nB ( n persones total = nA per reintegrament + nB per enviar )

nA ∼ B( n, PA ) on PA : probabilitat que sigui una persona de reintegrament: PA = a

a b+

nB ∼ B( n, PB ) on PB = b

a b+

3.39 La finestreta d’atenció al públic.

X = v.a. que compta persones per minut. → X∼℘(2).

a) P( X > 2 ) = 1-P( X ≤ 2 ) = 1 1 0 6767 0 323322

− = − =−

=∑ e

2k!

k

k 0

. .

b) Y = v.a. que compta persones en cinc minuts. → Y ∼℘(10).

P( Y < 13 ) = P( Y ≤ 12 ) = ek

k

k

−

=

=∑ 10

0

12 100

!,7916

c) Ara no hi ha cap persona. El temps d’espera fins que arribi una persona segueix la lleiexponencial amb paràmetre 2. → T ∼ exp(2).

P( T > 5 ) = 2 2 10

5

⋅ =− −∞

∫ e dt et

d) Ara hi ha una persona. Igualment el temps d’espera fins que arribi una altra persona segueixla llei exponencial amb paràmetre 2. Per tant, la solució, com a l’apartat anterior, és e−10 .

e) El temps d’espera igualment segueix una llei exponencial amb paràmetre 2.

Esperança : t e dtt⋅ =−

−∞

∞

∫ 2 2 ½ minuts.

3.40 La tenda de peixos.

a) X nº peixos en 6 intents 1 : ∼ B(6 , p=0.6)

[ ]E X 1 36= ⋅ =n p .

0041.04.0)6.01(6.006

)0()0X( 660 1 1

==−⋅⋅

=== XPP



b) X2 : nº d’intents fins aconseguir un peix ∼ G(0.6) (llei geomètrica de paràmetre p=0.6)[ ]E X 2 16= .

)

c) 4 clients per hora dels indecisos ∼℘(1) per 14 d’hora.

1 client per hora dels segurs ∼℘(0.25) per 14 d’hora.

De les 10 a 10:15 → client ha comprat 1 peix.A: client indecís B: comprar un peix

( ) ( )P

P P

PA

B

BA A

B=

⋅= =

( )

( )..

.0 0296

023013

( ) ( ) ( )P P P P P( ) ( ) . .B BA A B

AA= + ⋅ = ⋅ + ⋅ =0 037 1 0 234

51

5

A priori : P( ) ) /A P(A= =4 5 1 5

( ) ( )P P PBA X

B

A= = =

⋅ ⋅ = =( ) . ( . ) .1

5161

0 6 0 4 0 037 1

3.41 Un viatge internacional.

Xicago : 21h. (17h 30min - 6h)Luxemburg : 14h 30min (8h 30 min a Xicago)Per tant el vol dura 11h 30min = 690 min. perquè hi ha 6 hores de desplaçament horari.

X: Xicago-Islàndia N1 (240,252 )Y: Islàndia-Islàndia N2 (45,102 )Z: Islàndia-Luxemburg N3 (420,402 )

D=X+Y+ZD = + + =240 45 420 705

Var(D) Var(X) Var(Y) Var(Z) 25 10 40 625 100 1600 23252 2 2= + + = + + = + + =

( ) ( ) ( )

P P P

P P P

(690 15 D 690 15) (675 D 705)675 705

2325Z

705 7052325

Z Z Z

− ≤ ≤ + = ≤ ≤ =−

≤ ≤−

=

= − ≤ ≤ = − ≥ = − + ≤ = − + =0 622 0 05 0622 05 1 0 622 05 07324 02324. . . . . . . .

3.42 El tub de rajos catòdics.

X∼N (275,432) mín=200 → s’arrugamàx=375 → es trenca

a) Probabilitat que s’arrugui



P P Z Z( ) ( . ) ( . ) . .X Z< = <−

= − = − = − =200200 275

431744 1 1 744 1 0 959 0 041φ φ

b) ( )PP

PPP

X XX X

XXX

< < =< ∩ <

<=

<<

=175 200175 200

200175200

( )( )

( )( )

=<

−

<−

= =P

P

Z

Z

175 27543

200 27543

001020041

0 2487..

.

c) P(200<X<375) = P(X<375) − P(X<200) = 0.989 − 0.041 = 0.948

d) Y : Nº de tubs bons ⇒ Y∼B(5,p) amb p=0.948P P P P P B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , . )Y Y Y Y Y ≥ = = + = + = = − ≤ = −3 3 4 5 1 2 1 2 5 0948

B(n-k-1 , 5 , 1-p)o si Z : Nº tubs defectuosos ⇒ Z∼B(5,1-p)P(Z ≤ 2) = B(2,5,0.052) = 0.9988

e) X∼N (275, 432 ) ⇒= ==

µσ

27543

E X( )

Busquem t tal que P (µ-t ≤ X ≤ µ+t ) = 0.95• De manera directa per propietats de la normal:

(µ+2σ) ⇒ 95%t= 2σ=2×43=86

• P t X t P X t P X t( ) ( ) ( )275 275 275 275− ≤ ≤ + = ≤ + − ≤ − =

=+ −

−− −

=

−−

=

− −

=φ φ φ φ φ φZ Z Z Z Z Z

t t t t t t275 27543

275 27543 43 43 43

143

= ⋅

− = ⇒

= = → = ⇒243

1 0 9543

1952

0 975 1 96φ φZ Zt t

..

. . t

43 Taules

⇒ ⋅ t = 1.96 43 = 84.28

3.43 Vida de dispositius electrònics.Exercici pel lector.

3.44 El creuament de trens.

a) DA : durada recorregut A → C DB : durada recorregut B → C DA ∼ N( 208.9 , 202 ) DB ∼ N( 207.6 , 202 )

Doncs, 3h 28min 54seg 208.9 min 3h 27min 36seg 207.6 min

→→



( ) ( ) ( )P P P P(D ) Z

.Z ZA A A A≤ = ≤

−

= ≤ − = − ≤ = −+

=

=

180180 2089

201445 1 1445 1

0 9251 09265

200742

. .. .

.

( ) ( )P P P P(D 150) Z 150 209.620

Z ZB B B b≤ = ≤ −

= ≤ − = − ≤ = − =2 88 1 2 88 1 0 9980 0 002. . . .

b) R: succés existència d’accident en un diaA: Tren A arriba passades les 20h.B: Tren B arriba passades les 20h.C: Cap d’estació despistat després de les 20h.

R=A∩B∩CP(R)=P(A)·P(B)·P(C)=0.06·0.05·0.5=0.0015

( ) ( )

( )

(A) = (D ) Z240 208.9

20Z ZA A A AP P P P P≥ = ≥

−

= ≥ = − ≤ =

= −+

=

240 1555 1 1555

10 9394 0 9406

20 06

. .

. ..

( ) ( )

( )

(B) = (D ) Z Z Z

10.9495 0.9505

20.05

B B B BP P P P P≥ = ≥−

= ≥ = − ≤ =

= −+

=

240240 207 6

20162 1 162

.. .

P(C)=0.5

c) X: nº d’accidents en una setmana X∼B(7,0.0015)A: S’ha produït algun accident.

( )P P P(A) (X 0) 1 (X 0) 170

. (0.9985) 1 0.9895 0.01050 7= > = − = = −

⋅ = − =0 0015

d) X: Nº d’accidents en 200 dies. X∼B( 200 , 0.0015 )A: S’ha produït algun accident.X∼B( 200 , 0.0015 ) ⇒ npq=200·0.0015·0.9985=0.29955<5 ⇒ Aproximació per Poissonamb λ=np=200·0.0015=0.3 ⇒ X∼℘(0.3)

P P P e(A) (X 0) 1 (X 0)= > = − = = − = − =−1030

1 0741 0 2590

0 3.!

. ..

e) C: No hi ha accident un dia determinat.A: Tren A arriba passades les 20h.B: Tren B arriba passades les 20h.

( )PP

PA B

C(A B C)

(C)0.00150.9985

0.0015022∩ =∩ ∩

= =

P(C) 1 0.0015 0.9985 per l' apartat b)= − =P(A B C) 0.0015∩ ∩ =



3.45 La màquina d’emplenar caramels.

a) FZ (z1 )=0.006 Taules1 Z 1 z 2.51 ( z ) 0.994 → = − − =F

FZ (z2 )=1-0.33=0.67 Taules2 z → = 044.

Es planteja el següent sistema: 0 44

8176

2 5169 96

..

..

=−

− =−

⇒

µσ

µσ

µσ

=80= 4

b) P(X > 80) = 0.5 = p on p: probabilitat de triar un paquet a l’atzar que pesi més de 80grams.

Y: Nombre de bosses amb més de 80 gr. entre 10 bosses. Y∼B(10 , 0.5)

P(Y=5)=105

0 5 1 0 5 0 24605 10 5

⋅ ⋅ − =−. ( . ) .

c) Y1 = nombre amb més de 80 gr. entre 100 bosses. Y∼B(100 , 0.5)

P P(Y 40) (Y on Y1 2 2≥ ≅ ≥ 40) ∼N(µ,σ2 ) on µ

σ= = ⋅ =

= − = ⋅ ⋅ =

npnp p

100 0 5 501 100 0 5 0 5 252

.( ) . .

doncs np(1-p)=25>5 i aprox. Poisson no val.

P P P P P(Y 40) 1 (Y 40) = 1 Z40 50

251 (Z 2) (Z 2) 0.97722 2≥ = − ≤ − ≤

−

= − ≤ − = ≤ =

3.46 La normal truncada.

a) X : Nombre d’hores de funcionament d’un tub.

≥

<= −

200

200 0)(

800002x

xKe

xxXf

f x f t dt KX X( ) ( ) . es f.d.p. si i aixo determina -

=∞

∞

∫ 1

( )f t dt Ke dt K AX ( ) = = ⋅ =−

∞

−∞

∞

∫∫12

t -0200

2

200

1

Estudiem A comparant amb F yY ( ) on Y ∼ N(0,2002 )

lim F y f t dt f t dt f t dt B Cy Y Y Y Y→+∞

∞

−∞−∞

∞

= = = + =∫∫∫( ) ( ) ( ) ( ) + 200

200

1

Estudiem C:

( )C f t dt e dt A FB

F

F F

Y Y Z

Z Z

t

= = = = − = −−

=

= − = −

− −∞∞

∫∫ ( ) ( )

( ) ( )

1200 2

1200 2

1 200 1200 0

200

1 1 1

12

0200

2

200200 π π 124 34

Per tant:



A F F

K A F

Z y

Z

= ⋅ − = ⋅ −

= =⋅ −

200 2 1 200 2 200

1 1200 2 1

π π

π

( ) ( )

( )

b) Sigui X com abans. P(X>250)?

( ) ( )

( ) ( )( )

P P X

P K e dt K e dt

K F F K F F

F FF

t t

Y Y Z Z

Z Z

Z

( ) ( ) .

( )

( ) ( ) ( . ) ( )

( . ) ( )( ) .

X

X

> = − ≤ =

≤ = = ⋅

=

= ⋅ − = ⋅ ⋅ − =

=−

− =

− − − −

∫ ∫∞

250 1 250 0 665

250 200 21

200 2

200 2 250 200 200 2 125 1

125 11 0 335

12

0200

212

0200

2

200

250

200

ππ

π π

c) T : nombre de tubs actius en un aparell A després de 250 h.Al ser tubs independents i de la mateixa vida mitjana ⇒ Procés de Bernoulli ⇒ T∼Β (100,0.665)A : Funciona aparell A després de 250 h.P(A)=P(T≥65) inviable el càlcul per les taules. T∼Β (100,0.665) que podem aproximar per una N(µ,σ2) amb µ=66.5 i σ2=22.28 doncs npq>5.Per tant, tenim T∼N(66.5,4.722)

P P P P FZ( ) ( ) ( ).

.( . ) .A T T Z= ≥ = − ≤ = − ≤

−

= =65 1 65 165 66 5

4 720 318 0 6255

d) W: nombre aparells A actius després de 250 h. W∼Β(20,0.6255)

A priori sabem W>10 i es demana P KWW (< 0.1)>

>

=$ .10 01 amb $K màxim.

P K P KP

P KP

K

K

WW

WW

WW

(20 , 20 - (20 , 9 , 0.375)

(20 , 20 - (20 , 3 ; (20 , 4 (> 0.082)

Taules : 20 - K - 1 3

K =16.

>>

=

>>

=− ≤− ≤

=−

=

− == =

≈

⇒

$ ( $ )( )

( $ )( )

$ , . ).

$ , . ) ., . ) . , . ) .

$

$

10 1011 10

1 0 37501

1 0 375 00820 375 0 0302 0 375 0084

BB

BB B

3.47 Les alçades en matrimonis.

)2(169.82,5Y

)2(176.5,5.5Xmatrimoni. Alçada Y)(X,X

≈

≈=N

Nr ρ=0.51

a) cov(X,Y)?

ρτ τ

ρ τ τ=⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =cov( , )

. . .X Y

X YX Y cov(X, Y) = 0 51 5 5 5 14 025

b) W=Y-X no parella Y i X són ind. ⇒ W∼N(µ,σ2) amb µ

σ= − = −

= + =

169 82 176 5 6 685 5 5 7 432 2 2 2

. . .. .



P(W>0)=P Z Z>+

= > = − ≤ = − =0 6 68

7 430 899 1 0 90 1 0 8159 0 184

..

( . ) ( . ) . .P P Z

↑ Taules.

c) V=Y-X si són parella l’home i la dona (hi ha correlació).

=−+=−=−=

5.22025.14·255.568.65.17682.169

2222σµ

P(V<0) = … = 0.8997 ≈ 0.9

U ~ B(10, 0.9), “nombre de parelles (sobre 10) amb el marit més alt que la dona”P(U≥8) = P(U’≤2) = 0.9298

(U’ ~ B(10, 0.1), “nombre de parelles (sobre 10) amb el marit més baix que la dona”)

3.48 Les ampolles d’oli.

a) C1 ∼ N(µ1 ,σ 12 ) C2 ∼ N(µ2 ,σ 2

2 )Ci : contingut total d’oli d’una caixa tipus Ci

Observem yA , yB , yC són mútuament independents.

( )( ) 3

2232

B2A

22

31

232C

2B

2B

2B

2A

2A

21

3CA2

3CBA1

cm 345.2 cm 5.542

cm 583.2 cm 67.6

cm 600042

cm 5997100110003998232

=→=+=

=→=+++++=

=+=

=+×+×=++=

σσσσ

σσσσσσσσ

µµµ

µµµµ

Demanem on ),(D CC=Don 0)>D()0CC()CC( 2121212 σµNPPP ≈⇒−=>−=>

cm

= 3.489 cm

3

3

µ µ µ

σ σ σ σ

= − =

= + = →

2 1

212

22

3

12 17.

P P P P( ).

( . ) ( . ) .D Z Z Z> = >−

= > − = < =00 33 489

0 8599 0 8599 0 8051

b) Cerquem m tal que P(C1<m)=0.02

P m Pm

Pm

Pm

( ). . .

.C Z Z Z15997

2 5835997

2 5831

59972 583

0 02< = <−

= >−

= − <−

=

Per tant: P Zm

P Z z<−

= ⇒ < = =5997

2 5830 98 0 98 2 0550.. ( ) . . z tal que i per taules z0 0

zm

m0 2 0555997

2 583599169= =

−→ =.

.. cm3

c) Una ampolla d’A és defectuosa amb probabilitat pA.Sigui X: v.a. nombre d’ampolles A defectuoses entre 150 → X∼B(150, pA)Cerquem P(X>100)=P(X ≥ 101)

p P P PA Ay Z Z= < = <−

= < = ≅( ).

( ) . .999999 998

150 7454 0 752

3

Aleshores X∼B(150,0.75)Aproximació normal pel càlcul doncs pA > 0.01 i < 0.99



→=−=

×≈

5.303= 125.28)1(2112.5=0.75150=np=

on )2,('σσ

µσµ

pnpNX

988.0)26.2Z(303.5

5.1125.100Z1)5.100'(1)5.100'( =<=

−

<−=≤−=≥ PPXPXP

d) C2 és defectuosa si alguna de les 2 ampolles A ho és o alguna de les 4 de C ho és.XA : nombre ampolles A defectuoses entre 2 XA ∼B(2, pA)XB : nombre ampolles C defectuoses entre 4 XB ∼B(4, pC)P(C2 defectuosa)= P P P P P( ) ( ) ( ) ( ) ( )X o X X X X XA C A C A C> > = > + > − > >0 0 0 0 0 0De l’apartat c) tenim que pA=0.75, mirem ara pC.

pC = P P P( ).

( )y Z ZC < = <−

= < − ≅999999 1001

0 54 0 ⇒ P(XC>0) ≅ 0

P P P( ( ) ( ) . . .C defectuosa) = X X p2 A A> = − = = −

⋅ ⋅ = =0 1 0 1

20

0 75 0 25 0 93750 2

X∼B(10,p) on X : caixes C2 defectuoses entre 10 P(X>0)=1-P(X=0)=1.0

3.49 Les empreses d’estudi de mercat.

a) cov(X, Y) = (X,Y) V(X)V(Y)ρ ⋅ = × × =0815 20 20 326.b) Sigui D : accionistes insatisfets en un any.

W : Nombre de mesos amb benefici ∼B(12 , p = P(Y≥200))

5987.0)25.0Z(20

205200Z1)200Y(1)200Y( =≤=

−

≤−=≤−=≥ PPPP

3=k 12,=n 0.4,=p :Taules 7747.02253.01

)4.0 ,12 ,3(1)4013.0 ,12 ,1812(1)5987.0 ,12 ,8()8W()D(

↑=−=

=−=−−−==≤= BBBPP

c) Sigui V : Nombre de mesos fins assolir beneficis durant 3 mesosV ∼ Bin. negativa amb p=P(Y≥200)=0.5987, r=3

025.000418.02146.0284013.05987.028

1319

)9V( 63393 =××=×⋅

=⋅⋅

−−

== −qpP

d) 10 anys → 120 mesos U : nombre mesos sense beneficis ∼ B(120,p=0.4013)p=P(Y<200)=1-0.5987=0.4013E[U] = np = 120·0.4013 = 48.156 mesos sense beneficis.Trobar k tal que P(U>k)=0.05

npq2U'on )24(48.156,5.per U' aproximas' 13)B(120,0.40U

05.04.5

16.48kZ1)kU'(1)kU(1)kU(

=≈≈

↓

=

−

≤−=≤−=≤−=>

σN

PPPP



z tal que (Z 2) = 0.95 zk

k = 57 mesos maxim.

0 0P ≤ → =−

= ⇒

1 6548 16

5 41 65

..

..

3.50 Un de propietats bàsiques.

a)

b) Per derivació immediata tenim : f xdF x

dxf xx

XX( )

( )( )= ⇒ =

≤≤≤≤

x0.5 0 < x 10 1 < x 20.25 2 < x 40 x > 4

0 0

c) ( )PP

PPP

PP

XX

X X > 1)X

XX

XX

>> =

> ∩>

=>>

=− ≤− ≤

=31

31

31

1 31 1

(( )

( )( )

( )( )

=−−

=−−

= =1 31 1

1 0751 05

02505

05FF

X

X

( )( )

..

..

.

d) E X( ) ( ) . .= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =−∞

+∞ +∞

−∞∫ ∫ ∫ ∫∫∫t f t dt t dt t dt dt t dt dtX 0 0 5 0 025 0

1

2

2

4

40

10

= ⋅

+ ⋅

=05

20 25

2175

2

0

1 2

2

4

. . .t t

3.51 Un altre de propietats bàsiques en un parell de v.a.

0 1 2 3 4

1/4

1/2

fX(x)

x

FX(x)

1/2

1

x 0 1 2 3 4



a) P a b a aji

XY i j5

83

83

8(x ,y ) b = 0= ⇒ + + = ⇒ − ⇒ ≤ ≤∑∑ 1 1

X,Y són independents? Depèn de a i b : P a P P aabXY X Y( , ) ( ) ( )3 1 3 1 9

643

8= = ⋅ = + ⇒

==

940

320

PXY ( , ) Y=1 Y=2X=1 1/4 1/6X=2 1/8 1/12X=3 9/40 3/20

Els productes creuats coincideixen amb els valors de la funció de probabilitat conjuntab)

xi PX(xi) FX(xi)1 5/12 5/122 5/24 5/83 3/8 1

c) ( )PP

PPPXY

X

YX

Y XX

== =

= ==

= = =12

1 22

2 12

35

18

524

( , )( )

( , )( )

d) ( )E Y( ) ( )= ⋅ = + + − = −=∑ y P y a a aj Y jj

38

58

138

1

2

2

En cas de ser independents : a =9/40 ⇒ E(Y)=7/5=1.4

3.52 Les malalties tropicals.

a) Var X E X E X = 0.1( ) ( ) ( ) . . .= − = − = = ⇒2 2 2 24 01 2 0 01 01 σ

b) P P P P P( . . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )198 2 02 2 02 1 98 0 2 02≤ ≤ = ≤ − ≤ = ≤ − ≤ − =X X X Z Z= ⋅ ≤ − =2 0 2 1 01586P( . ) .ZP P P( . ) ( . ) ( ) . .X X Z> = − ≤ = − ≤ = − =2 2 2 2 2 1 2 1 0 9772 00228

PX(xi) \ PY(yj) 3/5 2/5

5/12 15/60=1/4 10/60=1/6

5/24 15/120=1/8 10/120=1/12

3/8 9/40 6/40=3/20

1 2 3

5/12

5/8

1FX(x)

x



c) Usem que p=P(1.98 ≤ X ≤ 2.02)=0.1586• X1 ∼ B(10,p=0.15) X1 : nombre de poblats entre 10 amb X∈(1.98,2.02)P P B( ) ( ) ( , , . ) . .X X 1 15 1 4 1 4 10 0 15 1 0 9901 0 0099≥ = − ≤ = − = − =• X2 ∼ B(100, p=0.16) X2 : nombre de poblats entre 100 amb X∈(1.98,2.02)

==

×≈ 267.32

16=0.16100==on )2,('

2 npq

npNX

σ

µσµ

P P P P( ) ( ) ( . ) ( ) .'X X Z Z2'

2 5 1 5 1 2 997 3 0 998≥ = − ≤ = − ≤ − = ≤ =

d) Objectiu: P(X>2.02)=0.25 reduint σ2 de X

P P P P( . ) ( . ).

..

.X X Z Z> = − ≤ = − ≤

= ⇒ ≤

=2 02 1 2 02 10 02

0 250 02

0 75σ σ

z P z0 0 0 75 0 680 02

0 0294 0 000865 tal que Z es z =0.020.68

02( ) . .

.. .≤ = = = ⇒ = ⇒ =

σσ σ

quadern d´ estadÍstica (amb solucions de problemes)facultat d’informàtica quadern...

Documents