l

ion del

de ar

q2 I

( I f) (i I )rc IiJ ( J ) (2 19) 2 k q~ 1 I

La ecuacion (2 19) nos indica que para una malla cualquiera de la red se puede calcular un valor aproximado de su factor de correccion ~q(l ) que logicamente no sera el valor que sea solucion para la ecuacion de energia de dicha malla si no una aproximacion Esto se puede hacer con todaslasmallas__y _asLohteneL NL valores de ~~con los cuales se corregira el flujo en la red y obtener un nuevo conjunto de valores para los qij y con ellos se volvera a aplicar la ecuacion (2 19) para obtener un nuevo conjunto de valores para los ~q ( I) EI procedimiento debera continuar hasta que al calcular un conjunto de valores para los ~q(l) se encuentre que cada uno de estos sea tan proximo a cero como se desee de acuerdo con una aproximacion establecida

AI obtener la ecuacion (2 19) se supuso que el factor Sij solo afecta los terminos en q ~ y no los terminos qij

AI hacer la correccion de los qij por el factor ~q ( I ) este se suma 0 se restagJlaJQr de Sij qlJ

En el metodo inicial de Hardy - Cross se calculaban todos los ~q (l) y luego se hacian las correcciones en cada malla por su respectivo valor de ~q ( I ) notese que cuando un tramo es comun ados mallas recibe correccion por el ~q ( l ) de cada malla Una vez hecha la correccion a todas las mallas se procede a obtener el nuevo grupo de valores para los ~q(l ) usando los nuevos valores para los qj y aplicando la ecuacion (2 19)

Cuando al hacer las correcciones a los valores de los Sij qij se obtiene un valor de signo contrario esto quiere decir que el flujo en el tramo ij se invirtio y se deben hacer la modificacion de la ecuacion en las mallas a las cuales pertenece el tramo IJ

EI metodo de Hardy - Cross modificado plantea el siguiente procedimiento para resolver la red

i) Suponer una distribucion de flujos en direccion y magnitud en la red haciendo cumplir la ecuacion de continuidad

ii) Calcular el valor de ~q para la malla 1 aplicando la ecuacion (2 19) y teniendo en cuenta 10 dicho con respecto a los terminos en q1yen qj

iii) Una vez obtenido el ~q ( l) se hace las correcciones para los flujos en los tramos que conforman la malla 1 teniendo en cuenta la modificacion si es necesaria de

79

I ) I (I

la ecuacion por el cambio del signo en algun tramo ij no solo de la malla 1 sino de cualquier otra malla que tambien contenga dicho tramo

iv) Se procede a obtener Lq para la malla 2 usando los valores corregidos de los qij por el Lq de la malla 1 cuando el tramo ij pertenece a la malla 1 ya la malla 2 v) EI procedimiento continua secuencialmente malla amalia hasta hacer todo el barrido de la red y teniendo en cuenta al obtener Lq para una malla que los qij que ademas pertenecen a mallas a las que ya se les calculo el Lq deben estar corregidos por dicho Lq

Cuando se haga el recorrido de toda la red se regresa a la malla 1 y se procede a calcular un nuevo conjunto de valores para los Lq en este caso los qij de la malla 1 para obtener el nuevo valor de Lq(1) son los corregidos por el Lq de las otras mallas a las que pertenezca el tramo ij Cuando en el recorrido de la red calculando un conjunto de valores para los Lq(I) se encuentra que todos son menores que un cierto valor establecido como tolerancia se considera terminado el procedimiento y se ha obtenido la distribucion de flujos en la red en direccion y magnitud EI paso siguiente sera calcular las presiones en los nodos 10 cual se puede hacer aplicando la ecuacion de flujo adecuada y partiendo de un nodo de presion conocida que puede ser el nodo donde se entrega el gas a la red 0 un nodo donde se considera que se presentara la presion minima y se ha fijado el valor para esta presion

La figura 9 muestra el diagrama de flujo para el metodo de Hardy - Cross

3 Metodo de la Teoria Lineal

Este metodo generalmente se aplica al sistema de ecuaciones en el que las I ncognitas sori- Ios caudales en los tramos que como se sabe consta de (NJ - 1)

t--ecuaciones de continuidad lineales y NL ecuaciones de energia no lineales EI --------gtmetodo Rropone linealizar las ecuaciones de energia para tener un sistema de

gt ecuaciones lineales que se---p~ede resolver directamente La linealizacion se hace suponiend9__t~-IOres -para los Gij los cuales luego se calculan al resolver el sistemas de ecua-cior1eslfneares y se comparan con los valores supuestos EI proceso termina cuando al resolver el sistema de ecuaciones los valores supuesto para los caudales en los tramos son iguales a los calculados

La linealizacion se hace de la siguiente manera

La ecuacion de energia para una malla dada en terminos de los caudales de flujo es

80

[

Figl

(f

Estc

len algun tramo ii no s610 de la malla 1 sino de ntenga rlj~ L- 10

as valores corregidos de los a la malla 1 ya la malla 2

malla hasta hacer todo el 3 una malla que los qij que Icul6 el ~q deben estar

1 malla 1 y se procede a caso los qij de la malla por el ~q de las otras

valores para los ~q ( I ) )r establecido como e ha obtenido la )aso siguiente sera licando la ecuaci6n 1 que puede ser el considera que se i6n

- Cross

~n el que las a de (NJ - 1)

lineales EI sistema de i6n se hace resolver el lestos EI s valores

le flujo

Leae Impnma datos

I NNC T=l I

II SUM=()

I

I 1=1 I t

I CalQue tQ( 1)

SUM= shy mHAB S

tQ(1)

I ~

Comjo3 los caucW es en los Irarno s de 103 malla I

RtgtDra todas las 0lI35 mallas buscando tramo s comunes con la malla 1 para CO Tegir sus caudales

I 1- 1+1 I

ST Calcu1e presiones en lo s

nodo s

r~~~~

--_______1

I NCT=NCT+ l I

Figura 9 - Diagrama de Flujo para el Metodo de Hardy - Cross

s R (J2 =0 7 1= 1 NL (2 5)~ I II I 1

( I 11middotII ilbull()

Esta ecuaci6n se puede escribir como

81

la ecuacion por el cambio del signo en algun tramo ij no solo de la malla 1 sino de cualquier otra malla que tambien contenga dicho tramo

iv) Se procede a obtener Lq para la malla 2 usando los valores corregidos de los qij por el Lq de la malla 1 cuando el tramo ij pertenece a la malla 1 ya la malla 2 v) EI procedimiento continua secuencialmente malla amalia hasta hacer todo el barrido de la red y teniendo en cuenta al obtener Lq para una malla que los qij que ademas pertenecen a mallas a las que ya se les calculo el Lq deben estar corregidos por dicho Lq

Cuando se haga el recorrido de toda la red se regresa a la malla 1 y se procede a calcular un nuevo conjunto de valores para los Lq en este caso los qij de la malla 1 para obtener el nuevo valor de Lq(1) son los corregidos por el Lq de las otras mallas a las que pertenezca el tramo ij Cuando en el recorrido de la red calculando un conjunto de valores para los Lq(I) se encuentra que todos son menores que un cierto valor establecido como tolerancia se considera terminado el procedimiento y se ha obtenido la distribucion de flujos en la red en direccion y magnitud EI paso siguiente sera calcular las presiones en los nodos 10 cual se puede hacer aplicando la ecuacion de flujo adecuada y partiendo de un nodo de presion conocida que puede ser el nodo donde se entrega el gas a la red 0 un nodo donde se considera que se presentara la presion minima y se ha fijado el valor para esta presion

La figura 9 muestra el diagrama de flujo para el metodo de Hardy - Cross

3 Metodo de la Teoria Lineal

Este metodo generalmente se aplica al sistema de ecuaciones en el que las I ncognitas sori- Ios caudales en los tramos que como se sabe consta de (NJ - 1)

t--ecuaciones de continuidad lineales y NL ecuaciones de energia no lineales EI --------gtmetodo Rropone linealizar las ecuaciones de energia para tener un sistema de

gt ecuaciones lineales que se---p~ede resolver directamente La linealizacion se hace suponiend9__t~-IOres -para los Gij los cuales luego se calculan al resolver el sistemas de ecua-cior1eslfneares y se comparan con los valores supuestos EI proceso termina cuando al resolver el sistema de ecuaciones los valores supuesto para los caudales en los tramos son iguales a los calculados

La linealizacion se hace de la siguiente manera

La ecuacion de energia para una malla dada en terminos de los caudales de flujo es

80

[

Figl

(f

Estc

len algun tramo ii no s610 de la malla 1 sino de ntenga rlj~ L- 10

as valores corregidos de los a la malla 1 ya la malla 2

malla hasta hacer todo el 3 una malla que los qij que Icul6 el ~q deben estar

1 malla 1 y se procede a caso los qij de la malla por el ~q de las otras

valores para los ~q ( I ) )r establecido como e ha obtenido la )aso siguiente sera licando la ecuaci6n 1 que puede ser el considera que se i6n

- Cross

~n el que las a de (NJ - 1)

lineales EI sistema de i6n se hace resolver el lestos EI s valores

le flujo

Leae Impnma datos

I NNC T=l I

II SUM=()

I

I 1=1 I t

I CalQue tQ( 1)

SUM= shy mHAB S

tQ(1)

I ~

Comjo3 los caucW es en los Irarno s de 103 malla I

RtgtDra todas las 0lI35 mallas buscando tramo s comunes con la malla 1 para CO Tegir sus caudales

I 1- 1+1 I

ST Calcu1e presiones en lo s

nodo s

r~~~~

--_______1

I NCT=NCT+ l I

Figura 9 - Diagrama de Flujo para el Metodo de Hardy - Cross

s R (J2 =0 7 1= 1 NL (2 5)~ I II I 1

( I 11middotII ilbull()

Esta ecuaci6n se puede escribir como

81

len algun tramo ii no s610 de la malla 1 sino de ntenga rlj~ L- 10

as valores corregidos de los a la malla 1 ya la malla 2

malla hasta hacer todo el 3 una malla que los qij que Icul6 el ~q deben estar

1 malla 1 y se procede a caso los qij de la malla por el ~q de las otras

valores para los ~q ( I ) )r establecido como e ha obtenido la )aso siguiente sera licando la ecuaci6n 1 que puede ser el considera que se i6n

- Cross

~n el que las a de (NJ - 1)

lineales EI sistema de i6n se hace resolver el lestos EI s valores

le flujo

Leae Impnma datos

I NNC T=l I

II SUM=()

I

I 1=1 I t

I CalQue tQ( 1)

SUM= shy mHAB S

tQ(1)

I ~

Comjo3 los caucW es en los Irarno s de 103 malla I

RtgtDra todas las 0lI35 mallas buscando tramo s comunes con la malla 1 para CO Tegir sus caudales

I 1- 1+1 I

ST Calcu1e presiones en lo s

nodo s

r~~~~

--_______1

I NCT=NCT+ l I

Figura 9 - Diagrama de Flujo para el Metodo de Hardy - Cross

s R (J2 =0 7 1= 1 NL (2 5)~ I II I 1

( I 11middotII ilbull()

Esta ecuaci6n se puede escribir como

81

L SII N il q ll =0 VI = 1NL (2 20) (I il l( 11 lE N( II

donde

(221)

Las ecuaciones presentadas segun la expresi6n (220) serian lineales si se supone un valor para qij para poder calcular Nij Para empezar se toma para todos los qij un valor de 1 y con este valor se calcula Nij-

Teniendo las ecuaciones de energia linealizadas de acuerdo con la expresi6n (220) y las (NJ - 1) ecuaciones lineales de acuerdo con la expresi6n (2 2) el sistema compuesto por estos dos conjuntos de ecuaciones es lineal y se puede middot resolver directamente Los valores obtenidos para los qij se comparan con los supuestos y si son diferentes se usan los calculados para recalcular los Nil y replantear las ecuaciones de energia dadas por la expresi6n (23) EI proceso continua hasta que los qij calculados sean iguales a los supuestos

Paso a paso el procedimiento es el siguiente

i) Se asume una distribuci6n de flujo en la red

Ii) Se obtiene las ecuaciones de continuidad en los nodos de acuerdo con la expresi6n (70)

iii) Se supone los qij de cada uno de los tramos de cada una de las mallas de la red igual a 1 y se calculan los Nij de cada uno de los tramos de cada una de las mallas de la red

iv) Se obtienen las ecuaciones de continuidad para cada malia de acuerdo con la expresi6n (220)

v) Se resuelve el sistema de ecuaciones conformado por las ecuaciones obtenidas en ii) y IV)

vi) Se comparan los valores para los qiJ calculados en v) con los supuestos en iii) si no son iguales se toman los valores calculados de los qiJ y se repite el procedimiento desde iii)

EI proceso termina cuando se encuentre que los valores supuestos y calculados para los qij sean iguales

82

Cuandc qlj qUle modificc

Para m segundc promedit

Una vez los flujos de una m

La figura

Cualquier los tramo diametros donde sei igualmentE operaci6n (

Ejemplo 6

Resolver la Raphson shy(3446 kPa node 1 a la f

Soluci6n

Los datos dt longitud y di~ ecuaci6n de unidades pari de unidades c

Metodo H-C

Como todos It queda

83

(220)

(2 21 )

0) serian lineales si se )ezar se toma para todos

uerdo con la expresion In la expresion (22) el ~s es lineal y se puede middot i se comparan con los Ira recalcular los Nij y ion (23) EI proceso lestos

de acuerdo con la

de las mallas de la de cada una de las

de acuerdo con la

r las ecuaclones

supuestos en iii) il Y se repite el

fOS Y calculados

Cuando al resolver el sistema de ecuaciones se encuentra un valor negativo para qij quiere decir que la direccion de flujo supuesta no es correcta y se debe modificar las ecuaciones de continuidad y energia donde aparezca dicho qij

Para mejorar la convergencia del metodo siempre converge despues del segundo tanteo se toma como valor supuesto para qij para calcular los Nij el promedio de los valores calculados en los dos ultimos tanteos

Una vez terminado el proceso se tiene ya para la red la direccion y magnitud de los flujos en los tramos y se puede proceder a calcular las presiones en los nodos de una manera similar a como sugirio en el rnetodo de Hardy - Cross

La figura 10 muestra el diagrama de flujo para este metodo

Cualquiera de los metodos planteados aqui supone conocidos los diametros de los tramos de la red en general 10 que se hace es suponer inicialmente los diametros y luego de calculada la red proceder a optimizarla buscando las zonas donde sea posible disminuir diametros 0 donde sea necesario aumentarlos igualmente se puede buscar si es conveniente aumentar 0 disrninuir la presion de operacion de la red

Ejemplo 6

Resolver la red del ejemplo 5 por los metod os de Hardy - Cross y Newton -Raphson - Stoner Para el metodo H-C suponga una presion minima de 5 Ipc (3446 kPa 0345 bars) y para el metodo N-R suponga que el gas se entrega en el node 1 a la presion calculada por el metodo de H-C

Soluci6n

Los datos de la red son los dados en el ejemplo 5 (caudales en los tramos longitud y diametro de los tramos flujos externos en los nodos etc )Se usara la ecuaci6n de Weymouth con la tasa de flujo en MPCNO el valor de Cw y las unidades para la demas variables son las dadas en el grupo 2 del sistema ingles de unidades de la tabla 2

Metodo H-C

Como todos los tramos tienen diametro la ecuacion para Lq(l) (ecuaci6n (27)) queda

83

(220)

(2 21 )

0) serian lineales si se )ezar se toma para todos

uerdo con la expresion In la expresion (22) el ~s es lineal y se puede middot i se comparan con los Ira recalcular los Nij y ion (23) EI proceso lestos

de acuerdo con la

de las mallas de la de cada una de las

de acuerdo con la

r las ecuaclones

supuestos en iii) il Y se repite el

fOS Y calculados

Cuando al resolver el sistema de ecuaciones se encuentra un valor negativo para qij quiere decir que la direccion de flujo supuesta no es correcta y se debe modificar las ecuaciones de continuidad y energia donde aparezca dicho qij

Para mejorar la convergencia del metodo siempre converge despues del segundo tanteo se toma como valor supuesto para qij para calcular los Nij el promedio de los valores calculados en los dos ultimos tanteos

Una vez terminado el proceso se tiene ya para la red la direccion y magnitud de los flujos en los tramos y se puede proceder a calcular las presiones en los nodos de una manera similar a como sugirio en el rnetodo de Hardy - Cross

La figura 10 muestra el diagrama de flujo para este metodo

Cualquiera de los metodos planteados aqui supone conocidos los diametros de los tramos de la red en general 10 que se hace es suponer inicialmente los diametros y luego de calculada la red proceder a optimizarla buscando las zonas donde sea posible disminuir diametros 0 donde sea necesario aumentarlos igualmente se puede buscar si es conveniente aumentar 0 disrninuir la presion de operacion de la red

Ejemplo 6

Resolver la red del ejemplo 5 por los metod os de Hardy - Cross y Newton -Raphson - Stoner Para el metodo H-C suponga una presion minima de 5 Ipc (3446 kPa 0345 bars) y para el metodo N-R suponga que el gas se entrega en el node 1 a la presion calculada por el metodo de H-C

Soluci6n

Los datos de la red son los dados en el ejemplo 5 (caudales en los tramos longitud y diametro de los tramos flujos externos en los nodos etc )Se usara la ecuaci6n de Weymouth con la tasa de flujo en MPCNO el valor de Cw y las unidades para la demas variables son las dadas en el grupo 2 del sistema ingles de unidades de la tabla 2

Metodo H-C

Como todos los tramos tienen diametro la ecuacion para Lq(l) (ecuaci6n (27)) queda

83

O btengI$ Ecucioms de

Continuidad

Obtencicin y lineal izci cin de las

E cullciones de Energia

C al clll e Pr eSlones en los S oIucon de I sistema de N odos eClHcones lineale s formado pshyIs e cuaei one s de c ontinui dod y las de en ergia linealiz adas

I Imprima Resultado s I

I

( Termine

Figura 10- Diagrama de Flujo para el Metodo de la Teoria Lineal

S k ~ ) 2L I I q l Ll J Ci t (I J I ( _ I_ - ___ (IJ (I l iE VI I) E-=~~ _(q (1) -_ - shy

2 L 2 Lkl q l L If q f (f J) 1( Ik NI ) (I - I ) ( I I I~ ~ I

La distribuci6n de flujos en direcci6n y magnitud supuesta inicialmente es la que se muestra en el esquema de la red en el ejemplo 5

84

La tabla iteracion tramo 3shyN6tese 1 obtener

EI procE consider

Una ve- fueron

Se tom neg at iv

Conocit calculal donde se hac iguales

donde

k =

7

es la que

La tabla 12 muestra los calculos para obtener los L1q(l) en cada una de las iteraciones observese que para calcular L1q(lI) en la primera iteracion el flujo en el tramo 3-2 que es comun a las dos malia ya esta corregido por la primera malla Notese tambien que la direccion del flujo factor Sij solo se tiene en cuenta para obtener el numerador de la expresion para L1q(I)

EI proceso se termino en la tercera iteracion porque ya los valores de L1q(l) se consideran bajos aproximadamente iguales 0 menores de 1 10-3

Una vez terminado el proceso los caudales y direccion de flujo en los tramos fueron

Tramo Caudal (MPCND)

2-5 1504 5-6 1004 6-3 -1396 3-2 -0 909 1-2 3913

-24873-4 4-1 -3 090

Se tomo como direccion positiva de flujo el sentido horario y como direccion negativa el contrahorario

Conociendo la direccion y magnitud de los flujos en los tramos se procede a calcular las presiones en los nodos en este caso se hizo partiendo del node 6 donde se fija una presion minima de 5 Ipc (0 345 bars) Los calculos de presion se hacen usando la ecuacion de Weymouth la cual como los diametros son iguales para todos los tramos quedan asi

L1 p 2 =k 2 = L (2I ql k 1

I

donde

k- r ) ~ fj I( zr)O S ( 1 ( )4335 x l 0 ~ rio d 8

85

Tabla 12 Soluci6n de Red lIustrada en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shyCross

PRIMERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

a x l a all ac

MAllA I

1middot2 2-3 3-4 4-5

39 13 -2 5 -31

041 042 044 041

15990 0546 1 100 1271

L=4 516

1521 169 625 961

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3 128

L-Q ~ L 02558 I1Q(f) = - 2LQL = shy 24516 = -0028

MAllA II

2-5 5-6 6-3 3-2

11 06 -18

-1272

0224 0460 0320 0420

02464 02760 05760 05342

L=1 6326

121 036 324 1618

02710 01656 -10368 -1618

L=-12797

1 492 0992 -1408 -0880

LQ2 L -12797 I1Q(lI)=- 2LQL = shy 2 16326 = 0392

SEGUNDA ITERACION

MAllA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3872 0880 -2528 -3128

041 042 044 041

15990 0546 1 100 1271

L=4 3519

1521 169 625 961

6236 07098 -2 750 -3940

L=-03515

3872 1272 -2 528 -3 128

I1Q= LQL - 03515

-= - 004 = -2LQL 243519

MAlLA II 2-5 5-6 6-3 3-2

1492 0992 -1408 -0 _920

0224 0460 0320 0420

03342 04563 04506 03864

L=1 6275

22261 0_9841 1_9825 0_8464

04986 04527 -06344 -03555

L=-O 0386

1504 1004 -1 396 -0908

I1Q= _ LQ ~ L =_ -00386 =0012 2L QL 2 16275

86

en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shy

aLL ac

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3128

)28

2710 1656 368 18 U97

1492 0992 -1 408 -0880

3872 1272 -2528 -3 128

504 004 396 908

-

Tabla 12 (continuacion)

TERCERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

axl a 2 a 2 l ac

MALlA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3912 0908

-2488 -3 088

041 042 044 041

16039 03814 10947 12661

L=4 3461

153037 08245 61901 95357

62745 03463

-2 7236 -3 9096

L=-0 0125

3913 0909

-2487 -3 090

LQ 1 -00125 ~Q (1)= shy 2 x LQL = shy 243461 = 0014

MAlLA II

2-5 5-6 6-3 3-2

1504 1004

-1 396 -0909

0224 0460 0320 0420

03369 04618 04467 03818

L=1 6275

22620 10080 19490 08263

05067 04637

-0 6236 -03470

L=000023

1504 1004

-1 396 -0909

~Q (II) = shyLQ 2

L 000023 =-70610shy L =shy

2 x QL 216275

= (067 x J x 535t (147 ) (_ I_ )X gt = 301 4335 xl 0 1 520 ~ 4026

La tabla 13 muestra el calculo de las presiones

Tabla 13 Calculo de las Presiones en la Solucion de la Red del Ejemplo 5 por el Metodo H-C

Tramo qj(MPCNID) lij(millas) ~pl NodoNu m

P(lpca)

6-5 10040 046 3695117 5 19862 5-2 1504 0224 4037816 2 28254 2-1 3913 041 50027228 1 76164 1-4 3087 041 31135798 4 51840 4-3 2487 044 21687382 3 22774 3-6 1396 032 4969626 6 4658

87

Metodo N-R

Las ecuaciones de continuidad en cada uno de los nodos en terminos de la presion estan dadas en el ejemplo 4 No se obtuvo la ecuacion en el nodo 1 donde se supondra una presion igual a 76164 (525 kPa 525 bars)

Las expresiones para las derivadas de cada una de las funciones con respecto a cada una de las variables son

oF~ RI 2 [gt2 + R - P - R~ P2 F 11 = = shy

cP (~ 2 _p ri (P- - P- ri (Jgt22 - p ril

of R21 P = aFI = 0F12 = F13() ) r dP P - - F- eWI2

dF R P = of ~ 0F1 4 =-- = - F 15

dP P- apr( - P-) r

of F 24 = - = 0

ap

R Pmiddot1 4

88

7

es la que

La tabla 12 muestra los calculos para obtener los L1q(l) en cada una de las iteraciones observese que para calcular L1q(lI) en la primera iteracion el flujo en el tramo 3-2 que es comun a las dos malia ya esta corregido por la primera malla Notese tambien que la direccion del flujo factor Sij solo se tiene en cuenta para obtener el numerador de la expresion para L1q(I)

EI proceso se termino en la tercera iteracion porque ya los valores de L1q(l) se consideran bajos aproximadamente iguales 0 menores de 1 10-3

Una vez terminado el proceso los caudales y direccion de flujo en los tramos fueron

Tramo Caudal (MPCND)

2-5 1504 5-6 1004 6-3 -1396 3-2 -0 909 1-2 3913

-24873-4 4-1 -3 090

Se tomo como direccion positiva de flujo el sentido horario y como direccion negativa el contrahorario

Conociendo la direccion y magnitud de los flujos en los tramos se procede a calcular las presiones en los nodos en este caso se hizo partiendo del node 6 donde se fija una presion minima de 5 Ipc (0 345 bars) Los calculos de presion se hacen usando la ecuacion de Weymouth la cual como los diametros son iguales para todos los tramos quedan asi

L1 p 2 =k 2 = L (2I ql k 1

I

donde

k- r ) ~ fj I( zr)O S ( 1 ( )4335 x l 0 ~ rio d 8

85

Tabla 12 Soluci6n de Red lIustrada en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shyCross

PRIMERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

a x l a all ac

MAllA I

1middot2 2-3 3-4 4-5

39 13 -2 5 -31

041 042 044 041

15990 0546 1 100 1271

L=4 516

1521 169 625 961

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3 128

L-Q ~ L 02558 I1Q(f) = - 2LQL = shy 24516 = -0028

MAllA II

2-5 5-6 6-3 3-2

11 06 -18

-1272

0224 0460 0320 0420

02464 02760 05760 05342

L=1 6326

121 036 324 1618

02710 01656 -10368 -1618

L=-12797

1 492 0992 -1408 -0880

LQ2 L -12797 I1Q(lI)=- 2LQL = shy 2 16326 = 0392

SEGUNDA ITERACION

MAllA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3872 0880 -2528 -3128

041 042 044 041

15990 0546 1 100 1271

L=4 3519

1521 169 625 961

6236 07098 -2 750 -3940

L=-03515

3872 1272 -2 528 -3 128

I1Q= LQL - 03515

-= - 004 = -2LQL 243519

MAlLA II 2-5 5-6 6-3 3-2

1492 0992 -1408 -0 _920

0224 0460 0320 0420

03342 04563 04506 03864

L=1 6275

22261 0_9841 1_9825 0_8464

04986 04527 -06344 -03555

L=-O 0386

1504 1004 -1 396 -0908

I1Q= _ LQ ~ L =_ -00386 =0012 2L QL 2 16275

86

en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shy

aLL ac

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3128

)28

2710 1656 368 18 U97

1492 0992 -1 408 -0880

3872 1272 -2528 -3 128

504 004 396 908

-

Tabla 12 (continuacion)

TERCERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

axl a 2 a 2 l ac

MALlA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3912 0908

-2488 -3 088

041 042 044 041

16039 03814 10947 12661

L=4 3461

153037 08245 61901 95357

62745 03463

-2 7236 -3 9096

L=-0 0125

3913 0909

-2487 -3 090

LQ 1 -00125 ~Q (1)= shy 2 x LQL = shy 243461 = 0014

MAlLA II

2-5 5-6 6-3 3-2

1504 1004

-1 396 -0909

0224 0460 0320 0420

03369 04618 04467 03818

L=1 6275

22620 10080 19490 08263

05067 04637

-0 6236 -03470

L=000023

1504 1004

-1 396 -0909

~Q (II) = shyLQ 2

L 000023 =-70610shy L =shy

2 x QL 216275

= (067 x J x 535t (147 ) (_ I_ )X gt = 301 4335 xl 0 1 520 ~ 4026

La tabla 13 muestra el calculo de las presiones

Tabla 13 Calculo de las Presiones en la Solucion de la Red del Ejemplo 5 por el Metodo H-C

Tramo qj(MPCNID) lij(millas) ~pl NodoNu m

P(lpca)

6-5 10040 046 3695117 5 19862 5-2 1504 0224 4037816 2 28254 2-1 3913 041 50027228 1 76164 1-4 3087 041 31135798 4 51840 4-3 2487 044 21687382 3 22774 3-6 1396 032 4969626 6 4658

87

Metodo N-R

Las ecuaciones de continuidad en cada uno de los nodos en terminos de la presion estan dadas en el ejemplo 4 No se obtuvo la ecuacion en el nodo 1 donde se supondra una presion igual a 76164 (525 kPa 525 bars)

Las expresiones para las derivadas de cada una de las funciones con respecto a cada una de las variables son

oF~ RI 2 [gt2 + R - P - R~ P2 F 11 = = shy

cP (~ 2 _p ri (P- - P- ri (Jgt22 - p ril

of R21 P = aFI = 0F12 = F13() ) r dP P - - F- eWI2

dF R P = of ~ 0F1 4 =-- = - F 15

dP P- apr( - P-) r

of F 24 = - = 0

ap

R Pmiddot1 4

88

Tabla 12 Soluci6n de Red lIustrada en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shyCross

PRIMERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

a x l a all ac

MAllA I

1middot2 2-3 3-4 4-5

39 13 -2 5 -31

041 042 044 041

15990 0546 1 100 1271

L=4 516

1521 169 625 961

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3 128

L-Q ~ L 02558 I1Q(f) = - 2LQL = shy 24516 = -0028

MAllA II

2-5 5-6 6-3 3-2

11 06 -18

-1272

0224 0460 0320 0420

02464 02760 05760 05342

L=1 6326

121 036 324 1618

02710 01656 -10368 -1618

L=-12797

1 492 0992 -1408 -0880

LQ2 L -12797 I1Q(lI)=- 2LQL = shy 2 16326 = 0392

SEGUNDA ITERACION

MAllA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3872 0880 -2528 -3128

041 042 044 041

15990 0546 1 100 1271

L=4 3519

1521 169 625 961

6236 07098 -2 750 -3940

L=-03515

3872 1272 -2 528 -3 128

I1Q= LQL - 03515

-= - 004 = -2LQL 243519

MAlLA II 2-5 5-6 6-3 3-2

1492 0992 -1408 -0 _920

0224 0460 0320 0420

03342 04563 04506 03864

L=1 6275

22261 0_9841 1_9825 0_8464

04986 04527 -06344 -03555

L=-O 0386

1504 1004 -1 396 -0908

I1Q= _ LQ ~ L =_ -00386 =0012 2L QL 2 16275

86

en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shy

aLL ac

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3128

)28

2710 1656 368 18 U97

1492 0992 -1 408 -0880

3872 1272 -2528 -3 128

504 004 396 908

-

Tabla 12 (continuacion)

TERCERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

axl a 2 a 2 l ac

MALlA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3912 0908

-2488 -3 088

041 042 044 041

16039 03814 10947 12661

L=4 3461

153037 08245 61901 95357

62745 03463

-2 7236 -3 9096

L=-0 0125

3913 0909

-2487 -3 090

LQ 1 -00125 ~Q (1)= shy 2 x LQL = shy 243461 = 0014

MAlLA II

2-5 5-6 6-3 3-2

1504 1004

-1 396 -0909

0224 0460 0320 0420

03369 04618 04467 03818

L=1 6275

22620 10080 19490 08263

05067 04637

-0 6236 -03470

L=000023

1504 1004

-1 396 -0909

~Q (II) = shyLQ 2

L 000023 =-70610shy L =shy

2 x QL 216275

= (067 x J x 535t (147 ) (_ I_ )X gt = 301 4335 xl 0 1 520 ~ 4026

La tabla 13 muestra el calculo de las presiones

Tabla 13 Calculo de las Presiones en la Solucion de la Red del Ejemplo 5 por el Metodo H-C

Tramo qj(MPCNID) lij(millas) ~pl NodoNu m

P(lpca)

6-5 10040 046 3695117 5 19862 5-2 1504 0224 4037816 2 28254 2-1 3913 041 50027228 1 76164 1-4 3087 041 31135798 4 51840 4-3 2487 044 21687382 3 22774 3-6 1396 032 4969626 6 4658

87

Metodo N-R

Las ecuaciones de continuidad en cada uno de los nodos en terminos de la presion estan dadas en el ejemplo 4 No se obtuvo la ecuacion en el nodo 1 donde se supondra una presion igual a 76164 (525 kPa 525 bars)

Las expresiones para las derivadas de cada una de las funciones con respecto a cada una de las variables son

oF~ RI 2 [gt2 + R - P - R~ P2 F 11 = = shy

cP (~ 2 _p ri (P- - P- ri (Jgt22 - p ril

of R21 P = aFI = 0F12 = F13() ) r dP P - - F- eWI2

dF R P = of ~ 0F1 4 =-- = - F 15

dP P- apr( - P-) r

of F 24 = - = 0

ap

R Pmiddot1 4

88

en el ejemplo 5 por el Metodo Hardy shy

aLL ac

6236 07098 -2750 -3940

L=0 2558

3872 1272 -2 528 -3128

)28

2710 1656 368 18 U97

1492 0992 -1 408 -0880

3872 1272 -2528 -3 128

504 004 396 908

-

Tabla 12 (continuacion)

TERCERA ITERACION

Tramo a MMPCD

l Millas

axl a 2 a 2 l ac

MALlA I

1-2 2-3 3-4 4-5

3912 0908

-2488 -3 088

041 042 044 041

16039 03814 10947 12661

L=4 3461

153037 08245 61901 95357

62745 03463

-2 7236 -3 9096

L=-0 0125

3913 0909

-2487 -3 090

LQ 1 -00125 ~Q (1)= shy 2 x LQL = shy 243461 = 0014

MAlLA II

2-5 5-6 6-3 3-2

1504 1004

-1 396 -0909

0224 0460 0320 0420

03369 04618 04467 03818

L=1 6275

22620 10080 19490 08263

05067 04637

-0 6236 -03470

L=000023

1504 1004

-1 396 -0909

~Q (II) = shyLQ 2

L 000023 =-70610shy L =shy

2 x QL 216275

= (067 x J x 535t (147 ) (_ I_ )X gt = 301 4335 xl 0 1 520 ~ 4026

La tabla 13 muestra el calculo de las presiones

Tabla 13 Calculo de las Presiones en la Solucion de la Red del Ejemplo 5 por el Metodo H-C

Tramo qj(MPCNID) lij(millas) ~pl NodoNu m

P(lpca)

6-5 10040 046 3695117 5 19862 5-2 1504 0224 4037816 2 28254 2-1 3913 041 50027228 1 76164 1-4 3087 041 31135798 4 51840 4-3 2487 044 21687382 3 22774 3-6 1396 032 4969626 6 4658

87

Metodo N-R

Las ecuaciones de continuidad en cada uno de los nodos en terminos de la presion estan dadas en el ejemplo 4 No se obtuvo la ecuacion en el nodo 1 donde se supondra una presion igual a 76164 (525 kPa 525 bars)

Las expresiones para las derivadas de cada una de las funciones con respecto a cada una de las variables son

oF~ RI 2 [gt2 + R - P - R~ P2 F 11 = = shy

cP (~ 2 _p ri (P- - P- ri (Jgt22 - p ril

of R21 P = aFI = 0F12 = F13() ) r dP P - - F- eWI2

dF R P = of ~ 0F1 4 =-- = - F 15

dP P- apr( - P-) r

of F 24 = - = 0

ap

R Pmiddot1 4

88

Metodo N-R

Las ecuaciones de continuidad en cada uno de los nodos en terminos de la presion estan dadas en el ejemplo 4 No se obtuvo la ecuacion en el nodo 1 donde se supondra una presion igual a 76164 (525 kPa 525 bars)

Las expresiones para las derivadas de cada una de las funciones con respecto a cada una de las variables son

oF~ RI 2 [gt2 + R - P - R~ P2 F 11 = = shy

cP (~ 2 _p ri (P- - P- ri (Jgt22 - p ril

of R21 P = aFI = 0F12 = F13() ) r dP P - - F- eWI2

dF R P = of ~ 0F1 4 =-- = - F 15

dP P- apr( - P-) r

of F 24 = - = 0

ap

R Pmiddot1 4

88