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Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

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LOS NÚMEROS ENTEROS

¿Qué es un número entero?

1. El anillo Z de los números enteros 52. Anillo ordenado de los números enteros 6

Teorema 1 8Teorema 2 8Definición 1 9Definición 2 9Definición 3 9Definición 4 10Definición 5 10Definición 6 10

3. Principios del mínimo y del máximo 11Definición 7 11Lema 1 12Teorema 3 13Lema 2 14

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Teorema 4 14Teorema 5 15Teorema 6 16Teorema 7 17Teorema 8 17

4. Divisibilidad 18Definición 8 18Definición 9 18Definición 10 18Lema 3 19Definición 11 20

5. Máximo común divisor. Relación de Bezout 21Definición 12 21Teorema 9 22Teorema 10 24Lema 4 24

6. Mínimo común múltiplo 26Definición 13 26Teorema 11 27Lema 5 27Ejemplo 1 28

7. Elementos irreducibles. Factorización. Números primos 29Definición 14 29

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Definición 15 29Definición 16 30Teorema 12 30Definición 17 31Teorema 13 31Lema 6 32Definición 18 32Lema 7 32Teorema 14 33Teorema 15 34

8. Teorema fundamental de la aritmética 35Teorema 16 35Corolario 1 36Corolario 2 37Ejemplo 2 38Ejemplo 3 38Ejemplo 4 38Corolario 3 39Corolario 4 40

9. Ejercicios. 41Ejercicio 1 41Ejercicio 2 41Ejercicio 3 41

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Ejercicio 4 41Ejercicio 5 41Ejercicio 6 41Ejercicio 7 41Ejercicio 8 41Ejercicio 9 41Ejercicio 10 42Ejercicio 11 42Ejercicio 12 42Ejercicio 13 42Ejercicio 14 42Ejercicio 15 42Ejercicio 16 42

10. Test de repaso. 43

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1. EL ANILLO Z DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Desde un punto de vista lógico, el conjunto de los números enteros1

Z= {...−2,−1,0,1,2...}

no es el primer conjunto sobre el se puede construir toda la Matemática, perose puede considerar tan básico como el conjunto de los naturales

N= {0,1,2, ...}

Adoptaremos el método axiomático para su definición y estudio, esto es,daremos por supuesto que existe un conjunto Z cuyos elementos llamare-mos números enteros y asumiremos sin demostración ciertas propiedades(axiomas) de esos números para deducir el resto de ellas.

Los axiomas que adoptaremos son tan básicos como los de los naturalesaunque más numerosos. Después de éstos, constituyen el segundo ejemploconcreto de estructura algebraica.

Demostraremos que Z es, salvo isomorfismos, el único anillo unitario, con-mutativo, totalmente ordenado y con la propiedad del mínimo.

1La letra Z viene del alemán Zählen = número, contar, valer.

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2. ANILLO ORDENADO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Daremos por supuesto las siguientes propiedades básicas de los númerosenteros, que están grabadas en la consciencia de cualquier persona educadadesde la niñez (a, b y c representan números enteros arbitrarios)2:

• 1) Asociativa de la suma a + (b + c) = (a +b)+ c2) Existencia del cero 0+a = a3) Existencia de opuestos Para cada entero a ∈Z existe otro a′ ∈Z

tal que a′+a = 04) Conmutativa de la suma a +b = b +a5) Asociativa del producto a(bc) = (ab)c6) Existencia de la unidad 1a = a7) Distributiva a(b + c) = ab +ac8) Conmutativa del producto ab = ba

• Existe un subconjunto no vacío P ⊂Z (los positivos) tal que:9) Cerrado para sumas y productos a,b ∈ P ⇒ a+b ∈ P y ab ∈ P

10) Ley de Tricotomía Para cada entero a ∈Z se da una y sólo unade las condiciones siguientes a ∈ P , o bien a = 0, o bien −a ∈ P

11) Ley del mínimo Para cada subconjunto no vacío A ⊆ P existeun elemento a ∈ A tal que ∀b ∈ A, b 6= a se tiene que b −a ∈ P .

2Los símbolos +, -, aparecieron por primera vez en 1456 en un manuscrito no publicadode Johann Regiomontanus (Johann Müller). + como abreviación del latín et (y), en 1417.

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La primeras propiedades que deduciremos son comunes a todos los gruposabelianos (los 4 primeros axiomas). El neutro de la suma es único,0′ = 0+0′ = 0′+0 = 0. Para cada entero su opuesto es único

a′ = 0+a′ = (a′′+a)+a′ = a′′+ (a +a′) = a′′+0 = a′′

por eso al único opuesto de un entero a lo notaremos −a y claramente sededuce que el opuesto del opuesto es el original −(−a) = a.

Las siguientes propiedades son comunes a todos los anillos unitarios y con-mutativos (los 8 primeros axiomas): El producto por cero es cero ya que

0a +a = 0a +1a = (0+1)a = 1a = a

y sumando el opuesto

0 = a + (−a) = (0a +a)+ (−a) = 0a + (a + (−a)) = 0a +0 = 0a

La ley de los signos se deduce del cálculo

ab + (−a)b = (a + (−a))b = 0b = 0

ahora como el opuesto del entero ab es único, se tiene que −ab = (−a)b.De aquí, se deduce la Ley de los signos

• a(−b) =−ab = (−a)b• (−a)(−b) = ab

Ahora, podemos demostrar que en todo anillo unitario, conmutativo y orde-nado (los 9 primeros axiomas) todo cuadrado de un elemento distinto de cero

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es positivo: Si a ∈ P , por el noveno axioma, a2 ∈ P , pero si −a ∈ P tambiéna2 =−(−a2) = (−a)(−a) ∈ P es positivo como queríamos.

Además, por la ley de tricotomía (axioma 10) el cero y uno van a ser distintosy en consecuencia la unidad será positiva:

Teorema 1. [la unidad es positiva]

i) 1 6= 0ii) 1 = 12 ∈ P

Demostración: Si el cero y el uno fueran iguales a = a1 = a0 = 0 y nohabría más números enteros que el cero, contradiciendo la existencia delsubconjunto no vacío P ⊂Z. Así, 1 6= 0 y por tanto 1 = 12 ∈ P será positivo.�

En realidad, para cualquier conjunto que satisfaga los 8 primeros axiomas(anillo conmutativo y unitario)

Teorema 2. Son equivalentes las siguientes tres propiedades:

1) (a 6= 0, b 6= 0) ⇒ ab 6= 0.2) ab = 0 ⇒ a = 0 o bien b = 0 (falta de divisores de cero)3) (ab = ac, a 6= 0) ⇒ b = c (cancelativa del producto)

Demostración: Las primeras dos condiciones son equivalentes ya que sonmutuamente una el contrarrecíproco de la otra.

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2) ⇒ 3) Supongamos ab = ac y a la vez a 6= 0 entonces a(b − c) = 0 y por lapropiedad segunda tendríamos b−c = 0 o bien b = c como queríamos.

3) ⇒ 2) Si ab = 0 junto con a 6= 0 entonces ab = 0 = a0 y por la cancelativadel producto que estamos suponiendo obtenemos b = 0.

Finalmente, con los 9 primeros axiomas, si consideramos dos elementos a 6=0, b 6= 0. Por la tricotomía, hay 4 casos para a y b pero siempre ab 6= 0.

• a,b ∈ P como ab ∈ P , entonces ab 6= 0.• −a,−b ∈ P con lo cual ab = (−a)(−b) ∈ P y ab 6= 0.• −a,b ∈ P con lo cual −ab = (−a)b 6= 0 y equivalentemente ab 6= 0.• a,−b ∈ P análogo al anterior −ab = a(−b) 6= 0 y ab 6= 0.

Definición 1. Un conjunto que satisface los 8 primeros axiomas y además elteorema anterior es llamado un dominio de integridad (DI).

Así, tenemos que Z es un DI. Aunque existen conjuntos distintos de Z, queson DI y no satisfacen los axiomas 9, 10 y 11.

Definición 2. Decimos que un subconjunto de A ⊆Z es inductivo si contienea la unidad, 1 ∈ A, y es cerrado para la suma, a,b ∈ A ⇒ a +b ∈ A.

El primer conjunto inductivo que tenemos es el conjunto de los positivos P .

Definición 3. [Definición por comprensión de N]El conjunto de los naturales es el menor subconjunto inductivo de los en-teros. Equivalentemente, la intersección de todos ellos N=⋂

A inductivo A.

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Definición 4. Si a ∈Z, se define su siguiente como el entero a+ = a +1.

Siempre a 6= a+ ya que si no restando a, 0 = 1, lo que es absurdo.

Definición 5. Decimos que b ∈Z es un sucesor de a ∈Z, si es su siguiente.O bien, el siguiente de algún otro sucesor de él.

Entonces un conjunto inductivo es cerrado para la aplicación siguiente yademás contiene a la unidad. El conjunto de todos los sucesores de la unidad,claramente es un conjunto inductivo y está contenido en cualquier otro. Así,

Definición 6. [Definición por extensión de N]

N= ⋂A inductivo

A = {a ∈Z : a es un sucesor de 1}

Nuestro objetivo será demostrar que no hay más números enteros positivosque los naturales N = P . De momento lo que tenemos es N ⊆ P . Pero de laley de tricotomía, deducimos que no hay ningún natural que sea cero y portanto que dos sucesores distintos de 1 son distintos números naturales.

Como consecuencia, la sucesión de los sucesores de 1 es indefinida.Equivalentemente, el conjunto de los naturales3 es infinito.

3Algunos definen los naturales incluyendo al cero. Aquí no lo hemos incluido. Tambiénalgunos sólo consideran la aplicación siguiente de un número y la llaman sucesor.

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3. PRINCIPIOS DEL MÍNIMO Y DEL MÁXIMO

Definiremos una relación binaria entre números enteros de la siguiente forma:

Definición 7. [Orden natural de los números enteros]Definimos a < b si b −a ∈ P . Por tanto,

a ≤ b ⇐⇒ b −a ∈ P o bien b −a = 0

De la ley de tricotomía, axioma 10), obtenemos la unión disjunta

Z=−P ∪ {0}∪P

y en particular que la relación anterior es antisimétrica, ya que si b −a ∈ Py también a −b ∈ P entonces 0 = b −a +a −b ∈ P lo que es absurdo.

Por otro lado, el axioma 9) nos asegura que la relación anterior es transitiva:si a < b y b < c entonces (b −a)+ (c −b) = c −a ∈ P y por tanto que a < c.

Como por la propia definición, la relación anterior es reflexiva, tenemosdefinido un orden (relación binaria reflexiva, transitiva y antisimétrica).

Además, por la propia definición del orden, tenemos que P = {a ∈Z : 0 < a}y equivalentemente que −P = {a ∈Z : a < 0}.

Como b −a = (b + c)− (a + c), de la propia definición del orden obtenemos

a ≤ b ⇐⇒ a + c ≤ b + c

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O sea que, el orden es compatible con la suma o la resta (suma del opuesto).En realidad, la compatibilidad con la estructura es un poco más general:

Lema 1. [Compatibilidad del orden]

i) Si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b +d .ii) Si a < b y 0 < c, entonces ac < bc.

Demostración: Si a ≤ b y c ≤ d , entonces a+c ≤ b+c y b+c ≤ b+d . Ahora,la propiedad transitiva del orden nos da a + c ≤ b +d como queríamos.

Si a < b y 0 < c, entonces b −a,c ∈ P y por tanto (b −a)c ∈ P .Equivalentemente, ac < bc, como queríamos. �

En realidad, si se verifican los 8 primeros axiomas, con 1 6= 0 (Z anillounitario y conmutativo) entonces las dos propiedades del lema son equiva-lentes al axioma 9). Basta definir el subconjunto no vacío por la igualdadP = {a ∈Z : 0 < a} y utilizar las propiedades del lema con 0 < b y 0 < d .

De nuevo, la ley de tricotomía nos dice que para cualesquiera dos enterosdistintos a,b ∈Z se verifica la alternativa b −a ∈ P o bien a −b ∈ P .

O sea, el orden anterior es un orden total4. Además, de nuestro primerteorema, 1 ∈ P , y fácilmente obtenemos la cadena ordenada

{... <−2 <−1 < 0 < 1 < 2 < ...}

4Y decimos que el conjunto de los enteros es una cadena

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donde cada n positivo es el siguiente del anterior5. Los correspondientesnegativos se definen como los opuestos de los positivos.

Todavía no hemos demostrado que estos sean todos los enteros. Precisa-mente este será uno de los objetivos de esta sección. Ahora,

Dado un subconjunto de números enteros A ⊆Z, tiene ahora sentido pregun-tarse si existe el máximo o el mínimo de A. Pero la sucesión ordenada

{... <−2 <−1 < 0 < 1 < 2 < ...}

de los naturales y sus opuestos sabemos que no tiene ni máximo ni mínimo.Para el conjunto total Z todavía no hemos demostrado si tiene o no mínimoo máximo. De hecho, de los 10 primeros axiomas no se deduce nada.

Sin embargo, el último axioma que nos queda, axioma 11), y la definicióndel orden anterior nos dice que cualquier subconjunto no vacío de los posi-tivos A ⊆ P tiene un mínimo, ∃a = min A, que necesariamente es único. Enparticular, el propio conjunto de los positivos A = P tendrá un mínimo:

Teorema 3. [Primer natural] El uno es el menor entero positivo, 1 = min(P ).

Demostración: Si el mínimo de los enteros positivos, a = min(P ), fueramenor que la unidad, 0 < a < 1, entonces a, a2,1− a ∈ P y tendríamos quea(1−a) = a−a2 ∈ P y por tanto que 0 < a2 < a contradiciendo la minimalidaddel entero positivo a. �

5Que se supone conocido por inducción.

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Por la ley de los signos y la tricotomía, la única posibilidad de que el pro-ducto de dos enteros sea positivo es que ambos sean positivos o negativos.Vamos a demostrar ahora una propiedad muy usada de la aritmética:

Lema 2. [Grupo de la unidades de Z]Si a,b ∈Z y ab = 1, entonces o bien a = 1 = b o bien a =−1 = b.

Demostración: Por reducción al absurdo, si ambos son positivos y 1 < aentonces, b < ab = 1 en contra del teorema anterior.

Como a < 1 tampoco puede darse. Debe ser uno, a = 1. Y por tanto, tambiénel otro 1 = ab = b como queríamos.

Si ambos son negativos, como ab = (−a)(−b), repitiendo lo anterior se llegaa que −a =−b = 1. O sea, a = b =−1. �

Demostraremos ahora que no hay más enteros positivos que los naturales:

Teorema 4. [Principio de inducción completa]Si un subconjunto, A ⊆ P , de los enteros positivos verifica las 2 condiciones

i) 1 ∈ Aii) a ∈ A ⇒ a+ = a +1 ∈ A

entonces A = P

Demostración: Supongamos lo contrario, A ⊂ P . Entonces, el subconjuntocomplementario B = P−A será no vacío y tendrá un mínimo, b = min(B) ∈ P .

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Como, por el teorema anterior 1 = min(P ), entonces 1 ≤ b, pero la primerapropiedad del conjunto A nos dice que 1 6= b y por tanto b −1 ∈ A.

Pero por la propiedad ii), deducimos que su siguiente estará también en elmismo conjunto, (b −1)+ = (b −1)+1 = b ∈ A lo que es absurdo. �

En realidad, el axioma 11) es equivalente al principio de inducción completa,principio del que existen varios enunciados equivalentes:

Teorema 5. [Equivalencias del principio de inducción]Las siguientes propiedades son equivalentes:

i) Principio de inducción completa Todo subconjunto, A ⊆ P , tal que1 ∈ A y a +1 ∈ A siempre que a ∈ A coincide con A = P .

ii) Principio de inducción por curso de valores Todo subconjunto,A ⊆ P , tal que 1 ∈ A y b ∈ A siempre que para todo a < b se tengaa ∈ A. Entonces, coincide con el total de los positivos A = P .

iii) Ley del mínimo Todo subconjunto, ; 6= A ⊆ P , tiene un mínimo.

Demostración:

i) ⇒ ii) Sea A ⊆ P , tal que 1 ∈ A y b ∈ A siempre que para todo a < b setenga a ∈ A. Definimos B = {b ∈ Z : (∀a)(a ≤ b) ⇒ a ∈ A}, entonceseste conjunto B satisface claramente las hipótesis del principio deinducción completa luego B = P , pero como B ⊆ A también A = P .

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ii)⇒ iii) Sea B ⊆ P el subconjunto de los enteros positivos que no tienenprimer elemento. Demostraremos que es vacío, B = ;, viendo quesu complementario A = P −B coincide con el total de los positivos.

En primer lugar, 1 ∈ A ya que si no B tendría mínimo. Por otrolado, si a ∈ A para todo a < b, entonces también b ∈ A ya que si nob = min(B) en contra de la definición del conjunto B .

iii) ⇒ i) Es el teorema anterior.

Como corolario del principio de inducción completa, tenemos que todo en-tero positivo a ∈ P es un sucesor de 1 y por tanto de la forma a = 1+·· ·+1.

Aunque una demostración directa sin pasar por el teorema sería por reduc-ción al absurdo. La sucesión

a > a −1 > a −1−1 > ...

contiene a la unidad ya que si no se obtiene una sucesión decreciente denúmeros enteros positivos que no tendría mínimo en contra del axioma 11).En cualquier caso, hemos demostrado la

Teorema 6. [Unicidad de los números enteros] El conjunto de los enteroses Z= {... <−2 <−1 < 0 < 1 < 2 < ...} y no tiene ni máximo ni mínimo.

Cuando un conjunto ordenado no contiene sucesiones infinitas descendentesa1 > a2 > a3 > ... se dice que su orden es artiniano6. Por el axioma 11), el

6Por Emil Artin 1898-1962 matemático austríaco-alemán.

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conjunto de los naturales tiene un orden que no puede tener cadenas infinitasdescendentes y por tanto es artiniano7.

Teorema 7. [Principio del máximo] Todo subconjunto no vacío de númerosenteros acotado superiormente tiene un máximo.

Demostración:Si A ⊆ −P entonces −A = {−a ∈ Z : a ∈ A} ⊆ P y por el axioma 11) ∃b =min(−A) ∈ P . Ahora claramente −b = max(A) es el máximo que buscábamos.

Si el conjunto A ⊆ Z contiene algún entero no negativo (positivo o cero),a ∈ A, y está acotado superiormente por algún entero c ∈Z que no esté en A.Si la cota está en A, ésta sería el máximo y todo estaría demostrado.

Entonces a < c y en la sucesión finita decreciente: c > c −1 > c −2 > ... > ael primer entero que pertenezca al conjunto b ∈ A es el máximo buscadob = max(A). �

Teorema 8. [Principio del mínimo] Todo subconjunto no vacío de númerosenteros acotado inferiormente tiene un mínimo.

Demostración:Si A ⊆ Z entonces −A = {−a ∈ Z : a ∈ A} ⊆ Z es también un subconjunto novacío y por el principio del máximo ∃b = max(−A).Ahora, claramente −b = min(A) es el mínimo que buscábamos. �

7Sin embargo, el orden de los enteros no lo es ya que 0 >−1 >−2 > ·· · .

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4. DIVISIBILIDAD

Definición 8. [preorden de la divisibilidad]Dados a,b ∈ Z decimos que b divide a a, b|a, b es un divisor de a o a esun múltiplo de b, cuando se verifica que ∃c ∈Z tal que a = bc.

Puesto que cualquier múltiplo de cero es cero, si 0|a entonces a = a0 = 0.Por el mismo argumento, a|0 para todo número entero a ∈Z. Por el lema 2,tenemos que si a|1 entonces o bien a = 1 o bien a =−1.

Por la propia definición de la unidad, axioma 6), tenemos que 1|a para todonúmero entero a ∈ Z. Además, como a = (−1)(−a) y −a = (−1)a tenemospara todo entero, a, que −1|a, −a|a y también que a|−a. Así

Definición 9. a,b ∈ Z son asociados si se dividen mutuamente; esto es, sia|b y b|a. Pero entonces a = bc y b = ad para ciertos enteros c,d ∈Z.

Sustituyendo y cancelando ahora (por 2) tenemos que cd = 1 y por el lema 1se tiene que dos enteros a,b ∈Z son asociados si y sólo si a =±b.

Definición 10. Definimos el valor absoluto de a ∈Z, y lo notamos |a|, comocero |a| = 0, si a = 0 o bien como el entero positivo dado por la alternativa:

• |a| = a si 0 < a• |a| = −a si a < 0

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�

Por tanto dos enteros a,b ∈Z son asociados si y sólo si |a| = |b| y ya tenemosdemostradas las dos primeras de las:

Lema 3. [Propiedades de la divisibilidad]

1) ±1|a|0.2) a|b y b|a si y sólo si a =±b.3) c|b y b|a implica c|a.4) a|a.5) b|a1 y b|a2 implica que b|(a1 ±a2).6) b|a implica b|ac para cualquier c ∈Z.7) Si b|a entonces −|a| ≤ b ≤ |a|.8) bc|ac con c 6= 0 implica b|a.

Demostración: El resto de las propiedades se demuestran por sustitución ydespués asociativa del producto o bien distributiva, excepto las dos últimas:

7) Por reducción al absurdo: Supongamos que b|a o equivalentementea = bc. Por las dos primeras propiedades, siempre podemos reducirla demostración al caso en que el divisor y el múltiplo son positivosa,b ∈ P , con lo que necesariamente el otro cofactor también es posi-tivo, c ∈ P . Además, si b = 1 o bien b = a todo está demostrado.

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Luego, supongamos que b 6= 1, a (equivalentemente c 6= a,1) ylo contrario de lo que queremos: que el divisor es mayor que elmúltiplo, b > a, entonces el lema 1 nos implicaría que a = bc > ac,pero como 1 < c de nuevo el lema 1 nos da que a < ac absurdo.

8) Si bc|ac, entonces ac = dbc para cierto entero d ∈Z. Ahora, comoc 6= 0 por la propiedad cancelativa del producto 2, tenemos que a =db o equivalentemente que b|a como queríamos.

Obtenemos que el conjunto de divisores de un entero arbitrario es finito. Elconjunto de los divisores positivos de a está contenido en la sucesión finita

|a| > |a|−1 > ... > 1

y los divisores negativos se obtienen cambiando el signo de los positivos.Con lo que el número total de divisores es siempre un número par.

Como por el lema anterior, 1, |a| ∈ P son siempre divisores, existen al menos4 divisores, ±1,±a, de cualquier entero a ∈Z.

Definición 11. A estos 4 divisores se le llaman divisores impropios y portanto al resto de divisores, si existen, se le llaman divisores propios.

En particular, la relación de divisibilidad en el conjunto de los enteros noverifica la propiedad antisimétrica, aunque si la reflexiva y la transitiva. Porel lema anterior, en el conjunto de los naturales la relación de divisibilidad sies una relación de orden, distinta del orden usual o natural de los axiomas.

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5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR. RELACIÓN DE BEZOUT

Por la propiedad 1) del lema anterior, el orden de la divisibilidad para losenteros mayores o iguales que cero tiene un mínimo que es la unidad 1 y unmáximo que es el cero. Pero no es un orden total ya que hay parejas a,b ∈Zno relacionadas respecto a este orden. Sin embargo, siempre

Definición 12. Dados dos enteros a,b ∈ Z llamamos un máximo comúndivisor de ambos a otro número entero, d ∈Z, que verifique

• d |a, d |b.• Si otro entero divide a ambos, d ′|a y d ′|b, entonces d ′|d .

Si dos enteros d ,d ′ ∈ Z son ambos máximos comunes divisores de a,b, en-tonces se dividen mutuamente y por tanto d ′ =±d . O sea, son asociados.

En particular, si existe, el máximo común divisor positivo de dos enteros esúnico y lo denotaremos por d = mcd(a,b) o por simplicidad d = (a,b).

Además, si un número d es un máximo común divisor de a,b, también es unmáximo común divisor de las parejas {b, a}, {a,−b}, {−a,b} y {−a,−b}.

Si ambos números son iguales a = b claramente a = mcd(a, a).Por lema 3 1), si uno de ellos es cero, b = 0, entonces a = mcd(a,0).

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En el caso de que ambos sean distintos de cero, el mcd positivo coincide conel máximo (respecto al orden de la divisibilidad) entre los divisores positivos.Por el lema 3 1), si uno de ellos es uno, b = 1, entonces 1 = mcd(a,1).

En este caso, como podemos reducirnos al caso de números positivos.

Teorema 9. [Existencia y unicidad del mcd positivo]Si a,b ∈ P existe un único d = mcd(a,b) ∈ P .

Demostración: Vamos a demostrar la existencia por inducción por cursode valores, sobre el número natural a +b. El caso más pequeño es cuandoa = 1 = b, a +b = 2, pero entonces 1 = mcd(1,1) y tenemos la existencia.

Supongamos ahora que 2 < a+b y que existe el máximo común divisor paracualesquiera números naturales con suma inferior a a +b. Si a = b estarátodo demostrado.

En caso contrario, como el orden usual es total, podemos suponer que a < bo equivalentemente b−a ∈ P . Ahora, por lema 3 5), cualquier divisor comúnde a,b divide también a b −a. Por la misma razón, cualquier divisor comúnde a,b −a divide también al número b.

Como los divisores comunes coinciden, tendrán el mismo máximo respectoal orden de la divisibilidad: mcd(a,b) = mcd(a,b − a). Pero esta últimapareja de números tiene menor suma que la original, a + (b −a) = b < a +b.Por hipótesis de inducción existirá su mcd, quedando todo demostrado. �

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Observamos que la demostración anterior es constructiva. Aunque no es elmétodo más eficaz de cálculo para los mcd’s, es un fácil ejercicio de progra-mación funcional en Prolog, Pascal, Visual C++, Visual Basic, etc.

El proceso iterativo contenido en la demostración consiste en cada iteracióncambiar dos números positivos distintos, a < b, por otros dos a,b−a y repe-tirlo hasta que los dos números sean iguales.

El proceso termina porque siempre se cambia uno de los números por otroestricto más chico, b > b − a, y la sucesión decreciente b > b −1 > b −2 >... > 1 es finita; p. ej., si b = 20 como mucho hay 20 iteraciones.

procedimiento mcd(x,y)

Se inician las variables x e yx:=a;y:=b;

Se anida un condicional dentro de un bucle del tipo whereasMientras x 6= y se hace;

Si x>y entonces mcd(x,y)=mcd(y,x);mcd(x,y)=mcd(x,y-x);

mcd(x,y)=x;

Observaremos que una mejora, en este algoritmo de cálculo para el mcd dedos números, es preguntarse en cada iteración si el entero más chico es la

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unidad, ya que en ese caso (1,b) = b y nos ahorramos b iteraciones. Lainducción del teorema anterior se puede usar para demostrar también:

Teorema 10. [Relación de Bezout]Si a,b ∈ P , existen dos enteros λ,µ ∈Z tal que mcd(a,b) = d =λa +µb

Demostración: Basta considerar la hipótesis de inducción (por curso devalores). Así, ∃λ,µ ∈ Z tales que (a,b − a) = λa +µ(b − a)) pero sabemosque d = (a,b) = (a,b −a).

Finalmente, sacando factor común a a obtenemos la relación que queríamos.

d = (λ−µ)a +µb �

Como d =λa+µb = (−λ)(−a)+µb =λa+(−µ)(−b) = (−λ)(−a)+(−µ)(−b)existen relaciones de Bezout para cualesquiera enteros a,b ∈Z.

Lema 4. [Propiedades de los mcd’s]

1) a = (a,0), 1 = (a,1) (máximo y mínimo de la divisivilidad).2) (a,b) = (b, a) (conmutativa).3) (a,b) = (a,b +λa) con λ ∈Z arbitrario.4) (a, (b,c)) = ((a,b),c) (asociativa).5) (ac,bc) = (a,b)c para todo c ∈ P positivo (distributiva).6) Si d = (a,b), a = d a′, b = db′ entonces a′,b′ no tienen más divisor

positivo común que la unidad.

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Demostración: Las dos primeras ya las hemos comentado previamente8.

3) Si b′ = b +λa, entonces b = b′ −λa y claramente el conjunto dedivisores comunes de a,b coincide con el de los divisores comunesde a,b′, y el máximo respecto a la divisibilidad será el mismo.

4) Si a,b,c ∈Z, por la definición del mcd, un divisor común de los tresnúmeros divide a la pareja a, (b,c) y recíprocamente.

Por la misma razón, un entero es divisor común de los tres númerossi y solamente si es un divisor común de la pareja (a,b),c. De aquíse obtiene la propiedad asociativa, (a,b,c) = (a, (b,c)) = ((a,b),c).

5) Como c|ac y c|bc entonces c|d = (ac,bc) y existirá d ′ ∈ Z tal qued = cd ′. Pero entonces, cd ′ = d |ac y cd ′ = d |bc y por 3 8), obten-emos que d ′|a y d ′|b y en consecuencia que d ′|(a,b).

Recíprocamente, (a,b)|a y (a,b)|b, luego (a,b)c|ac y (a,b)c|bc,de donde (a,b)c|d = (ac,bc) = cd ′ y de nuevo por 3 8), obtenemosque (a,b)|d ′. Por tanto, los dos enteros (a,b) y d ′ son asociados.Finalmente, como c y por tanto también d ′ son positivos tenemos laigualdad d ′ = (a,b), de donde d = (ac,bc) = cd ′ = (a,b)c.

6) Por reducción al absurdo, si existe un divisor propio c ∈ P tal quec|a′ y c|b′, entonces dc|d a′ = a y dc|db′ = b. Como el divisor espropio, 1 < c ⇒ 0 < d < dc. Luego d ,dc son no asociados. Ademásd |dc con lo que d no sería el mcd(a,b) lo que es absurdo.

8Cuando no hay peligro de confusión, escribimos (a,b) por mcd(a,b).

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6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Dualizamos ahora el concepto de mcd. Esto es, cambiamos x|y por y |x en

Definición 13. [mínimo común múltiplo, mcm]Dados dos enteros a,b ∈Z llamamos un mínimo común múltiplo de ambosa otro número entero, D ∈Z, que verifique las dos propiedades siguientes:

• a|D, b|D.• Si otro entero es múltiplo de ambos, a|D ′ y b|D ′, entonces D|D ′.

Las propiedades se deducen de forma análoga al caso de los mcd’s: Si dosenteros D,D ′ ∈ Z son ambos mínimos comunes múltiplos de a,b, entoncesse dividen mutuamente y por tanto D ′ =±D. O sea, son asociados.

En particular, si existe, el mínimo común múltiplo positivo de dos enteros esúnico y lo denotaremos por D = mcm(a,b) o por simplicidad D = [a,b].

Además, si un número D es un mínimo común múltiplo de a,b, también loes de las parejas {b, a}, {a,−b}, {−a,b} y {−a,−b}.

Si son iguales a = b claramente coincide también con el a = [a, a].Por el lema 3 1), si uno de ellos es cero, b = 0, entonces 0 = [a,0].

En el caso de que ambos sean distintos de cero, el mcm positivo coincide conel mínimo (respecto al orden de la divisibilidad) entre los múltiplos positivoscomunes . Y por lema 3 1) si uno de ellos, b = 1, entonces a = [a,1].

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Ahora, la existencia de mcm’s la demostraremos usando que existen mcd’s:

Teorema 11. [Existencia y unicidad del mcm positivo] Dados a,b ∈ Z,

existe un único D = mcm(a,b) = [a,b] ∈ P y Dd = [a,b](a,b) = |a||b|

Demostración: Claramente podemos restringirnos al caso positivo, a,b ∈ P .Si d = (a,b) ∈ P es el mcd positivo, sabemos que a = d a′, b = db′, con a, a′ ∈Z enteros que no tienen ningún divisor común positivo salvo la unidad. Peroentonces ∃λ,µ ∈Z tales que se verifica la igualdad de Bezout: λa′+µb′ = 1.

Ahora, la igualdad del enunciado nos da un candidato para el mcm de ambosnúmeros [a,b] = D = ab

d = a′b = ab′ = a′db′ ∈ P .

Claramente, a|D y b|D, es un múltiplo común de ambos números. Supon-gamos otro múltiplo común positivo a|D ′, b|D ′. Luego D ′ = ac = be paraciertos enteros positivos c,e ∈ P , y por la cancelativa del producto a′c = b′e.

Multiplicando la relación de Bezout anterior por el entero e ∈ P obtenemos

e =λa′e +µb′e =λa′e +µa′c = a′(λe +µc)

de donde a′|e y por tanto D = a′b|eb = D ′ como queríamos. �

La propiedad más importante del mcm es la dada en el teorema anterior. Elresto de las propiedades se obtienen de las correspondientes de los mcd’s.

Lema 5. [Propiedades de los mcm’s]

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1) 0 = [a,0], a = [a,1].2) [a,b] = [b, a].3) [a, [b,c]] = [[a,b],c].4) [ac,bc] = [a,b]c para todo c ∈ P positivo.

Demostración: La dos primeras propiedades están comentadas previamente.

3) Ya que los múltiplos comunes de a,b,c coinciden con los comunesde la pareja a, [b,c] y también con los comunes de la [a,b],c.

4) Por el teorema 11, tenemos las igualades

[ac,bc] = acbc

(ac,bc)= acbc

(a,b)c= acb

(a,b)= [a,b]c �

Ejemplo 1. Si a = 210 −1, b = 215 −1 se puede calcular su mcd y mcm sincalcular explícitamente a y b. Ya que si d es un divisor común, debe serimpar y además d |(b −a) = 215 −210 = 25(25 −1) de donde d |(25 −1).

Ahora como xn −1 = (x −1)(xn−1 +xn−2 +·· ·+x +1). Sustituyendo x = ym

ynm −1 = (ym −1)(ym(n−1) + ym(n−2) +·· ·+ ym +1)

y tomando y = 2, nm = 10 o bien nm = 15 se tiene

a = 210 −1 = (25 −1)(25 +1), b = 215 −1 = (25 −1)(25∗2 +25 +1)

Luego, su mcd es (a,b) = 25 −1 y por tanto su mcm satisface

(25 −1)[a,b] = ab = (210 −1)(215 −1) =⇒ [a,b] = (25 +1)(215 −1)

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7. ELEMENTOS IRREDUCIBLES. FACTORIZACIÓN. NÚMEROS PRIMOS

Definición 14. Un número entero a ∈ Z se dice irreducible si a 6= ±1 y notiene más divisores que los impropios. Equivalentemente, si no tiene másdivisores positivos que él mismo y la unidad9.

Por el lema 3, a y −a tienen el mismo conjunto de divisores y por tanto a esirreducible si y sólo si −a lo es. Como a = 0 admite a cualquier entero comodivisor, el cero no es irreducible.

Con esta definición el número 1 no es irreducible. O sea el primer irreduciblepositivo es el 2. La novedad es que −2 es irreducible.

Por todo lo anterior, para estudiar la divisibilidad y en particular los irre-ducibles, basta reducirse a estudiar esos conceptos entre los positivos.

Dado a ∈ P decimos que tenemos

Definición 15. Una factorización propia de a cuando existen otros dospositivos b,c ∈ P , distintos de la unidad y del propio a, tales que a = bc.

Recordemos que, por 3 7), si a = bc es una factorización propia entonces1 < c,b < a. Por extensión, decimos que a = a1 · · ·ar es una factorizaciónpropia cuando los factores son ai 6= ±1 para todo i ∈ {1, ...,r }.

9Esta es la definición escolar de primo. Más adelante definiremos primo de otra formapero también será equivalente.

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Claramente, a es irreducible si y solo si no admite factorizaciones propias.P.ej. 2 = 1+1 es irreducible porque no existen candidatos a factores propios.Esto es, si 1 ≤ c ≤ 2 entonces c = 1 o c = 2.

Un argumento parecido nos demuestra que 3 es irreducible: si 1 < c < 3entonces c = 2 y la única factorización propia posible del 3 sería 2 ·2 = (1+1)(1+1) = 1+1+1+1 = 4 pero 4 6= 3.

Definición 16. [Factorización en irreducibles] Decimos que un entero a ∈Z se expresa como producto de irreducibles si el propio a es irreducible obien existe un número finito de irreducibles a1, ..., ar tal que a = a1 · · ·ar .

Claramente, si existe, la factorización en irreducibles es propia. Ahora, unsencillo argumento de inducción, por curso de valores nos demuestra la

Teorema 12. [Existencia de factorizaciones en irreducibles]Todo entero 2 ≤ a puede ser expresado como producto de irreducibles.

Demostración: El primer caso de la inducción es cuando a = 2 y ya sabemosque es irreducible. Ahora, supongamos 2 < a y la hipótesis de inducción(fuerte o por curso de valores) de que todo entero positivo c tal que 1 < c < ase expresa como producto de irreducibles.

Ahorae, si a es irreducible está todo demostrado. En caso contrario, ex-iste una factorización propia a = bc donde 1 < c,b < a y, por hipótesis deinducción, existirán irreducibles b1, ...,br ,c1, ...,cs tales que b = b1 · · ·br y

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c = c1 · · ·cs y por tantoa = b1 · · ·br · c1 · · ·cs

se expresa como producto de irreducibles. �

Como −a = (−a1) · · ·ar todo entero negativo menor o igual que −2 se expresatambién como producto de irreducibles. Para la unidad 1 se suele aceptar(por convenio) que es el producto de una familia vacía de irreducibles.

Dos enteros a,b ∈Z se dicen

Definición 17. Coprimos, primos entre si o primos relativos si se verificaque no tienen más divisores positivos comunes que la unidad.

Equivalentemente si no tienen más divisores enteros que ±1 o bien que sumáximo común divisor positivo es uno, (a,b) = 1.

Por el teorema 10 y la nota siguiente, sabemos que si a,b son coprimosentonces existen dos enteros λ,µ ∈ Z tales que 1 = λa +µb. En realidad elrecíproco también es cierto:

Teorema 13. [Caracterización de coprimos] Dos enteros a,b ∈Z son pri-mos entre si y solamente si existen dos enteros λ,µ ∈Z tal que 1 =λa +µb.

Demostración: Suponemos 1 = λa +µb y que c|a, c|b, entonces a = ca′,b = cb′ para ciertos enteros a′,b′. Sustituyendo, obtenemos 1 =λca′+µcb′ =c(λa′+µb′) y por el lema 2, obtenemos que c =±1 y por tanto no hay másdivisores comunes de a,b que los impropios. �

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Aunque las demostración que sigue está contenida esencialmente en la de-mostración de 11. Después de la definición anterior, podemos enunciar:

Lema 6. [Cancelación de factores coprimos] Si un entero divide al pro-ducto de otros dos y es primo con uno, entonces divide también al otro.

Demostración: Supongamos que a|bd y que (a,b) = 1, entonces ac = bd y1 = λa +µb para ciertos enteros c,λ,µ ∈Z. Multiplicando por d la relaciónde Bezout obtenemos

d =λad +µbd =λad +µac = a(λd +µc)

con lo que a|d como queríamos. �

Definición 18. Decimos que un entero p 6= 0, ±1 es primo si se verifica laimplicación p|bc =⇒ (p|b)∨ (p|c).

Por inducción completa se puede demostrar otra definición equivalente:

Lema 7. Dado un entero p 6= 0, ±1, p es primo si y solamente si dadosa1, ..., an ∈Z tal que p|a1 · · ·an se tiene que p|ai para algún i ∈ {1, ..,n}.

Demostración: La condición suficiente es clara. Ahora, supongamos quep es primo, la condición necesaria la demostraremos por inducción sobre elnúmero de factores n: El primer caso, n = 2, es la propia definición.

Supongamos ahora (hipótesis de inducción) que la implicación es cierta paran−1 factores, y que p|a1 · · ·an = a1(a2 · · ·an). Por ser p primo: O bien p|a1

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en cuyo caso está todo demostrado; o bien p|a2 · · ·an en cuyo caso la hipóte-sis de inducción nos da que p|ai para algún i ∈ {2, ...,n}, como queríamos.�

Para dos enteros a,b siempre se verifica la alternativa: a|b (equivalente-mente (a,b) = a) o bien a - b. Si además a es irreducible, la segunda partede la alternativa equivale a que a,b son primos entre si, o sea (a,b) = 1.

Por la proposición 6, entonces todo entero irreducible es primo. Para cualquierdominio de integridad, el recíproco también es cierto:

Teorema 14. [irreducibilidad equivale a primalidad]Dado un número entero a ∈Z, a es irreducible si y solo si a es primo.

Demostración: Supongamos que a es primo y que tenemos una factor-ización a = bc, entonces a|bc (el cofactor es 1) y por la definición de primoa divide a alguno de los dos factores, p.ej. a|b.

Entonces, b = aa′ para cierto a′ ∈ Z, y sustituyendo a = bc = aa′c. Por lacancelativa del producto, obtenemos 1 = a′c y por el lema 2, necesariamentec =±1 y la factorización a = bc es impropia. Siendo a irreducible. �

Una aplicación típica de este teorema y de las proposiciones 6, 7, es lademostración de que el número de combinaciones de p elementos, con pprimo, tomados de n en n, con 0 < n < p, es múltiplo de p.

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En efecto, como por definición sabemos que

n!

(p

n

)= p(p −1) · · · (p −n +1)

luego p|n!(p

n

). Ahora como n < p, se tiene que p - n!, ya que en caso con-

trario p dividiría a un número más chico que él mismo. Por 6, p|(pn

).

Teorema 15. [de Euclides]El número de enteros primos o irreducibles es infinito.

Demostración: Por reducción al absurdo, supongamos que existe un númerofinito de irreducibles positivos p1, ..., pn . Considerando el producto de todosellos mas uno, a = p1 · · ·pn +1, este es un entero 2 ≤ a y por el teorema 12será un producto de irreducibles.

Como sólo hay n irreducibles, existirá al menos uno de ellos que lo divida,p. ej. p1|a, entonces p1b = a = p1 · · ·pn + 1, o equivalentemente p1(b −p2 · · ·pn) = 1 y de nuevo por el lema 2, p1 =±1 lo que es absurdo porque unirreducible siempre es distinto de ±1. �

El mismo razonamiento nos dice que a = p1 · · ·pn −1 es primo con cada unode p1, . . . , pn y por tanto existe un primo p diferente de los anteriores talque p|a. También, b = p1 · · ·pr ± pr+1 · · ·pn es primo con cada uno de losp1, . . . , pn y existe un primo p diferente tal que p|b.

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8. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

Observamos que la unidad no puede expresarse como producto de irreducibles,ya que si 1 = p1 · · ·pr por el lema 2 se tendría que cada irreducible pi =±1 locual es absurdo. Por tanto, consideramos que la unidad se expresa de formaúnica como el producto de una familia vacía de irreducibles.

Ahora vamos a demostrar el teorema más importante de la aritmética.

Teorema 16. [Fundamental de la aritmética] Todo entero a 6= 0 puede serexpresado de forma única, salvo el signo, como un producto de irreducibles.

Demostración: Por la observación anterior y las propiedades de la divisi-bilidad, basta demostrar el teorema para números 2 ≤ a. Como ya hemosdemostrado el teorema de existencia 12, nos queda que demostrar la unici-dad. supongamos que existen dos factorizaciones en irreducibles positivos

a = p1 · · ·pr = q1 · · ·qs

queremos demostrar que r = s y que los irreducibles p1, ..., pr y q1, ..., qs

coinciden, salvo el orden, uno a uno.

Como p1|a = q1 · · ·qs por la proposición 7 tenemos que existirá un i ∈ {1, ..., s}tal que p1|qi , por la propiedades asociativa y conmutativa del producto deenteros, podemos reordenar los índices de forma que i = 1, p1|q1.

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Equivalentemente q1 = λp1 pero, como q1 irreducible y ambos positivos,λ= 1 y p1 = q1. Entonces, por la cancelativa del producto se tiene que

p2 · · ·pr = q2 · · ·qs

Ahora, la demostración la terminamos por inducción respecto al número defactores r . Si r = 1, la última igualdad se convierte en 1 = q2 · · ·qs de donde1 = q2 = ... = qs lo que es absurdo salvo que r = s = 1 y todo demostrado.

Finalmente, la misma igualdad obtenida antes p2 · · ·pr = q2 · · ·qs y la hipóte-sis de inducción nos da r −1 = s −1 y pi = q j para i ∈ {2, ...,r } y j ∈ {2, ..., s}en algún orden, y todo queda demostrado. �

En el caso positivo 0 < a, si agrupamos los primos repetidos (por la asociativay conmutativa del producto) obtenemos la descomposición escolar

a = pe11 · · ·per

r

donde los primos pi y los exponentes ei están unívocamente determinados.

De esta unicidad, se obtienen por ej. todos los divisores positivos (cambiandode signo los negativos) que son todos los números de la forma a = p f1

1 · · ·p frr

con los exponentes menores o iguales, 0 ≤ fi ≤ ei para todo i ∈ {1, ...,r }.

Para cada exponente hay ei +1 valores posibles (desde cero hasta el propioexponente) y en consecuencia obtenemos el

Corolario 1. [número de divisores] Hay τ(a) =∏i=ri=1(ei +1) divisores pos-

itivos del número a = pe11 · · ·per

r , siendo {p1, ..., pr } primos arbitrarios.

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Análogamente, se obtienen la suma y el producto de los divisores

Corolario 2. [suma y producto de los divisores positivos] Dado a = pe11 · · ·per

r

1) La suma de sus divisores positivos es σ(a) =∏i=ri=1

pei +1i −1pi−1

2) El producto de sus divisores positivos es a∏i=r

i=1(ei+1)

Demostración:

1) Si por distributividad y asociativa de la suma desarrollamos

(1+p1 +·· ·+pe11 ) · · · (1+pr +·· ·+per

r )

obtenemos∏i=r

i=1(ei +1) sumandos y además cada uno es de la formap f1

1 · · ·p frr con 0 ≤ fi ≤ ei para todo i ∈ {1, ...,r }. O sea, encontramos

la suma de todos los divisores positivos del número a = pe11 · · ·per

r .Ahora, como la suma de una progresión geométrica es

Si = 1+pi +·· ·+peii = pei+1

i −1

pi −1

se obtiene la igualdad deseada.2) Como los divisores positivos se pueden agrupar por parejas b,b′ tal

que a = bb′. Si a = b2 es un cuadrado, se considera la pareja b,b.Finalmente, el cuadrado del producto de todos ellos es igual al

propio número a elevado al número de divisores. �

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Ejemplo 2. En número a = 1024 = 210 tiene 10+1 = 11 divisores positivos.La suma de esos 11 vale σ(a) = 211 −1 = 2047.Mientras que la suma de los 10 divisores sin el propio número vale

s(a) =σ(a)−a = 2047−1024 = 1023

Su producto es (210)11 = 2110 = 1298074214633706907132624082305024

Observamos, que el producto de los divisores sale muy grande. De hecho,aunque le quitemos el propio número, el producto de los divisores propiossiempre sale mayor que el propio número salvo que éste sea primo.

Sin embargo, la suma de los divisores de un número salvo el mismo, s(a) =σ(a)−a puede ser mayor, igual o menor que el propio número.

En el ejemplo, s(a) = 1023 < a = 1024 y se le llama número deficiente.En caso contrario, si s(a) > a se llama número abundante.Si s(a) = a se le llama número perfecto

Ejemplo 3. a = 220 y b = 284 son números amigos ya que

s(220) =σ(a)−a = 284, s(284) =σ(b)−b = 220

de donde a = 220 es abundante. Mientras que b = 284 es deficiente.

Ejemplo 4. Para los números a = 6, 28, 496, 8128, se tiene que s(a) =σ(a)−a = a. O sea, esos 4 números son perfectos10.

10En 2013, se conocen sólo 48, son de la forma 2p−1(2p −1), donde 2p −1 es primo.

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Ahora, el criterio escolar para el cálculo de mcd o mcm se puede deducir.Dos números positivos, a = pe1

1 · · ·perr y b = p

e ′11 · · ·p

e ′rr se pueden escribir

como productos de potencias de los mismos primos (admitiendo algunosexponentes cero). Entonces

[a,b] = pmax(e1,e ′1)1 · · ·p

max(er ,e ′r )r

(a,b) = pmin(e1,e ′1)1 · · ·p

min(er ,e ′r )r

La unicidad de las factorizaciones en irreducibles da lugar a muchas otrasconsecuencias. P.ej., dos enteros son coprimos si y solamente si los irre-ducibles que aparecen en la descomposición de uno de ellos no son asociadosa ninguno de los que aparecen en la descomposición del otro.

Si además los enteros son positivos 0 < a,b. Sencillamente, son primos entresi cuando tienen irreducibles diferentes en sus descomposiciones.Esta caracterización nos demuestra el siguiente

Corolario 3. [los primos relativos son cerrados para la multiplicación]Dados a, a1, ..., ar ∈ Z, si a, ai son primos entre si para cada i ∈ {1, ...,r },entonces a y el producto a1 · · ·ar son primos entre si.

Otra consecuencia es que a|b si y solamente si todos los irreducibles de aaparecen (salvo el signo, contando repeticiones) en la descomposición de b.

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En el caso positivo 0 < a,b. Sencillamente a|b si y solo si todos los irre-ducibles de a aparecen en la descomposición de b con exponentes mayoreso iguales. Esta caracterización nos demuestra el siguiente

Corolario 4. [los divisores primos relativos generan a todos los divisores]Si los enteros a1, ..., ar son enteros primos entre si dos a dos, y ai |a para cadai ∈ {1, ...,r }, entonces el producto a1 · · ·ar divide a a.

Con la criba de Erastótenes11, que consiste en ir tachando múltiplos, se puedeescribir fácilmente la tabla de números primos menores que 100.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

Este método es ineficiente para encontrar los primos menores que n. Ya quees exponencial en el número de dígitos.

En 1979, por otros métodos se demostró que n = 244497 −1 es primo. Perocomo este número tiene 13 395 cifras si hubiéramos usado la criba de Erastóteneshabría tardado 106684 años (a 1 millón de operaciones por segundo).

Un número primo de la forma 2p − 1 se puede reconocer por un métodomás eficiente. Cuando lo es, p también es primo. Se llaman primos deMersenne12, se conocen sólo 47, tantos como números perfectos.

11(Cirene, 276 - Alejandría, 194 a. C.), fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego.12(1588 - 1648) monje francés que estudió teología, matemáticas y la teoría musical.

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9. EJERCICIOS.

Ejercicio 1. Prueba por inducción que n < 2n para todo entero 1 < n.

Ejercicio 2. Si S(n) es la suma de los n primeros números naturales impares.Razona que S(n) = S(n−1)+2n−1. Demuestra por inducción que S(n) = n2.

Ejercicio 3. Si S(n) es la suma de los n primeros números naturales pares.Razona que S(n) = S(n −1)+2n. Demuestra por inducción S(n) = n(n +1).

Ejercicio 4. Prueba por inducción, para todo entero n ∈Z quen∑

k=0(4k +1) = (2n +1)(n +1)

Ejercicio 5. Prueba por inducción, para todo entero n ∈Z que

11 +22 +·· ·+n2 = (n +1)(n +2)(n +3)/6

Ejercicio 6. Prueba por inducción que n3 −n es divisible por 3 para todoentero n ∈Z.

Ejercicio 7. Razona que el producto de 3 números enteros consecutivos esmúltiplo de 3. Deduce que n3 −n es divisible por 3 para todo entero n ∈Z.

Ejercicio 8. Prueba que n2 −n es divisible por 2 para todo entero n ∈Z.

Ejercicio 9. Prueba por inducción para todo entero n ∈Z y r 6= 1, la fórmula

a +a ∗ r +·· ·+a ∗ r n−1 = a(1− r n)

1− r

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Ejercicio 10. Sean n,m ∈ Z enteros positivos tales que [m,n]+ (m,n) =m +n. Razona que uno de los números debe dividir al otro.

Ejercicio 11. Usa el Teorema Fundamental de la Aritmética y razona quepara n,m ∈Z, el número siguiente no puede ser una potencia de 2.

(36n +m)(n +36m)

Ejercicio 12. Razona que un número con todas sus cifras iguales a b < 10,es múltiplo de b. Y que un número con un número par de cifras todas igualesa 1, es múltiplo de 11.

Ejercicio 13. Razona sin multiplicar la igualdad 1111 = (102 + 1) ∗ 11 =101∗11. Razona sin dividir que 102 +1 = 101 no puede ser divisible por 11.Deduce que 1111 tiene al menos 2 factores primos. Usa que 11 es primo.

Ejercicio 14. Razona por inducción que un número con 2n cifras igualestiene al menos n factores primos diferentes. Usa que 11 es primo.

Ejercicio 15. Razona sin multiplicar la igualdad 111 111 111 = (106+103+1)∗111 = 1001001∗111. Razona sin dividir que 106 +103 +1 = 1001001 esdivisible por 3. Deduce que 111 111 111 es divisible por 32.

Ejercicio 16. Prueba por inducción que un número con 3n dígitos igualeses divisible por 3n . Usa que 111 es divisible por 3.

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10. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?.(a) El opuesto es un entero es siempre negativo.(b) El opuesto del opuesto de un entero es siempre positivo.(c) El opuesto del opuesto de un entero a veces es negativo.(d) El opuesto de un entero no puede ser cero.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) No existen números enteros n,m tales que n ∗m = 1.(b) Existen infinitos números enteros n,m tales que n ∗m = 1.(c) Existen números enteros n 6= m tales que n ∗m = 1.(d) Si existen números enteros n,m tales que n∗m = 1, entonces n = m.

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3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La suma de enteros determina la resta pero no el orden.(b) La resta de números es una operación diferente de la suma.(c) La suma de enteros determina el orden pero no la resta.(d) La resta de números enteros y/o la suma determina el orden.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Los enteros satisfacen el principio del mínimo pero no del máximo.(b) Los enteros satisfacen el principio del mínimo y del máximo. Por

tanto, están acotados.(c) El orden de los números enteros es artiniano.(d) El orden de los números naturales es artiniano.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La inducción por curso de valores equivale a la inducción completa.(b) Una demostración por inducción siempre usa la propiedad anterior

para demostrarla en n.(c) Una demostración por inducción siempre usa la propiedad en los dos

anteriores para demostrarla en n.(d) La inducción completa usa la propiedad en todos los anteriores para

demostrarla en n..

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6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Todos los números enteros dividen a 1.(b) El cero divide a cualquier entero.(c) Un número entero nunca divide a su opuesto.(d) El uno divide al cero.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El máximo común divisor es asociativo pero no conmutativo.(b) El máximo común divisor a veces lo tomamos negativo.(c) El máximo común divisor es asociativo, conmutativo pero no dis-

tributivo.(d) La relación de Bezout es cierta para el máximo común divisor de

cualesquiera enteros.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El mínimo común múltiplo es asociativo pero no conmutativo.(b) El mínimo común múltiplo a veces lo tomamos negativo.(c) El mínimo común múltiplo es asociativo, conmutativo y distributivo.(d) El producto del máximo común divisor por el mínimo común múlti-

plo coincide con el producto de los dos enteros.

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9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Si un entero irreducible divide al producto de otros 3 divide al menos

a uno de ellos.(b) Un entero primo es irreducible pero no al revés.(c) Un entero irreducible es primo pero no al revés.(d) Si un entero divide al producto de otros dos divide al menos a uno de

ellos.10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.

(a) El teorema fundamental de la aritmética sirve para hallar los divisoresde un entero aunque sea negativo.

(b) El teorema fundamental de la aritmética dice que un entero se de-scompone de forma única como producto de primos.

(c) El teorema fundamental de la aritmética dice que un entero se de-scompone de forma única como producto de irreducibles.

(d) El teorema fundamental de la aritmética sólo se aplica a enteros pos-itivos.

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