punto fijo
TRANSCRIPT
Dada una ecuación f(x) = 0, podemos
transformarla, de alguna manera, en
otra equivalente del tipo x = g(x) para
alguna función g. En este caso se tiene
que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a
= g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).
Un número a tal que a = g(a) se
dice un punto fijo de la función
g.
Cuándo una función g tiene un
punto fijo, y si lo tiene, cómo
encontrarlo?
Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo xε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], Kconstante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración:
xn=g(xn-1), n=1,2,3…..
Un punto fijo de una función, g es un número p
tal que g(p)=p. El problema de encontrar las
soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de
encontrar los puntos fijos de una función h(x) son
equivalentes en el siguiente sentido: dado el
problema de encontrar las soluciones de una
ecuación f(x)=0, podemos definir una función g
con un punto fijo p de muchas formas; por
ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la
función g tiene un punto fijo en, p entonces la
función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en
p.
El método de punto fijo inicia con una
aproximación inicial X0 y Xi+1=g(Xi) genera una
sucesión de aproximaciones la cual converge a la
solución de la ecuación f(x)=0. A la función g se
le conoce como función iteradora. Se puede
demostrar que dicha sucesión <Xn> converge
siempre y cuando |g’(x) <1|.
EjemploUsando el método de punto fijo vamos a aproximar la soluciónde la ecuación
X3+4X2-10=0 dentro del intervalo [1,2].
Lo primero es buscar una función g(x) adecuada
x3+4X2-10=0
x2(x+4)=10
x=
Y claramente elegimos como función iteradora a
g(x)=
además observe que
Para toda x€ [1,2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.
1. En la celda A5 escribimos nuestraaproximación inicial, en este caso 2.
2. En la celda A6 escribimos la fórmulaque calculará las aproximaciones:
=raiz(10/(A5+4))
3. Por último arrastramos la celda A6para generar las restantesaproximaciones.
Una desventaja potencial del método de punto fijo esque la elección de la función iteradora g(x) no siemprees fácil.
Algoritmo
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cos x-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%.
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
x1=g(x0 )=cos 0=1
Con un error aproximado de 100%
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa
tenemos,
x1=g(x1 )=cos 1=0.540302305
Y un error aproximado de 85.08%.
Intuimos que el error
aproximado se irá reduciendo
muy lentamente. En efecto, se
necesitan hasta 13 iteraciones
para lograr reducir el error
aproximado menor al 1%. El
resultado final que se obtiene
es:
Con un error aproximado
igual al 0.78%.
x13=0,907447
cos 0 1,000000cos 1 0,540302cos 2 -0,416147cos 3 -0,989992cos 4 -0,653643cos 5 0,283662cos 6 0,960170cos 7 0,753902cos 8 -0,145500cos 9 -0,911130cos 10 -0,839071cos 11 0,004426cos 12 0,843853cos 13 0,907447cos 14 0,136737cos 15 -0,759687cos 16 -0,957659cos 17 -0,275163cos 18 0,660317cos 19 0,988704cos 20 0,408082