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Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

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ESPACIOS EUCLÍDEOS. CONGRUENCIA.

¿Cómo medimos los vectores y los ángulos?

1. Productos escalares. 6Definición 1 6Lema 1 6Ejemplo 1 7Lema 2 7Definición 2 8Definición 3 8Ejemplo 2 8Ejemplo 3 9

2. Matrices métricas o de Gram. 10Definición 4 10Lema 3 10Ejemplo 4 10Ejemplo 5 11Ejemplo 6 12

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Definición 5 12Definición 6 12Lema 4 12

3. Congruencia de matrices. 12Lema 5 13Definición 7 13Definición 8 13Ejemplo 7 14Definición 9 14

4. Matrices grammianas. 15Definición 10 15Lema 6 15Lema 7 16Teorema 1 16Corolario 1 17Corolario 2 17Corolario 3 18Ejemplo 8 18

5. Norma de un vector. 19Definición 11 19Ejemplo 9 19Lema 8 19Ejemplo 10 19

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Definición 12 20Teorema 2 20Teorema 3 21

5.1. Aplicaciones estadísticas 22Ejemplo 11 23

6. Concepto de ángulo. Vectores ortogonales 26Definición 13 26Ejemplo 12 26Definición 14 27Ejemplo 13 28Ejemplo 14 28Definición 15 28Lema 9 28Definición 16 29Teorema 4 29Definición 17 29Ejemplo 15 30

7. Coeficientes de Fourier. Ortonormalización. 30Definición 18 30Ejemplo 16 31Definición 19 31Lema 10 32Definición 20 32

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Ejemplo 17 32Definición 21 33Lema 11 33Definición 22 33Teorema 5 33Ejemplo 18 34Corolario 4 35Ejemplo 19 35

8. Algoritmos de Gram-Schmidt. 37Ejemplo 20 38

9. Algoritmo de Cholesky. 38Ejemplo 21 39

10. Descomposición QR de una matriz. 40Definición 23 41Ejemplo 22 41

11. Complemento ortogonal. 42Definición 24 42Teorema 6 42Ejemplo 23 43Ejemplo 24 43Teorema 7 44Definición 25 44Teorema 8 45

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Lema 12 46Ejemplo 25 47

12. Apéndice 1: Rectas de regresión 48Ejemplo 26 51

13. Apéndice 2: Correlación y rectas de regresión 54Teorema 9 55Teorema 10 56Ejemplo 27 56

14. Ejercicios. 57Ejercicio 1 57Ejercicio 2 57Ejercicio 3 57Ejercicio 4 58Ejercicio 5 58Ejercicio 6 58Ejercicio 7 58Ejercicio 8 59Ejercicio 9 59Ejercicio 10 59

15. Test de repaso. 60

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1. PRODUCTOS ESCALARES.

Dado un esp. vect. V , real (sobre el cuerpo R), y dada una aplicación < , >:V ×V → R, denotada a veces (en notación infija) como < u, v >= u • v

Definición 1. Decimos que es un producto escalar si verifica para todou,u1,u2, v ∈V y todo λ ∈ K

1) Definida positiva: u •u ≥ 0 y u •u = 0 ⇐⇒ u = 02) Conmutativa: u • v = v •u3) Distributiva: (u1 +u2)• v = u1 • v +u2 • v4) Lineal: λu • v = λ(u • v)

Dado un producto escalar, por la distributiva, se tiene que

0•u = (0+0)•u = 0•u +0•u =⇒ 0•u = 0

Por la conmutativa, también 0•u = u •0 = 0Por la distributiva y lineal, además se tiene

(λ1u1 +λ2u2)• v = (λ1u1)• v + (λ2u2)• v =λ1(u1 • v)+λ2(u2 • v)

Este es el primer caso, de una inducción, para demostrar el siguiente

Lema 1. Dado un producto escalar en V , se verifica que

(λ1u1 +·· ·+λr ur )• (µ1v1 +·· ·+µs vs) =∑i jλiµ j (ui • v j )

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Demostración: Por la conmutativa, basta demostrar el llamado paso de lainducción, en uno de los factores:

(λ1u1 +·· ·+λr ur )• v = (λ1u1 +·· ·+λr−1ur−1)• v +λr (ur • v) ==λ1(u1 • v)+·· ·+λr−1(ur−1 • v)+λr (ur • v) �

Se puede definir mas de un producto escalar. Por ejemplo, para V =R2

Ejemplo 1. Para u = (x1, x2), v = (y1, y2) ∈R2, el producto definido por

u • v = 2x1 y1 +5x2 y2

es un producto escalar. En efecto, basta calcular el producto matricial

(x1, x2)

(2 00 5

)(y1

y2

)= 2x1 y1 +5x2 y2 = u • v

Recordar que el producto de matrices es distributivo y lineal.Que el producto de números reales es conmutativo.Que siempre, la suma de positivos es positiva

u •u = 2x21 +5x2

2 ≥ 0

Y finalmente que, los positivos sólo se anulan cuando son cero

u •u = 2x21 +5x2

2 = 0 ⇐⇒ x1 = 0 = x2

Así, dados números reales positivos a1, . . . , an ∈R+. En V =Rn se tiene que

Lema 2. El producto definido por u • v = a1x1 y1 +·· ·+an xn yn es escalar.

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Demostración: Basta razonar que

(x1, . . . , xn)

a1 . . . 0... . . . ...0 . . . an

y1

...y2

= a1x1 y1 +·· ·+an xn yn = u • v �

En particular, en V =Rn , con la matriz identidad

Definición 2. Se define el producto escalar usual o estandar como

u • v = x1 y1 +·· ·+xn yn = (x1, . . . , xn)

1 . . . 0... . . . ...0 . . . 1

y1

...y2

Dado un esp. vect. real, V , y < , >: V ×V → R un producto escalar

Definición 3. Decimos que (V ,< , >) define un espacio vectorial euclídeo.

Ejemplo 2. En el esp. vect. de todos los polinomios reales de grado menoro igual que n, ∀p(x), q(x) ∈ Poln(R), el producto definido por

< p(x), q(x) > =∫ 1

0p(x)q(x)d x

es un producto escalar ya que por las propiedades (aditiva y lineal) de laintegral definida este producto es distributivo y lineal.Como el producto de polinomios es conmutativo también lo es este producto.

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Finalmente, por la interpretación geométrica de la integral definida como elárea (con signo) sustentada entre la curva y el eje x. Se tiene que

< p(x), p(x) > =∫ 1

0p(x)2d x ≥ 0

ya que la gráfica de la función y = p(x)2 está sobre el eje x.Además, su área es cero sólo cuando coincida con el eje x.O sea, cuando p(x)2 = 0 en cuyo caso p(x) = 01

Ejemplo 3. En el esp. vect. de las matrices cuadradas reales, ∀A,B ∈Mn(R), el producto definido por

< A, B > = tr (AB t ) =n∑

i , j=1ai j bi j

es un producto escalar por la distributiva del producto de matrices, porque

< A, B > = tr (AB t ) =n∑

i , j=1ai j bi j =

n∑j ,i=1

bi j ai j = tr (B At ) = < B , A >

Por ejemplo, para las matrices A = (1 11 1

)y B = (

1 −11 −1

)tr (AB t ) = tr

(2 −22 −2

)= 2−2 = 0 = tr

(0 00 0

)= tr (B At )

y porque < A, A > = tr (A At ) =∑ni , j=1 a2

i j > 0 salvo que A = 0.

1Por reducción al absurdo, basta considerar el coeficiente líder.

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2. MATRICES MÉTRICAS O DE GRAM.

Sea (V ,< , >) un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita y B = {u1, . . . ,un}una base de V . A los productos escalares, de los vectores de la base

Definición 4. Los denotamos por gi j =< ui , u j >∈R.Llamamos matriz de Gram o métrica2 a la matriz G = (gi j ).

Por la propiedad conmutativa del producto escalar, se tiene

gi j = ui •u j = u j •ui = g j i

Lema 3. Toda matriz métrica es una matriz simétrica real.

Ejemplo 4. En R2, con el producto escalar usual y para la base B = {u1,u2},con u1 = (1,1), u2 = (1,2) se tiene

G =(1 11 2

)(1 11 2

)=

(u1 •u1 u1 •u2

u2 •u1 u2 •u2

)=

(2 33 5

)O sea, G = P t P , donde P = (

1 11 2

)Un ejemplo con producto escalar no usual es

2del esp. euclídeo respecto de la base B

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Ejemplo 5. En el esp. vect., Pol1(R), con el producto definido en el Ej. 2Para la base de monomios estandar B = {1, x} se tiene

< 1, 1 > =∫ 1

0d x = x

]1

0= 1, < 1, x > =

∫ 1

0xd x = x2

2

]1

0= 1

2= 0.5

< x, x > =∫ 1

0x2d x = x3

3

]1

0= 1

3= 0.3

Luego, su matriz de Gram es G =(

1 0.50.5 0.3

)

Si X =( x1

...xn

), Y =

( y1

...yn

)son dos vectores, referidos a la base B = {u1, . . . ,un}.

Por las propiedades distributiva y lineal de un producto escalar, se tiene

x•y = (x1u1+·· ·+xnun)•(y1u1+·· ·+ynun) =n∑

i , j=1xi y j (ui•u j ) =

n∑i , j=1

xi y j gi j

escrito matricialmente

x • y = (x1, . . . , xn)

g11 . . . g1n... . . . ...

gn1 . . . gnn

y1

...yn

= X tGY

A x • y = X tGY la llamamos la expresión matricial del producto escalar.

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Ejemplo 6. Para Pol1(R), con el producto definido en el Ej. 2, se tiene

x • y = X tGY = (x1, x2)

(1 0.5

0.5 0.3

)(y1

y2

)= x1 y1 +0.5x1 y2 +0.5x2 y1 +0.3x2 y2

Dada una matriz simétrica real, G , de orden n, decimos que

Definición 5. G es semidefinida positiva3 si X tG X ≥ 0, para todo X ∈Rn .

Definición 6. G es definida positiva (d.p.) si X tG X > 0, ∀X ∈Rn − {0}.

Por definición, toda matriz métrica G es definida positiva.Recíprocamente, por las propiedades de la aritmética, toda matriz d.p. defineun producto escalar x • y = X tGY . Por tanto

Lema 4. Una matriz es d.p. si y sólo si es una matriz métrica.

3. CONGRUENCIA DE MATRICES.

Pero puede haber muchas matrices d.p. correspondientes al mismo producto.Así, si tenemos un producto escalar y dos bases B y B ′ de Rn , tenemos unasecuaciones del cambio de base X = P X ′ y dos matrices métricas asociadas

x • y = X tGY = X ′tG ′Y ′

3Algunos autores la llaman definida no negativa.

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pero entonces

x • y = X tGY = (P X ′)tG(PY ′) = X ′t (P tGP )Y ′

de donde G ′ = P tGP . Como el recíproco es inmediato, tenemos

Lema 5. G ′ y G definen el mismo producto si y sólo si G ′ = P tGP .

Dadas dos matrices cuadradas decimos que

Definición 7. G y G ′ son congruentes si existe P regular tal que G ′ = P tGP .

Por tanto, G ′ y G definen el mismo producto si y sólo si son congruentes.Y existen infinitas matrices d.p. que definen el mismo producto escalar.

En realidad, veremos que esencialmente toda matriz d.p. corresponde alproducto escalar usual. O sea, que siempre existe T regular tal que G = T t T .

Si T es una matriz triangular superior con todos los elementos de su diagonalprincipal positivos. La descomposición anterior es única4 y la llamamos

Definición 8. G = T t T es la descomposición de Cholesky de G .

4Si T t1 T1 = T t

2 T2 ⇐⇒ (T1T −12 )t = T2T −1

1 pero T1T −12 = (T2T −1

1 )−1 es triangular superiorcon elementos en la diagonal positivos, lo mismo que T2T −1

1 . Finalmente, (T1T −12 )t será

triangular inferior y por tanto (T1T −12 )t = T2T −1

1 = I y por tanto la unicidad T1 = T2.

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Ejemplo 7. Para Pol1(R), con el producto definido en el Ej. 2, para la basede monomios estandar B = {1, x} su matriz de Gram era

G =(

1 1/21/2 1/3

)pero para la base B ′ = {1,

p3(2x −1)} su matriz métrica es G ′ = I ya que

g ′11 =

∫ 1

0d x = 1, g ′

12 =∫ 1

0

p3(2x −1)d x = 0, g ′

22 =∫ 1

03(2x −1)2d x = 1

Como la matriz del cambio de B ′ a B es P =(

1 −p30 2

p3

)se tiene la congruencia(

1 00 1

)= I =G ′ = P tGP =

(1 0

−p3 2p

3

)(1 1/2

1/2 1/3

)(1 −p30 2

p3

)si despejamos la matriz inicial, obtenemos G = (P t )−1P−1 = T t T . O sea

G =(

1 1/21/2 1/3

)=

(1 0

−p3 2p

3

)−1 (1 −p30 2

p3

)−1

=(

1 01/2 1/(2

p3)

)(1 1/20 1/(2

p3)

)donde T =

(1 1/20 1/(2

p3)

)y G = T t T es la descomposición de cholesky de G .

Como en el ejemplo, veremos que para toda matriz G d.p. se tiene queG = T t T ⇐⇒ P tGP = I con P = T −1. O sea, existe una base respecto a lacual la matriz de la métrica es la identidad. Así, definimos

Definición 9. G es diagonalizable por congruencia si ∃P tal que I = P tGP .

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4. MATRICES GRAMMIANAS.

Dada una matriz rectangular real arbitraria

A =

a11 . . . a1n... . . . ...

am1 . . . amn

podemos calcular el producto escalar usual, ci • c j , de sus columnas. Así

Definición 10. Llamamos matriz grammiana de A al producto

At A =

c1 • c1 . . . c1 • cn... . . . ...

cn • c1 . . . cn • cn

=G

A veces, se dice que G es la grammiana5 de los vectores c1, . . . ,cn .

Una grammiana no cambia el espacio nulo de la matriz. O sea,

Lema 6. N (A) = N (At A) para toda matriz, A ∈ Mmxn(R).

Demostración: Dado un vector X =( x1

...xn

)claramente se tiene que AX = 0

implica que At AX = 0.

5Respecto del producto escalar usual.

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Recíprocamente, si At AX = 0, llamando Y = AX =( y1

...yn

), se tiene que

y21 +·· ·+ y2

n = Y t Y = X t At AX = 0 =⇒ y1 = ·· · = yn = 0

Por tanto, AX = Y = 0 y los dos espacios nulos coinciden. �

Como la dimensión de un espacio nulo mas la dimensión del espacio decolumnas suman n, para cualquier matriz A ∈ Mmxn(R), se tiene que

di m(C (A)) = n −di m(N (A)) = n −di m(N (At A)) = di m(C (At A))

Como la dimensión del espacio de columnas coincide con el rango, se tiene

Lema 7. rango(A) = rango(At A).

Intercambiando los papeles de A y At , también tenemos

rango(At ) = rango(A At )

Por tanto, dada cualquier matriz A ∈ Mmxn(R), se tiene que

Teorema 1. rango(A At ) = rango(At ) = rango(A) = rango(At A).

Cuando consideramos grammianas de vectores arbitrarios {c1, . . . ,cn} ∈ Rm ,donde cada c j = (a1 j , . . . , am j ) son las columnas de la matriz

A =

a11 . . . a1n... . . . ...

am1 . . . amn

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y G = At A es su grammiana, hemos demostrado que

Corolario 1. rango(G) da el número de vectores l.i. en el conjunto {c1, . . . ,cn}.Por tanto, det(G) 6= 0 si, y sólo si {c1, . . . ,cn} son l.i. �

Este es un criterio general para comprobar la independencia.O sea, cuando una grammiana G = At A, cuadrada nxn, tiene rango n.Se tiene que n ≤ m y la matriz A es de rango pleno por columnas, (r.p.p.c.)

Además, una matriz grammiana siempre es semidefinida positiva ya que

X tG X = X t At AX = Y t Y = y21 +·· ·+ y2

n ≥ 0

Además, como Y t Y = X t At AX = 0 implica Y = AX = 0.Si los vectores columnas de A son l.i. entonces X = 0.O sea, dada una matriz grammiana G = At A, hemos demostrado que

Corolario 2. det(G) 6= 0 ⇐⇒ A es de r.p.p.c. ⇐⇒G es d.p.6 �

Aunque A no sea de rango pleno. Se tienen consecuencias interesantes.Claramente, para todo X ∈Rn , At AX ∈C (At ). Por tanto, C (At A) ⊆C (At )

Por el teorema 1, di m(C (At A)) = di m(C (At ))y los dos subespacios de columnas son iguales

C (At A)) =C (At )

6Veremos el recíproco, si G es d.p. entonces existe A tal que G = At A y det(G) > 0

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Así, dada cualquier matriz A ∈ Mmxn(R) y cualquier vector B ∈Rn , se tiene

Corolario 3. El sistema lineal de ecuaciones At AX = At B es compatible. �

Ejemplo 8. El s.l. de ecuaciones

x + y + 5z + t = 12x − y + 3z − 2t = 1

3x + 4z − t = 1

es incompatible ya que los rangos de sus matrices

A =1 1 1 1

2 −1 3 −23 0 4 −1

, (A|B) =1 1 1 1 1

2 −1 3 −2 13 0 4 −1 1

son 2 y 3 respectivamente.Sin embargo, el sistema At AX = At B , tiene por matrices

At A =

14 −1 19 −6−1 2 −2 319 −2 26 −9−6 3 −9 6

, (At A|At B) =

14 −1 19 −6 6−1 2 −2 3 019 −2 26 −9 8−6 3 −9 6 −2

con el mismo rango 2. Por tanto, este sistema es compatible indeterminadocon infinitas soluciones dependiendo de dos parámetros

(x, y, z, t ) = (λ, µ,2

5− 4λ

5,

4

15− λ

5− 4µ

5)

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5. NORMA DE UN VECTOR.

Definición 11. Dado (V ,•) un espacio vectorial euclídeo y u ∈V .Como u•u ≥ 0, llamamos norma o módulo de u al número real no negativo

‖u‖ =pu •u

Ejemplo 9. En V =Rn , con el producto escalar usual, se tiene

‖(x1, . . . , xn)‖ =√

x21 +·· ·+x2

n

Así, para a ∈R, su norma usual coincide con su valor absoluto, denotado

|a| ={

a, Si a ≥ 0−a, Caso contrario

Por la definición de producto escalar, se obtienen de forma inmediata las

Lema 8. [Propiedades de la norma]

1) ‖u‖ ≥ 02) ‖u‖ = 0 ⇐⇒ u = 03) ‖λu‖ = |λ|‖u‖

Ejemplo 10. En el esp. vect. euclídeo del ejemplo 2.Dado un polinomio arbitrario p(x) ∈ Poln(R), su norma es

‖p(x)‖ =√∫ 1

0p(x)2d x

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Definición 12. Decimos que u es un vector unitario si ‖u‖ = 1.

Siempre podemos obtener un vector unitario, a partir de uno arbitrario∥∥∥∥ u

‖u‖∥∥∥∥= 1

‖u‖‖u‖ = 1

Dado (V ,•), ∀u, v ∈V se verifican ciertas desigualdades, la primera es

Teorema 2. [Desigualdad de Cauchy-Bunyakowski-Schwartz]

|u • v | < ‖u‖‖v‖Salvo que u =λv . O uno de ellos sea cero. En cuyo caso, |u • v | = ‖u‖‖v‖.

Demostración: Claramente, si v = 0 o u = 0 o u =λv se verifica la igualdad.Si v 6= 0, entonces ‖v‖2 = v • v > 0.Además, para todo λ ∈R, por la definición de producto escalar, se tiene

u •u −2λ(u • v)+λ2(v • v) = (u −λv)• (u −λv) > 0

Salvo que u −λv = 0 ⇐⇒ u =λv . Ahora, tomando λ= u•v‖v‖2

u •u −2(u • v)2

‖v‖2+ (u • v)2

‖v‖2= ‖u‖2 − (u • v)2

‖v‖2> 0

multiplicando por ‖v‖2 = v • v > 0, se obtiene

‖u‖2‖v‖2 − (u • v)2 > 0 ⇐⇒ (u • v)2 < ‖u‖2‖v‖2

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Finalmente, extrayendo raíces cuadradas positivas

|u • v | < ‖u‖‖v‖Ahora, usando esta desigualdad, se tiene

‖u + v‖2 = (u + v)• (u + v) = u •u +2(u • v)+ v • v =≤ ‖u‖2 +2|u • v |+‖v‖2 < ‖u‖2 +2‖u‖‖v‖+‖v‖2 = (‖u‖+‖v‖)2

De nuevo, extrayendo raíces cuadradas positivas, hemos demostrado la

Teorema 3. [Desigualdad triangular o de Minkowski]‖u + v‖ < ‖u‖+‖v‖

Salvo que u =λv . O uno de ellos sea cero. En cuyo caso, ‖u+v‖ = ‖u‖+‖v‖.

Un triangulo, en R2, se interpreta como la suma de dos vectores.Por tanto, sus longitudes deben satisfacer la desigualdad triangular. Así,tres lados que no satisfacen dicha desigualdad no pueden formar triángulo7.

Con el producto escalar usual, se tiene para todo a1, . . . , an ,b1, . . . ,bn ∈R|a1b1 +·· ·+anbn | ≤

√a2

1 +·· ·+a2n

√b2

1 +·· ·+b2n√

(a1 +b1)2 +·· ·+ (an +bn)2 ≤√

a21 +·· ·+a2

n +√

b21 +·· ·+b2

n

7Por ejemplo, 2, 3, 6 no forman triángulo. Tampoco 2, 3, 5.Tampoco pueden estar alineados tres puntos si ‖u + v‖ 6= ‖u‖+‖v‖.

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5.1. Aplicaciones estadísticas. Si se miden dos características (variables)en una muestra de n objetos, se obtienen dos series de números reales {x1, . . . , xn}y {y1, . . . , yn} que se pueden considerar como vectores de Rn

x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)

si se calculan sus medias x = (x1 + ·· · + xn)/n, y = (y1 + ·· · + yn)/n y seconsideran los vectores de sus desviaciones respecto de sus medias

u = x − x · 1 = (x1 − x, . . . , xn − x), v = y − y · 1 = (y1 − y , . . . , yn − y)

aplicando la desigualdad de Cauchy-Bunyakowski-Schwartz, se obtiene(∑i

(xi − x)(yi − y)

)2

= (u · v)2 ≤ ‖u‖2‖v‖2 =∑i

(xi − x)2∑

i(yi − y)2

equivalentemente

r 2 =(∑

i (xi − x)(yi − y))2∑

i (xi − x)2 ∑i (yi − y)2

≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ r ≤ 1

donde

−1 ≤ r = u

‖u‖ ·v

‖v‖ = 1

n

n∑1

(xi − x)(yi − y)

σ1σ2= 1

n −1

n∑1

(xi − x)(yi − y)

s1s2≤ 1

es llamado el coeficiente de correlación de Pearson. Cuando se miden másde dos, se usan subíndices, r12, para denotar las variables que se correlacio-nan. Claramente, ri j = r j i , ri i = 1 y se obtiene la matriz de correlación.

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Como el caso límite de la desigualdad de Cauchy (la igualdad) se da cuandouno de los vectores es cero u = 0 o bien cuando uno es múltiplo del otrou =λv . En ambos casos, el coeficiente de correlación de Pearson vale ±1.

Por tanto, si el coeficiente de correlación de dos variables está cercano a -1o 1, ambas variables después de restar sus medias están próximas a ser unamúltiplo de la otra y se dice que están correlacionas. Aunque

Si en la fórmula del coeficiente de Pearson, eliminamos los denominadoresde las cuasivarianzas, se obtienen las covarianzas muestrales

si j = 1

n −1

n∑1

(xi − x)(yi − y) = 1

n −1u · v = 1

n −1ut v

Así, restando sus medias, A = X − X , se obtiene la matriz de covarianzas

S = (si j ) = 1

n −1At A

Las covarianzas también son una medida de la dependencia entre variablespero al no estar normalizadas sus columnas (de A) no está acotado su valor.

Ejemplo 11. Si tenemos 2 variables, x, y , que se miden 4 veces según losvalores de la matriz y calculamos sus medias

X =

1 10 −21 10 −2

=⇒ (x, y) = (1

2, −1

2)

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Uniformizando las variables, podemos obtener la matriz de covarianzas

A = X −

1/2 −1/21/2 −1/21/2 −1/21/2 −1/2

= 1

2

1 3

−1 −31 3

−1 −3

=⇒ S = 1

3At A = 1

3

(1 33 9

)

Si ahora, normalizamos la matriz A, dividiendo por la norma de cada columna,‖u‖ = 1

2

√12 + (−1)2 +12 + (−1)2 = 1, ‖v‖ = 1

2

√32 + (−3)2 +32 + (−3)2 = 3,

obtenemos la matriz de correlaciones R (de Pearson)

Y = 1

2

1 1

−1 −11 1

−1 −1

=⇒ R = Y t Y =(1 11 1

)=

(1 11 1

)

donde observamos, r12 = 1, la total dependencia entre ambas variables8.También, observamos que las cuasivarianzas de las dos columnas son

s1 =ps11 = 1/

p3, s2 =p

s22 =p

9/3 =p3

Y la matriz estandarizada es(

xi − xi

si

)= 1

2

p

3 3/p

3−p3 −3/

p3p

3 3/p

3−p3 −3/

p3

=p

32

1 1

−1 −11 1

−1 −1

8En A, las columnas son proporcionales y los puntos pertenecen a la recta y− y = 3(x−x).

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Como en el ejemplo, cuando el coeficiente de correlación vale 1 o -1, setiene que |u ·v | = ‖u‖‖v‖ y por tanto o bien los vectores u = x − x, v = y − yson proporcionales, en cuyo caso se obtiene una recta, y − y = λ(x − x), dependiente λ. O bien, uno de ellos es cero, y se obtiene o una recta horizontalx − x = 0, o una vertical y − y = 0.

En cualquiera de los 3 casos, si dibujamos los valores medidos de x, y comopuntos de R2, todos ellos se encuentran sobre una recta9.

En general, r 2 < 1 y los puntos no caen en una recta, pero cuanto más próx-imo r esté a 1 o -1 más se aproximan los puntos a su recta de regresión.

El coeficiente de correlación de Pearson no es robusto ni resistente. No es ro-busto porque variables cuya dependencia sea no lineal no dan un coeficiente±1 o muy próximo a ±1. No es resistente porque puede dar valores cercanosa ±1 sin que exista una dependencia clara entre las variables.

Si se cambian los datos por sus rangos respectivos10 y se calcula el coefi-ciente de correlación para los nuevos valores, se obtiene un coeficiente ro-busto y resistente, llamado coeficiente de correlación de Spearman.

Por tanto, el coeficiente de Spearman es un caso particular del de Pearson yestá comprendido entre -1 y 1. En el ejemplo anterior, ambos valen 1.

9Que coincide con la recta de regresión de la nube de puntos.10En caso de que un dato se repita varias veces en su columna, se le asigna la media

aritmética de sus rangos a cada uno de ellos.

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6. CONCEPTO DE ÁNGULO. VECTORES ORTOGONALES

Dados u, v ∈V , de un esp. vect. euclídeo. Por la desigualdad de Schwartz

0 ≤ |u • v |‖u‖‖v‖ ≤ 1

equivalentemente, sin valores absolutos, se obtienen las desigualdades

−1 ≤ u • v

‖u‖‖v‖ ≤ 1

Como la función coseno, cos :R→ [−1,1] es sobreyectiva, ∃α ∈R tal que

cos(α) = u • v

‖u‖‖v‖Además, por las propiedades de la función coseno, ese número real α esúnico con la condición de que pertenezca al intervalo cerrado [0,π]. Así

Definición 13. A ese único α(u, v) ∈ [0,π], lo llamamos ángulo entre u y v.

Con esta definición, α(u, v) =α(v,u). Además, para cualquier producto

u • v = ‖u‖‖v‖cos(α)

y el producto escalar es negativo si, y sólo si su ángulo es obtuso (π2 ≤α≤π)

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Ejemplo 12. Dados u = (x1, . . . , xn), v = (y1, . . . , yn) ∈Rn , su ángulo11 es

α(u, v) = arccos

x1 y1 +·· ·+xn yn√x2

1 +·· ·+x2n

√y2

1 +·· ·+ y2n

Si llamamos ei = (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) al i -ésimo vector de la base canónica.Dado un vector arbitrario u = (x1, . . . , xn) ∈Rn

Definición 14. Llamamos i -ésimo coseno director de u a

cos(αi ) = cos(u,ei ) = u.ei

‖u‖ = xi√x2

1 +·· ·+x2n

O sea, es el coseno del ángulo entre u y el ei de la base canónica.

Dado u = (x1, . . . , xn), como para todo i , xi = ‖u‖cos(αi ), se tiene

u = ‖u‖ (cos(α1), . . . ,cos(αn)) =⇒‖ (cos(α1), . . . ,cos(αn))‖ = 1

cos(α1)2 +·· ·+cos(αn)2 = 1

Y el vector unitario de los cosenos directores que marca la dirección de uu

‖u‖ = (cos(α1), . . . ,cos(αn))

es llamado el normalizado de u (de norma uno).11Con la norma usual.

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Ejemplo 13. Dada la bisectriz del primer cuadrante, u = (1,1) ∈R2,el vector de sus cosenos directores es

u

‖u‖ = (cos(α),cos(α)) =(

1p2

,1p2

)Por tanto, el ángulo que forma con cualquiera de los ejes es α= 45◦.

Ejemplo 14. Dada la bisectriz del primer ortante, u = (1, . . . ,1) ∈Rn

u

‖u‖ = (cos(α), . . . ,cos(α)) =(

1pn

, . . . ,1pn

)Por tanto, el ángulo que forma con cualquiera de los ejes es α=ArcCos( 1p

n).

Para n = 3 es 54.7356◦, para n = 4 es 60◦, y en general tiende a 90◦.

Definición 15. Llamamos vector 1 o vector sumador a ese vector bisectriz

1 = 1n = e1 +·· ·+en = (1, . . . ,1) ∈Rn

Ya que, dado X = (x1, . . . , xn) ∈Rn , escribiendo por columnas, se tiene

1t X = x1 +·· ·+xn

El ángulo entre vectores es invariante a su escala, ya que si λ> 0

cos(α) = λ(u • v)

λ‖u‖‖v‖ = λu • v

‖λu‖‖v‖ = u •λv

‖u‖‖λv‖Lema 9. α(u, v) =α(λu, v) =α(u,λv), para todo u, v ∈Rn y λ ∈R+

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Definición 16. Decimos que dos vectores u, v son ortogonales12, u⊥v , sisu ángulo es α(u, v) = 90◦. Equivalentemente, si u •v = ‖u‖‖v‖cos(90◦) = 0

Como ‖u + v‖2 = (u + v)• (u + v) = u •u +2(u • v)+ v • v , se tiene

Teorema 4. [de Pitágoras]13 u⊥v ⇐⇒ ‖u + v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2

Así, con la norma usual, los vectores canónicos son ortogonales y unitarios

ei •e j = δi j ={

1 ·1 = 1 si i = j

0 ·1+1 ·0 = 0 Caso contrario

Definición 17. Decimos que una base es ortogonal si sus vectores son or-togonales. Decimos que es ortonormal si además son vectores unitarios.

La base canónica es una base ortonormal respecto al producto usual.Si (V ,•) es un esp. vect. euclídeo, y B = {u1, . . . ,un} es una base de V .Entonces, por la definicíón de su matriz G de Gram

1) B es ortogonal si, y sólo si su matriz G es diagonal.2) B es ortonormal si, y sólo si su matriz G = In es la identidad.

12Respecto a un producto escalar arbitrario.13Es cierto para cualquier dimensión y cualquier producto escalar.

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Las bases ortonormales son computacionalmente buenas, ya que se tiene

u • v = X t I Y = (x1, . . . , xn)

( y1

...yn

)= x1 y1 +·· ·+xn yn

O sea, el producto escalar se calcula como el producto usual de Rn .

Ejemplo 15. En R2, con el producto escalar usual, la base B = {(1,1), (1,−1)}es ortogonal pero no ortonormal. Como la norma de ambos vectores es

p2,{(

1p2

,1p2

),

(1p2

,− 1p2

)}sus normalizados si forman una base ortonormal.

7. COEFICIENTES DE FOURIER. ORTONORMALIZACIÓN.

En (V ,•), dada una base ortonormal, B = {u1, . . . ,un}, y un vector arbitrariou =λ1u1 +·· ·+λnun , como los coeficientes, λi ∈R, son únicos se tiene

u j •u = u j • (λ1u1 +·· ·+λnun) =λ1 ·0+·· ·+λ j (u j •u j )+·· ·+λn ·0 =λ j

Así, para todo vector se verifica la igualdad u = (u1 •u)u1 +·· ·+ (un •u)un

Definición 18. Llamamos coeficientes de Fourier de un vector u, respectode una base ortonormal, a los productos λ j = u j •u, para j = 1, . . . ,n.

La expansión o igualdad de Fourier es u = (u1 •u)u1 +·· ·+ (un •u)un .

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Si la base es sólo ortogonal, los coeficientes de Fourier son λ j = u j •u‖u j ‖ .

Si ahora calculamos la norma al cuadrado de u =λ1u1 +·· ·+λnun

‖u‖2 = u •u =λ21(u1 •u1)+·· ·+λ2

n(un •un) =λ21 +·· ·+λ2

n

obtenemos la llamada identidad de Parseval14

Ejemplo 16. En R2, con el producto escalar usual, y la base B = {(1,1), (1,−1)}ortogonal. El vector u = (2,3) se expresa de la forma

u = 5p2

(1,1)+ 1p2

(1,−1) = 5p2

u1 + 1p2

u2

Si ahora tenemos dos bases B y B ′, por el lema 5, sus matrices de Gram G ′ yG son congruentes. O sea, existe una matriz P regular tal que G ′ = P tGP .

Si además, ambas bases son ortonormales, se tiene G ′ =G = I . Por tanto

I =G ′ = P tGP = P t I P = P t P =⇒ P t = P−1

Definición 19. Decimos que P es una matriz ortogonal si P t = P−1.O sea, si su traspuesta coincide con su inversa.

Así, la matriz de cambio entre dos bases ortonormales es ortogonal.Además, si {u1, . . . ,uk } son vectores ortogonales (dos a dos) se tiene

λ1u1 +·· ·+λk uk = 0 =⇒ λi (ui •ui ) = 0•ui = 0 =⇒ λi = 0

14Demostrada en 1799, para series por Marc-Antoine Parseval.

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ya que ‖ui‖2 = ui •ui > 0. O sea, hemos demostrado

Lema 10. Un conjunto de vectores ortogonales es siempre l.i.

Dividiendo por su norma, los vectores ortogonales se pueden normalizar.Así, se obtienen vectores ortonormales que generan el mismo U = L(u1, . . . ,uk ).

Si los {u1, . . . ,uk } son ya ortonormales, todo vector x ∈Rn se puede proyectarsobre U = L(u1, . . . ,uk ), de la siguiente forma

Definición 20. Llamamos proyección de x sobre U a la expansión de Fourier,pU (x) = c1u1 +·· ·+ck uk , donde ci = x •ui para cada i .

Si normalizamos el vector sumador, 1n = (1, . . . ,1), obtenemos1n

‖1n‖= 1np

n=

(1pn

, . . . ,1pn

)Por tanto, para calcular la proyección de un vector x = (x1, . . . , xn) sobre 1n ,el coeficiente de Fourier es

c = x • 1npn= x1 +·· ·+xnp

n

Ejemplo 17. La proyección de un vector x sobre U = L(1n) es el vector

pU (x) = c1np

n= x1 +·· ·+xn

n1n = x1n = (x, . . . , x)

llamado el vector de la media aritmética, porque x = x1+···+xnn .

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Definición 21. Un vector x es ortogonal a U si x⊥u para todo u ∈U .

Si {u1, . . . ,uk } son ortonormales, y U = L(u1, . . . ,uk ). Entonces, para todo i

(x −pU (x))•ui = (x •ui )− ci (ui •ui ) = (x •ui )− ci = (x •ui )− (x •ui ) = 0

Así, (x −pU (x))⊥ui para todo vector x y todo i = 1, . . . ,k. Por tanto

Lema 11. (x −pU (x))⊥U para todo vector x. �

Dados {u1, . . . ,uk } ortonormales, y un vector x ∉ L(u1, . . . ,uk ),el vector x −pU (x) no es unitario. Si lo normalizamos

uk+1 =x −pU (x)

‖x −pU (x)‖lo podemos añadir al conjunto para obtener {u1, . . . ,uk ,uk+1} ortonormales.

Definición 22. Lo llamamos una transformación de Gram-Schmidt.

Partiendo de un único vector u1 6= 0, este es un proceso de ampliación queacaba encontrando una base ortonormal en n pasos.

Dado (V ,•) un esp. vect. euclídeo, se puede aplicar el proceso partiendo decualquier base, con n transformaciones de Gram-Schmidt.

Teorema 5. [de Gram-Schmidt]Cualquier base se puede transformar en una ortonormal.

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Ejemplo 18. Para V = Pol1(R), con el producto definido en el Ej. 2, para labase de monomios estandar B = {1, x} su matriz de Gram era

G =(

1 1/21/2 1/3

)Vamos a hallar una base ortonormal de V , partiendo de B en dos pasos15.La primera transformación de Gram-Schmidt ya está hecha porque

‖u1‖2 = u1 •u1 = (1,0)

(1 1/2

1/2 1/3

)(10

)= 1

O sea, ‖u1‖ = 1 y el primer vector, v1 = u1, está normalizado.

El segundo vector u2 = (0,1), lo proyectamos sobre el primero calculando sucoeficiente de Fourier y restando v = u2 −pu1 (u2) = u2 − cu1

c = u2 •u1 = (0,1)

(1 1/2

1/2 1/3

)(10

)= (0,1)

(1

1/2

)= 1/2

v = u2 − cu1 = (0,1)−1/2(1,0) = (−1/2,1)

como ‖v‖2 = v • v = (−1/2,1)

(1 1/2

1/2 1/3

)(−1/21

)= (−1/2,1)

(0

1/12

)= 1/12

La segunda transformación de Gram-Schmidt es

v2 = v

‖v‖ =p12(−1

2,1) = (−p3,2

p3)

15Porque la dimensión es 2.

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Por tanto, la matriz de cambio a la nueva base {(1,0), (−p3,2p

3)} es

P =(1 −p30 2

p3

)Con polinomios, la nueva base ortonormal es B ′ = {1,

p3(2x −1)}.

Ahora, si T = P−1, entonces P tGP = I ⇐⇒G = (P t )−1P−1 = T t T .

El proceso del ejemplo es completamente general. De forma que se tiene

Corolario 4. [de Choleski]Cualquier matriz d.p., G , tiene una descomposición de Cholesky y |G| > 0.

Demostración: Por Gram-Schmidt, basta hallar una nueva base ortonormal.Su matriz de cambio por columnas, P , es triangular superior. Su diagonalprincipal son reales positivos16. Y P tGP = I ⇒G = T t T ⇒|G| = |T |2 > 0.

Ejemplo 19. Dada la matriz A =1 1

0 20 1

Vamos a hallar la descomposición de Cholesky de su grammiana At A.Como el rango de A es 2, sus dos columnas son l.i.

Por 2, su matriz grammiana, G = At A =(1 11 6

), es d.p. y define una métrica.

16Lo asegura el proceso de Gram-Schmidt aplicado a la base canónica.

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Así, el proceso de Gram-Schmidt, aplicado a la base canónica, tiene elprimer vector, v1 = e1, ya normalizado porque

‖e1‖2 = e1 •e1 = (1,0)

(1 11 6

)(10

)= 1

El segundo vector e2 = (0,1), lo proyectamos sobre el primero calculando sucoeficiente de Fourier y restando v = e2 −pe1 (e2) = e2 − ce1

c = e2 •e1 = (0,1)

(1 11 6

)(10

)= (0,1)

(11

)= 1

v = e2 − ce1 = (0,1)− (1,0) = (−1,1)

como ‖v‖2 = v • v = (−1,1)

(1 11 6

)(−11

)= (−1,1)

(05

)= 5

La segunda transformación de Gram-Schmidt es

v2 = v

‖v‖ = 1p5

(−1,1) = (− 1p5

,1p5

)

Por tanto, la matriz de cambio a la nueva base P =(

1 − 1p5

0 1p5

)y ya tenemos

P tGP = I =⇒ G = (P t )−1P−1, la descomposicón de Cholesky. O sea

G =(1 11 6

)=

(1 0

− 1p5

1p5

)−1 (1 − 1p

50 1p

5

)−1

=(1 01

p5

)(1 10

p5

)

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8. ALGORITMOS DE GRAM-SCHMIDT.

Una regla empírica dice que el método mas claro o simple en teoría no es elmas directo o eficiente para calcularlo.

Esta regla se cumple en alguna medida para el proceso de Gram-Schimdt yde forma absoluta para la descomposición de Cholesky.

Así, para ortonormalizar un conjunto de vectores {u1, . . . ,um} ∈ Rn , en unciclo de m iteraciones, se puede hacer con dos algoritmos17.

Gram-Schimdt clásico: en la iteración i , se proyecta ui sobre el subespaciogenerado por los anteriores, se le resta su proyección y se normaliza.

Gram-Schimdt modificado: en la iteración i , se actualizan todos los vec-tores. Primero se normaliza el i -ésimo. Después, se actualizan los demás,proyectandolos sobre éste y restándoles su proyección.

Teóricamente, deben dar la misma salida. Cierto para artiméticas exactas18.Pero no cuando se usa arimética real en coma flotante (con punto decimal).

Aquí, el modificado es menos sensible a errores de redondeo que el clásico.Donde la diferencia se muestra es cuando los vectores ui son casi paralelos.

17Para n ≥ 3, las salidas dan diferentes vectores l.i.18Como la racional o cuando se usan radicales

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Si ui = u +εei , con ε ∈R pequeño, la salida del clásico puede ser errónea.Mientras que la salida del algoritmo modificado suele ser correcta.

Por ejemplo, para el input (1,10−6,10−6), (1,10−6,0), (1,0,10−6), cuando seusa coma flotante, el clásico da error en el tercer vector y el modificado no.

Ejemplo 20. Para las columnas de la matriz A =1 1 2

0 1 00 1 1

usando coma flotante, los dos primeros vectores, para ambos, son iguales.

El tercer vector de la base ortonormal para el clásico es

(0.707107,−1.39452∗10−31,−0.707107)

mientras que es (0.707107,−9.42055∗10−16,−0.707107) en el modificado.El error en la segunda coordenada es menor para el modificado19.

9. ALGORITMO DE CHOLESKY.

Toda matriz d.p., G , tiene una descomposición de Cholesky (única).Pero la forma de demostrarlo mediante ortonormalización, de la base canónicasegún la métrica definida por G , no es eficiente20.

19En ambos, esta segunda coordenada es un error de redondeo.20En particular, requiere el cálculo de una matriz inversa.

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Además, las matrices semidefinidas positivas también tienen una descom-posición de Cholesky aunque no definen una métrica.

Como un producto T t T con T triangular superior es muy simple de calculary permite inducción sobre el orden n de T . Permite un algoritmo directo,para hallar la descomposición de Cholesky de una matriz simétrica G = (ai j ).

1) Definimos t11 =pa11.

2) Actualizo la primera fila, t1 j = a1 j

t11para todo j = 2, . . . ,n.

3) Para cada i = 2, . . . ,n, ti i =√

ai i −∑i−1k=1 t 2

ki y para cada j = i +1, . . . ,n

ti j =ai j −∑i−1

k=1 tki tk j

ti i

Ejemplo 21. Dada la matriz A =1 1

0 20 1

vamos a hallar la descomposición

de Cholesky de su grammiana con el algoritmo anterior.

Su grammiana es G = At A =(1 11 6

). En primer lugar, t11 =p

1 = 1 y t12 =11 = 1. Finalmente, t22 =

√6− t 2

12 =p5. Como t21 = 0. Su descomposición

es

G =(1 11 6

)=

(1 01

p5

)(1 10

p5

)

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10. DESCOMPOSICIÓN QR DE UNA MATRIZ.

Dada una matriz A =

a11 . . . a1n... . . . ...

am1 . . . amn

se puede ampliar una base de su

espacio de columnas C (A) = L(c1, . . . ,cn) ⊆∈Rm hasta una base de Rm .

Esta base se puede ortonormalizar por el proceso de de Gram-Schmidt paraobtener una nueva base B1 = {u1, . . . ,um} ortonormal de Rm .

Escritas por columnas las coordenadas de estos ui nos definen una matriz Qortogonal21, que nos da el cambio de base desde la canónica B = {e1, . . . ,em}hasta B1. O sea, tenemos unas ecuaciones de cambio de base

X =

x1...

xm

=

q11 . . . q1m... . . . ...

qm1 . . . qmm

y1

...ym

=QY

donde X son las coordenadas respecto de la canónica B e Y respecto de B1.

Por tanto, podemos transformar nuestra matriz original (que está referida ala canónica) con esta matriz de cambio. Ya que se tiene el producto

R =Q t A ⇐⇒ A =QR

21O sea, Q t =Q−1, ya que el producto por su traspuesta es la identidad.

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donde R es una matriz triangular superior (siempre se obtiene cuando ortonor-malizamos) y Q es ortogonal. Una fatorización de este tipo es

Definición 23. A =QR es llamada una descomposición QR de A.

Ejemplo 22. Para transformar la matriz A =(3 5 66 1 5

)vamos a usar una

ortonormalización de una base ampliada de su espacio de columnas.

Comprobamos que sus dos primeras columnas c1 = (3,6), c2 = (5,1) son l.i.y le aplicamos el proceso de Gram-Schmidt.

Como la dimensión es 2, coinciden el clásico y el modificado y ambos danlos mismos dos vectores. Primero normalizo c1

col1 = c1

‖c1‖ = (0.447214,0.894427)

y luego

col2 = c2− (c2.col1)∗ col1

‖c2− (c2.col1)∗ col1‖ = (0.894427,−0.447214)

Estos dos vectores, por columnas nos definen una matriz ortogonal de cam-bio de base, que da la descomposición QR de A:

A =(3 5 66 1 5

)=

(0.447214 0.8944270.894427 −0.447214

)(6.7082 3.1305 7.15542

0 4.02492 3.1305

)

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11. COMPLEMENTO ORTOGONAL.

Por la definición 21, dado un subesp. vect. U = L(u1, . . . ,uk ) y x ∈Rn

x⊥U ⇐⇒ x⊥u, ∀u ∈U ⇐⇒ x⊥ui ⇐⇒ x •ui = 0, ∀i = 1, . . . ,k

En general, si (V ,< , >) es un esp. vect. euclídeo de dimensión finita, U ⊆Vy tenemos dos vectores x, y ∈V tales que x⊥U , x⊥U . Entonces,

(λx +µy)•u =λ(x •u)+µ(y •u) =λ0+µ0 = 0

O sea, {x ∈V : x⊥U } = {x ∈V : x •u = 0, ∀u ∈U } es un subesp. vect. de V .

Definición 24. Lo denotamos U⊥ = {x ∈V : x⊥U } y lo llamamos el subesp.o complemento ortogonal de U .

Si U = L(u1, . . . ,uk ) y los {u1, . . . ,uk } son ortonormales, por el lema 10, pode-mos ampliar hasta una base ortonormal de V , B = {u1, . . . ,uk ,uk+1, . . . ,un}.

Entonces, ∀x ∈U⊥, los k primeros coeficientes de Fourier son cero

x = c1u1 +·· ·+ck uk + ck+1uk+a +·· ·+cnun =⇒ x •ui = ci = 0, ∀i = 1, . . . ,k

O sea, se tiene x = ck+1uk+a +·· ·+cnun ∈ L(uk+1, . . . ,un). Por tanto,

U⊥ = L(uk+1, . . . ,un) =⇒ di m(U⊥) = n −k

y además, U ∩U⊥ = {0}. O sea, hemos demostrado, ∀U ⊆V subesp. vect.

Teorema 6. di m(V ) = di m(U )+di m(U⊥) ⇐⇒ V =U ⊕U⊥.

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Si los {u1, . . . ,uk } son l.i., podemos escribir de forma inmediata unas e.c. delcomplemento ortogonal de U = L(u1, . . . ,uk ).

x ∈U⊥ ⇐⇒

x •u1 = 0

...x •uk = 0

En particular, si U = L(u1), entonces U⊥ es un hiperplano22.

Ejemplo 23. En R3, con el producto escalar usual, dado U = L(u), conu = (1,1,1), su complemento ortogonal es el plano

U⊥ = {(x, y, z) ∈R3 : x + y + z = 0

}Ejemplo 24. En R3, con el producto escalar usual, dado U = L(u1,u2), conu1 = (1,1,1), u2 = (1,0,1), su complemento ortogonal es la recta

U⊥ ={

(x, y, z) ∈R3 :x + y + z = 0

x + z = 0

}Si los {u1, . . . ,uk } son ortonormales, todo vector, x ∈ Rn , se proyecta sobreU = L(u1, . . . ,uk ), en el vector pU (x) = c1u1 +·· ·+ck uk , donde ci = x •ui

23.

Por el lema 11, se tiene (x −pU (x))⊥U . O sea, x −pU (x) ∈U⊥.Además, para todo u ∈U , se tiene u −pU (x) ∈U .

22Que pasa por el origen.23Son los coeficientes de Fourier.

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Entonces, por el teorema 4 (de Pitágoras) se tiene

‖x−u‖2 = ‖(x−pU (x))+(pU (x)−u)‖2 = ‖x−pU (x)‖2+‖pU (x)−u‖2 ≥ ‖x−pU (x)‖2

y la igualdad se da si, y sólo si pU (x)−u = 0 ⇐⇒ u = pU (x).O sea, hemos demostrado el

Teorema 7. [de la mejor aproximación]u = pU (x) ∈U es el único vector que hace mínimo el valor ‖x −u‖, ∀u ∈U .

Si consideramos ahora, un s.l. de ecuaciones, con coeficientes realesa11x1 +·· ·+a1n xn = b1

...am1x1 +·· ·+amn xn = bm

matricialmente, A ·X = B , donde A = (ai j ) es su matriz y

C (A) = {AX ∈Rm : x ∈Rn}

es su espacio de columnas. Por el teorema de Rouché-Frobenius, sabemosque el s.l. es compatible si, y sólo si B ∈C (A).

Para Rn con el producto escalar usual, decimos que tenemos

Definición 25. Una solución mínimo cuadrática (s.m.c.)24 del s.l., AX =B , es un vector X ∈Rn que hace mínimo el valor ‖B − AX ‖.

24El nombre viene de la norma usual en Rn .

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Claramente, si AX = B es compatible, cada solución X ∈ Rn del s.l. es unasolución mínimo cuadrática ya que verifica ‖B − AX ‖ = 0.

Si B ∉ C(A), el s.l. es incompatible. En este caso, por las propiedades de lanorma, para todo X ∈Rn se tiene ‖B − AX ‖ > 0.

Ahora, por el teorema de la mejor aproximación, el valor ‖AX −B‖ serámínimo cuando AX = pC (A)(B) ⇐⇒ B − AX⊥C (A). Equivalentemente

B − AX⊥C (A) ⇐⇒ AY • (B − AX ) = 0, ∀Y ∈Rn

⇐⇒ Y t At (B − AX ) = 0, ∀Y ∈Rn

⇐⇒ Y t At B = Y t At AX , ∀Y ∈Rn

⇐⇒ At AX = At B

Pero por el corolario 3, el s.l. asociado At AX = At B es compatible. Además,si A es de r.p.p.c., por el corolario 2, At AX = At B es de Cramer. Así,

Teorema 8. Las soluciones mínimo cuadráticas de AX = B , coinciden conlas soluciones de At AX = At B . Si A es de r.p.p.c., existe una única s.m.c.

En particular, el teorema se aplica para s.l. de rango pleno por columnas(r.p.p.c.), cuyo caso interesante es cuando AX = B es incompatible25.

25Si es de r.p.p.c. tiene inversa lateral AL A = (At A)−1 At A = In . Si además, AX = B escompatible, ALB = AL AX = X y tiene solución única. O sea, es de Cramer.

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Por el contrario, cuando A es de rango pleno por filas (r.p.p.f.), se tienem ≤ n, rango(A) = m, y el rango de la matriz ampliada también es m.

Por el teorema de Rouché-Frobenius, el s.l. AX = B es compatible. Además,existe inversa lateral por la derecha, denotada AR = At (A At )−1 ya que

A AR = A At (A At )−1 = Im

y el vector AR B es una solución del sistema, A(AR B) = B .Además, si X es otra solución, se tiene

AX = B = A(AR B) ⇐⇒ A(X − AR B) = 0 ⇐⇒ Y = X − AR B ∈ N (A)

Así pues, X = AR B +Y para cierto Y ∈ N (A). Por tanto,

‖X ‖2 = (AR B +Y )• (AR B +Y ) = ‖AR B‖2 +2(AR B •Y )+‖Y ‖2

Como AY = A(X − AR B) = 0, el producto escalar

AR B •Y = Y • AR B = Y t AR B = Y t At (A At )−1B = (AY )t (A At )−1B = 0

también se anula, y hemos demostrado que

‖X ‖2 = (AR B +Y )• (AR B +Y ) = ‖AR B‖2 +‖Y ‖2 ≥ ‖AR B‖2

Lema 12. Si A es de r.p.p.f., el s.l. AX = B es compatible y AR B es lasolución de norma mínima.

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Ejemplo 25. El s.l.{

x1 +x2 +x3 = 1x1 −x2 +3x3 = 1

es compatible indeterminado porque rango(A) = 2 = rango(A|B) < 3.Por tanto, tiene infinitas soluciones, una de ellas es la de norma mínima.

Como es de r.p.p.f., calculamos su inversa lateral por la derecha AR = At (A At )−1

AR =1 1

1 −11 3

(3 33 11

)−1

=1 1

1 −11 3

( 1124 −1

8−1

818

)=

1/3 07/12 −1/41/12 1/4

Para hallar la solución de norma mínima, la multiplicamos por la columnade términos independientes

AR B = 1

3 07

12 −14

112

14

(11

)=

1/31/31/3

Para hallar la norma mínima de una solución, se calcula su norma

‖AR B‖ = ‖(1

3,

1

3,

1

3)‖ =

p3

3= 0.57735

Esta norma calculada es la distancia desde el origen de coordenadas (0,0,0)a nuestro subesp. vect. Que es la intersección de dos planos en R3.

O sea, la distancia calculada es la mínima desde el origen a la recta.Así, la llamamos distancia del origen a la recta.

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12. APÉNDICE 1: RECTAS DE REGRESIÓN

Una aplicación de los anteriores teoremas, es al cálculo de la llamada rectade regresión de Y sobre X , donde se busca una dependencia lineal del tipo

y = b +ax

entre dos conjuntos de datos x = {x1, . . . , xn}, e y = {y1, . . . , yn}. Lo que se

hace es considerar X =(

ba

)como incógnitas y los s.l. asociados

AX =

1 x1...

...1 xn

·(

ba

)=

y1...

yn

= B =⇒ At AX = At B

El primer sistema, AX = B usualmente será incompatible. Pero cuando Asea de rango 226, el segundo sistema, At AX = At B será de Cramer.

En ese caso, su solución única b, a ∈ R define una recta, y = b + ax, quegeométricamente está próxima a la nube de puntos (xi , yi ) y se llama rectade regresión de y sobre x.

Por el teo. 8, será una solución mínimo cuadrática del primer s.l. y por tanto‖AX −B‖ =

√∑ni=1 e2

i será mínimo, donde ei = b+axi − yi son los residuos.

26Basta con que dos medidas, xi 6= x j , sean diferentes y A es de r.p.p.c.

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También, por el teorema de la mejor aproximación, este valor mínimo sealcanza cuando AX = pC (A)(B). Por tanto, los coeficientes de la recta deregresión también se pueden hallar proyectando el vector B sobre el espaciode columnas de la matriz A.

Para eso, lo que hay que hacer es ortonormalizar las dos columnas de A,

1n =(1

...1

), u =

( x1...

xn

). El primer vector de esa base ortonormal será u1 = 1p

n

(1...1

)y el segundo se calcula con el algoritmo de Gram-Schmidt.

u − (u1 ·u)u1 =

x1...

xn

− x1 +·· ·+xnpn

1pn

1...1

=

x1...

xn

− x

1...1

=

x1 − x...

xn − x

Como la norma de este vector es

√(x1 − x)2 +·· ·+ (x1 − x)2 = p

n σ1, el

segundo vector de la base ortonormal de columnas es u2 = 1pn σ1

(x1−x

...xn−x

).

Para la proyección pC (A)(B) = (B ·u1)u1+(B ·u2)u2, calculamos cada sumando

(B ·u1)u1 = y1 +·· ·+ ynpn

1pn

1...1

= y1 +·· ·+ yn

n

1...1

= y

1...1

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(B ·u2)u2 =∑n

i=1 xi yi − x∑n

i=1 yipn σ1

1pn σ1

x1 − x...

xn − x

=∑n

i=1 xi yi − xn y

n σ21

x1 − x...

xn − x

=

=∑n

i=1(xi − x)(yi − y)∑ni=1(xi − x)2

x1 − x...

xn − x

= s12

s21

x1 − x...

xn − x

= s12

s21

x1...

xn

− s12

s21

x

1...1

Por tanto, la proyección pC (A)(B) = (B ·u1)u1 + (B ·u2)u2 es

pC (A)(B) = y

1...1

+ s12

s21

x1...

xn

− s12

s21

x

1...1

=(

y − s12

s21

x

)1...1

+ s12

s21

x1...

xn

Ya hemos calculado la proyección y eso nos permite escribirla como pC (A)(B) =AX y calcular los coeficientes b, a de la recta

pC (A)(B) =

1 x1...

...1 xn

·(

y − s12

s21

xs12

s21

)=⇒ b = y − s12

s21

x, a = s12

s21

En particular, se comprueba que la recta de regresión de y sobre x pasa por(x, y)

y = y − s12

s21

x + s12

s21

x

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Análogamente, si se intercambian los papeles de x e y en las fórmulas ante-riores se obtiene la recta de regresión de x sobre y

x = x − s12

s22

y + s12

s22

y ⇐⇒ y = y − s22

s12x + s2

2

s12x

Y también, se comprueba que pasa por el centro de gravedad o punto medio(x, y) de la nube de puntos.

Así, el producto de los segundos coeficientes de ambas rectas de regresiónes igual al cuadrado del coeficiente de correlación de ambas variables.

s12

s21

s12

s22

=(

s12

s1s2

)2

= r 212

Ejemplo 26. Consideramos dos variables o características que se midenen 4 ubicaciones distintas, obteniendo los valores x = {2, 7, 2, 1}, y ={3, 6, 0, 1} vamos a hallar y dibujar sus dos rectas de regresión y comprobarsu relación con el coeficiente de regresión r12.

Ptrimero, escribimos los dos s.l. asociados AX = B =⇒ At AX = At B1 21 71 21 1

·(ba

)=

3609

=⇒(1 1 1 12 7 2 1

)1 21 71 21 1

·(ba

)=

(1 1 1 12 7 2 1

)3609

=(1857

)

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Por tanto, el s.l. de Cramer, At AX = At B , que nos dará los coeficientes dela recta de regresión de y sobre x es(

4 1212 58

)·(

ba

)=

(1857

)⇐⇒

{4b +12a = 18

12b +58a = 57⇐⇒

{4b +12a = 18

(58−3∗12)a = 57−3∗18

⇐⇒{

4b +12a = 1822a = 3

⇐⇒{

4b = −12 322 +18

a = 3/22⇐⇒

{b =− 9

22 + 92 = 45/11

a = 3/22

Luego la recta de regresión de y sobre x es

y = 45

11+ 3

22x ≈ 4.1+0.14 x

Si intercambiamos los papeles de las dos variables, se tienen los s.l.1 31 61 01 9

·(ba

)=

2721

=⇒(1 1 1 13 6 0 9

)1 31 61 01 9

·(ba

)=

(1 1 1 13 6 0 9

)2721

=(1257

)

Y el sistema de Cramer que nos da la recta de regresión de x sobre y es(4 18

18 126

)·(

ba

)=

(1257

)⇐⇒

{4 b +18 a = 12

18 b +126 a = 57⇐⇒

{2 b +9 a = 62 b +54 a = 9

⇐⇒{

2 b +9 a = 645a = 3

⇐⇒{

2 b +9 a = 6a = 3/45 = 1/15

⇐⇒{

b =− 310 +3 = 27/10

a = 1/15

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Luego la recta de regresión de x sobre y es

x = 27

10+ 1

15y ⇐⇒ y =−40.5+15x

Si calculamos la intersección de ambas rectas de regresión, obtenemos{y = 45

11 + 322 x

x = 2710 + 1

15 y=⇒

{y = 45

11 + 322 ( 27

10 + 115 y) =

= 981220 + 1

110 y=⇒

{y = 110∗981

109∗220 = 92 = 4.5

x = 2710 + 1

15 ∗ 92 = 3

las dos medias y = 4.5, x = 3. O sea, el punto central es (x, y) = (3, 4.5).

Finalmente, lo dibujamos junto con los 4 puntos, (xi , yi ): p1 = (2, 3), p2 =(7, 6), p3 = (2, 0), p4 = (1, 9) y las dos rectas que pasan respectivamentepor (0, 45

11 ) ≈ (0, 4.1) y por ( 2710 , 0) = (2.7, 0) además de por el centro (3, 4.5).

p1

p2

p3

p4

x

ySe observa que los 4 puntos estánmuy poco correlacionados lineal-mente ya que se alejan bastantede ambas rectas de regresión.

Aunque, están más cerca de larecta de regresión de x sobre y(en rojo en la gráfica).

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El producto de los segundos coeficientes de las dos rectas es igual al cuadradodel coeficiente de correlación de ambas variables y por tanto

r 212 =

(s12

s1s2

)2

= 3

22

1

15= 1

22∗5= 1

110=⇒ r12 = 1p

110≈ 0.0953463 ≈ 0.1

El coeficiente es muy pequeño en valor absoluto, lo que significa que ambasvariables están muy poco correlacionadas como se ha visto en su gráfica.

13. APÉNDICE 2: CORRELACIÓN Y RECTAS DE REGRESIÓN

Cuando los puntos están sobre una recta, y = b +a x ⇐⇒ x =−b + y/a, losdos s.l. siguientes tienen solución única, con b′ =−b, a′ = 1/a1 x1

......

1 xn

·(

ba

)=

y1...

yn

,

1 y1...

...1 yn

·(

b′a′

)=

x1...

xn

Por las fórmulas del apéndice anterior, s12

s22= a, s12

s21= 1

a y el coeficiente sale

r 212 =

s12

s21

s12

s22

= a

a= 1 ⇐⇒ r12 = 1 o bien r12 =−1

Recíprocamente, si r12 = 1, llamando a los vectores de las desviaciones de lasmedias respectivas, u = x− x∗1, v = y − y ∗1, y a sus vectores normalizados

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u′ = u/‖u‖, v ′ = v/‖v‖ tenemos que su producto escalar vale 1 ya que

u′ · v ′ = u

‖u‖ ·v

‖v‖ =∑n

i=1(xi − x)(yi − y)√∑ni=1(xi − x)2

√∑ni=1(yi − y)2

= r12 = 1

pero entonces deben de ser iguales ya que la norma de su diferencia vale cero

‖u′− v ′‖2 = (u′− v ′) · (u′− v ′) = ‖u′‖2 +‖v ′‖2 −2u′ · v ′ = 1+1−2 = 0

Por tanto, si consideramos las matrices equivalentes por columnas1 x1 y1...

......

1 xn yn

∼

1 x1 − x y1 − y...

......

1 xn − x yn − y

∼

1 x1−x

‖u‖y1−y‖v‖

......

...1 xn−x

‖u‖yn−y‖v‖

tenemos que la 2ª y 3ª columnas de esta última matriz son los vectores u′ yv ′ tales que u′ = v ′ si r12 = 1. Si u′ · v ′ = r12 =−1 (r12 tiene el mismo signoque s12 y que las pendientes de regresión), se calcula la suma

‖u′+ v ′‖2 = (u′+ v ′) · (u′+ v ′) = ‖u′‖2 +‖v ′‖2 +2u′ · v ′ = 1+1−2 = 0

Por tanto, las 3 matrices tienen rango 2 y los s.l. que demuestran que lospuntos están alineados tienen solución única. Así, hemos demostrado

Teorema 9. El coeficiente r12 =±1 si y sólo si los puntos están alineados.

Por tanto, el coeficiente de correlación es un testigo de cuando una de lasvariables determina a la otra linealmente. Pero cuando los datos (xi , yi ) se

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obtienen de medidas experimentales, a veces no se obtiene correlación porculpa de medidas erróneas. En esos casos, es mejor usar como testigos losvectores u′, v ′ ya que el desarrollo anterior también demuestra que

Teorema 10. u′ =±v ′ si y sólo si los puntos están alineados.

Donde el signo coincide con el de r12. Así, comparar las coordenadas de

u′ = 1

‖u′‖ (x1 − x, . . . , xn − x) , v ′ = 1

‖v ′‖(y1 − y , . . . , yn − y

)permite descubrir medidas que no se corresponden con el resto. Por ejemplo,cuando u′− v ′, o la suma, u′+ v ′, es muy pequeña salvo una coordenada.

Ejemplo 27. Dadas las variables, x = {1.9, 1, 3.1, 2.8}, y = {3.19, 2.2, 3.5, 4.18}.Si calculamos su coeficiente de regresión, r12 ≈ 0.88, sale proximo a 1. Comoes positivo, comparamos u′ = v ′. Esto es, calculamos los vectores u′ y v ′ y sudiferencia u′− v ′ = (−0.13,0.02,0.38,−0.27). Ahora, si descartamos las ter-ceras coordenadas (la mayor) obtenemos una correlación completa (r12 = 1)

p1p2

p3p4

x

yComo se observa los puntos p1, p2, p4 estáncorrelacionados linealmente mientras que el p3probablemente sea espurio o erróneo.

Si hubiera salido r12 próximo a -1, tendríamosque calcular la suma u′+ v ′ y probaríamos adescartar la mayor de sus coordenadas.

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14. EJERCICIOS.

Ejercicio 1. En Pol2(R), con el producto definido por

< p(x), q(x) > =∫ 1

0p(x)q(x)d x

Halla sus matrices de Gram respecto de las bases

B = {1, x, x2}, B ′ = {1,p

3(2x −1),p

5(1−6x +6x2)}

Comprueba que la segunda base es ortonormal respecto al producto escalar.Halla la descomposición de Choleski de la primera matriz.

Ejercicio 2. Dada la matriz A, Halla su descomposición de Cholesky con

A =1 1 0

1 2 10 1 1

el algoritmo y ortonormalizando. ¿Cuál es mejor computacionalmete?

Ejercicio 3. Razona que la matriz A es sólo semidefinida positiva.Mientras que B es d.p. y define una métrica.

A =1 1 0

1 2 10 1 1

, B =1 1 0

1 2 00 0 1

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Ejercicio 4. Aplica el proceso de Gram-Schmidt modificado y sin modificara los vectores fila de la matriz A. ¿Qué conclusiones sacas?

A =1 10−6 10−6

1 10−6 00 0 10−6

Ejercicio 5. Aplica el proceso de Gram-Schmidt modificado y sin modificara los vectores columna de la matriz. ¿Qué conclusiones sacas?1 1 2

0 1 01 1 1

Ejercicio 6. Transforma la matriz usando una base ortonormal ampliada de

1 5 66 1 58 6 73 3 1

su espacio de columnas. Usa esta base para encontrar una factorización QRde A. Comprueba que el rango de A coincide con el de la matriz R.

Ejercicio 7. Transforma la matriz(3 5 66 1 5

)usando una base ortonormal

ampliada de su espacio de columnas. Usa esta base para encontrar una

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factorización QR de A. Comprueba que el rango de A coincide con el de lamatriz R.

Ejercicio 8. Comprueba que el sistema lineal de ecuaciones es incompati-ble.

x + y = 1x − y = 0x +3y = 1

Mientras que el s.l. At AX = At B es compatible y tiene solución única. Hallala distancia mínima del espacio de columnas C(A) al vector B de términosindependientes.

Ejercicio 9. Comprueba que el sistema lineal de ecuaciones es compatible{x + y + z = 1x − y +3z = 0

indeterminado. Halla la solución de norma mínima y su valor.

Ejercicio 10. Comprueba que el sistema lineal de ecuacionesx + y + z + t = 12x − y +3z −2t = 03x +4z − t = 1

es incompatible. Mientras que el s.l. At AX = At B es compatible y tieneinfinitas soluciones. Halla la distancia mínima del espacio de columnasC(A) al vector B de los términos independientes.

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15. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El producto escalar usual es el único posible en Rn .(b) Hay infinitos productos escalares en Rn .(c) Hay un número finito de productos escalares en Rn .(d) Solo existen productos escalares en R2 y R3.

2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un producto escalar es distributivo pero no conmutativo.(b) Un producto escalar es siempre definido positivo(c) Un producto escalar sólo es lineal, distributivo y conmutativo.(d) El producto escalar u •u puede ser cero.

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3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una matriz grammiana es siempre matriz de una métrica.(b) Una matriz grammiana es siempre definida positiva.(c) El determinante de una matriz grammiana, At A, determina la inde-

pendencia de las columnas de A.(d) El determinante de una matriz grammiana, At A, siempre es distinto

de cero.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Dos matrices simétricas reales siempre son congruentes.(b) Si una matriz admite una descomposición de Cholesky es congruente

con la identidad.(c) Una matriz simétrica real siempre admite una descomposición de

Cholesky.(d) Una matriz puede admitir una descomposición de Cholesky aunque

no sea simétrica.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El sistema lineal de ecuaciones At AX = At B es incompatible.(b) El sistema lineal de ecuaciones At AX = At B puede ser compatible.(c) El sistema lineal de ecuaciones At AX = At B siempre es compatible

determinado.

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(d) El sistema lineal de ecuaciones At AX = At B puede ser compatibleindeterminado.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La norma de todo vector es positiva.(b) Solo son vectores unitarios los canónicos.(c) La desigualdad de Cauchy-Schwartz relaciona las normas de dos vec-

tores y su suma.(d) La desigualdad de Cauchy-Schwartz sirve para definir ángulos.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La desigualdad triangular sirve para definir ángulos.(b) La desigualdad triangular relaciona el producto escalar con las nor-

mas de dos vectores.(c) La desigualdad triangular determina si dos vectores están alineados.(d) La desigualdad triangular nunca da una igualdad.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un vector está formado por sus cosenos directores.(b) La norma de un vector y los cosenos directores determinan un vector.(c) Los cosenos directores de un vector no nulo pueden ser todos cero.

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(d) Un vector unitario no tiene cosenos directores.

9. Para todo u ∈Rn y B = {u1, . . . ,un} una base.(a) u puede ser ortogonal a si mismo.(b) Un vector no nulo puede ser ortogonal a B .(c) di m(L(u))+di m(L(u)⊥) = n −1.(d) Existe un único vector que es ortogonal a B .

10. Dada una matriz, A ∈ Mmxn(R).(a) La matriz A At y At A tiene la misma descomposición de Cholesky.(b) La matriz A admite una descomposición de Cholesky.(c) La matriz A admite una descomposición QR.(d) A At tiene una descomposición QR pero A no.

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